Понятие абсолютно твердого тела и законы вращательного движения. Предмет физики

• Проще всего описать движение тела, взаимное расположение частей которого не изменяется. Такое тело называется абсолютно твердым.

При изучении кинематики мы говорили, что описать движение тела - это значит описать движение всех его точек. Иными словами, надо уметь находить координаты, скорость, ускорение, траектории всех точек тела. В общем случае это сложная задача, и мы не будем пытаться ее решать. Особенно она сложна, когда тела заметно деформируются в процессе движения.

На самом деле таких тел нет. Это физическая модель. В тех случаях, когда деформации малы, можно реальные тела рассматривать как абсолютно твердые. Однако и движение твердого тела в общем случае сложно. Мы остановимся на двух, наиболее простых видах движения твердого тела: поступательном и вращательном.

Поступательное движение

Твердое тело движется поступательно, если любой отрезок прямой линии, жестко связанный с телом, все время перемещается параллельно самому себе.

При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, описывают одинаковые траектории, проходят одинаковые пути, имеют равные скорости и ускорения. Покажем это.

Пусть тело движется поступательно. Соединим две произвольные точки А и В тела отрезком прямой линии (рис. 7.1). Отрезок АВ должен оставаться параллельным самому себе. Расстояние АВ не изменяется, так как тело абсолютно твердое.

Рис. 7.1

В процессе поступательного движения вектор не изменяется, т. е. остаются постоянными его модуль и направление. Вследствие этого траектории точек А и В идентичны, так как они могут быть полностью совмещены параллельным переносом на .

Нетрудно заметить, что перемещения точек А и Б одинаковы и совершаются за одно и то же время. Следовательно, точки А и В имеют одинаковые скорости. Одинаковы у них и ускорения.

Совершенно очевидно, что для описания поступательного движения тела достаточно описать движение какой-либо одной его точки, так как все точки движутся одинаково. Лишь в этом движении можно говорить о скорости тела и ускорении тела. При любом другом движении тела его точки имеют различные скорости и ускорения, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» теряют смысл.

Приблизительно поступательно движется ящик письменного стола, поршни двигателя автомобиля относительно цилиндров, вагоны на прямолинейном участке железной дороги, резец токарного станка относительно станины (рис. 7.2) и т. д.

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Вращательное движение

Вращательное движение вокруг неподвижной оси - еще один вид движения твердого тела.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения (MN на рисунке 7.4).

Рис. 7.4

В технике такой вид движения встречается чрезвычайно часто: вращение валов двигателей и генераторов, колес современных скоростных электропоездов и деревенской телеги, турбин и пропеллеров самолетов и т. д. Вращается Земля вокруг своей оси.

Долгое время считалось, что в живых организмах устройств, подобных вращающемуся колесу, нет: «природа не создала колеса». Но исследования последних лет показали, что это не_так. У многих бактерий, например у кишечной палочки, имеется «мотор», вращающий жгутики. С помощью этих жгутиков бактерия перемещается в среде (рис. 7.5, а). Основание жгутика прикреплено к колесику (ротору) в форме кольца (рис. 7.5, б). Плоскость ротора параллельна другому кольцу, закрепленному в мембране клетки. Ротор вращается, делая до восьми оборотов в секунду. Механизм, приводящий ротор во вращение, остается пока во многом не ясным.

Рис. 7.5

Кинематическое описание вращательного движения твердого тела

При вращении тела радиус r А окружности, описываемой точкой А этого тела (см. рис. 7.4), повернется за интервал времени Δt на некоторый угол φ. Легко видеть, что вследствие неизменности взаимного расположения точек тела на такой же угол φ повернутся за то же время и радиусы окружностей, описываемых любыми другими точками тела (см. рис. 7.4). Следовательно, этот угол φ можно считать величиной, характеризующей движение не только отдельной точки тела, но и вращательное движение всего тела в целом. Стало быть, для описания вращения твердого тела вокруг неподвижной оси достаточно лишь одной величины - переменной φ(t).

Этой единственной величиной (координатой) и может служить угол φ, на который поворачивается тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое. Это положение задается осью О 1 Х на рисунке 7.4 (отрезки O 2 В, О 3 С параллельны О 1 Х).

В § 1.28 было рассмотрено движение точки по окружности. Были введены понятия угловой скорости ω и углового ускорения β. Так как при вращении твердого тела все его точки за одинаковые интервалы времени поворачиваются на одинаковые углы, то все формулы, описывающие движение точки по окружности, оказываются применимыми и для описания вращения твердого тела. Определения угловой скорости (1.28.2) и углового ускорения (1.28.6) могут быть отнесены к вращению твердого тела. Точно так же справедливы формулы (1.28.7) и (1.28.8) для описания движения твердого тела с постоянным угловым ускорением.

Связь между линейной и угловой скоростями (см. § 1.28) для каждой точки твердого тела дается формулой

где R - расстояние точки от оси вращения, т. е. радиус окружности, описываемой точкой вращающегося тела. Направлена линейная скорость по касательной к этой окружности. Различные точки твердого тела имеют разные линейные скорости при одной и той же угловой скорости.

Различные точки твердого тела имеют нормальные и тангенциальные ускорения, определяемые формулами (1.28.10) и (1.28.11):

Плоскопараллельное движение

Плоскопараллельным (или просто плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется все время в одной плоскости. Причем все плоскости, в которых движутся точки, параллельны между собой. Типичный пример плоскопараллельного движения - качение цилиндра по плоскости. Плоскопараллельным является также движение колеса по прямому рельсу.

Напомним (в который раз!), что говорить о характере движения того или иного тела можно лишь по отношению к определенной системе отсчета. Так, в приведенных примерах в системе отсчета, связанной с рельсом (землей), движение цилиндpa или колеса является плоскопараллельным, а в системе отсчета, связанной с осью колеса (или цилиндра), - вращательным. Следовательно, скорость каждой точки колеса в системе отсчета, связаннои с землей (абсолютная скорость), согласно закону сложения скоростей равна векторной сумме линейной скорости вращательного движения (относительной скорости) и скорости поступательного движения оси (переносной скорости) (рис. 7.6):

Рис. 7.6

Мгновенный центр вращения

Пусть тонкий диск катится по плоскости (рис. 7.7). Окружность можно рассматривать как правильный многоугольник со сколь угодно большим числом сторон.

Поэтому круг, изображенный на рисунке 7.7, можно мысленно заменить многоугольником (рис. 7.8). Но движение последнего состоит из ряда небольших поворотов: сначала вокруг точки С, затем вокруг точек С 1 , С 2 и т. д. Поэтому движение диска тоже можно рассматривать как последовательность очень малых (бесконечно малых) поворотов вокруг точек С, C 1 C 2 и т. д.(2). Таким образом, в каждый момент времени диск вращается вокруг своей нижней точки С. Эта точка называется мгновенным центром вращения диска. В случае качения диска по плоскости можно говорить о мгновенной оси вращения. Этой осью является линия соприкосновения диска с плоскостью в данный момент времени.

Рис. 7.7 и 7.8

Введение понятия мгновенного центра (мгновенной оси) вращения упрощает решение ряда задач. Например, зная, что центр диска имеет скорость и, можно найти скорость точки А (см. рис. 7.7). Действительно, так как диск вращается вокруг мгновенного центра С, то радиус вращения точки А равен АС, а радиус вращения точки О равен ОС. Но так как АС = 20С, то

Аналогично можно найти скорость любой точки этого диска.

Мы познакомились с наиболее простыми видами движения твердого тела: поступательным, вращательным, плоскопараллельным. В дальнейшем нам предстоит заняться динамикой твердого тела.

(1) В дальнейшем для краткости мы будем говорить просто о твердом теле.

(2) Разумеется, изобразить на рисунке многоугольник с бесконечным числом сторон невозможно.

Механика

Предмет физика - наука изучающая общие и простейшие свойства и законы движения вещества и поля.

Физическая модель - называется его математическая модель, составленная из идеальных физических объектов.

Физическая модель - абстрактное понятие, которые используются для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач.

В основе классической механики лежат след. представления о пространстве и времени. Физическое пространство рассматривается как трехмерное пространство Евклида, а время считается не зависящим от материальных тел и всюду одинаковым.

Классическая механика -изучает движение макроскопических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, в основе лежат Ньютона законы.

Кинематика - наука, изучающая состояние движения независимо от вызывающих его сил.

Кинема́тика (греч. κινειν - двигаться) в физике - раздел механики, изучающий математическое описание (средствами геометрии, алгебры, математического анализа…) движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость), без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики - пространство и время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики - динамика.

Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве с течением времени относительно других тел.

Система отсчета -совокупность неподвижных относительно друг друга тел по отношению к которым рассматривается движение и отсчитывающих время часов.

Методы задания материально точки -нужно указать положения и скорости всех тел образующих систему.

Абсолю́тно твёрдое те́ло - второй опорный объект механики наряду с материальной точкой.

Многие реальные тела являются твердыми, то есть в течении длительного времени сохраняют свои размеры и форму, точнее говоря изменения размеров и формы настолько незначительны, что ими можно пренебречь. Моделью таких тел служит абсолютно

твердое тело.

Абсолютно твердое тело - это идеальная модель тела, изменением размеров и формы которого в данных условиях можно пренебречь.

Из этого определения следует, что расстояния между двумя любыми точками абсолютно твердого тела остается неизменным. Абсолютно твердое тело можно также рассматривать как совокупность материальных точек, жестко связанных между собой. Так

положение океанского лайнера в открытом море можно описать, пользуясь моделью материальной точки, а его пространственную ориентацию (курс, наклон) с помощью модели абсолютно твердого тела. Применимость модели абсолютно твердого тела обусловлена только конкретной исследуемой проблемой - целью моделирования и требуемой точностью.

Таким образом, положение абсолютно твердого тела полностью определяется, например, положением жестко привязанной к нему декартовой системы координат (обычно ее начало координат делают совпадающим с центром масс твердого тела).

В трёхмерном пространстве и в случае отсутствия (других) связей абсолютно твёрдое тело обладает 6 степенями свободы: три поступательных и три вращательных. Исключение составляет двухатомная молекула или, на языке классической механики, твёрдый стержень нулевой толщины. Такая система имеет только две вращательных степени свободы.

Система отсчёта - это совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и системы отсчёта времени, по отношению к которым рассматривается движение (или равновесие) каких-либо материальных точек или тел .

Математически движение тела (или материальной точки) по отношению к выбранной системе отсчёта описывается уравнениями, которые устанавливают, как изменяются с течением времени t координаты, определяющие положение тела (точки) в этой системе отсчёта. Эти уравнения называются уравнениями движения. Например, в декартовых координатах х, y, z движение точки определяется уравнениями , , .

В современной физике любое движение является относительным, и движение тела следует рассматривать лишь по отношению к какому-либо другому телу (телу отсчёта) или системе тел. Нельзя указать, например, как движется Луна вообще, можно лишь определить её движение, например, по отношению к Земле, Солнцу, звёздам и т. п.

Материальная точка (частица) - это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Вторым понятием, которое тоже установил Эйлер, было понятие об абсолютно твердом теле. Оно было необходимым условием для возможности введения аксиомы, что две равные и противоположиные силы, имеющие одну линию действия, взаимно уравновешиваются, будучи приложены к одному твердому телу. Такие две силы растягивают или сжимают тело , к которому они приложены, и даже могут его разорвать, но если не нужно создавать особой механики для различного рода материалов (дерева, камня, металлов), то следует предположить, что на рассматриваемом теле уравновешиваются любые две равные и прямо противоположные силы.

Геометрическое определение абсолютно твердого тела требует неизменности расстояний между его точками; в статике существенной является именно возможность уравновешивания на нем двух равных и прямо противоположных сил; тогда всякое тело можно считать, абсолютно твердым, если действующие на него силы не превосходят некоторого предела. Получающиеся от действия сил деформации бывают настолько малыми, что можно пренебречь геометрическими изменениями размеров и формы тела, но физической стороной — существованием в данном теле различных усилий — при этом пренебрегать нельзя. Здесь вы можете найти , которая вам необходима.

Уже очень давно было отмечено, что результат действия сил на тело зависит не только от величины этой силы и веса тела, но и от сопротивления движения, в частности от силы трения. Первым обратившим внимание на эту силу трения был Леонардо да Винчи , считавший, что в случае движения по горизонтальной плоскости сила трения равняется 25% от веса движущегося тела. Дальнейшие исследования были проведены Амонтоном (1663—1705) и затем Кулоном (1736—1806), который вывел законы трения скольжения. Механика студентам изучает современные понятия относительно изложенного материала.

Нужно отметить, что величина силы трения определяется не из уравнений, а из неравенств; поэтому возможны случай, когда и положение равновесия и соответствующая величина силы трения остаются неопределенными и тоже будут зависеть от начальных условий загрузки. Задача на опытное определение коэффициентов трения различных тел, а также исследование его изменения в различных условия* относятся тоже к области индустриальной механики. Нельзя признать окончательно выясненным даже определение зависимости коэффициента трения от скорости движения тела.

В основном величина коэффициента трения уменьшается при увеличении скорости движения тела; например, для остановки поезда нельзя давать сразу тормоз до отказа, чтобы прекратить вращение колес, так чтобы их скорость скольжения равнялась скорости движения поезда; при постепенном торможении; уменьшающем скорость скольжения, поезд проходит до остановки значительно меньшее расстояние , чем при торможении до отказа. Статика абсолютно твердого тела не позволяет решить все задачи на равновесие.

Классическим примером является задача на определение опорных реакций стола на четырех ножках, стоящего на гладкой горизонтальной плоскости, под действием груза, лежащего на доске стола в какой-либо точке, отличной от ее середины. В геометрической статике имеется всего лишь три уравнения для определения четырех неизвестных. Недостающее уравнение можно получить, если рассматривать ножки стола как упругие стержни, могущие сжиматься под действием наложенного груза и опорных реакций ножек; так как величины деформаций ножек пропорциональны действующим силам (реакциям ножек), то, если найти соотношение между перемещениями концов всех четырех ножек, можно получить недостающее четвертое уравнение.

Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого можно пренебречь в данной задаче и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным.

Инертность тел при вращательном движении характеризует величина, называемая моментом инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси:

I=m i r i 2 (3.1)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

I=∫r 2 dm (3.2), где интегрирование производится по всему объему.

Для однородного сплошного диска (цилиндра):

I=0.5 mR 2 (3.3), если ось вращения проходит через центр тяжести (масс).

Момент инерции относительно произвольной оси определяется теоремой Штейнера:

I=I c +ma 2 (3.4), где a - расстояние между осями.

Способность силы вращать тело характеризует физическая величина, называемая моментом силы:

О – ось вращения
l – плечо силы
α – угол между вектором F и радиус-вектором r

Модуль момента силы: M=F r sinα=F l (3.6)

r sinα - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Моментом силы называется физическая величина, определяемая произведением силы на ее плечо.

По аналогии с поступательным движением можно записать уравнение динамики вращательного движения:

Аналогом импульса тела при вращательном движении является момент импульса относительно оси. Векторная величина.

Модуль момента импульса:

L=r P sinα=m υ r sinα=Pl (3.9)
L z =I ω (3.10)

(3.12)

dL z /dt=M z (3.13)

Это выражение еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Можно показать, что имеет место векторное равенство:

В замкнутой системе момент внешних сил M=0; dL/dt=0, откуда L=const (3.15) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Работа при вращательном движении:

dA=M z dφ (3.16)

Кинетическая энергия:

T=Iω 2 /2 (3.17)

Полная энергия система перемещающейся поступательно и вращающейся равна:

E=+ (3.18)

Можно составить таблицу аналогично динамики поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение

Законы Ньютона.

Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета

К выводу о существовании явления инерции впервые пришел Галилей, а затем Ньютон. Этот вывод формулируется в виде первого закона Ньютона (закона инерции ): существуют такие системы отсчета, относительно которых тело (материальная точка) при отсутствии на ней внешних воздействий (или при их взаимной компенсации) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Первый закон Ньютона постулирует наличие такого явления, как инерция тел. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция - это явление сохранения телом скорости движения (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения, на тело необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают инертностью. Инертность - это свойство тел сопротивляться изменению их текущего состояния. Величина инертности характеризуется массой тела.

Второй закон Ньютона.

Формула (1) выражает второй закон Ньютона , который формулируют так: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этому телу силой.

Силой называют векторную величину, характеризующую такое действие на данное тело других тел (или полей), которое может вызвать ускорение и деформацию тела (здесь мы имеем в виду произвольное твердое тело, а не материальную точку).

Третий закон Ньютона.

Во всех случаях, когда какое-либо тело действует на другое, имеет место не одностороннее действие, а взаимодействие тел. Силы такого взаимодействия между телами имеют одинаковую природу, появляются и исчезают одновременно. При взаимодействии двух тел оба тела получают ускорения, направленные по одной прямой в противоположные стороны. Так как a1/a2=m2/m1, то m1a1=m2a2, или в векторном виде

m1а1=-m2a2. (1)

Согласно второму закону Ньютона, m1а1=F1 и m2а2=F2. Тогда из формулы (2.7) следует, что

Равенство (2) выражает третий закон Ньютона : тела взаимодействуют друг с другом силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Абсолютно твердое тело. Момент инерции. Момент сил.

Абсолютно твердое тело.

Абсолю́тно твёрдое те́ло - второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твердого тела полностью сводима к механике материальных точек (с наложенными связями), но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твердого тела), представляющее большой теоретический и практический интерес.

Существует несколько определений:

Абсолютно твёрдое тело - механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.

Абсолютно твёрдое тело - тело (система), взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.

Таким образом, положение абсолютно твердого тела полностью определяется, например, положением жестко привязанной к нему декартовой системы координат (обычно ее начало координат делают совпадающим с центром масс твердого тела).

Абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала и ей можно пренебречь, реальное тело может (приближенно) рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для задачи.

Момент инерции.

Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

I=(знак сумм)mh^2 или I=(интеграл)ph^2dV,

где mi - массы точек тела, hi - их расстояния от оси z, r - массовая плотность, V - объём тела. Величина Iz является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси/

Различают несколько моментов инерции - в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

МОМЕНТ СИЛ?? У КОГО ЕСТЬ В ЛЕКЦИЯХ СТАРЫХ?