Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств. Задачи на пересечение и объединение множеств (Круги Эйлера)
- (сумма множеств) понятие теории множеств; объединение множеств множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств А и В обозначают АUВ или А+В …
- (сумма множеств), понятие теории множеств; объединение множеств множество, состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств А и В обозначают А + В. * * * ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ… … Энциклопедический словарь
- (сумма множеств), понятие теории множеств; О. м. множество, состоящее из тех элементов, каждый из к рых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. О. м. А и В обозначают A UB или А + В … Естествознание. Энциклопедический словарь
Объединение A и B Объединение множеств (тж. сумма или соединение) в теории множеств это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается, но иногда можно встретить запись в виде… … Википедия
Раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек … Большой Энциклопедический словарь
Раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество… … Энциклопедический словарь
Математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов … Словарь терминов логики
Объединение: В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение разновидность организации … Википедия
Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия
Объединение многозначный термин, входит в состав сложных терминов. В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение разновидность организаций. Объединение общее название крупных воинских формирований … Википедия
Книги
- Считаю до 20. Рабочая тетрадь для детей 6 - 7 лет. ФГОС ДО , Шевелев Константин Валерьевич. Рабочая тетрадь предназначена для работы с детьми 6 7 лет. Способствует достижению целей блока Познание путем формирования элементарных математических представлений. Даны методические…
Лекция 13: Операции над множествами. Упорядоченное множество
1. Объединение множеств
Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.
Объединение X и Y обозначается через X∪Y
Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y
Пример 1. Если X={1,2,3,4,5} и Y={2,4,6,8}, то
X∪Y={1,2,3,4,5,6,7,8}
Пример 2. Если X={x:x — отл.гр.}, и Y={x:x — gib.}, то
X∪Y={x:x — или отл., или gib}.
Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то
X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.
Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М={X 1 ,X 2 , ...,X n } совокупность n множеств X 1 ,X 2 , ...,X n , называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств
∪X i =∪(X∈M), Х=X 1 ∪X 2 ∪...∪X n
представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.
Для объединенных множеств справедливы:
- X∪Y = Y∪X — коммутативный закон
- (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z) = X∪Y∪Z — ассоциативный закон,
справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.
Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.
2. Пересечение множеств
Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.
Пересечение множеств обозначается X∩Y.
Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y
Пример 4. X={1,2,3,4,5} Y={2,4,6,8} X∩Y = {2,4}
Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.
Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.
Пример 7. {1,2,3} и {4,5,6}
В отличие от алгебры чисел, где могут быть три возможности: a X=Y; X⊂Y; Y⊂X; X∩Y=∅ и X и Y находятся в общем положении. Говорят, что множества X и Y находятся в общем положении, если выполняются три условия: Аналогично объединению понятие пересечения можно распространить на систему множеств: ∩X=∩X i =X 1 ∩X 2 ∩...∩X n Пересечение множеств представляет собой множество, элементы которого принадлежат каждому из множеств системы М. Для пересечения множеств справедливы: Заметим также, что имеет место соотношение X∩∅=∅. Пример 8. A={a,b}, B={b,c}, C={a,c}. A∩B∩C=∅, хотя A∩B={b}, B∩C={c} Разность множеств определена только для двух множеств. Разностью множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y. Обозначается: X\Y. Формально: x∈X\Y ⇔ x∈X и x∉Y Пример 9. (см. Пример 1) X={1,2,3,4,5}, Y={2,4,6,8}, X\Y={1,3,5}, Y\X={6,8} Разность множеств не обладает свойством коммутативности. Если A\B=∅, то A⊂B — поставить? обратно при A∩B≠∅ Роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. А нет ли такого множества, которое играет роль «1», т.е. удовлетворяет условию: X∪I = X, что означает, что пересечение или «общая часть» множества I и множества X для любого множества X совпадает с самим этим множеством. Это возможно лишь в том случае, если множество I содержит все элементы, из которых может состоять множество X, так что любое множество X полностью содержится в множестве I. Множество I, удовлетворяющее этому условию, называется полным, или универсальным, или единичным. Если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества, то это самое большое множество будем считать универсальным и обозначать I. Пример 12 (Пример 1). I — множество целых чисел Пример 13 (Пример 2). I — множество студ. гр. Пример 14 (Пример 3). I — лист бумаги, доска Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей внутри этого прямоугольника. Изображение множеств в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна. Универсальное множество обладает интересным свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно, для любого множества X справедливо соотношение X∪I = I. Множество, определяемое из соотношения X¯ = I\X, называется дополнением множества X (до универсального множества I). На диаграмме множество X¯ представляет собой незаштрихованную область. Формально: X = {x: x∈I и x∉X}. Из определения следует, что X и X¯ не имеют общих элементов. Х∩X¯=∅. Кроме того, не имеется элементов I, которые не принадлежали бы ни X, ни X¯ (его дополнению), так как те элементы, которые не принадлежат X, принадлежат X¯ (его дополнению). Следовательно, Х∪X¯=I. Из симметрии данной формулы относительно Х и X¯ следует не только то, что X¯ является дополнением Х, но и что Х является дополнением X¯. Но дополнение X¯ есть X¯ ¯. Таким образом, X¯ ¯=X¯. С помощью операции дополнения представим разность множеств: X\Y = {x: x∈X и x∉Y} ={ x: x∈X и x∈Y¯ }, т.е. X\Y= Х∩Y¯. Порядок выполнения операций: Для изменения порядка используют скобки. Одной из наиболее часто встречающихся операций над множествами является операция разбиения множества на систему подмножеств. Так, система курсов данного факультета является разбиением множества студентов факультета; система групп данного курса является разбиением множества студентов курса. Пример. Продукция предприятия: — высший сорт, I, II, брак. Рассмотрим некоторое множество M и систему множеств М = {X 1 , X 2 , ..., X n } Система множеств M называется разбиением множества M, если она удовлетворяет следующим условиям: Любое множество X из M является подмножеством множества М ∀X∈M: X⊆M; Любые два множества X и Y из М являются непересекающимися ∀X∈М, ∀Y∈M: X≠Y → X∩Y=∅. Объединение всех множеств, входящих в разбиение, дает множество M X 1 ∪X 2 ∪...∪ X n =M. С помощью операций объединения, пересечения и дополнения из множеств можно составлять различные алгебраические выражения. Если алгебраические выражения V(X,Y,Z) и S(X,Y,Z) представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг другу, получая алгебраическое тождество вида V(X,Y,Z) = S(X,Y,Z) Множество элементов, принадлежащих или A, или B, называют симметричной разностью или дизьюнктивной суммой. S = A⊕B = (A\B)∪(B\A) = (A∩B¯)∪(A¯∪B) = (A∪B)∩(A∩B)¯ Для симметрической разности выполняются следующие законы: Упорядоченным множеством (или кортежем) называется последовательность элементов, то есть совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы — компоненты кортежа. Пример 1. Множество людей, стоящих в очереди, множество слов в фразе, алфавит. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено. Число элементов кортежа называется его длиной. Обозначают кортеж скобками «< >», иногда круглыми «()». А=. Кортежи длины 2 называются упорядоченными парами, 3 — тройками, n-ками. Частный случай: кортеж длины 1 — кортеж длины 0 — < > или ∧ — пустой кортеж. Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы. Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного). Так, кортеж может рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Тогда компоненты a 1 , a 2 — проекции вектора на оси 1 и 2. Пр 1 = a 1 , Пр 2 = a 2 , Пр i = a i , Пр 1 2 = — двухэлементный кортеж. Проекция кортежа на пустое множество осей — пустой кортеж. Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a 1 , ..., a n) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси. Пр i a = a i , i=1,2,...,n Пр i,j,...,l a = , i=1,2,...,n Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны. = ⇔ m = n и a 1 = b 1 , b 1 = b 2 , ... Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы): Пример. Слова в предложении, Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y. Формально: X*Y = { Пример 2. Пусть X=<1,2>, Y=<1,3,4> Тогда X*Y={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4> } См. рис. а). Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б). Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е. Прямое произведение множеств X 1 , X 2 , ..., X n — это множество, обозначаемое X 1 *X 2 *...*X n и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X 1 , вторая — X 2 и т.д. Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅. Аналогично X 1 *X 2 *...*X n = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X 1 , X 2 , ..., X n является пустым. Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств M s =M*M*...*M, M 1 =M, M 0 =∧. Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R 2 =R*R — вещественная плоскость и R 3 =R*R*R — трехмерное вещественное пространство. Пример. A={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1,2,3, ...,8} Тогда A*B ={a 1 , a 2 , a 3 , ..., h7, h8} — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски. Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества a n называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A * = ∪A i = A 1 ∪A 2 ∪A 3 ... . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями. СЛОВО ⇔ <С,Л,О,В,О> Теорема. Пусть a 1 , a 2 , ..., a n — конечные множества и |a 1 | = m 1 , |a 2 |=m 2 , ..., |a n |=m n . Тогда мощность множества a 1 *a 2 *a 3 *...*a n равна произведению мощностей a 1 , a 2 , ..., a n |a 1 *a 2 *...*a n |=|a 1 |*|a 2 |*|a 3 |*...*|a n |= m 1 *m 2 *...*m n Следствие |a n |=|A| n Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины. Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М Пример. Пусть М={<1,2,3,4,5>,<2,1,3,5,5>,<3,3,3,3,3>,<3,2,3,4,3>} тогда Пр 2 М={2,1,3}, Пр 3 M={3}, Пр 4 M={4,5,3}, Пр 24 M={<2,4>,<1,5>,<3,3>}, Пр 13 M={<1,3>,<2,3>,<3,3>}, Пр 15 M={<1,5>,<2,5>,<1,3>}, Пр 25 M={<2,5>,<1,5>,<3,3>,<2,3>}. Очевидно что если М=Х*Y то Пр 1 М=Х, Пр 2 М=Y и если Q⊆Х*Y то Пр 1 Q⊆Х и Пр 2 Q⊆Y Пример. V={ Пр 1 V={a,c,d} Пр 1 2V={ Пр 2 3V={ Пр 1 3V={ Пусть V — множество векторов одинаковой длины S. Пр i V ={Пр i v/v∈Y}, Пр i i ...i k v = { Пр i i ...i k v/v∈Y}. Если V =A 1 *A 2 *...*A n , то Пр i i ...i k V=A i1 *A i2 *...*A ik . В общем случае Пр i V — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством. Вновь
возьмём множества Х
=
{0, 1, 3, 5} и
Y
= {1, 2, 3, 4} и наряду с ними рассмотрим
множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это множество
содержит все элементы множества Х
и
все элементы множества Y
и
не содержит никаких других элементов. Множество,
состоящее из всех элементов, принадлежащих
или множеству
А
или
множеству
В,
называется
объединением
множеств
А
и
В,
обозначается
А
U
В. А
U
В = { х
А
или
х
Итак,
{0,
1, 3, 5}
Если
изобразить множества А
и
В при
помощи кругов Эйлера, то объединение
данных множеств изобразится заштрихованной
областью. Если множества не
имеют общих элементов, то их объединение
выглядит так: Если
одно из множеств является подмножеством
другого, то их объединение будет выглядеть
так: Часто
приходится рассматривать объединение
и пересечение трёх и более множеств.
Объединение множеств А,
В и
С
есть множество, каждый элемент которого
принадлежит хотя бы одному из множеств
А, В или
С; пересечение
множеств А,
В и
С есть
множество всех элементов, принадлежащих
и множеству А,
и множеству В,
и множеству С. А U
В U С
Например, объединение
множеств остроугольных, тупоугольных
и прямоугольных треугольников есть
множество всех треугольников. Еще
операции над множествами можно показать
с помощью детского анекдота: Однажды
лев, царь зверей, собрал зверей на поляне
и повелел им разделиться на умных и
красивых. После того, как пыль улеглась,
лев увидел на поляне две большие группы
зверей и мартышку, прыгающую между ними.
На вопрос: почему она прыгает туда, сюда,
мартышка ответила: «Что мне, разорваться,
что ли?». Так вот, мартышка из анекдота
– это пример пересечения умных
зверей и красивых.
А объединением умных и красивых зверей
является все множество зверей. Объединение и
пересечение множеств обладают многими
свойствами, аналогичными свойствам
суммы и произведения чисел: № п
/
п
Свойство
операций над множествами
Свойство
арифметических операций
Название
свойства
Коммутативность (а+b)+c
= a+(b+c) Ассоциативность Дистрибутивность Однако эта аналогия
не всегда имеет место. Например, для
множеств справедливы равенства: 6.
(А U
С)
∩
(В
U
С) = (A
∩
B)
U
С. 7.
А U
А = А. 8.
А ∩
А
= А. Соответствующие
равенства для чисел верны не всегда. Заметим, что, если
в выражении есть знаки пересечения и
объединения множеств, и нет скобок, то
сначала выполняют пересечение, так как
считают, что пересечение более «сильная»
операция, чем объединение. Если заданы два
множества, то можно не только найти их
пересечение и объединение, но и вычесть
из одного множества другое. Результат
вычитания называют разностью и определяют
следующим образом. Разностью
множеств
А
и
В
называется
множество, содержащее все элементы,
которые принадлежат множеству
А
и не
принадлежат множеству
В
,
обозначается
А
\
В. А
\
В =
{
х
Х
\
Y
= {0, 1, 3, 5} \ {1, 2, 3, 4} = {0, 5}
.
Если мы найдем разность множеств Y
и Х, то результат будет выглядеть так:
Y
\
X
= {2; 4}
. Таким
образом, разность множеств не обладает
переместительным (коммутативным)
свойством. Е Если множества не
имеют общих элементов, то их разность
будет изображаться так:
А
3. Разность множеств
4. Универсальное множество
5. Дополнение множества
6. Разбиение множества
7. Тождества алгебры множеств
Дополнение к занятию «операции над множествами»
Упорядоченное множество
Прямое произведение множеств
Проекция множества.
В }
{1, 2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
А
∩ В ∩ С
1.3.3 Вычитание множеств
А и х
В
}.
сли
изобразить множестваА
и
В при
помощи кругов Эйлера, то разность данных
множеств изобразится заштрихованной
областью.
Если одно из множеств является подмножеством другого, то их разность будет изображаться так:
Пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А \ В ∩ С такой: сначала находят пересечение множеств В и С , а затем полученное множество вычитают из множества А. Что касается объединения и вычитания множеств, то их считают равноправными. Например, в выражении А \ В U С надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.
Вычитание множеств обладает рядом свойств:
(А \ В) \ С = (А \ С) \ В.
(А U В) \ С = (А \ С) U (В \ С).
(А \ В) ∩ С = (А ∩ С) \ (В ∩С).
А \ (В U С) = (А \ В) ∩ (А \ С).
А \ (В ∩ С) = (А \ В) U (А \ С).
Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.
Простейшие случаи
Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.
Определение 1
Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.
Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.
Из указанных определений логически следуют следующие правила:
Чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;
Чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.
Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.
Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.
Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.
Пример 1
Исходные данные: числовые множества А = { 3 , 5 , 7 , 12 } и В = { 2 , 5 , 8 , 11 , 12 , 13 } . Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.
Решение
- Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества А: 3 , 5 , 7 , 12 . Добавим к ним недостающие элементы множества В: 2 , 8 , 11 и 13 . В конечном итоге имеем числовое множество: { 3 , 5 , 7 , 12 , 2 , 8 , 11 , 13 } . Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: А ∪ B = { 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 } .
- Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества A и проверим, входят ли они во множество B . Рассмотрим первый элемент - число 3: он не принадлежит множеству B , а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества A , т.е. число 5: оно принадлежит множеству B , а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества A – число 7 . Оно не является элементом множества B , а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A: число 1 . Оно также принадлежит и множеству B , и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12 , т.е. А ∩ В = { 5 , 12 } .
Ответ: объединение исходных множеств – А ∪ B = { 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 } ; пересечение исходных множеств - А ∩ В = { 5 , 12 } .
Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A , В и С, возможно сначала определить пересечение A и B , а затем найти пересечение полученного результата с множеством C . На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = { 3 , 9 , 4 , 3 , 5 , 21 } , В = { 2 , 7 , 9 , 21 } и С = { 7 , 9 , 1 , 3 } . Пересечение первых двух множеств составит: А ∩ В = { 9 , 21 } , а пересечение полученного множества с множеством А ∩ В = { 9 , 21 } . В итоге: А ∩ В ∩ С = { 9 } .
Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.
Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = { 1 , 2 } , В = { 2 , 3 } , С = { 1 , 3 , 4 , 5 } . К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B , а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C . Таким образом, объединение исходных множеств: А ∪ В ∪ С = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } .
Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:
А = { 3 , 1 , 7 , 12 , 5 , 2 } В = { 1 , 0 , 2 , 12 } С = { 7 , 11 , 2 , 1 , 6 } D = { 1 , 7 , 15 , 8 , 2 , 6 } .
Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A , а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: A ∩ B ∩ C ∩ D = { 1 , 2 } .
Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей
Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой - 5 , 4 . Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению (- ∞ , - 5 , 4) ∪ { - 5 , 4 } ∪ (- 5 , 4 , + ∞) . Т.е. множество всех действительных чисел R = (- ∞ ; + ∞) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.
Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом (- ∞ , - 5 , 4 ] или [ - 5 , 4 , + ∞) . При этом множество R будет описываться следующими объединениями: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) или (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞) . .
Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал (7 , 32 ] и точка 13 , принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения (7 , 13) ∪ { 13 } ∪ (13 , 32 ] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество (7 , 32 ] можно представить, как (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] или (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] . Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала (7 , 32) и множества из одного элемента { 32 } . Таким образом: (7 , 32 ] = (7 , 32) ∪ { 32 } .
Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами - 6 , 0 , 8 , которые разобьют ее на промежутки: (- ∞ , - 6) , (- 6 , 0) , (0 , 8) , (8 , + ∞) . При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:
(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .
С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).
Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.
Пример 2
Исходные данные: заданы числовые множества А = (7 , + ∞) и В = [ - 3 , + ∞) . Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.
Решение
- Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.
В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: и 
Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами - 3 и 7 .
и 
Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) .
Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:
Промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B);
Точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B);
Промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B .
Точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B).
Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.
- Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) . Начнем с множества (- ∞ , - 3) , наглядно выделив его на чертеже:
Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A , ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:
Рассмотрим следующее множество { - 3 } . Число - 3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A , а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой - 3 делаем выколотой:
Оцениваем следующее множество (- 3 , 7) .
Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:
Следующее множество на проверку - { 7 } . Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [ - 3 , + ∞)), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:
И, наконец, проверяем оставшийся промежуток (7 , + ∞) .
Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:
В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7 , т.е.: А ∩ В = (7 , + ∞) .
- Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B . Последовательно проверим множества (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) , устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.
Первое множество (- ∞ , - 3) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество (- ∞ , - 3) не войдет в искомое объединение:
Множество { - 3 } входит в множество B , а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B:
Множество (- 3 , 7) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B:
Множество 7 входит в числовое множество B , поэтому войдет и в искомое объединение:
Множество (7 , + ∞) , являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:
По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А ∩ В = [ - 3 , + ∞) .
Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.
Пример 3
Исходные данные: множества А = (- ∞ , - 15) ∪ { - 5 } ∪ [ 0 , 7) ∪ { 12 } и В = (- 20 , - 10) ∪ { - 5 } ∪ (2 , 3) ∪ { 17 } . Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.
Решение
Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:
Ответ: А ∩ В = (- 20 , - 15) ∪ { - 5 } ∪ (2 , 3) ; А ∪ В = (- ∞ , - 10) ∪ { - 5 } ∪ [ 0 , 7 ] ∪ { 12 , 17 } .
Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.
Пример 4
Исходные данные: множества А = { - 2 } ∪ [ 1 , 5 ] и B = [ - 4 , 3 ] .
Необходимо определить пересечение исходных множеств.
Решение
Геометрически изобразим числовые множества А и В:
Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:
(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .
Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: { - 2 } , (1 , 3) , { 3 } и (3 , 5) . Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.
Совершенно понятно, что { - 2 } является частью множества B , ведь точка с координатой - 2 – внутренняя точка отрезка [ - 4 , 3) . Интервал (1 , 3) и множество { 3 } также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество (3 , 5) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:
В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: { - 2 } ∪ (1 , 3 ] .
Ответ: А ∩ В = { - 2 } ∪ (1 , 3 ] .
В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.
Пример 5
Исходные данные: множества А = (- ∞ , 12 ] , В = (- 3 , 25 ] , D = (- ∞ , 25) ꓴ { 40 } . Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.
Решение
Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:
Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 12) , { 12 } , (12 , 25) , { 25 } , (25 , 40) , { 40 } , (40 , + ∞) .
Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал (- 3 , 12) и множество { - 12 } : они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .
Объединение заданных множеств составят множества: (- ∞ , - 3) - элемент множества А; { - 3 } – элемент множества А; (- 3 , 12) – элемент множества А; { 12 } – элемент множества А; (12 , 25) – элемент множества В; { 25 } – элемент множества В и { 40 } – элемент множества D . Таким образом, получим: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ { 40 } .
Ответ: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ { 40 } .
Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.
Пример 6
Исходные данные: А = [ - 7 , 7 ] ; В = { - 15 } ∪ [ - 12 , 0) ∪ { 5 } ; D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞) ; Е = (0 , 27) . Определить пересечение заданных множеств.
Решение
Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.
Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: (- ∞ , - 15) , { - 15 } , (- 15 , - 12) , { - 12 } , (- 12 , - 10) , { - 10 } , (- 10 , - 7) , { - 7 } , (- 7 , 0) , { 0 } , (0 , 5) , { 5 } , (5 , 7) , { 7 } , (7 , 10) , { 10 } , (10 , 27) , { 27 } , (27 , + ∞) .
Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.
Ответ: A ∩ B ∩ D ∩ Е = Ø .
Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.
На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Операция над множествами - это правило, в результате выполнения которого из данных множеств однозначно получается некоторое новое множество.
Обозначим произвольную операцию знаком *. Множество, получаемое из данных множеств А и В, записывают в виде А*В. Полученное множество и саму операцию принято называть одним термином.
Замечание. Для основных числовых операций используют два термина: один обозначает саму операцию как действие, другой - число, получаемое после выполнения действия. Например, операция, обозначаемая +, называется сложением, а число, полученное в результате сложения, - суммой чисел. Аналогично - знак операции умножения, а результат а b - произведение чисел а и Ь. Тем нс менее часто эту разницу нс учитывают и говорят «Рассмотрим сумму чисел», имея в виду не конкретный результат, а саму операцию.
Операция пересечения. Пересечением множеств А и В АглВ , состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит обоим множествам А и В одновременно.
Другими словами, АсВ - это множество всех.г, таких, что хеА и хеВ:
Операция объединения. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А"иВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству А или В.
Операцию объединения иногда обозначают знаком + и называют сложением множеств.
Операции разности. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ , состоящее из всех объектов, каждый из которых лежит в А, но не лежит В.
Выражение АпВ читают «А в пересечении с В », AkjB- «А в объединении с В», АВ - «А без В».
Пример 7.1.1. Пусть А = {1, 3,4, 5, 8,9}, В = {2,4, 6, 8}.
Тогда AkjB= {1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9}, AcB={ 4,8}, АВ = {1,3, 5, 9}, ЯЛ = {2,6}.»
На основе указанных операций можно определить еще две важные операции.
Операция дополнения. Пусть AqS. Тогда разность SA называется дополнением множества А до S и обозначается A s .
Пусть любое рассматриваемое множество является подмножеством некоторого множества U. Дополнение до такого фиксированного (в контексте решения той или иной задачи) множества U обозначают просто А . Также используются обозначения СА, с А, А".
Пример 7.1.2. Дополнение множества {1, 3,4, 5, 8, 9} до множества всех десятичных цифр равно {0, 2, 6, 7}.
Дополнение множества Q до множества R есть множество 1.
Дополнение множества квадратов до множества прямоугольников есть множество всех прямоугольников, имеющих неравные смежные стороны.
Мы видим, что операции объединения, пересечения и дополнения множеств соответствуют логическим операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.
Операция симметрической разности. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А®В , состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит в точности одному из множеств А и В:
Нетрудно видеть, что симметрическая разность есть объединение двух множеств АВ и ВА. Это же самое множество можно получить, если вначале объединить множества А и В, а затем убрать из множества общие элементы.
Пример 7.1.3. Пусть даны действительные числа а Тогда для соответствующих числовых промежутков имеем:
Заметим, что так как отрезок [а; Ь] содержит число с> а интервал (с; d) точку с не содержит, го число с лежит в разности [а; Ь] без [с; cf. А вот разность, например, (2;5), число 3 не содержит, так как оно лежит в отрезке . Имеем (2;5)=(2;3).
Пусть даны непересекающиеся множества А и В. Поскольку п - знак операции пересечения, то запись А(ЬВ некорректна. Неправильно также говорить, что у множеств нет пересечения. Пересечение есть всегда, оно определено для любых множеств. То, что множества не пересекаются, означает, что их пересечение пусто (то есть, выполнив указанную операцию, мы получаем пустое множество). Если же множества пересекаются, значит, их пересечение не пусто. Делаем вывод:
Обобщим операции объединения пересечения на случай, когда множеств более двух.
Пусть дана система К множеств. Пересечением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит во всех множествах их К.
Объединением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит хотя бы в одном множестве их К.
Пусть множества системы К занумерованы элементами какого-то семейства индексов /. Тогда любое множество из К можно обозначить А,-, где iel. Если совокупность конечная, то в качестве / используют множество первых натуральных чисел {1,2,...,и}. В общем случае / может быть бесконечным.
Тогда в общем случае объединение множеств А для всех iel обозначают (J А { , а пересечение - f]A i .
Пусть совокупность К конечная, тогда К= В этом случае
пишут AyjA 2 v...KjA„ и АГ4 2 (^---Г4п-
Пример 7.1.4. Рассмотрим промежутки числовой прямой Л| = [-оо;2], Л 2 =Н°; 3], Л 3 =}
