Убывающая функция- если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f( х 1 )>f( х 2 )

Способы задания функции

¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у =f(x) , где f(x)- íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .

Cвойства функции y=kx :

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b , где k иb - действительные числа. Если в частности, k=0 , то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0 , то получаем прямую пропорциональность y=kx .

Свойства функции y=kx+b :

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая .

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k /х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k / x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k / x - нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком функции является гипербола .

5)Функция y=x 2

Свойства функции y=x 2:

2. y=x 2 - четная функция

3. На промежутке функция убывает

Графиком функции является парабола .

6)Функция y=x 3

Свойства функции y=x 3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3 - нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x -n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2 :

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y= Ö х

Свойства функции y= Ö х :

1. Область определения - луч ;

Четность, нечетность:

при b = 0 функция четная

при b ≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной

при D > 0 два нуля: ,

при D = 0 один нуль:

при D < 0 нулей нет

Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то

если, а > 0, D = 0, то

e сли а > 0, D < 0, то

если а < 0, D > 0, то

если а < 0, D = 0, то

если а < 0, D < 0, то

- Промежутки монотонности

при а > 0

при а < 0

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в ко­ординатной плоскости;

2) построить еще несколько точек, принадлежащих пара­боле;

3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

; .

Преобразование графиков функции

1. Растяжение графика у = х 2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| < 1 - это сжатие в 1/ |а| раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах 2 .

2. Параллельный перенос графика функ­ции у = ах 2 вдоль оси х на | m | (вправо при

m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т) 2 .

3. Параллельный перенос графика функ­ции вдоль оси у на | n | (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т) 2 + п.

Квадратичные неравенства

Неравенства вида ах 2 + b х + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0, где х - переменная, a , b и с - некоторые числа, причем, а≠ 0, называют неравенствами второй степе­ни с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной пе­ременной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадра­тичная функция принимает положительные или от­рицательные значения.

Для решения неравенств вида ах 2 + bх + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясня­ют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и че­рез отмеченные точки проводят схематически параболу, вет­ви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изобража­ют параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3) находят на оси х промежутки, для которых точки парабо­лы расположены выше оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с < 0).

Пример:

Решим неравенство .

Рассмотрим функцию

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, най­дем, что функция принимает отрицательные значе­ния при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х - любое число, не равное 4.

Решение неравенств методом интервалов

схема решения

1. Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

2. Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если k i четное, то нуль четной кратности, если k i нечетное - то нечетной).

3. Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, на­чиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенств. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к сосед­нему следует учитывать:

если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,

если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

4. Записать ответ.

Пример:

(х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.

Найден нули функции. Они равны: х 1 = -6; х 2 = -1; х 3 = 4.

Отметим на координатной прямой нули функции f ( x ) = (х + 6) (х + 1) (х - 4).

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Ответ: (-∞ ; -6) и (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств на­зывают методом интервалов.

Нули функции
Нулём функции называется то значение х , при котором функция обращается в 0, то есть f(x)=0.

Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Четность функции
Функция называется чётной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x)

Четная функция симметрична относительно оси Оу

Нечетность функции
Функция называется нечётной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Нечетная функция симметрична относительно начала координат.
Функция которая не является ни чётной,ни нечётной называется функцией общего вида.

Возрастание функции
Функция f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.

Убывание функции
Функция f(x) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.

Промежутки, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает, называются промежутками монотонности . Функция f(x) имеет 3 промежутка монотонности:

Находят промежутки монотонности с помощью сервиса Интервалы возрастания и убывания функции

Локальный максимум
Точка х 0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х 0 выполняется неравенство: f(x 0) > f(x)

Локальный минимум
Точка х 0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х 0 выполняется неравенство: f(x 0) < f(x).

Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.

точки локального экстремума.

Периодичность функции
Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т , если для любого х выполняется равенство f(x+T) = f(x) .

Промежутки знакопостоянства
Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна, называются промежутками знакопостоянства.

Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел функции при x → x 0 равен значению функции в этой точке, т.е. .

Точки разрыва
Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.

x 0 - точка разрыва.

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции D(y).

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график: y = x 3 – 3x

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения D(y) = (-∞; +∞).

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ: решим уравнение x 3 – 3x = 0

с осью ОY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция непериодична.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y’ = 3x 2 - 3.

Критические точки: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: y’’ = 6x

Критические точки: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

8) По результатам исследования построим график функции.

Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.

Страницы со справочным материалом по элементарным функциям

Классификация элементарных функций

Алгебраическая функция - это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,
где - многочлен от зависимой переменной y и независимой переменной x . Его можно записать в виде:
,
где - многочлены.

Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.

Целая рациональная функция , которая также называется многочленом или полиномом , получается из переменной x и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.

Дробно-рациональная функция , или просто рациональная функция , получается из переменной x и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,
где и - многочлены.

Иррациональная функция - это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n определяется как решение уравнения
.
Он обозначается так:
.

Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.

Обзор основных элементарных функций

Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t .
Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.

Степенная функция :
y(x) = x p ,
где p - показатель степени. Она зависит от основания степени x .
Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.
При целом неотрицательном значении показателя p она является многочленом. При целом значении p - рациональной функцией. При рациональном значении - иррациональной функцией.

Трансцендентные функции

Показательная функция :
y(x) = a x ,
где a - основание степени. Она зависит от показателя степени x .
Обратная функция - логарифм по основанию a :
x = log a y .

Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x ,
Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.
Основанием степени экспоненты является число e :
≈ 2,718281828459045... .
Обратная функция - натуральный логарифм - логарифм по основанию числа e :
x = ln y ≡ log e y .

Тригонометрические функции :
Синус : ;
Косинус : ;
Тангенс : ;
Котангенс : ;
Здесь i - мнимая единица, i 2 = -1 .

Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin y , ;
Арккосинус: x = arccos y , ;
Арктангенс: x = arctg y , ;
Арккотангенс: x = arcctg y , .

Самое интересное:

Сон нитки для вязания. Сонник белая нитка. Сонник психолога Г. Миллера К чему снится Нить во сне

Лучшие визуальные новеллы

Вооруженные силы основных государств