Теорема доказанная в 1994. Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса и Перельмана, формулы, правила расчета и полное доказательство теоремы
Теорема Ферма дразнила математиков более трех веков, хотя она проста на вид, а сам Ферма уверял, что знает, как ее доказать, одна беда - места не хватает записать. Доказать проклятую теорему удалось ученому из Принстона Эндрю Уайлсу около 10 лет назад. «Чердак» вспоминает историю, пожалуй, самого знаменитого доказательства в истории математики.
Уайлсу потребовались годы работы и знание самых современных разделов математики. Недавно он получил за это достижение премию, которую называют Нобелевкой для математиков. При этом формулировка теоремы Ферма крайне проста: она утверждает, что нет таких целых значений x , y и z , для которых бы выполнялось равенство x n +y n =z n при n больше 2. Эту теорему сформулировал французский математик Пьер де Ферма в XVII веке. Читая «Арифметику» Диофанта, он записал уравнение на полях, в той части книги, где речь шла о теореме Пифагора.
Заметки на полях
Теорема Пифагора известна каждому, кто в школе хотя бы иногда не прогуливал математику: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Теорема была доказана, как можно догадаться, Пифагором, а уже его ученики доказали, что существует бесконечное множество так называемых пифагорейских троек - целых чисел, для которых выполняется условие x 2 +y 2 =z 2 . Например, 3 2 +4 2 =5 2 или 99 2 +4900 2 =4901 2 .
Ферма задался вопросом: а что если вместо квадратов в формуле будут кубы: x 3 +y 3 =z 3 ? Можно ли для такого равенства найти красивые тройки целых чисел? А если в показателе степени будет стоять 4? А если 5? Ферма утверждал, что если показатель степени больше двух, то таких троек целых чисел не существует. Рядом с формулировкой теоремы Ферма оставил коварную запись: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его». В чем заключалось это доказательство, он так никому и не сообщил.
В обычной жизни Ферма был крупным провинциальным чиновником, а наукой занимался в свободное от работы время. В то время среди математиков было не очень-то принято делиться с коллегами своими результатами. Ферма же выделялся особенной замкнутостью даже среди коллег: он мало с кем обсуждал свои идеи, а когда ему удавалось найти интересное решение сложной математической задачи, он развлекался тем, что отправлял товарищам-математикам формулировки этих задач, но не их решения. Публиковать свои математические выкладки он тоже не стремился.
Французский чиновник и математик Пьер де Ферма
Знаменитая теорема не канула в Лету вместе с другими открытиями Ферма лишь благодаря тому, что старший сын эксцентричного ученого-любителя после смерти отца взялся опубликовать все его отрывочные заметки. В них обнаружилось множество интересных и важных для математики теорем - часто без доказательств или лишь с набросками таковых. С тех пор все они были доказаны, и только уравнение, известное теперь как теорема Ферма, упорно не поддавалось.
Загадка на века
Простота формулировки и замечание, оставленное Ферма по поводу доказательства теоремы, дразнили профессионалов и любителей математики на протяжении веков. Ведь Ферма располагал теми же знаниями, что и его современники, значит, для доказательства теоремы требовалось лишь сделать какой-то необычный ход.
В истории попыток доказать, что «нужных» троек целых чисел не существует, порой случались небольшие прорывы. Так, через сто лет после Ферма Леонарду Эйлеру удалось доказать, что теорема верна при n =3. Другие математики доказали теорему для еще нескольких частных случаев или же намечали возможные подступы к решению задачи. Во второй половине XX века стали доступны компьютеры и математикам удалось показать, что теорема Ферма верна при значениях n от 2 до 500, затем счет пошел на тысячи, затем на миллионы, однако все это по-прежнему не означало, что утверждение Ферма верно для любых значений n .
Дело жизни
Таково было положение дел, когда о теореме впервые узнал десятилетний Эндрю Уайлс. Он загорелся идеей доказать ее, и эта мысль не оставляла ученого на протяжении всей математической карьеры.
Во второй половине 1980-х годов Уайлс полностью сосредоточился на теореме Ферма. Он продолжал преподавать в Принстонском университете, но отказался от участия в конференциях и любой другой публичной деятельности. Уайлс никому не рассказывал о своей цели: во-первых, ему не хотелось тратить время на обсуждения, во-вторых, в случае успеха слава досталась бы ему одному. А в третьих, его могли просто не принять всерьез - уж больно много чудаков и сумасшедших покушалось до него на доказательство великой теоремы. Он понимал, что ему потребуются годы работы и боялся, что, если он будет рассказывать о своей работе, в последний момент решающий шаг сделает кто-то другой. Для того чтобы не вызывать подозрений, Уайлс воспользовался одним из своих исследований, посвященных эллиптическим кривым. Оно было завершено, но математик публиковал его по кусочкам, притворяясь, что продолжает свои исследования в этой области. В тайну своей настоящей работы Уайлс посвятил только жену, и многие коллеги ученого начали считать, что его «исчезновение» связано с тем, что бедняга исчерпал свой математический талант.
Эндрю Уайлс у памятника Пьеру де Ферма. Фото: Klaus Barner/Wikipedia
В 1988 году, когда Уайлс вовсю работал над своим доказательством, японский математик Иоичи Мияока заявил, что ему удалось «взломать» теорему Ферма. Математики всего мира принялись изучать выкладки Мияоки и, к несчастью для него, в рассуждениях обнаружились серьезные пробелы, так что Уайлс продолжил работу.
Однако к 1991 году математик перебрал все доступные ему инструменты, а теорема Ферма все еще не поддавалась. Уайлсу пришлось прервать отшельничество, чтобы пообщаться с коллегами и выяснить, нет ли у тех каких-нибудь новых идей, полезных для его работы. И такие идеи нашлись - работа Уайлса сдвинулась с мертвой точки, и он уже предвидел успех, однако математику нужно было проверить все созданные выкладки. Уайлсу требовался эксперт, владеющий всеми тонкостями использованных им методов, однако это означало, что этого человека придется посвятить в свой замысел. И Уайлс доверился своему коллеге в Принстоне Нику Катцу.
Эксперту предстояло разобраться в работе, которую Уайлс вел в течение нескольких лет. Подступиться к такому объему материала было непросто, и Уайлс с Катцом нашли изящный выход. Уайлс объявил курс лекций для аспирантов с весьма расплывчатым названием «Вычисления по поводу эллиптических кривых». На лекциях Уайлс детально излагал ту часть доказательства, в которой он не был уверен и которая нуждалась в проверке. Только Катц знал, к чему все эти выкладки, для всех остальных слушателей это был просто курс лекций, причем крайне сложный, очень детальный и не очень понятно, к чему применимый. Постепенно слушатели разбежались, и в конце концов в аудитории на лекциях присутствовали лишь сами Уайлс и Катц.
Теорема доказана...
Проверка позволила убедиться, что в доказательстве Уайлса нет пробелов. В 1993 году он был уверен, что в его работе все верно. Ученый представил результат своих трудов на крупном математическом симпозиуме в Кембридже в конце июня 1993 года.
Весть о том, что теорема Ферма доказана, наделала много шуму. Тем более что для завершения работы Уайлсу потребовалось сначала доказать так называемую гипотезу Таниямы-Шимуры. Для математиков она не менее, а может быть даже более важна, чем собственно теорема Ферма, так как позволяет установить связь между разделами математики, ранее казавшимися крайне далекими друг от друга. В прессе поднялась шумиха, и Уайлс стал знаменитостью.
...или все-таки нет?
Он отправил свое доказательство для публикации в научный журнал, и шестеро рецензентов принялись за тщательную проверку его выкладок, занимавших 200 страниц. Одна из частей доказательства попала на проверку Катцу. С большинством вопросов, возникающих у рецензентов, Уайлс легко справлялся, однако у Катца возник небольшой вопрос, на который автор доказательства не смог сразу ответить. И чем больше он углублялся в разъяснения, тем очевиднее становилось, что речь идет не о небольшой ошибке, а о серьезной проблеме, пропущенной Катцом и Уайлсом, даже несмотря на устроенный ими курс лекций именно по самой «проблемной» части доказательства.
Уайлс надеялся «починить» доказательство, найдя способ устранить ошибку, но ему это никак не удавалось, и среди математиков поползли слухи, что и на этот раз доказательство теоремы Ферма не выдержало критики. Конечно, Уайлсом и без того была проделана огромная работа, которая дала много важных результатов, но он хотел доказать теорему Ферма, и для него найденная ошибка была кошмаром.
Уайлс снова скрылся от публики и работал лишь с одним из рецензентов своей статьи (и по совместительству бывшим аспирантом) Ричардом Тейлором. Тейлор для этого специально приехал в Принстон. Все лето 1994 года они искали решение проблемы и не нашли. Уайлс уже готов был смириться с поражением, но Тейлор уговорил его продолжить поиски до октября, когда Тейлору нужно было уезжать.
Не надеясь найти решение, Уайлс, по крайней мере, решил понять, почему в его выкладки вкралась ошибка. Утром 19 сентября 1994 года математик сидел в своем кабинете, изучая использованные им методы доказательства, и внезапно его озарило. Он понял, что нужно сделать, чтобы его доказательство снова заработало. Наконец-то он смог отправить статью с доказательством теоремы Ферма, а также совместную с Тейлором статью с необходимыми дополнительными доказательствами в редакцию журнала Annals of Mathematics . Эти работы были опубликованы в 1995 году. Теорема Ферма была доказана,теперь - без всяких сомнений.
Грандиозная шутка
И все же в этой истории осталась одна загадка. Три с половиной века математики бились над теоремой Ферма, а ее доказательство потребовало использования самых современных методов и доказательства другой важной теоремы, сформулированной лишь в XX веке. Всего этого во времена Ферма просто не было. Действительно ли он располагал «поистине удивительным доказательством» своей теоремы? Есть подозрение, что нет, ибо в записках Ферма остались следы поисков решений при n =4 и n =5, что было бы излишне, будь у математика доказательство теоремы в общем виде. Но даже если самонадеянный математик-затворник ошибся, значение созданной им интриги трудно переоценить. Ощущение, что «истина где-то рядом» вдохновляло на поиски решения многих математиков, и кто знает, как сложилась бы судьба теоремы, не будь она столь популярна.
ОСЛО, 15 марта. /Корр. ТАСС Юрий Михайленко/. Британец Эндрю Уайлс был объявлен лауреатом Абелевской премии, которую присуждает Академия наук Норвегии. Почетная награда, которую нередко называют "Нобелевской премией для математиков", была присуждена ему за доказательство Великой (Последней) теоремы Ферма в 1994 году, "положившее начало новой эре в теории чисел".
"Новые идеи, введенные Уайлсом в научный обиход, открыли возможность для дальнейших прорывов", - сказал глава Абелевского комитета Йон Рогнес. - Немногие математические проблемы имеют столь богатую научную историю и столь эффектное доказательство, как Последняя теорема Ферма".
Научный путь сэра Эндрю
В комментарии Норвежскому телеграфному бюро Рогнес также уточнил, что доказательство знаменитой теоремы стало лишь одной из причин, по которым Уайлс был выбран среди кандидатов, номинированных на премию в этом году.
"Для решения теоремы, которую не могли доказать 350 лет, он использовал подходы двух современных областей математической науки, изучающих, в частности, полустабильные эллиптические кривые, - сказал журналистам Рогнес. - Такая математика используется, например, в эллиптической криптографии, с помощью которой защищаются данные о платежах, совершаемых с помощью пластиковых карт".
Ученый, которому в следующем месяце исполнится 63 года, получил образование в Оксфордском и Кембриджском университетах. Его отец был англиканским священником и более 20 лет занимал должность профессора теологии в Кембридже. Сам Уайлс на протяжении 30 лет работал в США, преподавая в Принстонском университете, и с 2005 по 2009 год возглавлял там кафедру математики. В настоящее время он работает в Оксфорде. На его счету полтора десятка математических премий, за научные заслуги он был также посвящен в рыцари королевой Великобритании Елизаветой II.
Обманчивая простота
Особенность теоремы, сформулированной французом Пьером Ферма (1601 - 1665), в обманчиво простой формулировке: уравнение "А в степени n плюс B в степени n равно С в степени n" не имеет натуральных решений, если число n больше двух. На первый взгляд она предполагает и довольно простое доказательство, однако на деле это оказывается совсем не так.
Сам Уайлс в многочисленных интервью признавался, что теорема заинтриговала его еще в 10 лет. Уже тогда ему было просто понять условия задачи, и не давал покоя тот факт, что за три века ни один математик не смог ее решить. Детское увлечение не прошло с годами. Уже сделав научную карьеру, Уайлс на протяжении многих лет в свободное время бился над решением, однако не афишировал этого, так как среди его коллег увлечение теоремой Ферма считалось дурным тоном. Свое доказательство он предложил, основываясь на гипотезе двух японских ученых, и опубликовал в 1993 году, но несколько месяцев спустя в его расчетах была обнаружена ошибка.
Больше года вместе со своими учениками Уайлс пытался ее исправить, под конец едва не опустив руки, однако в конечном итоге все же нашел доказательство, которое было признано верным. При этом якобы существующее простое и изящное доказательство, о котором упоминал сам Ферма, до сих пор не найдено.
Кем был Хенрик Абель
В 2014 и 2009 годах лауреатами Абелевской премии становились воспитанники русской математической школы - Яков Синай и Михаил Громов, соответственно. Награда носит имя знаменитого норвежца Нильса Хенрика Абеля. Он стал основоположником теории эллиптических функций и внес значительный вклад в теорию рядов.
В честь 200-летия со дня рождения ученого, прожившего всего 26 лет, норвежское правительство в 2002 году выделило 200 млн крон (около $23,4 млн по текущему курсу) на учреждение Абелевского фонда и одноименной премии. Она призвана не только отмечать заслуги выдающихся математиков, но и способствовать росту популярности этой научной дисциплины среди молодежи.
На сегодняшний день размер денежной составляющей премии равен 6 млн крон ($700 тысяч). Официальная церемония вручения награды должна пройти 24 мая. Почетную награду лауреату вручит наследник норвежского престола - принц Хокон Магнус.
Математик Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию за доказательство теоремы Ферма
Почетная награда, которую называют "Нобелевской премией для математиков", была присуждена ему за доказательство Великой (Последней) теоремы Ферма в 1994 году
Эндрю Уайлс
© AP Photo/Charles Rex Arbogast, архив
ОСЛО, 15 марта. /Корр. ТАСС Юрий Михайленко/.
Британец Эндрю Уайлс был объявлен лауреатом Абелевской премии, которую присуждает Академия наук Норвегии. Почетная награда, которую нередко называют "Нобелевской премией для математиков", была присуждена ему за доказательство Великой (Последней) теоремы Ферма в 1994 году, "положившее начало новой эре в теории чисел".
"Новые идеи, введенные Уайлсом в научный обиход, открыли возможность для дальнейших прорывов", - сказал глава Абелевского комитета Йон Рогнес. - Немногие математические проблемы имеют столь богатую научную историю и столь эффектное доказательство, как Последняя теорема Ферма".
Научный путь сэра Эндрю
В комментарии Норвежскому телеграфному бюро Рогнес также уточнил, что доказательство знаменитой теоремы стало лишь одной из причин, по которым Уайлс был выбран среди кандидатов, номинированных на премию в этом году.
"Для решения теоремы, которую не могли доказать 350 лет, он использовал подходы двух современных областей математической науки, изучающих, в частности, полустабильные эллиптические кривые, - сказал журналистам Рогнес. - Такая математика используется, например, в эллиптической криптографии, с помощью которой защищаются данные о платежах, совершаемых с помощью пластиковых карт".
Ученый, которому в следующем месяце исполнится 63 года, получил образование в Оксфордском и Кембриджском университетах. Его отец был англиканским священником и более 20 лет занимал должность профессора теологии в Кембридже. Сам Уайлс на протяжении 30 лет работал в США, преподавая в Принстонском университете, и с 2005 по 2009 год возглавлял там кафедру математики. В настоящее время он работает в Оксфорде. На его счету полтора десятка математических премий, за научные заслуги он был также посвящен в рыцари королевой Великобритании Елизаветой II.
Обманчивая простота
Особенность теоремы, сформулированной французом Пьером Ферма (1601 - 1665), в обманчиво простой формулировке: уравнение "А в степени n плюс B в степени n равно С в степени n" не имеет натуральных решений, если число n больше двух. На первый взгляд она предполагает и довольно простое доказательство, однако на деле это оказывается совсем не так.
Сам Уайлс в многочисленных интервью признавался, что теорема заинтриговала его еще в 10 лет. Уже тогда ему было просто понять условия задачи, и не давал покоя тот факт, что за три века ни один математик не смог ее решить. Детское увлечение не прошло с годами. Уже сделав научную карьеру, Уайлс на протяжении многих лет в свободное время бился над решением, однако не афишировал этого, так как среди его коллег увлечение теоремой Ферма считалось дурным тоном. Свое доказательство он предложил, основываясь на гипотезе двух японских ученых, и опубликовал в 1993 году, но несколько месяцев спустя в его расчетах была обнаружена ошибка.
Больше года вместе со своими учениками Уайлс пытался ее исправить, под конец едва не опустив руки, однако в конечном итоге все же нашел доказательство, которое было признано верным. При этом якобы существующее простое и изящное доказательство, о котором упоминал сам Ферма, до сих пор не найдено.
Кем был Хенрик Абель
В 2014 и 2009 годах лауреатами Абелевской премии становились воспитанники русской математической школы - Яков Синай и Михаил Громов, соответственно. Награда носит имя знаменитого норвежца Нильса Хенрика Абеля. Он стал основоположником теории эллиптических функций и внес значительный вклад в теорию рядов.
В честь 200-летия со дня рождения ученого, прожившего всего 26 лет, норвежское правительство в 2002 году выделило 200 млн крон (около $23,4 млн по текущему курсу) на учреждение Абелевского фонда и одноименной премии. Она призвана не только отмечать заслуги выдающихся математиков, но и способствовать росту популярности этой научной дисциплины среди молодежи.
На сегодняшний день размер денежной составляющей премии равен 6 млн крон ($700 тысяч). Официальная церемония вручения награды должна пройти 24 мая. Почетную награду лауреату вручит наследник норвежского престола - принц Хокон Магнус.
