Как найти высоту трапеции если известно основание. Формула площади криволинейной трапеции

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:

Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции

Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Отдельный случай – это криволинейная трапеция . Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками:
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:

Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:

Здесь F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a , F(b) – значение этой же функции f(x) в точке b .

Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x ={-8}, слева прямой x ={-10} и осью OX снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:

Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:


Теперь
Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

Трапецией именуется рельефный четырёхугольник, у которого параллельны две противоположные стороны и непараллельны две другие. Если все противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, то это параллелограмм.

Вам понадобится

• – все стороны трапеции (AB, BC, CD, DA).

Инструкция

1. Непараллельные стороны трапеции именуются боковыми сторонами, а параллельные – основаниями. Линия между основаниями, перпендикулярная к ним – высота трапеции . Если боковые стороны трапеции равны, то она именуется равнобедренной. Вначале разглядим решение для трапеции , которая не является равнобедренной.

2. Проведите отрезок BE из точки B к нижнему основанию AD параллельно боковой стороне трапеции CD. От того что BE и CD параллельны и проведены между параллельными основаниями трапеции BC и DA, то BCDE – параллелограмм, и его противоположные стороны BE и CD равны. BE=CD.

3. Разглядите треугольник ABE. Вычислите сторону AE. AE=AD-ED. Основания трапеции BC и AD вестимы, а в параллелограмме BCDE противолежащие стороны ED и BC равны. ED=BC, значит, AE=AD-BC.

4. Сейчас узнайте площадь треугольника ABE по формуле Герона, вычислив полупериметр. S=корень(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). В этой формуле p – полупериметр треугольника ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Для вычисления площади вам знамениты все нужные данные: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Выразите из этой формулы высоту треугольника, которая является и высотой трапеции . BH=2*S/AE. Вычислите её.

7. Если трапеция равнобедренная, решение дозволено исполнить по-иному. Разглядите треугольник ABH. Он прямоугольный, потому что один из углов, BHA, прямой.

8. Проведите из вершины C высоту CF.

9. Изучите фигуру HBCF. HBCF прямоугольник, от того что две его стороны – высоты, а другие две являются основаниями трапеции , то есть углы прямые, а противолежащие стороны параллельны. Это значит, что BC=HF.

10. Посмотрите на прямоугольные треугольники ABH и FCD. Углы при высотах BHA и CFD прямые, а углы при боковых стороны х BAH и CDF равны, потому что трапеция ABCD равнобедренная, значит, треугольники подобны. Потому что высоты BH и CF равны либо боковые стороны равнобедренной трапеции AB и CD равны, то и сходственные треугольники равны. Значит, их стороны AH и FD тоже равны.

11. Обнаружьте AH. AH+FD=AD-HF. Потому что из параллелограмма HF=BC, а из треугольников AH=FD, то AH=(AD-BC)*1/2.

Трапеция – геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник, у которого две стороны, которые именуются основаниями, параллельны, а две другие – не параллельны. Их называют боковыми сторонами трапеции . Проведенный через середины боковых сторон отрезок именуется средней линией трапеции . Трапеция может иметь различные длины боковых сторон либо идентичные, в этом случае она именуется равнобокой. Если одна из сторон – перпендикулярна к основанию, то трапеция будет прямоугольной. Но куда практичнее знать, как обнаружить площадь трапеции .

Вам понадобится

• Линейка с миллиметровыми делениями

Инструкция

1. Измерьте все стороны трапеции : AB, BC, CD и DA. Запишите итоги своих измерений.

2. На отрезке AB подметьте середину – точку K. На отрезке DA подметьте точку L, которая тоже находится на середине отрезка AD. Объедините точки K и L, полученный отрезок KL будет являться средней линией трапеции ABCD. Измерьте отрезок KL.

3. Из вершины трапеции – тоски С опустите перпендикуляр на ее основание AD о отрезок СЕ. Он будет являться высотой трапеции ABCD. Измерьте отрезок СЕ.

4. Назовем отрезок KL буквой m, а отрезок СЕ – буквой h, тогда площадь S трапеции ABCD вычислите по формуле: S=m*h, где m – средняя линия трапеции ABCD , h – высота трапеции ABCD.

5. Есть еще одна формула, дозволяющая рассчитать площадь трапеции ABCD. Нижнее основание трапеции – AD назовем буквой b, а верхнее основание BC – буквой а. Площадь определим по формуле S=1/2*(a+b)*h, где a и b – основания трапеции , h – высота трапеции .

Видео по теме

Совет 3: Как обнаружить высоту трапеции, если вестима площадь

Под трапецией подразумевается четырехугольник, у которого две из четырех его сторон параллельны между собой. Параллельные стороны являются основаниями данной трапеции , две другие же являются боковыми сторонами данной трапеции . Обнаружить высоту трапеции , если вестима ее площадь, будет дюже легко.

Инструкция

1. Нужно разобраться, как дозволено вычислить площадь начальной трапеции . Для этого существуют несколько формул, в зависимости от начальных данных:S = ((a+b)*h)/2, где a и b – длины оснований трапеции , а h – ее высота (Высота трапеции – перпендикуляр, опущенный от одного основания трапеции к иному);S = m*h, где m – средняя линяя трапеции (Средняя линяя – отрезок, параллельный основаниями трапеции и соединяющий середины ее боковых сторон).

2. Сейчас, зная формулы для исчисления площади трапеции , дозволено из них вывести новые, для нахождения высоты трапеции :h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Для того, дабы было внятнее, как решать сходственные задачи, дозволено разглядеть примеры:Пример 1: Дана трапеция, у которой площадь равна 68 см?, средняя линяя которой равна 8 см, требуется обнаружить высоту данной трапеции . Для того, дабы решить данную задачу, требуется воспользоваться ранее выведенной формулой:h = 68/8 = 8.5 смОтвет: высота данной трапеции составляет 8.5 смПример 2: Пускай у трапеции площадь равняется 120 см?, длины оснований данной трапеции равны 8 см и 12 см соответственно, требуется обнаружить высоту этой трапеции . Для этого нужно применить одну из выведенных формул:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 смОтвет: высота заданной трапеции равна 12 см

Видео по теме

Обратите внимание!
Любая трапеция владеет рядом свойств:- средняя линяя трапеции равна полусумме ее оснований;- отрезок, тот, что соединяет между собой диагонали трапеции, равен половине разности его оснований;- если через середины оснований провести прямую, то она пересечет точку пересечения диагоналей трапеции;- в трапецию дозволено вписать окружность в том случае, если сумма оснований данной трапеции равна сумме ее боковых сторон.Пользуйтесь этими свойствами при решении задач.

Совет 4: Как обнаружить высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Данный отрезок непременно должен быть перпендикулярен стороне, следственно из всякой вершины дозволено провести лишь одну высоту . От того что вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины всякой из высот дозволено произвести, скажем, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Инструкция

1. Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины всякий из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты надобно знать площадь фигуры и длину стороны.

2. Начните с вычисления длин сторон треугольника . Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) и C(X?,Y?,Z?). Тогда длину стороны AB вы сумеете рассчитать по формуле AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Для 2-х других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) и AC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Скажем, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит?((3-16)? + (5-14)? + (7-19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же методом, будут равны?(15? + 12? + 6?) = ?405 ? 20,12 и?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.

3. Умения длин 3 сторон, полученных на предыдущем шагу, довольно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Скажем, позже подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника -примера из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Исходя из площади треугольника , рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для всякой из сторон. Потому что площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты разделяете удвоенную площадь на длину надобной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ? 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ? 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ? 19,66.

Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз))

Теперь подробно и по порядку.

Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.

В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:

Следующее важное понятие.

Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?

Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l , и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:

*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.

Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).

Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника) равный средней линии трапеции.

Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:

Посмотреть ещё одно объяснение

Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:

Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник:

*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.

Известно, что треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:

Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.

Площадь трапеции формула:

Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:

То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h .

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h . Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2 .

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα . Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a) . В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке . И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Геометрия – одна из наук, с применением которой на практике человек сталкивается практически ежедневно. Среди многообразия геометрических фигур отдельного внимания заслуживает и трапеция. Она представляет собой выпуклую фигуру с четырьмя сторонами, из которых две параллельны между собой. Последние называются основаниями, а оставшиеся две – боковыми сторонами. Отрезок, перпендикулярный основаниям и определяющий величину промежутка между ними, и будет высотой трапеции. Каким же образом можно вычислить его длину?

Найти высоту произвольной трапеции

Базируясь на исходных данных, определение высоты фигуры возможно несколькими способами.

Известна площадь

Если длина параллельных сторон известна, а также указана площадь фигуры, то для определения искомого перпендикуляра можно воспользоваться следующим соотношением:

S=h*(a+b)/2,
h – искомая величина (высота),
S – площадь фигуры,
a и b – стороны, параллельные друг другу.
Из приведенной формулы следует, что h=2S/(a+b).

Известна величина средней линии

Если среди исходных данных помимо площади трапеции (S) известна, и длина ее линии средины (l), то для вычислений пригодится другая формула. Прежде стоит уточнить, что такое средняя линия для данного вида четырехугольника. Термин определяет часть прямой, соединяющей средины боковых сторон фигуры.

Исходя из свойства трапеции l=(a+b)/2,
l – линия средины,
a, b – стороны-основания четырехугольника.
Поэтому h=2S/(a+b)=S/l.

Известны 4 стороны фигуры

В данном случае поможет теорема Пифагора. Опустив перпендикуляры на большую сторону-основание, воспользуйтесь ею для двух получившихся прямоугольных треугольников. Итоговое выражение будет иметь вид:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,

c и d – 2 другие стороны.

Углы в основании

При наличии данных об углах при основании, воспользуйтесь тригонометрическими функциями.

h = c* sinα = d*sinβ,

α и β – углы в основании четырехугольника,
c и d – его боковые стороны.

Диагонали фигуры и углы, которые пересекаясь они образуют

Длина диагонали – длина отрезка, соединяющего противоположные вершины фигуры. Обозначим данные величины символами d1 и d2, а углы между ними γ и φ. Тогда:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a и b – стороны-основания фигуры,
d1 и d2 – диагонали трапеции,
γ и φ – углы между диагоналями.

Высота фигуры и радиус окружности, которая в нее вписана

Как следует из определения такого рода окружности, она касается каждого основания в 1 точке, которые являются частью одной прямой. Поэтому расстояние между ними – диаметр – искомая высота фигуры. А так как диаметр – удвоенный радиус, то:

h = 2 * r,
r – радиус окружности, которую вписали в данную трапецию.

Найти высоту равнобедренной трапеции

• Как и следует из формулировки, отличительной характеристикой равнобедренной трапеции является равенство ее боковых сторон. Поэтому для нахождения высоты фигуры воспользуйтесь формулой для определения данной величины в случае, когда известны стороны трапеции.

Итак, если с = d, то h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – стороны-основания четырехугольника,
c = d – его боковые стороны.

• При наличии величины углов, образованных двумя сторонами (основанием и боковой), высоту трапеции определяет следующее соотношение:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – угол в основании фигуры,
a, b (a < b) – основания фигуры,
c = d – его боковые стороны.

• Если даны величины диагоналей фигуры, то выражение для нахождения высоты фигуры видоизменится, т.к. d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.