Что совершил Франсуа Виет? Франсуа виет и элементарная алгебра.

Виет Франсуа (1540-13.12. 1603)
родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель.
Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе.
Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением.
Он был широко образованным человеком.
Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка.
Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений.
Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики.

Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x.
Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам.
Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию).

Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали.
Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны.
Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась.
Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету.
Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

В конце 16 столетия голландский математик Андриан ван-Роумен, известный, пожалуй, тем, что вычислил число Пи с восемнадцатью верными знаками, решил бросить вызов всем математикам мира.
Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени:
x45 - 45x43 + 945x41 - 12300x39 +... + 95634x5 - 3795x3 + 45x = a,
французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно.
Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV. - И все же у меня есть математик! - воскликнул король. - Позовите Виета! В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Виет увидел, что а есть сторона правильного 15-угольника, вписанного в круг радиуса 1, а по коэффициентам второго и последнего членов заключил, что х есть хорда 1/45 этой дуги, как оно и было на самом деле.

Король ликовал, все поздравляли придворного советника.
На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения, описываемые выражением:
при n = 1, 2, ..., 22.
Этим он и ограничился, так как остальные 22 корня - отрицательные, а Виет не признавал ни отрицательных, ни мнимых корней.

После такого успеха Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его.

В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции.
В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет". Подозревают, что Виет был убит.

Несмотря на огромное желание и упорные занятия, книгу, которую назвал “Искусство анализа, или Новая алгебра”.
Виет всё же не завершил. Но главное было написано.
И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

Трудно перечислить всех учёных, открытия которых изучаются в современной «школьной» математике. Но есть два математика, которые сделали для неё больше других: это Евклид и Виет.

Французский математик вошёл в историю науки создателем системы алгебраической символики, на основе которой он усовершенствовал теорию алгебраических уравнений. Учёного даже называют «отцом современной алгебры» .

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные величины, но и данные, т.е. коэффициенты уравнений. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы.

Этим он внёс решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления фундаментальных результатов титанов науки Нового времени – Декарта, Ферма, Ньютона и Лейбница.

«Гении рождаются в провинции, а умирают в столице»

сеньор де ля Биготье
(1540 - 1603)

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла-Рошели, бывшей в то время оплотом французских протестантов-гугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с виднейшими руководителями этого движения, хотя сам оставался католиком. По-видимому, религиозные разногласия учёного не волновали.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешёл на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарём хозяина дома и учителем его дочери, двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с её семьёй, и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы.

С некоторыми учёными Виет познакомился лично. Так, он общался с видным профессором Парижского университета Пьером Рамусом , а с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вёл дружескую переписку.

В 1571 году Виет перешёл на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В ночь на 24 августа 1572 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины де Партене и математик Пьер Рамус. Во Франции началась гражданская война.

Через несколько лет Екатерина де Партене снова вышла замуж. На сей раз её избранником стал один из видных руководителей гугенотов – принц де Роган. По его ходатайству в 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Виет оставался учёным. Он прославился тем, что во время франко-испанской войны сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что кому-то удалось расшифровать их код, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой. Они даже жаловались римскому папе и просили его уничтожить эту «дьявольскую силу», а также казнить того, кто раскрыл их тайны.

К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечён, учёный мог работать по трое суток без сна.

В 1584 году из-за придворных интриг (по настоянию герцога Гиза, претендента на трон короля Франции) Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его научного творчества.

Обретя неожиданный покой и отдых, учёный поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная ещё наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних» .

В 1589 году, после убийства Генриха Гиза по приказу короля, Виет возвратился в Париж. Но в том же году король Генрих III был убит монахом – приверженцем Гизов. Формально французская корона перешла к Генриху Наваррскому – главе гугенотов. Но лишь после того, как в 1593 году этот правитель принял католичество, в Париже его признали королем Генрихом IV. Так был положен конец кровавой и истребительной религиозной войне, долгое время оказывавшей влияние на жизнь каждого француза, даже вовсе не интересовавшегося ни политикой, ни религией.

Подробности жизни Виета в тот период неизвестны, что само по себе говорит о его желании оставаться в стороне от кровавых дворцовых событий. Известно только, что он перешёл на службу к Генриху IV, находился при дворе, был ответственным правительственным чиновником и пользовался огромным уважением как математик.

Умение решать алгебраические задачи при помощи геометрии и тригонометрии принесло Виету славу победителя турнира лучших математиков того времени. Голландский математик Адриан ван Роомен предложил математикам всего мира решить уравнение 45-й степени с числовыми коэффициентами. Французским математикам он не послал свой вызов, как бы намекая на то, что во Франции нет математиков, способных справиться с этой задачей.

По преданию, посол Нидерландов сказал об этом на приёме у короля Франции Генриха IV. Это был интеллектуальный вызов всем французам, и король, на службе у которого в то время состоял Виет, воскликнул: «И всё же у меня есть математик, и весьма выдающийся. Позовите Виета!» .

Наступил момент истины для Виета – учёный тут же, в присутствии короля и посла, нашёл один корень, а на следующий день нашёл ещё 22 положительных корня предложенного уравнения. Это был настоящий успех мирового уровня, принесший славу Франции и Виету.

В последние годы жизни Виет ушёл с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье.

Незадолго до смерти Виет заболел и отошёл от работы. Существует версия, согласно которой агенты инквизиции всё-таки отомстили за расшифрованные коды и тайно убили учёного...

В придворных новостях маркиз Летуаль писал «…13 декабря 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых учёных математиков века умер в Париже, имея, по общему мнению, 20 тысяч экю в изголовье. Ему было более 60 лет» .

Юрист увлекается математикой и становится «отцом алгебры»

Хотя по образованию Виет был юристом, но всё же по призванию он, несомненно, был учёным. Его увлекали естественные науки, прежде всего астрономия, и он начал совершенствовать систему мира, созданную Птолемеем. Для этого нужно было хорошо знать математику. Поэтому вся работа над математикой должна была стать подготовкой к созданию большого астрономического трактата, который в силу разных причин так и не был написан. Мир математики оказался безграничным и таил в себе не меньше загадок, чем космос. Их хватило на всю жизнь.

Виет всё свободное время отдавал математике, которой увлекался настолько, что иногда, решая какую-то проблему, не спал несколько суток подряд.

В своих математических трудах Виет, кроме усовершенствования алгебраической символики, развил теорию решения уравнений, расширил круг применения алгебры в геометрии, а также тригонометрии в алгебре и значительно содействовал развитию тригонометрии.

Ещё с конца 15 столетия происходил переход от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической , вначале при помощи сокращения слов, а затем и введения специальных символов. Виет, изучая труды итальянских математиков Тартальи и Кардано, ощутил практическое неудобство их формул и несовершенство существующей символики. Недостатком предшественников было также большое количество отдельных случаев. Например, Кардано при решении кубического уравнения рассматривал 66 отдельных случаев, что вызывало огромные трудности для постигающих науку решения уравнений.

Виет обратил внимание на то, что Эвклид в своих трудах иногда обозначал длину отрезка буквой. Это натолкнуло учёного на смелую мысль: подразумевать под буквой также и число как количественную характеристику длины отрезка. Отсюда он сделал вывод, что можно выполнять разные действия не только над числами, но и над величинами, обозначенными буквами.

Для этого он разработал символику, в которой, кроме символов переменных, впервые вводились символы для произвольных величин, т.е. параметров. Виет ввёл термин «коэффициент» . Его символика была ещё не вполне совершенной, весьма громоздкой. В ней много сокращённых и даже несокращённых слов, сохранилось влияние геометрических представлений.

Однако это был громадный шаг вперёд. Ведь впервые стало возможным записывать уравнения и их свойства с помощью формул. Изложение Виета – это уже не собрание рецептурных правил, а общая теория, связанная, например, с решением уравнений первых четырёх степеней.

Виет показал, что, оперируя символами, можно получить результат, который применяется к любым величинам, т.е. доказал, что возможно решение задачи в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры – стало возможным буквенное исчисление, и потому учёного вполне справедливо называют творцом современной алгебры .

Чтобы отчетливее представить себе, в чём суть буквенного исчисления Виета, и почему оно так важно для всей современной алгебры, посмотрим, что представляла собой алгебра до него. Почти все действия и знаки записывались словами, не было и намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми сейчас умеет пользоваться каждый ученик.

Из-за отсутствия удобной символики нельзя было записывать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самых чисел не зависят.

Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Не имеет значения также, известно ли нам число или неизвестно. А если нам не важны цифровая запись или геометрическое истолкование каждого рассматриваемого числа, то все числа как бы однородны, и их можно обозначать какими-нибудь отвлечёнными знаками, например буквами латинского алфавита.

Виет не только ввёл своё буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель: изучать не числа, а действия над ними .

Это была удачная мысль, и она стала сразу приносить обильные плоды. Например, вскоре был доказан общий алгебраический закон умножения: умножение отрезков есть та же операция, что и умножение чисел. Появилась возможность записывать алгебраические выражения в виде формул.

Однако у самого Виета алгебраические обозначения, или, как сейчас говорят, алгебраические символы, были мало похожи на наши. Сравните современную запись кубического уравнения: A 3 + 3B 2 A = 2D 3 и запись этого же уравнения в обозначениях Виета:

A cubus + B planum 3 in A aequatur D solidum 2 .

Как видите, здесь еще очень много слов, но ясно, что эти слова уже играют роль наших символов – так, латинское слово cubus после неизвестного А (неизвестное обозначалось гласной буквой) означает наше «в кубе». Слово aequatur (в переводе на русский – «равный») написано вместо нашего знака «=», умножение обозначено предлогом in (этот предлог – всё, что осталось после сокращения от выражения «взять во столько-то раз больше»). Остальные слова – это следы прошлого, следы того, что и у Виета алгебра ещё не полностью освободилась от посторонних для неё влияний геометрии.

Употребляя для обозначения величин прописные, а не строчные буквы, Виет следовал традиции древних греков. Своей символикой учёный пользовался регулярно; очень часто решение задачи в буквенном виде он сопровождал числовыми примерами. Его символику применяли и некоторые другие математики вплоть до середины 17 ст., среди них знаменитый Пьер Ферма.

Для нас очевидны недостатки обозначений Виета. Неудобным было словесное обозначение степеней; к тому же по-разному обозначались степени неизвестных и степени коэффициентов. Для степеней неизвестных использовались слова: quadratum (квадрат), cubus (куб), а для тех же степеней коэффициентов использовались другие слова: planum (плоскость), solidum (тело).

Трудность, связанная с обозначением степеней, непригодным для распространения на произвольные показатели, выявилась несколько позднее. Но уже и такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений.

Виет изложил программу своих исследований в изданном в 1591 году знаменитом трактате «Введение в аналитическое искусство» . В нём он перечислил труды, объединённые общим замыслом, которые должны быть изложены на математическом языке новой буквенной алгебры.

Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое - новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден.

Однако главный замысел учёного замечательно удался – началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене «Все математики знали, что под алгеброй скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства» .

Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой . Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т.д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры – длина, площадь или объём. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для произвольных коэффициентов – согласные.

Демонстрируя силу своего метода, учёный привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «–», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Умножение обозначал словом «in». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введённые до него, он не использовал. Так квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Формулы, пронизывающие века

В теории уравнений, решая уравнения высших степеней, Виет применил метод сведения данного уравнения к неполному уравнению при помощи некоторых подстановок. Он искал только положительные корни и использовал знак черты, поставленной над числовыми или буквенными выражениями, которая имела значение современных скобок.

Развивая результаты Кардано, учёный открыл теорему о зависимости между корнями и коэффициентами уравнения. Виет нашёл соотношение для уравнения произвольной степени, хотя и с условием – для положительных корней. Этой теоремой учёный особенно гордился. Отдельным случаем открытой зависимости является теорема для квадратного уравнения.

Эта знаменитая теорема (формулы Виета) , устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал её так:

«Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В или А равно D»

(гласная А в современных обозначениях отвечает неизвестной x , а согласные В и D – коэффициентам p и q квадратного уравнения x 2 + px + q = 0).

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Если в школьной геометрии первое место прочно удерживает теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущая роль принадлежит формулам Виета: x 1 + x 2 = - p; x 1 x 2 = q .

Эти формулы достойны восхищения, тем более что Виет обобщил их на многочлены любой степени.

Виет не вводил отрицательных и комплексных чисел, но построил своеобразное исчисление треугольников, выдержанное в стиле античной строгости и одновременно равносильное исчислению комплексных чисел. Введённые учёным операции построения по двум данным треугольникам третьего треугольника, как было установлено позже, отвечают операциям умножения и деления комплексных чисел.

Больших успехов достиг учёный и в области геометрии. Применительно к ней он сумел разработать весьма интересные методы. В трактате «Дополнения к геометрии» он стремился создать по примеру древних некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Любое уравнение третьей и четвёртой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков в течение столетий интересовал вопрос решения треугольников, т.е. вопрос: как по одним элементам треугольника найти все его другие элементы (стороны и углы). Такого рода задачи диктовались нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. У Виета применявшиеся ранее методы решения треугольников приобрели более законченный вид.

Так он первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов , хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Виет дал полное решение треугольников по трём данным элементам. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виста исчерпывающий разбор. Было ясно показано, что в этом случае решение не всегда возможно. Если же решение существует, то может быть одно или два.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причём интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. И тригонометрия щедро отблагодарила автору за оказанную ей помощь. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры .

Виету, в частности, принадлежит вывод формул для синусов и косинусов кратных углов, т.е. формул для sin(mx) и cos(mx), дающих разложения по степеням sinx и cosx.

При составлении обширных таблиц тригонометрических функций Виет с большим искусством применил десятичные дроби. Глубокий интерес к тригонометрии у него был вызван желанием сделать астрономию более точной. Эти знания из тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре, так и в геометрии.

Используя представление о круге как о пределе вписанных в него многоугольников при увеличении числа их сторон, Виет вычислил число π до 18-го знака после запятой (из них 11 знаков оказались верными).

В 1579 г. учёный издал «Математический канон» , который содержал таблицы синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов.

Виет решил знаменитую задачу, сформулированную геометром Древней Греции Аполлонием Пергcким . По условию этой задачи надо было построить на плоскости окружность, касающуюся к трем данным окружностям, лежащим в этой же плоскости.

Виет опубликовал красивое решение этой задачи, используя лишь циркуль и линейку. Считают, что эту задачу первым решил сам Аполлоний, но, к сожалению, его труд не дошёл до нашего времени. Гордясь найденным решением, Виет называл себя «Аполлонием из Галлии» .

Значительным достижением учёного было представление числа π в виде бесконечного произведения. Это был первый случай использования бесконечных произведений, которыми спустя почти два столетия блестяще пользовался Леонард Эйлер.

Как талантливый вычислитель, Виет разработал метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами, который применялся до конца 17 ст., пока Ньютон не нашёл более совершенный метод.

Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжёлым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Более или менее полное собрание трудов Франсуа Виета было издано в 1646 году в Лейдене нидерландским профессором математики Франсом ван Схоутеном под названием «Математические сочинения Виета» .

Чтение работ Виета, по мнению многих историков науки, затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, а также большое количество изобретённых им и совершенно не прижившихся греческих терминов. Потому влияние Виета, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось по Европе и всему миру сравнительно медленно.

Бурно развивающаяся математика наших дней, конечно, использует идеи и методы, во много раз превосходящие по глубине и общности идеи и методы, которые разработал Виет. Но и сейчас для нас интересна и весьма ценна острая и глубокая алгебраическая мысль Виета, который широко распахнул перед математикой двери в новый мир современной алгебры. Будем помнить, что в её основе лежит буквенное исчисление выдающегося математика Франсуа Виета.

Литература:
История математики с древнейших времён до начала ХІХ столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. Т.1–3. – М., 1970–1972.
Конфорович А.Г. Колумби математики. – К., 1982.
Шмигевський М.В. Видатні математики. – Х., 2004.

М.В. Шмигевский , кандидат физико-математических наук

(1540-1603) французский математик

Франсуа Виет (Вьет) родился в 1540 году в городе Фонтен-ле-Конт, в провинции Пуату и получил юридическое образование. Как адвокат он был хорошо известен в городе, слыл образованным человеком, но мало кто знал, что все свободное время молодой адвокат посвящает любимой математике. Сначала Франсуа увлекся астрономией, потом целиком посвятил себя алгебре и геометрии.

В 1571 году он переезжает в Париж, где становится известным при дворе короля Генриха III. Виет служит советником короля Генриха III, а затем и Генриха IV. В эти годы Франсуа занимается математическими исследованиями, напряженно работает, много пишет, но... его работы не получают широкой известности из-за трудного языка и тяжелого стиля изложения математических задач. Только после смерти Франсуа Виета лейденский профессор математики Франц Шостен издал его труды под заголовком «Opera Vietal».

А между тем Виет произвел настоящую революцию в алгебре. Именно благодаря ему она стала наукой об алгебраических уравнениях с символьными обозначениями. Окончательно и безвозвратно ушло в прошлое тяжелое словесное описание уравнений. Теперь благодаря Виету появилась возможность производить различные действия над алгебраическими выражениями. По сути дела, изменилась вся философия математики. Виет говорил, что надо изучать не сами числа, а действия над ними. Он перешагнул через века, из века XVI в век XX.

Человек необыкновенно целеустремленный, обладавший острым умом, Франсуа Виет достигал блестящих результатов во всех математических задачах, которыми он занимался. «Позовите Виета», - воскликнул король Генрих IV, когда стало совершенно ясно, что никто и нигде, ни в одной стране не может справиться с уравнением 45-ой степени, предложенным голландским математиком Андрианом ван Рооменом. В те далекие времена считалось престижным делом заниматься решением задач, предложенных знаменитыми математиками. Решение, которое предложил Франсуа Виет, было воистину блестящим, когда прямо здесь, на глазах у короля и его свиты, всего двора и многочисленных гостей, он нашел корень уравнения 45-ой степени. Король был просто восхищен, гости аплодировали придворному советнику, убеленному сединами красавцу, 53-летнему Франсуа Виету. В работе, посвященной этому уравнению, он воспользовался формулой синусов кратных дуг, которую открыл в тригонометрии. Ученый показал, что решение этого уравнения сводится к делению угла на сорок пять равных частей и что существует 23 положительных корня уравнения. Голландский математик Андриан ван Роомен после этого стал просто боготворить Франсуа Виета.

А громкую славу Виет приобрел значительно раньше, во времена франко-испанской войны. Испанские инквизиторы знали почти все о тайных замыслах французов, их тайных операциях. Испанцы предупреждали каждый шаг французов и выигрывали одно сражение за другим, так как владели важной государственной информацией. Дело в том, что испанцы изобрели специальный шифр и беспрепятственно получали донесения от своих людей во Франции, а даже перехваченные сообщения не могли помочь французам. Существовала тайна этого шифра, и он не поддавался разгадке. Тогда король обратился к Франсуа Виету. Многие дни и ночи провел он в поисках разгадки логического шифра и наконец подобрал ключ к необыкновенной испанской тайнописи. И тут же Франция стала наносить Испании одно поражение за другим. Испанцы же никак не могли понять, в чем дело, пока наконец не узнали, что их шифр разгадан и что сделал это математик Франсуа Виет. Испанские инквизиторы немедленно обвинили французов в сговоре с дьяволом, так как, по их мнению, только дьявол мог разгадать такой хитроумный шифр.

Франсуа Виета еще называют Аполлонием Галльским (Галльский - значит французский) за то, что он решил знаменитую задачу Аполлония о построении круга к трем данным кругам с помощью циркуля и линейки. Ему принадлежит установление единого способа решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней, но больше всего сам ученый ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Франсуа Виет оставался при дворе короля Франции до самой смерти в 1603 году. Смерть его была загадочной, может быть, он был убит.

Франсуа Виет - крупнейший французский математик XVI века. Его иногда называют отцом современной буквенной алгебры, так как он много поработал над введением в алгебру буквенных обозначений. Ему же принадлежит честь изучения алгебраических уравнений в общем виде и установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Виет - по профессии адвокат и крупный государственный деятель. Он был близок ко двору королей. Сначала он был советником парламента в Бретани, затем перешел на службу к королю Генриху III в качестве «докладчика по ходатайствам». После смерти Генриха III поступил на службу к Генриху IV.

При королевском дворе Франсуа Виет проявил себя как талантливый специалист по расшифровке сложных шифров (тайнописи), которыми пользовалась инквизиторская Испания в войне против Франции. Благодаря своему сложному шифру воинствующая Испания могла свободно сноситься с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка все время оставалась неразгаданной.

После бесплодных попыток найти к этому шифру ключ Генрих IV обратился, наконец, к Виету с просьбой разгадать тайну шифра. Виет тотчас откликнулся на поручение короля. Он работал дни и ночи в течение двух недель, пока поставленная задача не была решена. Виет разгадал тайну испанского шифра и спас свое отечество от испанских происков. После этого Генрих IV сделал Виета своим личным советником.

Как и следовало ожидать, после расшифровки французами перехваченных испанских секретных донесений испанцы стали терпеть одно поражение за другим. Испанцы долго недоумевали по поводу неблагоприятного для них перелома в военных действиях. Наконец, из тайных источников им стало известно, что их шифр - для французов уже не секрет и виновник его расшифровки - Франсуа Виет. Испанская инквизиция объявила Виета богоотступником и заочно приговорила ученого к сожжению на костре, однако выполнить свой варварский план не смогла.

Виет интересовался не только алгеброй, но геометрией и тригонометрией. Свои исследования по математике он опубликовал в книге «Математический канон» (1579).

Виет, как и многие выдающиеся ученые, отличался большой работоспособностью. По этому поводу датский историк математики Г. Г. Цейтен (1839-1920) писал: Виет в течение большей части своей жизни так был занят своей юридической деятельностью, что трудно представить себе, как он справлялся со своими большими математическими работами, являющимися плодом глубоких математических исследований и свидетельствующими об основательном изучении древних авторов. Рассказывают, что он мог проводить за своим рабочим столом над занимавшими его исследованиями по трое суток сряду"

Франсуа Виет - замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла-Рошели, бывшей в то время оплотом французских протестантов-гугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с виднейшими руководителями этого движения, хотя сам оставался католиком. По-видимому, религиозные разногласия ученого не волновали.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей, и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С некоторыми учеными Виет познакомился лично. Так, он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В ночь на 24 августа 1672 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины де Партене и математик Рамус. Во Франции началась гражданская война. Через несколько лет Екатерина де Партене снова вышла замуж. На сей раз, ее избранником стал один из видных руководителей гугенотов - принц де Роган. По его ходатайству в 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой.

К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Обретя неожиданный покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое - новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...»

Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры - длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры стало возможным буквенное исчисление.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «in». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так «Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Больших успехов достиг ученый и в области геометрии. Применительно к ней он сумел разработать интересные методы. В трактате «Дополнения к геометрии» он стремился создать по примеру древних некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков в течение столетий интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. У Виета применявшиеся ранее методы решения треугольников приобрели более законченный вид. Так он первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виста исчерпывающий разбор. Было ясно сказано, что в этом случае решение не всегда возможно. Если же решение есть, то может быть одно или два.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. «И тригонометрия, - как замечает Г.Г. Цейтен, - щедро отблагодарила алгебру за оказанную ею помощь». Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В 1589 году, после убийства Генриха Гиза по приказу короля, Виет возвратился в Париж. Но в том же году Генрих III был убит монахом - приверженцем Гизов. Формально французская корона перешла к Генриху Наваррскому - главе гугенотов. Но лишь после того, как в 1593 году этот правитель принял католичество, в Париже его признали королем Генрихом IV. Так был положен конец кровавой и истребительной религиозной войне, долгое время оказывавшей влияние на жизнь каждого француза, даже вовсе не интересовавшегося ни политикой, ни религией.

Подробности жизни Виета в тот период неизвестны, что само по себе говорит о его желании оставаться в стороне от кровавых дворцовых событий. Известно только, что он перешел на службу к Генриху IV, находился при дворе, был ответственным правительственным чиновником и пользовался огромным уважением как математик.

По преданию, посол Нидерландов сказал на приеме у короля Франции Генриха IV, что их математик ван Роомен задал математикам мира задачу. Но во Франции, видимо, нет математиков, так как среди тех, кому особо адресовался вызов, нет ни одного француза. Генрих IV ответил, что во Франции есть математик, и пригласил Виета. Знание синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное нидерландским ученым.

В последние годы жизни Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал «...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже, имея, по общему мнению, 20 тыс. экю в изголовье. Ему было более 60 лет».

Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Более или менее полное собрание трудов Вирта было издано в 1646 году в Лейдене нидерландским математиком ван Скоотеном под названием «Математические сочинения Виета». Г. Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно».