График первообразной функции и его свойства. Первообразная и неопределенный интеграл — Гипермаркет знаний

Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), то есть v(t) = s"(t).

В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t) , то есть найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t) . Функцию s(t), такую, что s"(t) = v(t) , называют первообразной функции v(t).

Например, если v(t) = аt , где а – заданное число, то функция
s(t) = (аt 2) / 2 v(t), так как
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x) = f(x).

Например, функция F(x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x, так как (sin x)" = cos x ; функция F(x) = х 4 /4 является первообразной функции f(x) = х 3 , так как (х 4 /4)" = х 3 .

Рассмотрим задачу.

Задача .

Доказать, что функции х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 являются первообразной одной и той же функции f(x) = х 2 .

Решение .

1) Обозначим F 1 (x) = х 3 /3, тогда F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 /3) = х 2 = f(x).

2) F 2 (x) = х 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (х 3 /3 + 1)" = (х 3 /3)" + (1)"= х 2 = f(x).

3) F 3 (x) = х 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (х 3 /3 – 4)" = х 2 = f(x).

Вообще любая функция х 3 /3 + С, где С – постоянная, является первообразной функции х 2 . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.

Пусть F 1 (x) и F 2 (x) – две первообразные одной и той же функции f(x).

Тогда F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).

Производная их разности g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) равна нулю, так как g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f(x) = 0.

Если g"(х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g(х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g(х) является прямая, параллельная оси Ох, т.е. g(х) = С, где С – некоторая постоянная. Из равенств g(х) = С, g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) следует, что F 1 (x) = F 2 (x) + С.

Итак, если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f(x). Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F(x) некоторой постоянной: F(x) + С. Графики функций у = F(x) + С получаются из графика у = F(x) сдвигом вдоль оси Оу. Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Обратим внимание на правила нахождения первообразных.

Вспомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием . Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова «восстанавливать» ).

Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos x)" = -sin x, получаем (-cos x)" = sin x , откуда следует, что все первообразные функции sin x записываются в виде -cos x + С , где С – постоянная.

Рассмотрим некоторые значения первообразных.

1) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.

2) Функция: 1/х, х > 0. Первообразная: ln x + С.

3) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.

4) Функция: е х . Первообразная: е х + С.

5) Функция: sin x . Первообразная: -cos x + С.

6) Функция: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0. Первообразная: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С.

7) Функция: 1/(kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) ln (kx + b)+ С.

8) Функция: е kx + b , k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) е kx + b + С.

9) Функция: sin (kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (-1/k) cos (kx + b) .

10) Функция: cos (kx + b), k ≠ 0. Первообразная: (1/k) sin (kx + b).

Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования . Рассмотрим некоторые правила.

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:

1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x);

2) функция аF(x) является первообразной функции аf(x).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.

Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1 .

Пусть (f(х))’ = 3х 2 . Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо

(х 3)’ = 3х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др.

Т.к. производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции F`(х)= 3х 2

Определение.

Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных.

Пример №2.

Функция есть первообразная для всех на промежутке (0; +∞), т.к. для всех ч из этого промежутка, выполняется равенство.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции. Если F"(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.

Доказательство.

Зафиксируем некоторое x 0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x 0 , что

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

По условию F’ (с) = 0, так как с ∈1, следовательно,

F(x) - F(x 0) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

т е. функция F сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называютобщим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных ):

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C, (1) где F (х) - одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

1. какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2. какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Доказательство.

1. По условию функция F - первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F"(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому (F(x) + C)" = F"(x) + C"=f(x)+0=f(x), т. е. F(x) + C - первообразная для функции f.
2. Пусть Ф (х) - одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф"(x) = f (х) для всех x∈I.

Тогда (Ф(x) - F (x))" = Ф"(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) - F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу

Вопросы к конспектам

Функция F(x) является первообразной для функции f(x). Найдите F(1), если f(x)=9x2 - 6x + 1 и F(-1) = 2.

Найдите все первообразные для функции

Для функции (x) = cos2 * sin2x, найдите первообразную F(x), если F(0) = 0.

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

Неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления было вычисление производной или дифференциала заданной функции. Интегральное исчисление, к изучению которого мы переходим, решает обратную задачу, а именно, отыскания самой функции по ее производной или дифференциалу. То есть, имея dF(х)= f(х)d (7.1) или F ′(х)= f(х) ,

где f(х) - известная функция, надо найти функцию F(х) .

Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F′(х) = f(х) или dF(х)= f(х)d .

Например , одной из первообразных функций для функции f(х)=3х 2 будет F(х)= х 3 , т.к. (х 3)′=3х 2 . Но первоообразной для функции f(х)=3х 2 будет также и функции и , т.к. .

Итак, данная функция f(х)=3х 2 имеет бесконечное множество первоообразных, каждая из которых отличается лишь на постоянное слагаемое. Покажем, что этот результат имеет место и в общем случае.

Теорема Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются одна от другой на этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство

Пусть функция f(х) определена на промежутке (a¸b) и F 1 (х) и F 2 (х) - первообразные, т.е. F 1 ′(х)= f(х) и F 2 ′(х)= f(х) .

Тогда F 1 ′(х)=F 2 ′(х)Þ F 1 ′(х) - F 2 ′(х) = (F 1 ′(х) - F 2 (х))′= 0 . Þ F 1 (х) - F 2 (х)=С

Отсюда, F 2 (х) = F 1 (х)+С

где С - константа (здесь использовано следствие из теоремы Лагранжа).

Теорема, таким образом, доказана.

Геометрическая иллюстрация . Если у = F 1 (х) и у = F 2 (х) – первообразные одной и той же функции f(х) , то касательная к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой (рис. 7.1).

В таком случае расстояние между этими кривыми вдоль оси Оу остается постоянным F 2 (х) - F 1 (х)=С , то есть эти кривые в некотором понимании "параллельны" одна другой.

Следствие .

Прибавляя к какой-то первообразной F(х) для данной функции f(х) , определенной на промежутке Х , все возможные постоянные С , мы получим все возможные первообразные для функции f(х) .

Итак, выражение F(х)+С , где , а F(х) – некоторая первообразная функции f(х) включает все возможные первообразные для f(х) .

Пример 1. Проверить, являются ли функции первообразными для функции

Решение:

Ответ : первообразными для функции будут функции и

Определение: Если функция F(х) является некоторой первообразной для функции f(х), то множество всех первообразных F(х)+ С называют неопределенным интегралом от f(х) и обозначают:

∫f(х)dх.

По определению:

f(х) - подынтегральная функция,

f(х)dх - подынтегральное выражение

Из этого следует, чтоо неопределенный интеграл является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная от которой по переменной х равна подынтегральной функции во всех точках .

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, то есть вдоль оси Оу (рис. 7.2).

Операция вычисления неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Отметим, что если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первоообразная от элементарной функции может не представляться при помощи конечного числа элементарных функций.

Рассмотрим теперь свойства неопределенного интеграла .

Из определения 2 вытекает:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть, если F′(х) = f(х) , то

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

. (7.4)

Из определения дифференциала и свойства (7.3)

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть (7.5)

Функция F(x ) называется первообразной для функции f(x ) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

F"(x ) = f (x ) .

Например, функция F(x) = х 2 f(x ) = 2х , так как

F"(x) = (х 2 )" = 2x = f(x). ◄

Основное свойство первообразной

Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С — произвольная постоянная.

Например. Функция F(x) = х 2 + 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 + 1 )" = 2 x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 3 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 3)" = 2 x = f(x) ; любая функция F(x) = х 2 + С , где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x ) = 2х . ◄

Правила вычисления первообразных

1. Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
2. Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k ·F(x) — первообразная для k ·f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
3. Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 / k · F(k x + b ) — первообразная для f (k x + b ) .

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С , то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:

∫ f(x) dx = F(x) + С ,

f(x) — называют подынтегральной функцией ;

f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;

x — называют переменной интегрирования ;

F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;

С — произвольная постоянная.

Например, ∫ 2 x dx = х 2 + С , ∫ cos x dx = sin х + С и так далее. ◄

Слово "интеграл" происходит от латинского слова integer , что означает "восстановленный". Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Основные свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Если k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то

∫ f (k x + b ) dx = 1 / k · F(k x + b ) + С .

Таблица первообразных и неопределённых интегралов

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + С
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$	$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$
IV.	$$\frac{1}{x}$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac{1}{\cos^2x}$$	$$\textrm{tg} ~x+C$$	$$\int\frac{dx}{\cos^2x}=\textrm{tg} ~x+C$$
VIII.	$$\frac{1}{\sin^2x}$$	$$-\textrm{ctg} ~x+C$$	$$\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\textrm{ctg} ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac{a^x}{\ln a}+C$$	$$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$
XI.	$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$	$$\arcsin \frac{x}{a}+C$$	$$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$
XIII.	$$\frac{1}{1+x^2}$$	$$\textrm{arctg} ~x+C$$	$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\textrm{arctg} ~x+C$$
XIV.	$$\frac{1}{a^2+x^2}$$	$$\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$	$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$
XV.	$$\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$$	$$\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$	$$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$
XVI.	$$\frac{1}{x^2-a^2}~(a\neq0)$$	$$\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$	$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$
XVII.	$$\textrm{tg} ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm{tg} ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm{ctg} ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm{ctg} ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac{1}{\sin x} $$	$$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$	$$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$
XX.	$$ \frac{1}{\cos x} $$	$$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$	$$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$
Первообразные и неопределённые интегралы, приведённые в этой таблице, принято называть табличными первообразными и табличными интегралами .

Определённый интеграл

Пусть на промежутке [a ; b ] задана непрерывная функция y = f(x) , тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|{_a^b} = ~~F(a)-F(b).$$

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные правила вычисления определённого интеграла

1. \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\);

2. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx\);

3. \(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx,\) где k — постоянная;

4. \(\int_{a}^{b}(f(x) ± g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x) dx±\int_{a}^{b}g(x) dx \);

5. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\);

6. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\), где f(x) — четная функция;

7. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\), где f(x) — нечетная функция.

Замечание . Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.

Геометрический и физический смысл определённого интеграла

Геометрический смысл определённого интеграла	Физический смысл определённого интеграла
Площадь S криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a ; b ] функции f(x) , осью Ox и прямыми x=a , x=b ) вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}f(x)dx.$$	Путь s , который преодолела материальная точка, двигаясь прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t) , за промежуток времени a ; b ] , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми x = a , x = b , вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx.$$
	Например. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y = 2 - x . Изобразим схематически графики данных функций и выделим другим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Для нахождения пределов интегрирования решим уравнение: x 2 = 2 - x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_{-2}^{1}((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2} \right)\bigm|{_{-2}^{~1}}=4\frac{1}{2}. $$ ◄

Объём тела вращения

	Если тело получено в результате вращения около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на промежутке [a ; b ] функции y = f(x) и прямыми x = a и x = b , то его называют телом вращения . Объём тела вращения вычисляется по формуле $$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx.$$ Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x) , соответственно, то $$V=\pi\int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Например. Вычислим объём конуса с радиусом r и высотой h . Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox , а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB определяет конус. Так как уравнение AB $$\frac{x}{h}+\frac{y}{r}=1,$$ $$y=r-\frac{rx}{h}$$
и для объёма конуса имеем $$V=\pi\int_{0}^{h}(r-\frac{rx}{h})^2dx=\pi r^2\int_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac{(1-\frac{x}{h})^3}{3}|{_0^h}=-\pi r^2h\left (0-\frac{1}{3} \right)=\frac{\pi r^2h}{3}.$$ ◄