ऑनलाइन एक सामान्य डू-डू समाधान खोजें। प्रथम कोटि के अवकल समीकरण

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देता है। एपोस्ट्रोफ के साथ "फ़ंक्शन के डेरिवेटिव" को दर्शाते हुए, उपयुक्त क्षेत्र में अपना समीकरण दर्ज करने के लिए पर्याप्त है और "समीकरण हल करें" बटन पर क्लिक करें। और लोकप्रिय वोल्फ्रामअल्फा वेबसाइट के आधार पर लागू प्रणाली एक विस्तृत विवरण देगी अंतर समीकरण समाधानबिल्कुल नि: शुल्क। आप कॉची समस्या को संभावित समाधानों के पूरे सेट से चुनने के लिए भी सेट कर सकते हैं, दी गई प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप एक विशेष समाधान। कॉची समस्या को एक अलग क्षेत्र में दर्ज किया गया है।

अंतर समीकरण

डिफ़ॉल्ट रूप से, समीकरण में, function वाईएक चर का एक कार्य है एक्स. हालाँकि, आप अपना स्वयं का चर संकेतन सेट कर सकते हैं, यदि आप लिखते हैं, उदाहरण के लिए, y(t) एक समीकरण में, कैलकुलेटर स्वचालित रूप से इसे पहचान लेगा वाईएक चर का एक कार्य है टी. कैलकुलेटर के साथ आप कर सकते हैं अंतर समीकरणों को हल करेंकिसी भी जटिलता और प्रकार की: सजातीय और विषम, रैखिक या गैर-रैखिक, पहला क्रम या दूसरा और उच्च क्रम, वियोज्य या गैर-वियोज्य चर के साथ समीकरण, आदि। समाधान अंतर। समीकरण एक विश्लेषणात्मक रूप में दिया गया है, इसका विस्तृत विवरण है। भौतिकी और गणित में विभेदक समीकरण बहुत आम हैं। उनकी गणना के बिना, कई समस्याओं को हल करना असंभव है (विशेष रूप से गणितीय भौतिकी में)।

अवकल समीकरणों को हल करने का एक चरण फलनों का एकीकरण है। अवकल समीकरणों को हल करने के लिए मानक विधियाँ हैं। समीकरणों को वियोज्य चर y और x के रूप में लाना और अलग-अलग कार्यों को अलग-अलग एकीकृत करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, कभी-कभी आपको एक निश्चित प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता होती है।

या तो पहले से ही व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

अंतराल पर प्रकार के अंतर समीकरणों का सामान्य समाधान एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का समाकलन करके पाया जा सकता है।

पाना .

यदि हम अनिश्चित समाकल के गुणों को देखें, तो हमें वांछित व्यापक हल प्राप्त होता है:

वाई = एफ (एक्स) + सी,

कहाँ एफ (एक्स)- फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक च (एक्स)बीच में एक्स, ए साथएक मनमाना स्थिरांक है।

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश कार्यों में अंतराल एक्सइंगित न करें। इसका मतलब यह है कि सभी के लिए एक समाधान खोजा जाना चाहिए। एक्स, जिसके लिए और वांछित समारोह वाई, और मूल समीकरण समझ में आता है।

यदि आपको प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतर समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है वाई (एक्स 0) = वाई 0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना के बाद वाई = एफ (एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी0प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करना। यानी एक स्थिरांक सी = सी0समीकरण से निर्धारित एफ(एक्स 0) + सी = वाई 0, और अंतर समीकरण का वांछित विशेष समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ (एक्स) + सी0.

एक उदाहरण पर विचार करें:

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए, परिणाम की सत्यता की जाँच कीजिए। आइए इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा।

समाधान:

दिए गए अंतर समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

.

हम इस अभिन्न अंग को भागों द्वारा एकीकरण की विधि से लेते हैं:

वह।, अवकल समीकरण का एक सामान्य हल है।

यह सुनिश्चित करने के लिए जांचें कि परिणाम सही है। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए समीकरण में पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं:

.

यानी पर मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो समाधान पाया वह तर्क के प्रत्येक वास्तविक मूल्य के लिए अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है एक्स.

यह ODE के एक विशेष समाधान की गणना करना बाकी है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है साथ, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापन सी = 2 ODE के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण द्वारा समीकरण के 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है च (एक्स). यह परिवर्तन समकक्ष होगा यदि च (एक्स)किसी के लिए शून्य नहीं होता एक्सअंतर समीकरण के एकीकरण के अंतराल से एक्स.

स्थितियों की संभावना तब होती है, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्य च (एक्स)और जी (एक्स)एक ही समय में शून्य हो जाना। समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल कोई फलन होता है वाई, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

यदि तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सस्थिति संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

अन्य सभी के लिए एक्सअंतराल से एक्सअंतर समीकरण का सामान्य समाधान रूपांतरित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

आइए हम ODE का सामान्य समाधान खोजें: .

समाधान।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से, यह स्पष्ट है कि प्राकृतिक लघुगणक समारोह तर्क के गैर-नकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए अभिव्यक्ति का डोमेन लॉग (एक्स + 3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण सार्थक है एक्स > -3 . तर्क के इन मूल्यों के साथ, अभिव्यक्ति एक्स + 3गायब नहीं होता है, इसलिए कोई 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में ODE को हल कर सकता है एक्स + 3.

हम पाते हैं .

अगला, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस समाकल को लेने के लिए, हम अवकल के चिन्ह के नीचे समाकलन की विधि का उपयोग करते हैं।

साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण कहा जाता है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात कार्य और इसके विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव (या अंतर) को जोड़ता है।

अवकल समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

साधारण अवकल समीकरणों के अतिरिक्त, आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात फलन और समान चरों के संबंध में इसके आंशिक डेरिवेटिव हैं। लेकिन हम केवल विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए हम संक्षिप्तता के लिए "साधारण" शब्द को छोड़ देंगे।

अंतर समीकरणों के उदाहरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनऑर्डर में स्पष्ट रूप से एक फ़ंक्शन शामिल नहीं है, इसके सभी डेरिवेटिव पहले से एनवें आदेश और एक स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ ऑर्डर, एक फ़ंक्शन, एक स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से तीसरे और दूसरे क्रम के डेरिवेटिव नहीं हैं, साथ ही कार्य भी हैं; समीकरण में (2) - दूसरे क्रम के व्युत्पन्न और कार्य; समीकरण में (4) - स्वतंत्र चर; समीकरण (5) में - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी डेरिवेटिव, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

अवकल समीकरण को हल करके कोई समारोह कहा जाता है वाई = एफ (एक्स), जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके, यह एक पहचान में बदल जाता है।

एक अवकल समीकरण का हल खोजने की प्रक्रिया को इसका कहा जाता है एकीकरण.

उदाहरण 1अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम इस समीकरण को रूप में लिखते हैं। समाधान इसके व्युत्पन्न द्वारा कार्य को खोजना है। मूल फलन, जैसा कि समाकलन कलन से जाना जाता है, इसके लिए प्रतिअवकलज है, अर्थात

यह वही है दिए गए अंतर समीकरण का समाधान . इसमें बदल रहा है सी, हमें अलग-अलग समाधान मिलेंगे। हमने पाया कि प्रथम कोटि के अवकल समीकरण के अपरिमित संख्या में हल होते हैं।

अंतर समीकरण का सामान्य समाधान एनवां क्रम इसका समाधान है जो स्पष्ट रूप से अज्ञात फ़ंक्शन और युक्त के संबंध में व्यक्त किया गया है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का हल व्यापक है।

अंतर समीकरण का आंशिक समाधान इसका समाधान कहा जाता है, जिसमें विशिष्ट संख्यात्मक मान मनमाने स्थिरांक को निर्दिष्ट किए जाते हैं।

उदाहरण 2अवकल समीकरण का सामान्य हल और विशेष हल ज्ञात कीजिए .

समाधान। हम समीकरण के दोनों भागों को इतनी बार एकीकृत करते हैं कि अवकल समीकरण की कोटि बराबर हो जाती है।

,

.

नतीजतन, हमें सामान्य समाधान मिला -

दिए गए तीसरे क्रम के अंतर समीकरण।

अब आइए निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने गुणांक के बजाय उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

.

यदि, अवकल समीकरण के अतिरिक्त, प्रारंभिक स्थिति के रूप में दी जाती है, तो ऐसी समस्या कहलाती है कॉची समस्या . मूल्यों और समीकरण के सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित किया जाता है और एक मनमाना स्थिरांक का मान पाया जाता है सी, और फिर प्राप्त मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यही कॉशी समस्या का समाधान है।

उदाहरण 3शर्त के तहत उदाहरण 1 से अंतर समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

समाधान। हम प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं वाई = 3, एक्स= 1. हम प्राप्त करते हैं

हम पहले क्रम के अवकल समीकरण के लिए कौशी समस्या का हल लिखते हैं:

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, यहां तक ​​कि सबसे सरल समीकरणों को जटिल कार्यों सहित एकीकृत करने और डेरिवेटिव लेने में अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

समाधान। समीकरण इस रूप में लिखा गया है कि दोनों पक्षों को तुरंत एकीकृत किया जा सकता है।

.

हम चर (प्रतिस्थापन) को बदलकर एकीकरण की विधि लागू करते हैं। चलो, तो।

लेना आवश्यक है डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं, क्योंकि एक्सऔर एक जटिल कार्य है ("सेब" - वर्गमूल निकालना या, जो समान है - "एक सेकंड", और "कीमा बनाया हुआ मांस" - जड़ के नीचे की अभिव्यक्ति को बढ़ाना):

हम अभिन्न पाते हैं:

चर पर लौट रहा है एक्स, हम पाते हैं:

.

यह पहली डिग्री के इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए न केवल उच्च गणित के पिछले वर्गों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्राथमिक, यानी स्कूली गणित के कौशल की भी आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अवकल समीकरण में एक स्वतंत्र चर, यानी एक चर नहीं हो सकता है एक्स. स्कूल बेंच से अनुपात के बारे में ज्ञान जिसे भुलाया नहीं गया है (हालांकि, किसी को भी यह पसंद है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है।

6.1। बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान और चिकित्सा की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करने वाले चर को जोड़ने वाले सूत्र के रूप में एक कार्यात्मक निर्भरता को तुरंत स्थापित करना संभव नहीं होता है। आमतौर पर, किसी को स्वतंत्र चर और अज्ञात फ़ंक्शन के अलावा, इसके डेरिवेटिव वाले समीकरणों का उपयोग करना पड़ता है।

परिभाषा।एक स्वतंत्र चर, एक अज्ञात फलन और इसके विभिन्न कोटि के अवकलजों से संबंधित समीकरण कहलाता है अंतर।

अज्ञात फ़ंक्शन को आमतौर पर निरूपित किया जाता है वाई (एक्स)या केवल वाई,और इसके डेरिवेटिव हैं वाई", वाई"वगैरह।

अन्य संकेतन भी संभव हैं, उदाहरण के लिए: यदि वाई= एक्स (टी), फिर एक्स"(टी), एक्स""(टी)इसके डेरिवेटिव हैं, और टीएक स्वतंत्र चर है।

परिभाषा।यदि फलन एक चर पर निर्भर करता है, तो अवकल समीकरण साधारण कहलाता है। सामान्य फ़ॉर्म साधारण अंतर समीकरण:

या

कार्य एफऔर एफहो सकता है कि इसमें कुछ तर्क न हों, लेकिन समीकरणों के अवकलन के लिए, अवकलज की उपस्थिति आवश्यक है।

परिभाषा।अवकल समीकरण का क्रमइसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

उदाहरण के लिए, एक्स 2 वाई"- वाई= 0, वाई" + पाप एक्स= 0 पहले क्रम के समीकरण हैं, और वाई"+ 2 वाई"+ 5 वाई= एक्सद्वितीय कोटि का समीकरण है।

अंतर समीकरणों को हल करते समय, एकीकरण ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है, जो एक मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति से जुड़ा होता है। यदि एकीकरण क्रिया लागू की जाती है एनबार, फिर, जाहिर है, समाधान शामिल होगा एनमनमाना स्थिरांक।

6.2। पहला क्रम विभेदक समीकरण

सामान्य फ़ॉर्म पहला क्रम अंतर समीकरणअभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

समीकरण में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है एक्सऔर वाई,लेकिन आवश्यक रूप से y शामिल है"।

यदि समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

तो हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए पहले क्रम के अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं।

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण (6.3) (या (6.4)) का सामान्य हल हलों का समुच्चय है , कहाँ साथएक मनमाना स्थिरांक है।

अवकल समीकरण को हल करने के लिए आलेख कहलाता है अभिन्न वक्र।

एक मनमाना स्थिरांक देना साथअलग-अलग मान, विशेष समाधान प्राप्त करना संभव है। सतह पर xOyसामान्य समाधान प्रत्येक विशेष समाधान के अनुरूप अभिन्न वक्रों का एक परिवार है।

यदि आप एक बिंदु निर्धारित करते हैं ए (एक्स0, वाई0),जिसके माध्यम से अभिन्न वक्र, एक नियम के रूप में, कार्यों के सेट से गुजरना चाहिए एक को अलग किया जा सकता है - एक विशेष समाधान।

परिभाषा।निजी निर्णयकिसी अवकल समीकरण का वह हल होता है जिसमें स्वेच्छ अचर नहीं होते।

अगर एक सामान्य समाधान है, तो स्थिति से

आप एक स्थायी पा सकते हैं साथ।अवस्था कहलाती है आरंभिक दशा।

प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतर समीकरण (6.3) या (6.4) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या पर बुलाया कॉची समस्या।क्या इस समस्या का हमेशा समाधान होता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय में निहित है।

कॉची की प्रमेय(अस्तित्व का प्रमेय और समाधान की विशिष्टता)। चलो अंतर समीकरण में वाई"= च (एक्स, वाई)समारोह च (एक्स, वाई)और वह

आंशिक व्युत्पन्न कुछ में परिभाषित और निरंतर

क्षेत्रों डी,एक बिंदु युक्त फिर इलाके में डीमौजूद

प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण का एकमात्र समाधान पर

कौशी के प्रमेय में कहा गया है कि कुछ शर्तों के तहत एक अद्वितीय अभिन्न वक्र होता है वाई= च (एक्स),एक बिंदु से गुजरना बिंदु जहां प्रमेय की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं

बिल्लियाँ कहलाती हैं विशेष।इन बिंदुओं पर ब्रेक एफ(एक्स, वाई) या।

या तो कई अभिन्न वक्र एकवचन बिंदु से होकर गुजरते हैं, या कोई नहीं।

परिभाषा।यदि समाधान (6.3), (6.4) के रूप में मिलता है एफ(एक्स, वाई, सी)= y के संबंध में 0 की अनुमति नहीं है, तो इसे कहा जाता है सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

कॉची का प्रमेय केवल गारंटी देता है कि एक समाधान मौजूद है। चूंकि समाधान खोजने के लिए कोई एकल विधि नहीं है, हम केवल कुछ प्रकार के प्रथम-क्रम के अंतर समीकरणों पर विचार करेंगे जो कि पूर्णांक हैं वर्ग।

परिभाषा।अवकल समीकरण कहलाते हैं चतुष्कोणों में पूर्णांक,यदि इसके समाधान की खोज को कार्यों के एकीकरण तक सीमित कर दिया जाए।

6.2.1। वियोज्य चरों के साथ प्रथम कोटि अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि के अवकल समीकरण को एक समीकरण कहा जाता है वियोज्य चर,

समीकरण (6.5) का दाहिना पक्ष दो कार्यों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण पृथक्करण के साथ एक समीकरण है

गुजरने वाले चर
और समीकरण

प्रपत्र (6.5) में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

मान लें कि , हम (6.5) को फिर से लिखते हैं

इस समीकरण से हम अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसमें अंतर में ऐसे कार्य होते हैं जो केवल संबंधित चर पर निर्भर करते हैं:

शब्द दर शब्द एकीकृत करना, हमारे पास है

जहां सी = सी 2 - सी 1 एक मनमाना स्थिरांक है। व्यंजक (6.6) समीकरण (6.5) का व्यापक समाकल है।

समीकरण (6.5) के दोनों भागों को से विभाजित करने पर, हम उन समाधानों को खो सकते हैं जिनके लिए, दरअसल, अगर पर

वह स्पष्ट रूप से समीकरण (6.5) का एक हल है।

उदाहरण 1संतोषजनक समीकरण का हल ज्ञात कीजिए

स्थिति: वाई= 6 पर एक्स= 2 (वाई(2) = 6).

समाधान।चलो बदलो पर"तब के लिए . दोनों पक्षों को से गुणा करें

डीएक्स,चूंकि आगे एकीकरण में इसे छोड़ना असंभव है डीएक्सभाजक में:

और फिर दोनों भागों को विभाजित करके हमें समीकरण मिलता है,

जिसे एकीकृत किया जा सकता है। हम एकीकृत करते हैं:

तब ; प्रबल करने पर हमें y = C प्राप्त होता है। (एक्स + 1) - ओब-

समाधान।

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, हम उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करके एक मनमाना स्थिरांक निर्धारित करते हैं

अंत में हमें मिलता है वाई= 2(x + 1) एक विशेष हल है। वियोज्य चरों वाले समीकरणों को हल करने के कुछ और उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2समीकरण का हल ज्ञात कीजिए

समाधान।मान लें कि , हम पाते हैं .

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हमारे पास है

कहाँ

उदाहरण 3समीकरण का हल ज्ञात कीजिए समाधान।हम समीकरण के दोनों हिस्सों को उन कारकों से विभाजित करते हैं जो एक चर पर निर्भर करते हैं जो अंतर चिह्न के तहत चर के साथ मेल नहीं खाता है, अर्थात, द्वारा और एकीकृत करें। तब हमें मिलता है

और अंत में

उदाहरण 4समीकरण का हल ज्ञात कीजिए

समाधान।यह जानकर कि हमें क्या मिलेगा। अनुभाग-

लिम चर। तब

समाकलित करने पर हमें प्राप्त होता है

टिप्पणी।उदाहरण 1 और 2 में, वांछित कार्य वाईस्पष्ट रूप से व्यक्त (सामान्य समाधान)। उदाहरण 3 और 4 में - निहित रूप से (सामान्य समाकल)। भविष्य में, निर्णय का रूप निर्दिष्ट नहीं किया जाएगा।

उदाहरण 5समीकरण का हल ज्ञात कीजिए समाधान।

उदाहरण 6समीकरण का हल ज्ञात कीजिए संतुष्टि देने वाला

स्थिति वाई (ई)= 1.

समाधान।हम समीकरण को रूप में लिखते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करने पर डीएक्सऔर आगे, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करना (दाईं ओर का अभिन्न अंग भागों द्वारा लिया जाता है), हम प्राप्त करते हैं

लेकिन शर्त से वाई= 1 पर एक्स= इ. तब

पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें साथएक सामान्य समाधान में:

परिणामी व्यंजक अवकल समीकरण का विशेष हल कहलाता है।

6.2.2। पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि का अवकल समीकरण कहलाता है सजातीयअगर इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

हम एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम प्रस्तुत करते हैं।

1. इसके बजाय वाईफिर एक नया कार्य शुरू करें और इसलिए

2. कार्य के संदर्भ में यूसमीकरण (6.7) रूप लेता है

यानी, प्रतिस्थापन सजातीय समीकरण को वियोज्य चर वाले समीकरण में कम कर देता है।

3. समीकरण (6.8) को हल करने पर, हम पहले u ज्ञात करते हैं, और फिर वाई= ऑक्स।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें समाधान।हम समीकरण को रूप में लिखते हैं

हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
तब

चलो बदलो

डीएक्स से गुणा करें: से भाग एक्सऔर पर तब

संबंधित चरों के संबंध में समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करने पर, हमारे पास है

या, पुराने चरों पर लौटते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2प्रश्न हल करें समाधान।होने देना तब

समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करें x2: आइए कोष्ठक खोलें और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें:

पुराने चरों पर चलते हुए, हम अंतिम परिणाम पर पहुँचते हैं:

उदाहरण 3समीकरण का हल ज्ञात कीजिए मान लें कि

समाधान।एक मानक प्रतिस्थापन करना हम पाते हैं

या

या

तो विशेष समाधान का रूप है उदाहरण 4समीकरण का हल ज्ञात कीजिए

समाधान।

उदाहरण 5समीकरण का हल ज्ञात कीजिए समाधान।

स्वतंत्र काम

वियोज्य चरों वाले अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए (1-9).

सजातीय अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए (9-18).

6.2.3। प्रथम कोटि अवकल समीकरणों के कुछ अनुप्रयोग

रेडियोधर्मी क्षय की समस्या

समय के प्रत्येक क्षण में रा (रेडियम) की क्षय दर इसके उपलब्ध द्रव्यमान के समानुपाती होती है। रा के रेडियोधर्मी क्षय के नियम का पता लगाएं यदि यह ज्ञात है कि प्रारंभिक क्षण में रा था और रा का आधा जीवन 1590 वर्ष है।

समाधान।बता दें कि फिलहाल मास रा है एक्स= एक्स (टी)जी, और फिर रा की क्षय दर है

कार्य के अनुसार

कहाँ क

अंतिम समीकरण में चरों को अलग करना और समाकलित करना, हम प्राप्त करते हैं

कहाँ

निर्धारण के लिए सीहम प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हैं: .

तब और इसलिए,

आनुपातिकता कारक कअतिरिक्त शर्त से निर्धारित:

अपने पास

यहाँ से और वांछित सूत्र

बैक्टीरिया के प्रजनन की दर की समस्या

जीवाणुओं के प्रजनन की दर उनकी संख्या के समानुपाती होती है। शुरुआती समय में 100 बैक्टीरिया थे। 3 घंटे के अंदर इनकी संख्या दोगुनी हो गई। जीवाणुओं की संख्या की समय पर निर्भरता ज्ञात कीजिए। 9 घंटे में बैक्टीरिया की संख्या कितनी गुना बढ़ जाएगी?

समाधान।होने देना एक्स- इस समय बैक्टीरिया की संख्या टी।फिर शर्त के अनुसार

कहाँ क- आनुपातिकता का गुणांक।

यहाँ से स्थिति से ज्ञात होता है . साधन,

अतिरिक्त शर्त से . तब

आवश्यक कार्य:

तो, पर टी= 9 एक्स= 800, यानी 9 घंटे के भीतर बैक्टीरिया की संख्या 8 गुना बढ़ गई।

एंजाइम की मात्रा बढ़ाने का कार्य

शराब बनाने वाले के खमीर की संस्कृति में, सक्रिय एंजाइम की वृद्धि दर इसकी प्रारंभिक मात्रा के समानुपाती होती है। एक्स।एंजाइम की प्रारंभिक मात्रा एएक घंटे में दोगुना हो गया। निर्भरता खोजें

एक्स (टी)।

समाधान।स्थिति के अनुसार, प्रक्रिया के अंतर समीकरण का रूप है

यहाँ से

लेकिन . साधन, सी= एऔर तब

यह भी ज्ञात हुआ है

इस तरह,

6.3। दूसरा क्रम विभेदक समीकरण

6.3.1। बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा।दूसरा क्रम अंतर समीकरणस्वतंत्र चर, अभीष्ट फलन और उसके प्रथम और द्वितीय अवकलजों को जोड़ने वाला संबंध कहलाता है।

विशेष मामलों में, x समीकरण में अनुपस्थित हो सकता है, परया y"। हालाँकि, दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक रूप से y" होना चाहिए। सामान्य स्थिति में, दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है:

या, यदि संभव हो तो, दूसरे व्युत्पन्न के लिए अनुमत रूप में:

पहले क्रम के समीकरण की तरह, दूसरे क्रम के समीकरण का एक व्यापक और एक विशेष समाधान हो सकता है। सामान्य समाधान ऐसा दिखता है:

एक निजी समाधान ढूँढना

प्रारंभिक शर्तों के तहत - दिया गया

नंबर) कहा जाता है कॉची समस्या।ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि अभिन्न वक्र को खोजने के लिए आवश्यक है पर= वाई (एक्स),किसी दिए गए बिंदु से गुजरना और इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है, जो लगभग है

सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ कांटे बैलदिया गया कोण। इ। (चित्र 6.1)। कॉची समस्या का एक अद्वितीय समाधान है यदि समीकरण के दाहिने पक्ष (6.10), पूर्व-

असंतुलित है और इसके संबंध में निरंतर आंशिक डेरिवेटिव है तुम तुम"शुरुआती बिंदु के किसी पड़ोस में

स्थिर खोजने के लिए एक विशेष समाधान में शामिल, सिस्टम को अनुमति देना आवश्यक है

चावल। 6.1।अभिन्न वक्र

भौतिकी की कुछ समस्याओं में, प्रक्रिया का वर्णन करने वाली राशियों के बीच सीधा संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है। लेकिन अध्ययन के तहत कार्यों के डेरिवेटिव युक्त समानता प्राप्त करने की संभावना है। इस प्रकार अंतर समीकरण उत्पन्न होते हैं और अज्ञात फ़ंक्शन खोजने के लिए उन्हें हल करने की आवश्यकता होती है।

यह आलेख उन लोगों के लिए है जो एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या का सामना कर रहे हैं जिसमें अज्ञात कार्य एक चर का कार्य है। सिद्धांत इस तरह से बनाया गया है कि अंतर समीकरणों की शून्य समझ के साथ आप अपना काम कर सकते हैं।

प्रत्येक प्रकार के अवकल समीकरण एक समाधान विधि से जुड़े होते हैं जिसमें विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं की विस्तृत व्याख्या और समाधान होते हैं। आपको केवल अपनी समस्या के अवकल समीकरण के प्रकार को निर्धारित करना है, एक समान विश्लेषित उदाहरण ढूँढ़ना है और समान क्रियाएँ करनी हैं।

विभेदक समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको विभिन्न कार्यों के एंटीडेरिवेटिव्स (अनिश्चित इंटीग्रल) के सेट खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी। यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप अनुभाग देखें।

सबसे पहले, प्रथम-क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करें जिन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है, फिर हम दूसरे क्रम के ODE पर जाएँगे, फिर हम उच्च-क्रम के समीकरणों पर ध्यान केन्द्रित करेंगे और अवकल समीकरणों की प्रणालियों के साथ समाप्त करेंगे।

याद रखें कि यदि y तर्क x का एक फलन है।

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण।

फॉर्म के पहले क्रम का सबसे सरल अंतर समीकरण।

आइए हम ऐसे DE के कई उदाहरण लिखें .

विभेदक समीकरण समानता के दोनों पक्षों को f(x) से भाग देकर अवकलज के संबंध में हल किया जा सकता है। इस मामले में, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो f(x) ≠ 0 के लिए मूल समीकरण के समतुल्य होगा। ऐसे ओडीई के उदाहरण हैं।

यदि तर्क x के मान हैं जिसके लिए फ़ंक्शन f(x) और g(x) एक साथ गायब हो जाते हैं, तो अतिरिक्त समाधान दिखाई देते हैं। समीकरण के अतिरिक्त समाधान दिया गया x उन तर्क मानों के लिए परिभाषित कोई कार्य है। ऐसे अंतर समीकरणों के उदाहरण हैं।

दूसरा क्रम अंतर समीकरण।

लगातार गुणांक के साथ दूसरा क्रम रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण।

निरंतर गुणांक वाला LODE एक बहुत ही सामान्य प्रकार का अवकल समीकरण है। उनका समाधान विशेष कठिन नहीं है। सबसे पहले, विशेषता समीकरण की जड़ें पाई जाती हैं . भिन्न p और q के लिए, तीन स्थितियाँ संभव हैं: अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और संपाती हो सकते हैं या जटिल संयुग्म। विशेषता समीकरण की जड़ों के मूल्यों के आधार पर, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाता है , या , या क्रमशः।

उदाहरण के लिए, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें। उसके चारित्रिक समीकरण के मूल k 1 = -3 और k 2 = 0 हैं। जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए, स्थिर गुणांक वाले LDE का सामान्य समाधान है


लगातार गुणांक के साथ रेखीय गैर-समान द्वितीय क्रम विभेदक समीकरण।

निरंतर गुणांक y के साथ दूसरे क्रम के LIDE का सामान्य समाधान संबंधित LODE के सामान्य समाधान के योग के रूप में मांगा जाता है और मूल असमघात समीकरण का एक विशेष हल, अर्थात . पिछला पैराग्राफ निरंतर गुणांक वाले एक सजातीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान को खोजने के लिए समर्पित है। और एक विशेष समाधान या तो मूल समीकरण के दाईं ओर खड़े फ़ंक्शन f (x) के एक निश्चित रूप के लिए अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है, या मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LIDE के उदाहरण के रूप में, हम प्रस्तुत करते हैं


सिद्धांत को समझने और उदाहरणों के विस्तृत समाधान से परिचित होने के लिए, हम आपको निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों के पृष्ठ पर प्रस्तुत करते हैं।

रेखीय सजातीय विभेदक समीकरण (LODEs) और दूसरे क्रम के रैखिक विषम अंतर समीकरण (एलएनडीई)।

इस प्रकार के अंतर समीकरणों का एक विशेष मामला निरंतर गुणांक वाले LODE और LODE हैं।

एक निश्चित अंतराल पर LODE का सामान्य समाधान इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधानों y1 और y2 के एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, .

इस प्रकार के अवकल समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान खोजने में मुख्य कठिनाई सटीक रूप से निहित है। आम तौर पर, विशेष समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों की निम्नलिखित प्रणालियों से चुने जाते हैं:


हालाँकि, विशेष समाधान हमेशा इस रूप में प्रस्तुत नहीं किए जाते हैं।

LODU का एक उदाहरण है .

LIDE का सामान्य समाधान फॉर्म में मांगा गया है, जहां संबंधित LODE का सामान्य समाधान है, और मूल अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान है। हमने अभी खोजने के बारे में बात की थी, लेकिन यह मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

LNDE का एक उदाहरण है .

उच्च क्रम अंतर समीकरण।

क्रम में कमी को स्वीकार करने वाले विभेदक समीकरण।

अंतर समीकरण का क्रम , जिसमें k-1 क्रम तक वांछित फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव शामिल नहीं हैं, को प्रतिस्थापित करके n-k तक कम किया जा सकता है।

इस मामले में, और मूल अंतर समीकरण कम हो जाता है। इसका समाधान पी (एक्स) खोजने के बाद, यह प्रतिस्थापन पर वापस लौटने और अज्ञात फ़ंक्शन y निर्धारित करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण प्रतिस्थापन के बाद एक वियोज्य समीकरण बन जाता है, और इसका क्रम तीसरे से पहले तक कम हो जाता है।