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एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान। किस बिंदु पर अवकलज का मान सबसे बड़ा होता है?

अंतरिम में ( ए,बी), ए एक्स- दिए गए अंतराल का यादृच्छिक रूप से चुना गया बिंदु है। आइए एक तर्क दें एक्स वेतन वृद्धिΔx (सकारात्मक या नकारात्मक)।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) को वेतन वृद्धि Δy के बराबर प्राप्त होगी:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

असीम रूप से छोटे Δх के लिए वेतन वृद्धिΔy भी असीम रूप से छोटा है।

उदाहरण के लिए:

किसी पिंड के मुक्त पतन के उदाहरण का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के समाधान पर विचार करें।

चूँकि t 2 \u003d t l + Δt, तब

सीमा की गणना, हम पाते हैं:

फ़ंक्शन की सीमा की गणना करते समय टी की स्थिरता पर जोर देने के लिए नोटेशन टी 1 पेश किया जाता है। चूँकि t 1 समय का मनमाना मान है, अनुक्रमणिका 1 को छोड़ा जा सकता है; तब हमें मिलता है:

गति देखी जा सकती है वी,जिस तरह की तरह एस, वहाँ है समारोहसमय। समारोह प्रकार विपूरी तरह से कार्य के प्रकार पर निर्भर करता है एस, तो समारोह एसएक समारोह "उत्पादन" की तरह वि. इसके कारण नाम " व्युत्पन्न समारोह».

दूसरे पर विचार करें उदाहरण.

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें:

वाई = एक्स 2पर एक्स = 7.

समाधान। पर एक्स = 7अपने पास वाई = 7 2 = 49. आइए एक तर्क दें एक्सवेतन वृद्धि Δ एक्स. तर्क बन जाता है 7 + Δ एक्स, और फ़ंक्शन को मान मिलेगा (7 + Δ एक्स) 2.

फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति के साथ व्युत्पन्न के चिह्न के संबंध को दिखा रहा है।

कृपया निम्नलिखित में अत्यधिक सावधानी बरतें। देखिए, WHAT का शेड्यूल आपको दिया गया है! कार्य या उसका व्युत्पन्न

व्युत्पन्न के एक ग्राफ को देखते हुए, तब हम केवल फलन चिह्नों और शून्यों में रुचि रखते हैं। सिद्धांत रूप में हमारे लिए कोई "नोल" और "खोखले" रुचि नहीं रखते हैं!

कार्य 1।

यह आंकड़ा एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ऋणात्मक है।

समाधान:

आकृति में, घटते कार्य के क्षेत्रों को रंग में हाइलाइट किया गया है:

घटते कार्य के इन क्षेत्रों में 4 पूर्णांक मान आते हैं।

कार्य 2।

यह आंकड़ा एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा के समानांतर या संपाती है।

समाधान:

चूँकि फलन ग्राफ की स्पर्श रेखा एक सीधी रेखा (या, जो समान है) के साथ समानांतर (या संपाती) है। ढलान, शून्य के बराबर है, तो स्पर्शरेखा का ढलान है।

इसका बदले में मतलब है कि स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर है, चूंकि ढलान अक्ष पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा है।

इसलिए, हम ग्राफ पर चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम अंक) पाते हैं - यह उनमें है कि ग्राफ के स्पर्शरेखा कार्य अक्ष के समानांतर होंगे।

ऐसे 4 बिंदु हैं।

कार्य 3।

आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा के समानांतर या संपाती है।

समाधान:

चूँकि फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा के समानांतर (या संपाती) है, जिसमें ढलान है, तो स्पर्शरेखा में ढलान है।

इसका बदले में मतलब है कि संपर्क के बिंदुओं पर।

इसलिए, हम देखते हैं कि ग्राफ़ पर कितने बिंदुओं की कोटि बराबर है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे चार बिंदु हैं।

कार्य 4।

यह आंकड़ा एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन का अवकलज 0 है।

समाधान:

चरम बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य है। हमारे पास उनमें से 4 हैं:

कार्य 5।

यह आंकड़ा फ़ंक्शन ग्राफ़ और एक्स-अक्ष पर ग्यारह अंक दिखाता है: इनमें से कितने बिंदुओं पर फलन का अवकलज ऋणात्मक है?

समाधान:

घटते कार्य के अंतराल पर, इसका व्युत्पन्न नकारात्मक मान लेता है। और फ़ंक्शन बिंदुओं पर घटता है। ऐसे 4 बिंदु हैं।

टास्क 6।

यह आंकड़ा एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं का योग ज्ञात करें।

समाधान:

चरम बिंदुअधिकतम अंक (-3, -1, 1) और न्यूनतम अंक (-2, 0, 3) हैं।

चरम बिंदुओं का योग: -3-1+1-2+0+3=-2.

टास्क 7।

आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। वर्धमान फलन के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांक बिंदुओं का योग इंगित करें।

समाधान:

यह आंकड़ा उन अंतरालों को हाइलाइट करता है जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गैर-नकारात्मक है।

वृद्धि के छोटे अंतराल पर कोई पूर्णांक बिंदु नहीं होते हैं, वृद्धि के अंतराल पर चार पूर्णांक मान होते हैं: , , और ।

उनका योग:

टास्क 8।

आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। वर्धमान फलन के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में उनमें से सबसे बड़ी की लम्बाई लिखो।

समाधान:

चित्र में, वे सभी अंतराल जिन पर व्युत्पन्न सकारात्मक है, हाइलाइट किए गए हैं, जिसका अर्थ है कि इन अंतरालों पर फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता है।

उनमें से सबसे बड़े की लंबाई 6 है।

टास्क 9।

आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड के किस बिंदु पर यह सबसे बड़ा मूल्य लेता है।

समाधान:

हम देखते हैं कि ग्राफ खंड पर कैसे व्यवहार करता है, अर्थात्, हम इसमें रुचि रखते हैं केवल व्युत्पन्न चिह्न .

व्युत्पन्न का चिह्न ऋणात्मक है, क्योंकि इस खंड पर ग्राफ अक्ष के नीचे है।

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अनुपात की रचना करें और सीमा की गणना करें.

जहाँ किया डेरिवेटिव और भेदभाव नियमों की तालिका? एक सीमा के लिए धन्यवाद। यह जादू जैसा लगता है, लेकिन वास्तव में - हाथ की सफाई और कोई धोखाधड़ी नहीं। सबक पर व्युत्पन्न क्या है?मैंने विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करना शुरू किया, जहां, परिभाषा का उपयोग करते हुए, मैंने एक रैखिक और द्विघात समारोह के डेरिवेटिव पाए। संज्ञानात्मक वार्म-अप के उद्देश्य से, हम परेशान करना जारी रखेंगे व्युत्पन्न तालिकाएल्गोरिद्म और तकनीकी समाधानों को बेहतर बनाना:

उदाहरण 1

वास्तव में, पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के एक विशेष मामले को साबित करना आवश्यक है, जो आमतौर पर तालिका में दिखाई देता है:

समाधानतकनीकी रूप से दो तरह से औपचारिक रूप दिया गया। आइए पहले, पहले से ही परिचित दृष्टिकोण से शुरू करें: सीढ़ी एक तख़्त से शुरू होती है, और व्युत्पन्न कार्य एक बिंदु पर व्युत्पन्न के साथ शुरू होता है।

विचार करना कुछ(विशिष्ट) बिंदु से संबंधित डोमेनएक फ़ंक्शन जिसका एक व्युत्पन्न है। इस बिंदु पर वेतन वृद्धि निर्धारित करें (बेशक, परे नहींओ/ओ -मैं)और फ़ंक्शन की इसी वृद्धि की रचना करें:

आइए सीमा की गणना करें:

अनिश्चितता 0:0 पहली शताब्दी ईसा पूर्व मानी जाने वाली एक मानक तकनीक द्वारा समाप्त हो गई है। अंश और हर को संलग्न व्यंजक से गुणा कीजिये :

इस तरह की सीमा को हल करने की तकनीक पर परिचयात्मक पाठ में विस्तार से चर्चा की गई है। कार्यों की सीमा के बारे में.

चूंकि अंतराल के किसी भी बिंदु को चुना जा सकता है, फिर, प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर

एक बार फिर, आइए लघुगणक पर आनंद लें:

उदाहरण 2

अवकलज की परिभाषा का प्रयोग करते हुए फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए

समाधान: आइए एक ही कार्य को बढ़ावा देने के लिए एक अलग दृष्टिकोण पर विचार करें। यह बिल्कुल वैसा ही है, लेकिन डिजाइन के मामले में अधिक तर्कसंगत है। समाधान की शुरुआत में सबस्क्रिप्ट से छुटकारा पाने और अक्षर के बजाय अक्षर का उपयोग करने का विचार है।

विचार करना मनमानासे संबंधित बिंदु डोमेनफ़ंक्शन (अंतराल), और इसमें वृद्धि सेट करें। और यहाँ, वैसे, जैसा कि ज्यादातर मामलों में, आप बिना किसी आरक्षण के कर सकते हैं, क्योंकि लघुगणकीय कार्य परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर भिन्न होता है।

फिर संबंधित कार्य वृद्धि है:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

डिजाइन की आसानी उस भ्रम से संतुलित होती है जो शुरुआती (और न केवल) अनुभव कर सकते हैं। आखिरकार, हम इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि "X" अक्षर सीमा में बदल जाता है! लेकिन यहां सब कुछ अलग है: - एक प्राचीन मूर्ति, और - एक जीवित आगंतुक, संग्रहालय के गलियारे के साथ खुशी से चल रहा है। अर्थात्, "x" "स्थिर की तरह" है।

मैं कदम दर कदम अनिश्चितता के उन्मूलन पर टिप्पणी करूंगा:

(1) लघुगणक के गुण का उपयोग करें .

(2) कोष्ठक में, हम अंश को हर शब्द से शब्द द्वारा विभाजित करते हैं।

(3) भाजक में, हम लाभ उठाने के लिए कृत्रिम रूप से "x" से गुणा और भाग करते हैं अद्भुत सीमा , के रूप में करते हुए बहुत छोताअलग दिखना।

उत्तर: व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा:

या संक्षेप में:

मैं स्वतंत्र रूप से दो और सारणीबद्ध सूत्र बनाने का प्रस्ताव करता हूं:

उदाहरण 3

इस मामले में, संकलित वेतन वृद्धि एक आम भाजक को कम करने के लिए तत्काल सुविधाजनक है। पाठ के अंत में असाइनमेंट का अनुमानित नमूना (पहली विधि)।

उदाहरण 3:समाधान : कुछ बिंदु पर विचार करें , समारोह के दायरे से संबंधित . इस बिंदु पर वेतन वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की इसी वृद्धि की रचना करें:

आइए एक बिंदु पर व्युत्पन्न खोजें :

से के रूप में आप कोई भी बिंदु चुन सकते हैं समारोह का दायरा , वह और
उत्तर : व्युत्पन्न की परिभाषा के द्वारा

उदाहरण 4

परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें

और यहाँ सब कुछ कम होना चाहिए अद्भुत सीमा. समाधान को दूसरे तरीके से तैयार किया गया है।

इसी तरह कई अन्य सारणीबद्ध डेरिवेटिव. एक पूरी सूची एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक में मिल सकती है, या, उदाहरण के लिए, फिचटेनहोल्ट्ज़ का पहला खंड। मुझे किताबों से पुनर्लेखन और विभेदन के नियमों के प्रमाणों के बारे में बहुत कुछ नहीं दिखता - वे भी सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं।

उदाहरण 4:समाधान , स्वामित्व , और इसमें वृद्धि निर्धारित करें

आइए व्युत्पन्न खोजें:

अद्भुत सीमा का उपयोग करना

उत्तर : a-priory

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए

समाधान: पहली विज़ुअल शैली का उपयोग करें। आइए इससे संबंधित कुछ बिंदु पर विचार करें, आइए इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें। फिर संबंधित कार्य वृद्धि है:

शायद कुछ पाठक अभी तक उस सिद्धांत को पूरी तरह से नहीं समझ पाए हैं जिसके द्वारा वेतन वृद्धि की जानी चाहिए। हम एक बिंदु (संख्या) लेते हैं और उसमें फ़ंक्शन का मान पाते हैं: यानी फंक्शन में के बजाय"एक्स" प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। अब हम एक बहुत विशिष्ट संख्या भी लेते हैं और इसे फलन में स्थानापन्न भी करते हैं के बजाय"एक्स": । हम अंतर लिखते हैं, जबकि यह आवश्यक है पूरी तरह से कोष्ठक.

रचना समारोह वृद्धि इसे तुरंत सरल करना फायदेमंद है. किसलिए? आगे की सीमा के समाधान को सुगम और छोटा करें।

हम फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और हर उस चीज़ को कम करते हैं जिसे कम किया जा सकता है:

टर्की खराब हो गया है, भूनने में कोई समस्या नहीं है:

अंततः:

चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या को गुणवत्ता के रूप में चुना जा सकता है, हम प्रतिस्थापन करते हैं और प्राप्त करते हैं .

उत्तर: a-priory।

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, हम व्युत्पन्न का उपयोग कर पाते हैं भेदभाव नियम और टेबल:

सही उत्तर को पहले से जानना हमेशा उपयोगी और सुखद होता है, इसलिए समाधान की शुरुआत में मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर "त्वरित" तरीके से प्रस्तावित कार्य को अलग करना बेहतर होता है।

उदाहरण 6

अवकलज की परिभाषा द्वारा किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए

यह स्वयं करने का उदाहरण है। परिणाम सतह पर है:

उदाहरण 6:समाधान : कुछ बिंदु पर विचार करें , स्वामित्व , और इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें . फिर संबंधित कार्य वृद्धि है:

आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

इस प्रकार:
क्योंकि के रूप में कोई भी वास्तविक संख्या चुनी जा सकती है और
उत्तर : a-priory।

आइए स्टाइल #2 पर वापस जाएं:

उदाहरण 7

आइए तुरंत पता करें कि क्या होना चाहिए। द्वारा एक जटिल कार्य के भेदभाव का नियम:

समाधान: से संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें, उसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की वृद्धि की रचना करें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

(1) प्रयोग करें त्रिकोणमितीय सूत्र .

(2) साइन के तहत हम कोष्ठक खोलते हैं, कोसाइन के तहत हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।

(3) साइन के तहत हम शर्तों को कम करते हैं, कोसाइन के तहत हम अंश को भाजक शब्द से विभाजित करते हैं।

(4) साइन की विषमता के कारण, हम "माइनस" निकालते हैं। कोसाइन के तहत, हम इंगित करते हैं कि शब्द।

(5) हम उपयोग करने के लिए हर को कृत्रिम रूप से गुणा करते हैं पहली अद्भुत सीमा. इस प्रकार, अनिश्चितता समाप्त हो जाती है, हम परिणाम का मुकाबला करते हैं।

उत्तर: ए-प्रायरी

जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन समस्या की मुख्य कठिनाई सीमा की जटिलता + पैकिंग की थोड़ी सी मौलिकता पर टिकी हुई है। व्यवहार में, डिजाइन के दोनों तरीकों का सामना करना पड़ता है, इसलिए मैं दोनों दृष्टिकोणों का यथासंभव विस्तार से वर्णन करता हूं। वे समतुल्य हैं, लेकिन फिर भी, मेरे व्यक्तिपरक प्रभाव में, डमी के लिए "एक्स शून्य" के साथ पहले विकल्प पर टिके रहना अधिक समीचीन है।

उदाहरण 8

परिभाषा का प्रयोग करते हुए, फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए

उदाहरण 8:समाधान : एक मनमाना बिंदु पर विचार करें , स्वामित्व , आइए इसमें एक इन्क्रीमेंट सेट करें और समारोह में वृद्धि करें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं और पहली उल्लेखनीय सीमा:

उत्तर : a-priory

आइए समस्या के दुर्लभ संस्करण का विश्लेषण करें:

उदाहरण 9

अवकलज की परिभाषा का प्रयोग करके किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, निचला रेखा क्या होना चाहिए? संख्या

आइए मानक तरीके से उत्तर की गणना करें:

समाधान: स्पष्टता के दृष्टिकोण से, यह कार्य बहुत सरल है, क्योंकि सूत्र इसके बजाय एक विशिष्ट मान पर विचार करता है।

हम बिंदु पर एक वेतन वृद्धि निर्धारित करते हैं और फ़ंक्शन की इसी वृद्धि की रचना करते हैं:

एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करें:

स्पर्शरेखाओं के अंतर के लिए हम एक बहुत ही दुर्लभ सूत्र का उपयोग करते हैं और एक बार फिर से घोल को कम करें पहली अद्भुत सीमा:

उत्तर: एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा के द्वारा।

कार्य को हल करना इतना कठिन नहीं है और "सामान्य शब्दों में" - यह डिज़ाइन विधि के आधार पर या बस इसे बदलने के लिए पर्याप्त है। इस मामले में, निश्चित रूप से, आपको एक संख्या नहीं, बल्कि एक व्युत्पन्न कार्य मिलता है।

उदाहरण 10

परिभाषा का प्रयोग करते हुए, फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए एक बिंदु पर (जिनमें से एक अनंत हो सकता है), जिसके बारे में मैं पहले ही सामान्य शब्दों में बात कर चुका हूं व्युत्पन्न के बारे में सैद्धांतिक सबक.

कुछ टुकड़ेवार परिभाषित कार्य भी ग्राफ के "जंक्शन" बिंदुओं पर अलग-अलग होते हैं, उदाहरण के लिए, कैटडॉग बिंदु पर एक सामान्य व्युत्पन्न और एक सामान्य स्पर्शरेखा (भुज) है। वक्र, हां अलग-अलग ! जो लोग चाहते हैं वे इसे हल किए गए उदाहरण के मॉडल पर स्वयं के लिए सत्यापित कर सकते हैं।

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पृष्ठ निर्माण तिथि: 2017-06-11

एक चर के एक समारोह का व्युत्पन्न।

परिचय।

ये पद्धतिगत विकास औद्योगिक और सिविल इंजीनियरिंग संकाय के छात्रों के लिए हैं। वे "एक चर के कार्यों के विभेदक कलन" खंड में गणित के पाठ्यक्रम के कार्यक्रम के संबंध में संकलित हैं।

घटनाक्रम एक एकल कार्यप्रणाली गाइड का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसमें शामिल हैं: संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी; इन समाधानों के लिए विस्तृत समाधान और स्पष्टीकरण के साथ "ठेठ" कार्य और अभ्यास; नियंत्रण विकल्प।

प्रत्येक पैराग्राफ के अंत में अतिरिक्त अभ्यास। विकास की ऐसी संरचना उन्हें शिक्षक से न्यूनतम सहायता के साथ अनुभाग के स्वतंत्र मास्टरिंग के लिए उपयुक्त बनाती है।

§1। एक व्युत्पन्न की परिभाषा।

यांत्रिक और ज्यामितीय अर्थ

व्युत्पन्न।

व्युत्पन्न की अवधारणा गणितीय विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। यह 17वीं शताब्दी की शुरुआत में उत्पन्न हुई थी। एक व्युत्पन्न की अवधारणा का गठन ऐतिहासिक रूप से दो समस्याओं से जुड़ा हुआ है: चर गति की गति की समस्या और एक वक्र की स्पर्शरेखा की समस्या।

ये कार्य, अपनी भिन्न सामग्री के बावजूद, एक ही गणितीय संक्रिया को जन्म देते हैं जो एक फलन पर की जानी चाहिए। इस संक्रिया को गणित में एक विशेष नाम प्राप्त हुआ है। इसे किसी फलन को अवकलित करने की संक्रिया कहते हैं। विभेदीकरण संक्रिया के परिणाम को व्युत्पन्न कहा जाता है।

इसलिए, बिंदु x0 पर फलन y=f(x) का व्युत्पन्न फलन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा (यदि यह मौजूद है) है
पर
.

व्युत्पन्न को आमतौर पर निम्नानुसार दर्शाया जाता है:
.

तो परिभाषा के अनुसार

व्युत्पन्न को निरूपित करने के लिए प्रतीकों का भी उपयोग किया जाता है
.

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

यदि s=s(t) किसी भौतिक बिंदु की सरल रेखीय गति का नियम है, तब
समय t पर इस बिंदु की गति है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

अगर समारोह y=f(x) एक बिंदु पर एक व्युत्पन्न है , फिर बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का ढलान
के बराबर होती है
.

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
बिंदु पर =2:

1) आइए एक बिंदु दें = 2 वृद्धि
. नोटिस जो।

2) बिंदु पर फलन की वृद्धि ज्ञात कीजिए =2:

3) फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की रचना करें:

आइए हम पर संबंध की सीमा ज्ञात करें
:

इस प्रकार,
.

§ 2. कुछ के डेरिवेटिव

सबसे सरल कार्य।

छात्र को यह सीखने की जरूरत है कि विशिष्ट कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कैसे करें: y=x,y= और सामान्य तौर पर वाई = .

फलन y=x का अवकलज ज्ञात कीजिए।

वे। (x)′=1।

आइए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यौगिक

होने देना
तब

पावर फ़ंक्शन के डेरिवेटिव्स के लिए अभिव्यक्तियों में पैटर्न को नोटिस करना आसान है
एन = 1,2,3 पर।

इस तरह,

. (1)

यह सूत्र किसी भी वास्तविक n के लिए मान्य है।

विशेष रूप से, सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास:

;

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह फ़ंक्शन फॉर्म के फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है

पर
.

सूत्र (1) का उपयोग करके, हमारे पास है

कार्यों के डेरिवेटिव y=sin x और y=cos x।

माना y=sinx.

∆x से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है

∆x→0 की सीमा तक जाने पर, हमारे पास है

चलो y=cosx ।

∆x→0 की सीमा तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

;
. (2)

§3। भेदभाव के बुनियादी नियम।

विभेदीकरण के नियमों पर विचार करें।

प्रमेय1 . यदि फ़ंक्शन u=u(x) और v=v(x) किसी दिए गए बिंदु x पर अलग-अलग हैं, तो उनका योग भी इस बिंदु पर अलग-अलग होता है, और योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न शर्तों के योग के बराबर होता है: (यू+वी)"=यू"+वी"(3 )

उपपत्ति: फलन y=f(x)=u(x)+v(x) पर विचार करें।

तर्क x का वेतन वृद्धि ∆x फलन u और v की वृद्धि ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) से मेल खाती है। फिर फ़ंक्शन y को बढ़ाया जाएगा

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

इस तरह,

तो, (यू+वी)"=यू"+वी"।

प्रमेय2. यदि कार्य u=u(x) और v=v(x) दिए गए बिंदु x पर अवकलनीय हैं, तो उनका उत्पाद भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है। इस मामले में, उत्पाद का व्युत्पन्न निम्न सूत्र द्वारा पाया जाता है : (यूवी) "= यू" वी + यूवी "। (4)

उपपत्ति: माना y=uv, जहाँ u और v x के कुछ अवकलनीय फलन हैं। मान लीजिए कि x में ∆x की वृद्धि होती है; तो u में ∆u की वृद्धि होगी, v में ∆v की वृद्धि होगी, और y में ∆y की वृद्धि होगी।

हमारे पास है y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), या

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

इसलिए, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v।

यहाँ से

सीमा को ∆x→0 के रूप में पारित करना और यह ध्यान में रखते हुए कि u और v ∆x पर निर्भर नहीं हैं, हमारे पास है

प्रमेय 3. दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका भाजक भाजक के वर्ग के बराबर होता है, और अंश भाजक द्वारा लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद और के उत्पाद के बीच का अंतर होता है। भाजक के व्युत्पन्न द्वारा लाभांश, अर्थात

अगर
वह
(5)