पाइथागोरस प्रमेय पर और इसे कैसे सिद्ध किया जाए। पायथागॉरियन प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीके

पायथागॉरियन प्रमेय का सबसे दिलचस्प प्रमाण

पायथागॉरियन प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत प्रमेयों में से एक है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। c2 = a2 + b2 इस प्रमेय को सिद्ध करने के कई तरीके हैं, लेकिन हमने सबसे दिलचस्प तरीके चुने हैं ...

दुल्हन की कुर्सी चित्र में पैरों पर बने वर्ग एक के बाद एक चरणों में रखे गए हैं। यह आंकड़ा, जो 9वीं शताब्दी सीई के बाद के साक्ष्य में होता है, ई।, हिंदुओं ने "दुल्हन की कुर्सी" कहा। कर्ण के बराबर भुजा वाला वर्ग बनाने की विधि चित्र से स्पष्ट है। पैरों पर बने दो वर्गों और कर्ण पर बने वर्ग का सामान्य भाग एक अनियमित छायांकित पेंटागन 5 है। इसमें त्रिकोण 1 और 2 को जोड़कर, हम दोनों वर्गों को पैरों पर निर्मित करते हैं; यदि हम त्रिभुज 1 और 2 को उनके बराबर के त्रिभुज 3 और 4 से बदल दें, तो हमें कर्ण पर एक वर्ग निर्मित हो जाता है। नीचे दिए गए आंकड़े पहले आंकड़े में दी गई व्यवस्था के करीब दो अलग-अलग व्यवस्थाओं को दिखाते हैं।

भारतीय गणितज्ञ भास्करी का प्रमाण चित्र में दिखाए गए वर्ग पर विचार करें। वर्ग की भुजा b है, 4 मूल त्रिभुज पैर a और c के साथ वर्ग पर आरोपित हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। केंद्र में छोटे वर्ग की भुजा c - a है, फिर: b2 = 4*a*c/2 + (c-a)2 = = 2*a*c + c2 - 2*a*c + a2 = = a2 + सी2

पायथागॉरियन प्रमेय का सबसे सरल प्रमाण। आकृति में दिखाए गए वर्ग पर विचार करें। वर्ग की भुजा a + c है। एक मामले में (बाएं), वर्ग को भुजा b के साथ एक वर्ग में विभाजित किया गया है और पैर a और c वाले चार समकोण त्रिभुज हैं। एक अन्य मामले में (दाईं ओर), वर्ग को दो वर्गों में भुजाओं a और c के साथ और चार समकोण त्रिभुजों को पैरों a और c के साथ विभाजित किया गया है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि भुजा b वाले वर्ग का क्षेत्रफल भुजाओं a और c वाले वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

समरूप त्रिभुजों के संदर्भ में प्रमाण मान लीजिए कि ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है। C से ऊँचाई खींचिए और इसके आधार को H से निरूपित कीजिए। त्रिभुज ACH दो कोणों में त्रिभुज ABC के समरूप है। इसी प्रकार, त्रिभुज CBH, ABC के समरूप है। अंकन का परिचय देते हुए, हम प्राप्त करते हैं जो समतुल्य है, हम प्राप्त करते हैं या

हॉकिन्स उपपत्ति आइए एक और उपपत्ति देते हैं, जिसमें संगणनात्मक प्रकृति है, लेकिन यह पिछली सभी उपपत्तियों से बहुत भिन्न है। यह 1909 में अंग्रेज हॉकिन्स द्वारा प्रकाशित किया गया था; यह पहले से ज्ञात था या नहीं, यह कहना मुश्किल है। समकोण C वाले समकोण त्रिभुज ABC को 90° से घुमाएं ताकि वह A"CB" की स्थिति में आ जाए। हम बिंदु ए से परे कर्ण ए "बी" को बिंदु डी पर लाइन एबी के साथ चौराहे तक जारी रखते हैं। सेगमेंट बी "डी त्रिकोण बी" एबी की ऊंचाई होगी। अब छायांकित चतुर्भुज ए "एबी" बी पर विचार करें। इसे दो समद्विबाहु त्रिभुज CAA" और SVV" (या दो त्रिभुज A"B"A और A"B"B) में विघटित किया जा सकता है। SCAA"=b²/2 SCBB"=a²/2 SA"AB"B=(a² +b²)/2 त्रिकोण A"B" A और A "B" B का एक सामान्य आधार c और ऊँचाई DA और DB है, इसलिए: SA "AB" B \u003d c * DA / 2 + c * DB / 2 \u003d c (DA + DB) / 2 \u003d c² / 2 क्षेत्र के लिए प्राप्त दो भावों की तुलना करने पर, हमें मिलता है: a ²+ b ²= c ² प्रमेय सिद्ध होता है।

वॉल्डहाइम का प्रमाण यह प्रमाण कम्प्यूटेशनल है। पहली आकृति का उपयोग करके प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को दो तरीकों से व्यक्त करना पर्याप्त है। स्ट्रैपेज़=(a+b)²/2 स्ट्रैपेज़=a²b²+c²/2 दायीं भुजाओं की बराबरी करने पर हमें मिलता है: a²+b²=c² प्रमेय सिद्ध है।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण

अंकों के समान क्षेत्रफल की अवधारणा के प्रयोग पर आधारित प्रमाण।

उसी समय, हम उन साक्ष्यों पर विचार कर सकते हैं जिनमें किसी दिए गए समकोण त्रिभुज के कर्ण पर निर्मित वर्ग पैरों पर बने वर्गों के समान आकृतियों से "बना" है। हम ऐसे प्रमाणों पर भी विचार कर सकते हैं जिनमें अंकों के पदों के क्रमचय का प्रयोग किया जाता है और अनेक नए विचारों को ध्यान में रखा जाता है।

अंजीर पर। 2 दो बराबर वर्ग दिखाता है। प्रत्येक वर्ग की भुजाओं की लंबाई a + b है। प्रत्येक वर्ग को वर्गों और समकोण त्रिभुजों से युक्त भागों में विभाजित किया गया है। यह स्पष्ट है कि यदि हम एक समकोण त्रिभुज के चतुर्भुज क्षेत्र को वर्ग क्षेत्र से a, b के साथ घटाते हैं, तो समान क्षेत्र शेष रहते हैं, अर्थात c 2 \u003d a 2 + b 2। हालाँकि, प्राचीन हिंदू, जिनके पास यह तर्क है, आमतौर पर इसे नहीं लिखते थे, लेकिन

ड्राइंग के साथ केवल एक शब्द था: "देखो!" यह बहुत संभव है कि पाइथागोरस ने भी यही प्रमाण दिया हो।

योगात्मक साक्ष्य।

ये प्रमाण पादों पर बने वर्गों को आकृतियों में अपघटित करने पर आधारित हैं, जिनसे कर्ण पर बने वर्ग को जोड़ना संभव है।

आइंस्टाइन का प्रमाण (चित्र 3) कर्ण पर बने वर्ग को 8 त्रिभुजों में विभाजित करने पर आधारित है।

यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; कॉम; सीके ^ एमएन; पीओ || एमएन; ईएफ || एमएन।

पादों और कर्ण पर बने वर्गों को विभाजित करके प्राप्त त्रिभुजों की युग्मवार समानता को स्वयं सिद्ध कीजिए।

अंजीर पर। 4 यूक्लिड की "शुरुआत" पर मध्यकालीन बगदाद टीकाकार अल-नैरिज़िया के विभाजन का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण दिखाता है। इस विभाजन में कर्ण पर बने वर्ग को 3 त्रिभुज और 2 चतुर्भुजों में विभाजित किया जाता है। यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; डीई = बीएफ।

इस विभाजन का प्रयोग करके प्रमेय को सिद्ध कीजिए।

· अल-नैरिज़िया के प्रमाण के आधार पर, वर्गों का जोड़ीदार समान आकृतियों में एक और अपघटन किया गया था (चित्र 5, यहाँ ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है)।

वर्गों को समान भागों में विघटित करने की विधि द्वारा एक अन्य प्रमाण, जिसे "ब्लेड वाला पहिया" कहा जाता है, अंजीर में दिखाया गया है। 6. यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; ओ - एक बड़े पैर पर बने वर्ग का केंद्र; बिंदु O से गुजरने वाली धराशायी रेखाएँ कर्ण के लंबवत या समानांतर होती हैं।

· वर्गों का यह अपघटन इस मायने में दिलचस्प है कि इसके जोड़ीदार समान चतुर्भुजों को समानांतर अनुवाद द्वारा एक दूसरे पर मैप किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय के कई अन्य प्रमाण वर्गों को अंकों में अपघटन का उपयोग करके पेश किए जा सकते हैं।

निर्माण विधि द्वारा सबूत।

इस पद्धति का सार यह है कि टाँगों पर बने वर्ग और कर्ण पर बने वर्ग पर समान आकृतियाँ इस प्रकार जोड़ी जाती हैं कि समान आकार की आकृतियाँ प्राप्त होती हैं।

· अंजीर में। 7 सामान्य पायथागॉरियन आकृति दिखाता है - एक समकोण त्रिभुज ABC जिसकी भुजाओं पर वर्ग बने हैं। इस आकृति से जुड़े त्रिभुज 1 और 2 हैं, जो मूल समकोण त्रिभुज के बराबर हैं।

पाइथागोरस प्रमेय की वैधता हेक्सागोन्स AEDFPB और ACBNMQ के समान आकार से होती है। यहाँ CОEP, रेखा EP षट्भुज AEDFPB को दो समान-क्षेत्रीय चतुष्कोणों में विभाजित करती है, रेखा CM षट्भुज ACBNMQ को दो समान-क्षेत्रीय चतुष्कोणों में विभाजित करती है; केंद्र A के चारों ओर विमान का 90° का घूर्णन चतुर्भुज AEPB को चतुर्भुज ACMQ में मैप करता है।

· अंजीर में। 8 पायथागॉरियन आकृति एक आयत के रूप में पूरी होती है, जिसकी भुजाएँ पैरों पर बने वर्गों के संगत पक्षों के समानांतर होती हैं। आइए इस आयत को त्रिभुजों और आयतों में तोड़ते हैं। सबसे पहले, हम परिणामी आयत से सभी बहुभुज 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 घटाते हैं, जिससे कर्ण पर एक वर्ग बनता है। फिर, उसी आयत से, हम आयतों को 5, 6, 7 और छायांकित आयतों को घटाते हैं, हमें पैरों पर निर्मित वर्ग मिलते हैं।

अब हम सिद्ध करते हैं कि पहली स्थिति में घटाए गए अंक दूसरी स्थिति में घटाए गए अंकों के आकार के बराबर हैं।

· चावल। 9 नासिर-एड-दीन (1594) द्वारा दिए गए प्रमाण को दर्शाता है। यहाँ: पीसीएल - सीधी रेखा;

केएलओए = एसीपीएफ = एसीईडी = ए 2;

एलजीबीओ = सीबीएमपी = सीबीएनक्यू = बी 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;

इसलिए सी 2 = ए 2 + बी 2।

चावल। 11 हॉफमैन द्वारा प्रस्तावित एक और अधिक मूल प्रमाण को दर्शाता है।

यहाँ: समकोण C के साथ त्रिभुज ABC; खंड बीएफ सीबी के लिए लंबवत और बराबर है, खंड बीई लंबवत है और एबी के बराबर है, खंड एडी लंबवत है और एसी के बराबर है; बिंदु F, C, D एक सीधी रेखा से संबंधित हैं; चतुर्भुज ADFB और ACBE बराबर हैं क्योंकि ABF=ECB; त्रिभुज ADF और ACE बराबर हैं; दोनों समान चतुर्भुजों में से उनके उभयनिष्ठ त्रिभुज ABC को घटाने पर हमें प्राप्त होता है

प्रमाण की बीजगणितीय विधि।

· चावल। 12 महान भारतीय गणितज्ञ भास्करी (प्रसिद्ध लेखक लीलावती, 12वीं शताब्दी) के प्रमाण को दर्शाता है। चित्र के साथ केवल एक शब्द था: देखो! बीजगणितीय विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों में, समानता का उपयोग करने वाला प्रमाण पहले स्थान पर है (शायद सबसे पुराना)।

आइए आधुनिक प्रस्तुति में पाइथागोरस से संबंधित ऐसे ही एक प्रमाण को प्रस्तुत करते हैं।

अंजीर पर। 13 ABC - आयताकार, C - समकोण, CM^AB, b1 - कर्ण पर भुजा b का प्रक्षेपण, a1 - कर्ण पर भुजा a का प्रक्षेपण, h - कर्ण पर खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई।

इस तथ्य से कि DABC DACM के समान है, यह इस प्रकार है

बी 2 \u003d सीबी 1; (1)

इस तथ्य से कि DABC DBCM के समान है, यह अनुसरण करता है

ए 2 = सीए 1। (2)

समता (1) और (2) पदों को पदानुसार जोड़ने पर, हमें a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 प्राप्त होता है।

यदि पाइथागोरस ने वास्तव में इस तरह का प्रमाण दिया था, तो वह कई महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेयों से भी परिचित था, जो गणित के आधुनिक इतिहासकार आमतौर पर यूक्लिड को श्रेय देते हैं।

मोल्मन का प्रमाण (चित्र 14)।

इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, एक ओर, के बराबर है

दूसरी ओर, जहाँ p त्रिभुज की अर्धपरिधि है, r उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या है अपने पास:

जहाँ से यह अनुसरण करता है कि c2=a2+b2.

गारफील्ड का प्रमाण।

चित्र 15 में, तीन समकोण त्रिभुज एक समलम्बाकार बनाते हैं। इसलिए, इस आकृति का क्षेत्रफल एक आयताकार चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा, या तीन त्रिभुजों के क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जा सकता है। पहले मामले में, यह क्षेत्र है

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में और इसे कैसे सिद्ध करें

जी ग्लेसर,
रूसी शिक्षा अकादमी, मास्को के शिक्षाविद

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में और इसे कैसे सिद्ध करें

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एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल उसके पादों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है...

यह पुरातनता के सबसे प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रमेयों में से एक है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है। यह अभी भी लगभग हर किसी के लिए जाना जाता है जिसने कभी प्लैनेमेट्री का अध्ययन किया है। मुझे ऐसा लगता है कि यदि हम अलौकिक सभ्यताओं को पृथ्वी पर बुद्धिमान जीवन के अस्तित्व के बारे में बताना चाहते हैं, तो हमें अंतरिक्ष में पायथागॉरियन आकृति की एक छवि भेजनी चाहिए। मुझे लगता है कि अगर विचारशील प्राणी इस जानकारी को स्वीकार कर सकते हैं, तो वे जटिल सिग्नल डिकोडिंग के बिना समझ पाएंगे कि पृथ्वी पर काफी विकसित सभ्यता है।

समोस के प्रसिद्ध यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पायथागोरस, जिनके नाम पर प्रमेय का नाम रखा गया है, लगभग 2.5 हजार साल पहले रहते थे। पाइथागोरस के बारे में जो जीवनी संबंधी जानकारी हमारे पास आई है वह खंडित है और विश्वसनीय से बहुत दूर है। उनके नाम के साथ कई किंवदंतियां जुड़ी हुई हैं। यह प्रामाणिक रूप से ज्ञात है कि पाइथागोरस ने पूर्व के देशों में बहुत यात्रा की, मिस्र और बेबीलोन का दौरा किया। दक्षिणी इटली के ग्रीक उपनिवेशों में से एक में, उन्होंने प्रसिद्ध "पाइथागोरियन स्कूल" की स्थापना की, जिसने प्राचीन ग्रीस के वैज्ञानिक और राजनीतिक जीवन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। यह पाइथागोरस है जिसे प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रमेय को सिद्ध करने का श्रेय दिया जाता है। प्रसिद्ध गणितज्ञों (प्रोक्लस, प्लूटार्क, आदि) द्वारा फैलाई गई किंवदंतियों के आधार पर, लंबे समय तक यह माना जाता था कि यह प्रमेय पाइथागोरस से पहले ज्ञात नहीं था, इसलिए नाम - पाइथागोरस प्रमेय।

हालाँकि, इसमें कोई संदेह नहीं है कि यह प्रमेय पाइथागोरस से कई साल पहले जाना जाता था। इसलिए, पाइथागोरस से 1500 साल पहले, प्राचीन मिस्रवासी जानते थे कि 3, 4 और 5 भुजाओं वाला एक त्रिकोण आयताकार होता है, और भूमि भूखंडों और संरचनाओं की इमारतों की योजना बनाते समय समकोण बनाने के लिए इस संपत्ति (यानी, पाइथागोरस के व्युत्क्रम प्रमेय) का उपयोग किया। और आज भी, ग्रामीण बिल्डर और बढ़ई, झोपड़ी की नींव रखते हैं, उसका विवरण बनाते हैं, इस त्रिकोण को समकोण बनाने के लिए बनाते हैं। यही काम हजारों साल पहले मिस्र, बेबीलोन, चीन और शायद मैक्सिको में भव्य मंदिरों के निर्माण में किया गया था। सबसे पुराने चीनी गणितीय और खगोलीय कार्य में जो हमारे पास आया है, झोउ-बी, पाइथागोरस से लगभग 600 साल पहले लिखा गया था, एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अन्य वाक्यों में, पाइथागोरस प्रमेय भी निहित है। पहले भी यह प्रमेय हिंदुओं को ज्ञात था। इस प्रकार, पाइथागोरस ने एक समकोण त्रिभुज की इस संपत्ति की खोज नहीं की; वह संभवतः इसे सामान्य बनाने और इसे सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिससे इसे अभ्यास के क्षेत्र से विज्ञान के क्षेत्र में स्थानांतरित कर दिया गया। हम नहीं जानते कि उसने यह कैसे किया। गणित के कुछ इतिहासकारों का मानना ​​है कि, फिर भी, पाइथागोरस का प्रमाण मौलिक नहीं था, बल्कि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से शुरू होने वाले कई विशेष प्रकार के त्रिकोणों पर इस संपत्ति का सत्यापन, जिसके लिए यह स्पष्ट रूप से अंजीर से अनुसरण करता है। 1.

प्राचीन काल से, गणितज्ञों ने पायथागॉरियन प्रमेय के अधिक से अधिक प्रमाण पाए हैं, इसके प्रमाणों के लिए अधिक से अधिक विचार। डेढ़ सौ से अधिक ऐसे प्रमाण - अधिक या कम कठोर, अधिक या कम दृश्य - ज्ञात हैं, लेकिन उनकी संख्या बढ़ाने की इच्छा को संरक्षित रखा गया है। मुझे लगता है कि पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों की स्वतंत्र "खोज" आधुनिक स्कूली बच्चों के लिए उपयोगी होगी।

आइए सबूतों के कुछ उदाहरणों पर विचार करें जो ऐसी खोजों की दिशा का सुझाव दे सकते हैं।

अंकों के समान क्षेत्रफल की अवधारणा के प्रयोग पर आधारित प्रमाण।

उसी समय, हम उन साक्ष्यों पर विचार कर सकते हैं जिनमें किसी दिए गए समकोण त्रिभुज के कर्ण पर निर्मित वर्ग पैरों पर बने वर्गों के समान आकृतियों से "बना" है। हम ऐसे प्रमाणों पर भी विचार कर सकते हैं जिनमें अंकों के पदों के क्रमचय का प्रयोग किया जाता है और अनेक नए विचारों को ध्यान में रखा जाता है।

• अंजीर पर। 2 दो बराबर वर्ग दिखाता है। प्रत्येक वर्ग की भुजाओं की लंबाई a + b है। प्रत्येक वर्ग को वर्गों और समकोण त्रिभुजों से युक्त भागों में विभाजित किया गया है। यह स्पष्ट है कि यदि हम एक समकोण त्रिभुज के चतुर्भुज क्षेत्र को वर्ग क्षेत्र से a, b के साथ घटाते हैं, तो समान क्षेत्र शेष रहते हैं, अर्थात c 2 \u003d a 2 + b 2। हालाँकि, प्राचीन हिंदू, जिनके पास यह तर्क है, आमतौर पर इसे नहीं लिखते थे, लेकिन ड्राइंग के साथ केवल एक शब्द था: "देखो!" यह बहुत संभव है कि पाइथागोरस ने भी यही प्रमाण दिया हो।

योगात्मक साक्ष्य।

ये प्रमाण पादों पर बने वर्गों के आकृतियों में अपघटन पर आधारित हैं, जिनसे कर्ण पर बने वर्ग को जोड़ना संभव है।

यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; सीएमएन के बारे में; सीके ^ एमएन; पीओ || एमएन; ईएफ || एमएन।

पादों और कर्ण पर बने वर्गों को विभाजित करके प्राप्त त्रिभुजों की युग्मवार समानता को स्वयं सिद्ध कीजिए।

• अंजीर पर। 4 यूक्लिड की "शुरुआत" पर मध्यकालीन बगदाद टीकाकार अल-नैरिज़िया के विभाजन का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण दिखाता है। इस विभाजन में कर्ण पर बने वर्ग को 3 त्रिभुज और 2 चतुर्भुजों में विभाजित किया जाता है। यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; डीई = बीएफ।

इस विभाजन का प्रयोग करके प्रमेय को सिद्ध कीजिए।

• अल-नैरिज़िया के प्रमाण के आधार पर, वर्गों का जोड़ीदार समान आकृतियों में एक और अपघटन भी किया गया था (चित्र 5, यहाँ ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है)।

• वर्गों को समान भागों में विघटित करने की विधि द्वारा एक अन्य प्रमाण, जिसे "ब्लेड वाला पहिया" कहा जाता है, अंजीर में दिखाया गया है। 6. यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; ओ - एक बड़े पैर पर बने वर्ग का केंद्र; बिंदु O से गुजरने वाली धराशायी रेखाएँ कर्ण के लंबवत या समानांतर होती हैं।

• वर्गों का यह अपघटन इस मायने में दिलचस्प है कि इसके जोड़ीदार समान चतुर्भुजों को समानांतर अनुवाद द्वारा एक दूसरे पर मैप किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय के कई अन्य प्रमाण वर्गों को अंकों में अपघटन का उपयोग करके पेश किए जा सकते हैं।

विस्तार विधि द्वारा प्रमाण।

इस पद्धति का सार यह है कि टाँगों पर बने वर्ग और कर्ण पर बने वर्ग पर समान आकृतियाँ इस प्रकार जोड़ी जाती हैं कि समान आकार की आकृतियाँ प्राप्त होती हैं।

पाइथागोरस प्रमेय की वैधता हेक्सागोन्स AEDFPB और ACBNMQ के समान आकार से होती है। यहां सीके बारे में ईपी, रेखा ईपी षट्भुज एईडीएफपीबी को दो समान-क्षेत्रीय चतुष्कोणों में विभाजित करती है, रेखा सीएम षट्भुज एसीबीएनएमक्यू को दो समान-क्षेत्रीय चतुष्कोणों में विभाजित करती है; केंद्र A के चारों ओर विमान का 90° का घूर्णन चतुर्भुज AEPB को चतुर्भुज ACMQ में मैप करता है।

अब हम सिद्ध करते हैं कि पहली स्थिति में घटाए गए अंक दूसरी स्थिति में घटाए गए अंकों के आकार के बराबर हैं।

केएलओए = एसीपीएफ = एसीईडी = ए 2;

एलजीबीओ = सीबीएमपी = सीबीएनक्यू = बी 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

इसलिए सी 2 = ए 2 + बी 2।

ओसीएलपी=एसीएलएफ=एसीईडी=बी2;

सीबीएमएल = सीबीएनक्यू = ए 2;

ओबीएमपी = एबीएमएफ = सी 2;

ओबीएमपी = ओसीएलपी + सीबीएमएल;

यहाँ से

सी 2 = ए 2 + बी 2।

• चावल। 11 हॉफमैन द्वारा प्रस्तावित एक और अधिक मूल प्रमाण को दर्शाता है।
  यहाँ: समकोण C के साथ त्रिभुज ABC; खंड बीएफ सीबी के लिए लंबवत और बराबर है, खंड बीई लंबवत है और एबी के बराबर है, खंड एडी लंबवत है और एसी के बराबर है; बिंदु F, C, D एक सीधी रेखा से संबंधित हैं; चतुर्भुज ADFB और ACBE बराबर हैं क्योंकि ABF=ECB; त्रिभुज ADF और ACE बराबर हैं; दोनों समान चतुर्भुजों में से उनके उभयनिष्ठ त्रिभुज ABC को घटाने पर हमें प्राप्त होता है

प्रमाण की बीजगणितीय विधि।

अंजीर पर। 13 ABC - आयताकार, C - समकोण, CM^ AB, b 1 कर्ण पर पैर b का प्रक्षेपण है, a 1 कर्ण पर पैर का प्रक्षेपण है, h कर्ण के लिए खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई है।

इस तथ्य से कि D ABC, D ACM के समान है, यह इस प्रकार है

बी 2 \u003d सीबी 1; (1)

इस तथ्य से कि D ABC, D BCM के समान है, यह इस प्रकार है

ए 2 = सीए 1। (2)

समता (1) और (2) पदों को पदानुसार जोड़ने पर, हमें a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 प्राप्त होता है।

यदि पाइथागोरस ने वास्तव में इस तरह का प्रमाण दिया था, तो वह कई महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेयों से भी परिचित था, जो गणित के आधुनिक इतिहासकार आमतौर पर यूक्लिड को श्रेय देते हैं।

जिससे यह पता चलता है कि c 2 =a 2 +b 2 ।

क्षण में

इन व्यंजकों की बराबरी करने पर हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है।

• पायथागॉरियन प्रमेय के कई प्रमाण हैं, वर्णित विधियों में से प्रत्येक द्वारा और विभिन्न विधियों के संयोजन का उपयोग करके दोनों को पूरा किया गया है। विभिन्न प्रमाणों के उदाहरणों की समीक्षा को पूरा करते हुए, हम यूक्लिड के "तत्वों" (चित्र 16 - 23) में आठ तरीकों को दर्शाते हुए अधिक चित्र देंगे। इन रेखाचित्रों में, पायथागॉरियन आकृति को एक ठोस रेखा के साथ दिखाया गया है, और अतिरिक्त निर्माणों को बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।

1. वैन डेर वेर्डन बी.एल. जागृति विज्ञान। प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और यूनान का गणित। एम।, 1959।
2. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास। एम।, 1982।
3. एलेंस्की श पाइथागोरस के नक्शेकदम पर। एम।, 1961।
4. लिट्ज़मैन वी. पाइथागोरस प्रमेय। एम।, 1960।
5. स्कोपेट्स जेड.ए. ज्यामितीय लघुचित्र। एम।, 1990।

रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय

एमओयू लिसेयुम № 1

विषय पर रिपोर्ट: "पाइथागोरस और उनकी प्रमेय"

समूह 8 - 1, 2 के विद्यार्थी:

मिनिट्सकाया ई.पी.

अध्यापक:

स्कोवर्त्सोवा ए.एस.

1. 
   पाइथागोरस की जीवनी
2. 
   प्रमेय का इतिहास
3. 
   पायथागॉरियन नंबर
4. 
   प्रमेय की उपपत्तियाँ (सरलतम उपपत्तियों से लेकर सबसे जटिल प्रमाणों तक)

1. पाइथागोरस की जीवनी

महान वैज्ञानिक पाइथागोरस का जन्म इसी के आसपास हुआ था 570 ईसा पूर्व समोस द्वीप पर। पाइथागोरस के पिता मेनेसार्चस थे, जो एक रत्न-कार्वर थे। पाइथागोरस की माता का नाम अज्ञात है। कई प्राचीन प्रमाणों के अनुसार, जन्म लेने वाला लड़का शानदार रूप से सुंदर था, और जल्द ही उसने अपनी उत्कृष्ट क्षमता दिखाई। युवा पाइथागोरस के शिक्षकों के बीच, परंपरा सिरोस के बड़े हरमोडामेंट और फेरेकिड्स के नामों को बुलाती है (हालांकि इस बात की कोई निश्चित निश्चितता नहीं है कि जर्मोडामैंट और फेरेकिड्स पाइथागोरस के पहले शिक्षक थे)। युवा पाइथागोरस ने पूरे दिन बड़े हरमोदमंत के चरणों में बिताया, सिटहारा की धुनों और होमर के हेक्सामेटर्स को सुना। महान होमर, पाइथागोरस के संगीत और कविता के लिए जुनून जीवन के लिए बरकरार रहा। और, छात्रों की भीड़ से घिरे एक प्रसिद्ध संत होने के नाते, पाइथागोरस ने दिन की शुरुआत होमर के गीतों में से एक को गाकर की। Pherecydes एक दार्शनिक थे और उन्हें इतालवी स्कूल ऑफ फिलॉसफी का संस्थापक माना जाता था। इस प्रकार, यदि हरमोडामैंट ने युवा पाइथागोरस को कस्तूरी के घेरे में पेश किया, तो फेरेकेडेस ने अपने दिमाग को लोगो की ओर मोड़ दिया। फेरेकाइड्स ने पाइथागोरस की टकटकी को प्रकृति की ओर निर्देशित किया और अकेले में उन्होंने अपने पहले और मुख्य शिक्षक को देखने की सलाह दी। लेकिन जैसा भी हो, युवा पायथागोरस की बेचैन कल्पना जल्द ही छोटे समोस पर भीड़ हो गई, और वह मिलिटस जाता है, जहां वह एक अन्य वैज्ञानिक थेल्स से मिलता है। थेल्स ने उन्हें ज्ञान के लिए मिस्र जाने की सलाह दी, जो पाइथागोरस ने किया।

में 548 ईसा पूर्व पाइथागोरस सामियन कॉलोनी, नवक्रतिस पहुंचे, जहां आश्रय और भोजन खोजने वाला कोई था। मिस्रवासियों की भाषा और धर्म का अध्ययन करने के बाद, वह मेम्फिस के लिए रवाना होता है। फिरौन की सिफारिश के पत्र के बावजूद, चालाक पुजारी पाइथागोरस को अपने रहस्य प्रकट करने की जल्दी में नहीं थे, उसे कठिन परीक्षणों की पेशकश की। लेकिन ज्ञान की प्यास से प्रेरित होकर, पाइथागोरस ने उन सभी पर काबू पा लिया, हालाँकि खुदाई के अनुसार, मिस्र के पुजारी उसे ज्यादा कुछ नहीं सिखा सके, क्योंकि। उस समय, मिस्र की ज्यामिति विशुद्ध रूप से लागू विज्ञान थी (भूमि की गिनती और माप के लिए उस समय की आवश्यकता को पूरा करना)। इसलिए, पुजारियों ने उसे जो कुछ भी दिया, उसे जानने के बाद, वह उनसे बचकर, नर्क में अपनी मातृभूमि चला गया। हालाँकि, रास्ते का एक हिस्सा पूरा करने के बाद, पाइथागोरस एक थलचर यात्रा का फैसला करता है, जिसके दौरान उसे बेबीलोन के राजा कैंबिस द्वारा पकड़ लिया गया, जो घर जा रहा था। बाबुल में पाइथागोरस के जीवन को नाटकीय बनाने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि महान शासक साइरस सभी बंदियों के प्रति सहिष्णु था। मिस्र की तुलना में बेबीलोनियन गणित निर्विवाद रूप से अधिक उन्नत था (इसका एक उदाहरण कलन की स्थिति प्रणाली है), और पाइथागोरस को अभी बहुत कुछ सीखना था। लेकिन में 530 ईसा पूर्व साइरस ने मध्य एशिया में जनजातियों के खिलाफ अभियान शुरू किया। और, शहर में हंगामे का फायदा उठाते हुए, पाइथागोरस अपने वतन भाग गया। और उस समय सामोस पर अत्याचारी पॉलीक्रेट्स का शासन था। बेशक, पाइथागोरस अदालत के अर्ध-दास के जीवन से संतुष्ट नहीं थे, और वे समोस के आसपास की गुफाओं में चले गए। पॉलीक्रेट्स के कई महीनों के दावों के बाद, पाइथागोरस क्रोटन चले गए। क्रोटन में, पाइथागोरस ने एक धार्मिक-नैतिक भाईचारे या एक गुप्त मठवासी व्यवस्था ("पाइथागोरस") की तरह कुछ स्थापित किया, जिसके सदस्य तथाकथित पाइथागोरियन जीवन शैली का नेतृत्व करने के लिए बाध्य थे। यह एक ही समय में एक धार्मिक संघ, एक राजनीतिक क्लब और एक वैज्ञानिक समाज था। यह कहा जाना चाहिए कि पाइथागोरस द्वारा प्रचारित कुछ सिद्धांत अब भी अनुकरण के योग्य हैं।

20 साल हो गए हैं। भाईचारे की कीर्ति सारे संसार में फैल गई। एक दिन, सिलोन, एक अमीर लेकिन दुष्ट आदमी, पाइथागोरस के पास आता है, नशे में भाईचारे में शामिल होना चाहता है। मना करने के बाद, सिलोन ने अपने घर में आगजनी का फायदा उठाते हुए पाइथागोरस के साथ लड़ाई शुरू कर दी। आग के दौरान, पाइथागोरस ने अपने शिक्षक की जान अपने खर्चे पर बचाई, जिसके बाद पाइथागोरस को घर की याद आने लगी और जल्द ही उसने आत्महत्या कर ली।

2. पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास

पाइथागोरस प्रमेय कहता है : समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पादों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

आइए प्राचीन चीन के साथ ऐतिहासिक समीक्षा शुरू करें . यहाँ, गणितीय पुस्तक चू-पेई पर विशेष ध्यान दिया गया है। यह निबंध 3, 4 और 5 भुजाओं वाले पाइथागोरस त्रिभुज के बारे में यही कहता है:

"यदि एक समकोण को उसके घटक भागों में विभाजित किया जाता है, तो उसके पक्षों के सिरों को जोड़ने वाली रेखा 5 होगी जब आधार 3 और ऊँचाई 4 हो".

में वही पुस्तक एक चित्र प्रस्तुत करती है जो बशारा के हिंदू ज्यामिति के रेखाचित्रों में से एक के साथ मेल खाता है।

कैंटर(गणित का सबसे बड़ा जर्मन इतिहासकार) समानता को मानता है

3² + 4² = 5²

2300 ईसा पूर्व के आसपास मिस्र के लोगों के लिए पहले से ही जाना जाता था। ई।, राजा अमेनेमेट I के समय (बर्लिन संग्रहालय के पेपिरस 6619 के अनुसार)।

कैंटर के अनुसार, हार्पेडोनैप्स, या "स्ट्रिंगर्स", 3, 4 और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण बनाते हैं। उनके निर्माण की विधि को पुन: उत्पन्न करना बहुत आसान है। 12 मीटर लंबी एक रस्सी लें और इसे रंगीन पट्टी के साथ 3 मीटर की दूरी पर बांध दें। एक छोर से और दूसरे छोर से 4 मीटर की दूरी पर। 3 और 4 मीटर लंबी भुजाओं के बीच एक समकोण घेरा जाएगा। हार्पेडोनैप्स पर यह आपत्ति की जा सकती है कि यदि कोई उपयोग करता है, उदाहरण के लिए, सभी बढ़ई द्वारा उपयोग किए जाने वाले लकड़ी के वर्ग का निर्माण करने का उनका तरीका अतिश्योक्तिपूर्ण हो जाता है। वास्तव में, मिस्र के चित्र ज्ञात हैं जिनमें ऐसा उपकरण पाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक बढ़ईगीरी कार्यशाला का चित्रण।

बेबीलोनियों के बीच पाइथागोरस प्रमेय के बारे में कुछ अधिक ज्ञात है। एक पाठ में हम्मूराबी के समय, यानी 2000 ई.पू. ई।, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना दी गई है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मेसोपोटामिया में वे कम से कम कुछ मामलों में समकोण त्रिभुजों के साथ गणना करने में सक्षम थे। एक ओर, मिस्र और बेबीलोनियाई गणित के ज्ञान के वर्तमान स्तर पर, और दूसरी ओर, यूनानी स्रोतों के आलोचनात्मक अध्ययन पर आधारित, वैन डेर वेर्डन(डच गणितज्ञ) ने निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला:

"पहले ग्रीक गणितज्ञों, जैसे थेल्स, पाइथागोरस और पाइथागोरस की योग्यता, गणित की खोज नहीं है, बल्कि इसका व्यवस्थितकरण और औचित्य है। उनके हाथों में, अस्पष्ट विचारों पर आधारित कम्प्यूटेशनल व्यंजनों को एक सटीक विज्ञान में बदल दिया गया।"

हिंदुओं के साथ-साथ मिस्रियों और बेबीलोनियों के बीच ज्यामिति पंथ के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई थी। यह बहुत संभावना है कि 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास भारत में कर्ण वर्ग प्रमेय पहले से ही ज्ञात था। इ।

1. 
   पायथागॉरियन नंबर

गणित में पायथागॉरियन नंबर (पायथागॉरियन ट्रिपल) पाइथागोरियन संबंध को संतुष्ट करने वाले तीन पूर्णांकों का एक टपल है:

एक्स 2 + वाई 2 = जेड 2 .

समीकरण के बाद से एक्स 2 + वाई 2 = जेड 2 सजातीय, जब गुणा किया जाता है एक्स, वाईऔर जेडसमान संख्या के लिए आपको एक और पायथागॉरियन ट्रिपल मिलता है। पाइथागोरस त्रिक कहा जाता है प्राचीन , अगर इसे इस तरह से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात - अपेक्षाकृत प्रमुख संख्याएँ.

एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पायथागॉरियन संख्या के बराबर हैं आयताकार . इसके अतिरिक्त, ऐसा कोई भी त्रिभुज हेरोनियन होता है, अर्थात ऐसा त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक हों। उनमें से सबसे सरल- मिस्र का त्रिकोणपार्टियों के साथ 3, 4 और 5 (3 2 + 4 2 = 5 2 ).

पायथागॉरियन ट्रिपल यूनिट सर्कल पर तर्कसंगत निर्देशांक वाले बिंदु को परिभाषित करता है एक्स 2 + वाई 2 = 1 .

यह देखना आसान है कि आदिम ट्रिपल में ( एक्स, वाई, जेड) नंबर एक्सऔर वाईअलग समानता है। कोई आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल ( एक्स, वाई, जेड), कहाँ एक्स- अजीब, लेकिन वाई- समान रूप से, स्पष्ट रूप से कुछ के लिए रूप में प्रतिनिधित्व किया प्राकृतिक कॉपरिमनंबर एम > एनअलग समानता। इसके विपरीत, ऐसी कोई भी जोड़ी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल को परिभाषित करती है।

कुछ पायथागॉरियन ट्रिपल (अधिकतम संख्या के आरोही क्रम में क्रमबद्ध, आदिम वाले हाइलाइट किए गए हैं): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

पायथागॉरियन ट्रिपल बहुत लंबे समय से ज्ञात हैं। प्राचीन मेसोपोटामिया के मकबरे की वास्तुकला में, एक समद्विबाहु त्रिभुज पाया जाता है, जो 9, 12 और 15 हाथ की भुजाओं वाले दो आयताकारों से बना होता है। फिरौन स्नेफ्रू (XXVII सदी ईसा पूर्व) के पिरामिड 20, 21 और 29 के साथ-साथ 18, 24 और 30 दसियों मिस्र के भुजाओं वाले त्रिभुजों का उपयोग करके बनाए गए थे।

अन्य शब्दकोश भी देखें:

• 
  पायथागॉरियन नंबर- प्राकृतिक संख्याओं का त्रिगुण जैसे कि एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ इन संख्याओं के समानुपाती (या बराबर) हैं, समकोण है। प्रमेय के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम (पाइथागोरस प्रमेय देखें), इसके लिए यह पर्याप्त है कि वे संतुष्ट हों ... (महान सोवियत विश्वकोश).

1. 
   पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण

आज तक, वैज्ञानिक साहित्य है 367 इस प्रमेय के प्रमाण। संभवतः, पायथागॉरियन प्रमेय एकमात्र प्रमेय है जिसके इतने प्रभावशाली प्रमाण हैं। इस तरह की विविधता को केवल ज्यामिति के लिए प्रमेय के मौलिक महत्व से ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समान त्रिभुजों के माध्यम से

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण सीधे स्वयंसिद्धों से निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है। विशेष रूप से, यह आकृति क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

पी
मुँह एबीसीएक समकोण त्रिभुज है सी. से एक ऊंचाई बनाते हैं सीऔर इसके आधार को निरूपित करें एच. त्रिकोण आकत्रिभुज के समान एबीसीदो कोनों पर। इसी तरह त्रिकोण सीबीएचसमान एबीसी. अंकन का परिचय

हम पाते हैं

क्या समतुल्य है

जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

क्षेत्र प्रमाण

निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से कहीं अधिक जटिल है।

तुल्यता के माध्यम से प्रमाण

1. 
   आइए चार समान समकोण त्रिभुजों की व्यवस्था करें।
2. 
   भुजाओं वाला चतुर्भुज सीएक वर्ग है क्योंकि दो न्यूनकोणों का योग 90° और ऋजु कोण 180° है।
3. 
   संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल एक ओर, एक भुजा (a + b) वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का योग भीतरी चौक का।

Q.E.D.

समानता के माध्यम से साक्ष्य

इ क्रमचय द्वारा वैध प्रमाण। इन प्रमाणों में से एक का उदाहरण दायीं ओर के आरेखण में दिखाया गया है, जहां कर्ण पर बने वर्ग को क्रमचय द्वारा पादों पर निर्मित दो वर्गों में परिवर्तित किया जाता है।

यूक्लिड का प्रमाण

और यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि कर्ण पर निर्मित वर्ग का आधा क्षेत्रफल पादों पर निर्मित वर्ग के आधे क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है, और फिर बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं।

दाईं ओर आरेखण पर विचार करें। हमने उस पर एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर वर्ग बनाए और समकोण C के शीर्ष से कर्ण AB के लम्बवत् एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों - BHJI और HAKJ में काटती है। , क्रमश। यह पता चला है कि इन आयतों के क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हैं।

आइए सिद्ध करने का प्रयास करें कि DECA वर्ग का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करते हैं: दिए गए आयत के समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल दिए गए आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊंचाई के आधे उत्पाद के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह पता चलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK (दिखाया नहीं गया) के क्षेत्रफल के बराबर है, जो बदले में आयत AHJK के आधे क्षेत्र के बराबर है।

डी अब हम सिद्ध करते हैं कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। इसके लिए केवल एक चीज की जरूरत है कि त्रिभुज ACK और BDA की समानता को सिद्ध किया जाए (चूंकि त्रिभुज BDA का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति द्वारा वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है, त्रिभुज दो भुजाओं और उनके बीच के कोण में बराबर होते हैं। अर्थात् - AB \u003d AK, AD \u003d AC - गति विधि द्वारा CAK और BAD कोणों की समानता को सिद्ध करना आसान है: आइए त्रिभुज CAK को 90 ° वामावर्त घुमाएँ, तो यह स्पष्ट है कि दो माना त्रिभुजों की संगत भुजाएँ संपाती होगा (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)।

वर्ग BCFG और आयत BHJI के क्षेत्रफलों की समानता के बारे में तर्क पूरी तरह से समरूप है।

इस प्रकार हमने सिद्ध किया है कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पादों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। इस प्रमाण के पीछे के विचार को ऊपर दिए गए एनीमेशन के साथ और स्पष्ट किया गया है।

सबूत लियोनार्डो दा विंसी

जी प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

आरेखण पर विचार करें, जैसा कि समरूपता, खंड से देखा जा सकता है सीआईवर्ग को काटता है एबीएचजेदो समान भागों में (त्रिकोण के बाद से एबीसीऔर जेएचआईनिर्माण में समान हैं)। 90 डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करके, हम छायांकित आंकड़ों की समानता देखते हैं काजीऔर जीडीएबी. अब यह स्पष्ट है कि हमारे द्वारा छायांकित आकृति का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है, साथ ही मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल भी। प्रूफ़ का अंतिम चरण आप पर छोड़ा गया है।

साथ अंतर समीकरणों का उपयोग करते हुए निम्नलिखित प्रमाण को अक्सर प्रसिद्ध अंग्रेजी गणितज्ञ के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है साहसीजो बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में रहते थे।

चित्र में दिखाए गए रेखाचित्र को ध्यान में रखते हुए और पार्श्व में परिवर्तन को देखते हुए ए, हम इनफिनिटिमल साइड इंक्रीमेंट के लिए निम्न संबंध लिख सकते हैं साथऔर ए(समान त्रिभुजों का प्रयोग करके):

अतिसूक्ष्म विधि द्वारा प्रमाण

चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति

इस समीकरण को एकीकृत करना और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

सी 2 = ए 2 + बी 2 + स्थिर।

इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुंचते हैं

सी 2 = ए 2 + बी 2 .

जैसा कि देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान के कारण होता है।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मानते हैं कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है (इस मामले में, पैर बी). फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हमें मिलता है

सबसे सरल प्रमाण

प्रमेय का सबसे सरल प्रमाण समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के सरलतम मामले में प्राप्त होता है। वास्तव में, यह देखने के लिए कि प्रमेय सत्य है, समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों की खपरैल को देखना ही पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC के लिए: कर्ण AC पर बने वर्ग में 4 आरंभिक त्रिभुज होते हैं, और पैरों पर बने वर्गों में दो होते हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
अपघटन द्वारा प्रमाण

पायथागॉरियन प्रमेय के कई प्रमाण हैं, जिसमें पैरों पर और कर्ण पर बने वर्गों को काट दिया जाता है ताकि कर्ण पर बने वर्ग का प्रत्येक भाग पैरों पर बने वर्गों में से एक के हिस्से से मेल खाता हो। इन सभी मामलों में, प्रमाण को समझने के लिए आरेखण पर एक नज़र पर्याप्त है; यहाँ तर्क एक शब्द तक सीमित हो सकता है: "देखो!", जैसा कि प्राचीन हिंदू गणितज्ञों के लेखन में किया गया था। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वास्तव में प्रमाण को तब तक पूर्ण नहीं माना जा सकता जब तक कि हम एक दूसरे के अनुरूप सभी भागों की समानता साबित न कर दें। यह करना लगभग हमेशा काफी आसान होता है, लेकिन (विशेष रूप से बड़ी संख्या में भागों के साथ) इसके लिए बहुत अधिक काम की आवश्यकता होती है।

एपस्टीन का प्रमाण

आइए सबूत के साथ शुरू करें एपस्टीन; इसका लाभ यह है कि यहाँ केवल त्रिभुज ही विस्तार के घटकों के रूप में प्रकट होते हैं। ड्राइंग को समझने के लिए, ध्यान दें कि डायरेक्ट सीडी वायर ईडीना ईएफ लाइन के लिए लंबवत।

त्रिकोण में अपघटन को चित्र की तुलना में अधिक दृश्य भी बनाया जा सकता है।

डी नीलसन सबूत

चित्र में, सुझाव द्वारा सहायक लाइनों को बदल दिया गया है नीलसन.

डी बेचर सबूत

आंकड़ा एक बहुत स्पष्ट अपघटन दिखाता है बेथेरा.

पेरिगल का प्रमाण

में पाठ्यपुस्तकें अक्सर चित्र में दर्शाए गए विस्तार को पूरा करती हैं (तथाकथित "ब्लेड वाला पहिया"; यह प्रमाण मिला था पेरिगल). बड़े पैर पर बने वर्ग के केंद्र O के माध्यम से, हम कर्ण के समानांतर और लंबवत सीधी रेखाएँ खींचते हैं। आकृति के हिस्सों का पत्राचार आरेखण से स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

गुथिल का प्रमाण

और चित्र में दिखाया गया अपघटन गुथिल के कारण होता है; यह व्यक्तिगत भागों की एक दृश्य व्यवस्था की विशेषता है, जो आपको तुरंत देखने की अनुमति देता है कि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले में क्या सरलीकरण होगा।

9वीं शताब्दी सीई सबूत

आर पहले केवल ऐसे ही प्रमाण प्रस्तुत किए जाते थे जिनमें एक ओर कर्ण पर बना वर्ग तथा दूसरी ओर पादों पर बना वर्ग समान भागों से बना होता था। ऐसे प्रमाणों को जोड़ प्रमाण ("योगात्मक प्रमाण") या, अधिक सामान्यतः, अपघटन प्रमाण कहा जाता है। अब तक, हम त्रिभुज की संगत भुजाओं पर बने वर्गों की सामान्य व्यवस्था से आगे बढ़े हैं, अर्थात् त्रिभुज के बाहर। हालाँकि, कई मामलों में, वर्गों की एक अलग व्यवस्था अधिक लाभप्रद होती है।

आकृति में, पैरों पर बने वर्ग एक दूसरे के बगल में चरणों में रखे गए हैं। यह आंकड़ा, जो 9वीं शताब्दी सीई के बाद के साक्ष्य में होता है, ई।, भारतीयों ने बुलाया "दुल्हन की कुर्सी". कर्ण के बराबर भुजा वाला वर्ग बनाने की विधि चित्र से स्पष्ट है। पैरों पर बने दो वर्गों और कर्ण पर बने वर्ग का सामान्य भाग एक अनियमित छायांकित पेंटागन 5 है। इसमें त्रिकोण 1 और 2 को जोड़कर, हम दोनों वर्गों को पैरों पर निर्मित करते हैं; यदि हम त्रिभुज 1 और 2 को उनके बराबर के त्रिभुज 3 और 4 से बदल दें, तो हमें कर्ण पर एक वर्ग निर्मित हो जाता है। नीचे दिए गए आंकड़े पहले आंकड़े में दी गई व्यवस्था के करीब दो अलग-अलग व्यवस्थाओं को दिखाते हैं।

पूरक विधि द्वारा प्रमाण

प्रमाण एक

एच जोड़ विधि द्वारा उपपत्ति के साथ घटाव द्वारा उपपत्ति के उदाहरण दिए जा सकते हैं, जिन्हें योग विधि द्वारा उपपत्ति भी कहा जाता है। ऐसे प्रमाणों का सामान्य विचार इस प्रकार है।

दो समान क्षेत्रों से, समान भागों को घटाया जाना चाहिए ताकि एक मामले में पैरों पर निर्मित दो वर्ग हों, और दूसरे में - कर्ण पर बना एक वर्ग। आखिर, अगर समानता में

बी - ए \u003d सी और बी 1 - ए 1 \u003d सी 1

भाग एबराबर भाग ए 1 , और भाग मेंआकार के बराबर में 1 , फिर भाग साथऔर साथ 1 भी बराबर हैं।

आइए इस विधि को एक उदाहरण से समझाते हैं। अंजीर पर। त्रिभुज 2 और 3, मूल त्रिभुज 1 के बराबर, मूल त्रिभुज 1 के बराबर, ऊपर और नीचे एक सामान्य पायथागॉरियन आकृति से जुड़े होते हैं। रेखा DG आवश्यक रूप से C से होकर गुजरेगी। अब हम ध्यान दें (हम इसे बाद में सिद्ध करेंगे) कि हेक्सागोन्स DABGFE और CAJKHB बराबर हैं। यदि हम उनमें से पहले से त्रिकोण 1 और 2 घटाते हैं, तो पैरों पर बने वर्ग शेष रहेंगे, और यदि हम दूसरे षट्भुज से बराबर त्रिकोण 1 और 3 घटाते हैं, तो कर्ण पर निर्मित एक वर्ग शेष रहेगा। इसका तात्पर्य यह है कि कर्ण पर निर्मित वर्ग पादों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

यह साबित करना बाकी है कि हमारे षट्भुज बराबर हैं। ध्यान दें कि रेखा DG ऊपरी षट्भुज को समान भागों में विभाजित करती है; सीधी रेखा CK और निचले षट्भुज के बारे में भी यही कहा जा सकता है। चतुर्भुज DABG को घुमाएँ, जो षट्भुज DABGFE का आधा है, बिंदु A के चारों ओर 90 के कोण से दक्षिणावर्त; तो यह चतुर्भुज CAJK के साथ मेल खाएगा, जो षट्भुज CAJKHB का आधा है। इसलिए, हेक्सागोन्स DABGFE और CAJKHB बराबर हैं।

घटाव द्वारा एक और प्रमाण

पी आइए घटाव विधि द्वारा एक अन्य उपपत्ति से परिचित हों। हम पायथागॉरियन प्रमेय के परिचित आरेखण को एक आयताकार फ्रेम में संलग्न करते हैं, जिसकी भुजाओं की दिशा त्रिभुज के पैरों की दिशाओं के साथ मेल खाती है। आइए आकृति के कुछ खंडों को जारी रखें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, जबकि आयत कई त्रिभुजों, आयतों और वर्गों में टूट जाती है। सबसे पहले, आइए आयत से कुछ हिस्सों को हटा दें ताकि केवल कर्ण पर निर्मित एक वर्ग शेष रहे। ये भाग इस प्रकार हैं: त्रिकोण 1, 2, 3, 4; आयत 5; आयत 6 और वर्ग 8; आयत 7 और वर्ग 9;

फिर हम आयत से भागों को हटा देते हैं ताकि केवल पैरों पर निर्मित वर्ग ही रह जाएँ। ये भाग होंगे: आयत 6 और 7; आयत 5; आयत 1 (छायांकित); आयत 2 (छायांकित);

यह केवल हमारे लिए यह दिखाने के लिए रहता है कि घटाए गए भाग समान हैं। आंकड़ों की व्यवस्था के कारण यह देखना आसान है। चित्र से स्पष्ट है कि:

1. 
   आयत 5 स्वयं के बराबर है;
2. 
   चार त्रिभुज 1,2,3,4 क्षेत्रफल में दो आयत 6 और 7 के बराबर हैं;
3. 
   आयत 6 और वर्ग 8, एक साथ लिया गया, आयत 1 (छायांकित) के आकार के बराबर है;
4. 
   आयत 7 वर्ग 9 के साथ आयत 2 (छायांकित) के क्षेत्रफल के बराबर है;

प्रमाण पूर्ण है।

यूक्लिड का प्रमाण

इ प्रमाण दिया था यूक्लिडउसकी शुरुआत में। प्रोक्लस (बीजान्टियम) के अनुसार, इसका आविष्कार स्वयं यूक्लिड ने किया था। शुरुआत की पहली पुस्तक के प्रस्ताव 47 में यूक्लिड का प्रमाण दिया गया है।

समकोण त्रिभुज ABC के कर्ण और पादों पर संबंधित वर्गों का निर्माण किया गया है, और यह सिद्ध किया गया है कि आयत BJLD वर्ग ABFH के बराबर है, और आयत ICEL वर्ग ACCS के बराबर है। फिर पैरों पर वर्गों का योग कर्ण पर वर्ग के बराबर होगा।

दरअसल, त्रिभुज ABD और BFC दो भुजाओं और उनके बीच के कोण में बराबर हैं:

एफबी = एबी, बीसी = बीडी
पीएफबीसी = डी + आरएबीसी = आरएबीडी
एस एबीडी = 1/2 एस बीजेएलडी,

चूँकि त्रिभुज ABD और आयत BJLD का एक उभयनिष्ठ आधार BD और एक उभयनिष्ठ ऊँचाई LD है। उसी प्रकार

एस एफबीसी = 1\2एस एबीएफएच

(बीएफ आम आधार है, एबी समग्र ऊंचाई है)। इसलिए, यह देखते हुए

एस एबीडी = एस एफबीसी
एस बीजेएलडी = एस एबीएफएच।

इसी प्रकार, त्रिभुज BCK और ACE की समानता का उपयोग करके, हम इसे सिद्ध करते हैं

एसजेसीईएल = सैकग।
एस एबीएफएच + एस एसीकेजी = एस बीजेएलडी + एस जेसीईएल = एस बीसीईडी,

Q.E.D.

यूक्लिड का सरलीकृत प्रमाण

को जैसा कि अपघटन विधि द्वारा प्रमाण में होता है, उसी प्रकार यूक्लिडियन प्रकार के प्रमाण में, वर्गों की किसी भी व्यवस्था से शुरू किया जा सकता है। कभी-कभी सरलीकरण हासिल करना संभव होता है।

पैरों में से एक पर बने वर्ग को (आकृति में यह बड़े पैर पर बना एक वर्ग है) पैर के उसी तरफ त्रिकोण के रूप में स्थित होने दें। फिर पैर के विपरीत इस वर्ग की भुजा की निरंतरता कर्ण पर निर्मित वर्ग के शीर्ष से होकर गुजरती है। इस मामले में प्रमाण काफी सरल निकला, क्योंकि यहां यह एक त्रिकोण के क्षेत्र (यह छायांकित है) के साथ हमारे लिए रुचि के आंकड़ों के क्षेत्रों की तुलना करने के लिए पर्याप्त है - का क्षेत्र \u200b\u200bयह त्रिकोण वर्ग के आधे क्षेत्र के बराबर है और साथ ही आयत के आधे क्षेत्र के बराबर है।

हॉकिन्स सबूत

पी आइए हम एक और प्रमाण प्रस्तुत करें, जिसमें एक कम्प्यूटेशनल चरित्र है, लेकिन पिछले सभी से बहुत अलग है। यह 1909 में अंग्रेज हॉकिन्स द्वारा प्रकाशित किया गया था; क्या यह पहले से ज्ञात था - यह कहना कठिन है।

समकोण C वाले समकोण त्रिभुज ABC को 90° से घुमाएं ताकि वह A"CB" की स्थिति में आ जाए। हम बिंदु ए से परे कर्ण ए "बी" को बिंदु डी पर लाइन एबी के साथ चौराहे तक जारी रखते हैं। सेगमेंट बी "डी त्रिकोण बी" एबी की ऊंचाई होगी। अब छायांकित चतुर्भुज ए "एबी" बी पर विचार करें। इसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों CAA" और SVV" (या दो त्रिभुजों A"B"A और A"B"B) में विघटित किया जा सकता है।

एस सीएए" = बी²/2
एस सीबीबी" = ए²/2
एस ए "एबी" बी \u003d (ए² + बी²) / 2
त्रिकोण ए "बी" ए और ए "बी" बी का एक आम आधार सी और ऊंचाई डीए और डीबी है, इसलिए:

एस ए "एबी" बी \u003d सी * डीए / 2 + सी * डीबी / 2 \u003d सी (डीए + डीबी) / 2 \u003d सी² / 2

क्षेत्र के लिए प्राप्त दो भावों की तुलना करने पर, हम पाते हैं:

ए² + बी² = सी²

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

वाल्डहाइम का प्रमाण

इ सबूत भी कम्प्यूटेशनल है। क्षेत्र आधारित प्रमाणों को सिद्ध करने के लिए आप दो प्रकार से अंकों का प्रयोग कर सकते हैं।

डी पहली आकृति का उपयोग करके प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को दो तरीकों से व्यक्त करना पर्याप्त है।

ट्रेपेज़ = (ए+बी) ²/2
चतुर्भुज = a²b²+c²/2
हमें प्राप्त होने वाले सही भागों की बराबरी करना:

ए² + बी² = सी²

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रसिद्ध पायथागॉरियन प्रमेय - "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है"- स्कूल बेंच से सभी जानते हैं।

अच्छा आपको याद है "पाइथागोरियन पैंट", कौन "सभी दिशाओं में समान"- ग्रीक वैज्ञानिक के प्रमेय की व्याख्या करने वाला एक योजनाबद्ध चित्र।

यहाँ एऔर बी- पैर, और साथ- कर्ण:

अब मैं आपको इस प्रमेय के एक मूल प्रमाण के बारे में बताता हूँ, जिसके बारे में आप शायद नहीं जानते होंगे...

लेकिन पहले, आइए एक को देखें लेम्मा- एक सिद्ध कथन जो अपने आप में नहीं, बल्कि अन्य कथनों (प्रमेयों) को सिद्ध करने के लिए उपयोगी है।

शीर्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज लें एक्स, वाईऔर जेड, कहाँ जेड- समकोण और समकोण से लंब को गिराएं जेडकर्ण को। यहाँ डब्ल्यू- वह बिंदु जहाँ ऊँचाई कर्ण को काटती है।

यह रेखा (लंबवत) ZWत्रिकोण को अपनी समान प्रतियों में विभाजित करता है।

आपको याद दिला दूं कि त्रिभुज समान कहलाते हैं, जिनके कोण क्रमशः बराबर होते हैं, और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समान भुजाओं के समानुपाती होती हैं।

हमारे उदाहरण में, गठित त्रिकोण एक्सडब्ल्यूजेडऔर YWZएक दूसरे के समरूप हैं और मूल त्रिभुज के समरूप भी हैं एक्सवाईजेड.

इसे सिद्ध करना आसान है।

त्रिभुज XWZ से शुरू करते हुए, ध्यान दें कि ∠XWZ = 90 और इसलिए ∠XZW = 180-90-∠X। लेकिन 180–90-∠X -  ठीक वही है जो ∠Y है, इसलिए त्रिभुज XWZ त्रिभुज XYZ के समान (सभी कोण बराबर) होना चाहिए। त्रिभुज YWZ के लिए भी यही अभ्यास किया जा सकता है।

लेम्मा सिद्ध! एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर गिराई गई ऊँचाई (लंबवत) त्रिभुज को दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करती है, जो बदले में मूल त्रिभुज के समान होते हैं।

लेकिन, हमारे "पायथागॉरियन पैंट" पर वापस ...

कर्ण पर लंब गिराएं सी. परिणामस्वरूप, हमारे समकोण त्रिभुज के अंदर दो समकोण त्रिभुज हैं। आइए इन त्रिभुजों को (ऊपर हरे रंग में चित्र में) अक्षरों से निरूपित करें एऔर बी, और मूल त्रिभुज - अक्षर साथ.

बेशक, त्रिभुज का क्षेत्रफल साथत्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है एऔर बी.

वे। ए+ बी= साथ

अब शीर्ष पर स्थित आकृति ("पाइथागोरियन पैंट") को तीन घरों की आकृतियों में तोड़ते हैं:

जैसा कि हम पहले से ही लेम्मा, त्रिकोण से जानते हैं ए, बीऔर सीएक दूसरे के समान हैं, इसलिए परिणामी घरों के आंकड़े भी समान हैं और एक दूसरे के स्केल किए गए संस्करण हैं।

इसका मतलब है कि क्षेत्र अनुपात एऔर ए², -  क्षेत्रफल अनुपात के समान है बीऔर बी²,और सीऔर सी².

इस प्रकार हमारे पास है ए / ए² = बी / बी² = सी / सी² .

आइए आकृति-घर में त्रिभुज और वर्ग के क्षेत्रफलों के इस अनुपात को अक्षर द्वारा निरूपित करें क.

वे। क- यह त्रिकोण (घर की छत) के क्षेत्र को उसके नीचे के वर्ग के क्षेत्र से जोड़ने वाला एक निश्चित गुणांक है:
के = ए / ए² = बी / बी² = सी / सी²

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को उनके नीचे वाले वर्गों के क्षेत्रफलों के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
ए = का², बी = केबी², और सी = केसी²

लेकिन हमें वह याद है ए+बी=सी, मतलब का² + केबी² = केसी²

या ए² + बी² = सी²

और यह है पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण!