अवकल समीकरण का सही हल बताइए। विभेदक समीकरण

एक अंतर समीकरण एक समीकरण है जिसमें एक फ़ंक्शन और उसके एक या अधिक डेरिवेटिव शामिल हैं। अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं में, कार्य भौतिक मात्राएं हैं, डेरिवेटिव इन मात्राओं के परिवर्तन की दरों के अनुरूप हैं, और समीकरण उनके बीच के संबंध को निर्धारित करता है।

यह लेख कुछ प्रकार के साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है, जिनके समाधान के रूप में लिखा जा सकता है प्राथमिक कार्य, अर्थात्, बहुपद, घातीय, लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय कार्य, साथ ही साथ उनके व्युत्क्रम कार्य। इनमें से कई समीकरण वास्तविक जीवन में होते हैं, हालांकि अधिकांश अन्य अंतर समीकरणों को इन विधियों से हल नहीं किया जा सकता है, और उनके लिए उत्तर विशेष कार्यों या शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जाता है, या संख्यात्मक तरीकों से पाया जाता है।

इस लेख को समझने के लिए, आपको डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस को जानने की जरूरत है, साथ ही आंशिक डेरिवेटिव की कुछ समझ होनी चाहिए। अंतर समीकरणों, विशेष रूप से दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों पर लागू रैखिक बीजगणित की मूल बातें जानने की भी सिफारिश की जाती है, हालांकि अंतर और अभिन्न कलन का ज्ञान उन्हें हल करने के लिए पर्याप्त है।

प्रारंभिक जानकारी

• विभेदक समीकरणों का एक व्यापक वर्गीकरण है। यह लेख बात करता है सामान्य अवकल समीकरण, अर्थात्, उन समीकरणों के बारे में जिनमें एक चर और उसके डेरिवेटिव का एक कार्य शामिल है। साधारण अवकल समीकरणों को समझना और हल करना बहुत आसान है आंशिक अंतर समीकरण, जिसमें कई चर के कार्य शामिल हैं। यह लेख आंशिक अंतर समीकरणों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि इन समीकरणों को हल करने के तरीके आमतौर पर उनके विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।
  • नीचे साधारण अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • नीचे आंशिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक x^(2)))+(\frac (\आंशिक ^(2) )f)(\आंशिक y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• आदेशअंतर समीकरण इस समीकरण में शामिल उच्चतम व्युत्पन्न के क्रम से निर्धारित होता है। उपरोक्त साधारण अंतर समीकरणों में से पहला पहले क्रम का है, जबकि दूसरा दूसरे क्रम का है। डिग्रीअवकल समीकरण की वह उच्चतम घात कहलाती है जिसके लिए इस समीकरण का कोई एक पद ऊपर उठाया जाता है।
  • उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया समीकरण तीसरा क्रम और दूसरी शक्ति है।
    • (डी 3 वाई डी एक्स 3) 2 + डी वाई डी एक्स = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (डी) )^(3)y)((\mathrm (डी) )x^(3))) सही)^(2)+(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))=0)
• अवकल समीकरण है रैखिक अंतर समीकरणयदि फ़ंक्शन और उसके सभी डेरिवेटिव पहली शक्ति में हैं। अन्यथा, समीकरण है गैर रेखीय अंतर समीकरण. रेखीय अवकल समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय हैं कि उनके हल से रेखीय संयोजन बनाए जा सकते हैं, जो इस समीकरण के भी हल होंगे।
  • नीचे रेखीय अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
  • नीचे अरैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। साइन शब्द के कारण पहला समीकरण गैर-रैखिक है।
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \बाएं((\frac ((\mathrm (डी) )x)((\mathrm (डी) )t))\दाएं)^(2)+tx^(2)=0)
• सामान्य निर्णयसाधारण अवकल समीकरण अद्वितीय नहीं है, इसमें शामिल है एकीकरण के मनमाने स्थिरांक. ज्यादातर मामलों में, मनमाने स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। व्यवहार में, इन स्थिरांकों के मान दिए गए द्वारा निर्धारित किए जाते हैं आरंभिक स्थितियां, अर्थात्, फ़ंक्शन के मूल्यों और इसके डेरिवेटिव पर x = 0. (\displaystyle x=0.)खोजने के लिए आवश्यक प्रारंभिक स्थितियों की संख्या निजी निर्णयअवकल समीकरण, अधिकांश स्थितियों में इस समीकरण की कोटि के बराबर भी होता है।
  • उदाहरण के लिए, यह लेख नीचे दिए गए समीकरण को हल करने पर ध्यान देगा। यह द्वितीय कोटि का रेखीय अवकल समीकरण है। इसके सामान्य समाधान में दो मनमाना स्थिरांक होते हैं। इन स्थिरांकों को खोजने के लिए, प्रारंभिक स्थितियों को जानना आवश्यक है एक्स (0) (\displaystyle x(0))और एक्स' (0)। (\displaystyle x"(0).)आमतौर पर प्रारंभिक शर्तें बिंदु पर दी जाती हैं x = 0 , (\displaystyle x=0,)हालांकि यह आवश्यक नहीं है। यह लेख इस बात पर भी विचार करेगा कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए विशेष समाधान कैसे प्राप्त करें।
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

कदम

भाग ---- पहला

पहले क्रम के समीकरण

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1. पहले क्रम के रैखिक समीकरण।यह खंड सामान्य और विशेष मामलों में प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों पर चर्चा करता है, जब कुछ पद शून्य के बराबर होते हैं। चलो बहाना करते हैं वाई = वाई (एक्स), (\displaystyle y=y(x),) पी (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल पी(एक्स))और क्यू (एक्स) (\displaystyle q(x))कार्य हैं एक्स । (\displaystyle x.)

   डी वाई डी एक्स + पी (एक्स) वाई = क्यू (एक्स) ))
   

   पी (एक्स) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)गणितीय विश्लेषण के एक मुख्य प्रमेय के अनुसार, किसी फलन के अवकलज का समाकल भी एक फलन होता है। इस प्रकार, इसका समाधान खोजने के लिए केवल समीकरण को एकीकृत करना पर्याप्त है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करते समय, एक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है।

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   क्यू (एक्स) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)हम विधि का उपयोग करते हैं चरों का पृथक्करण. इस स्थिति में, विभिन्न चरों को समीकरण के विभिन्न पक्षों में स्थानांतरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप सभी सदस्यों को से स्थानांतरित कर सकते हैं y (\displaystyle y)एक में, और सभी सदस्यों के साथ एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)समीकरण के दूसरी तरफ। सदस्यों को भी स्थानांतरित किया जा सकता है डी एक्स (\displaystyle (\mathrm (डी) )x)और d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), जो व्युत्पन्न भावों में शामिल हैं, हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि यह सिर्फ एक सम्मेलन है, जो एक जटिल कार्य को अलग करते समय सुविधाजनक होता है। इन शब्दों की चर्चा, जिन्हें कहा जाता है भिन्नता, इस लेख के दायरे से बाहर है।

   • सबसे पहले, आपको चरों को बराबर चिह्न के विपरीत दिशा में ले जाने की आवश्यकता है।
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं। समाकलन के बाद, मनमाना स्थिरांक दोनों पक्षों में दिखाई देते हैं, जिन्हें समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.1।अंतिम चरण में, हमने नियम का उपयोग किया e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))और बदल दिया ई सी (\प्रदर्शन शैली ई^(सी))पर सी (\displaystyle सी), क्योंकि यह एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक भी है।
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ गणित (डी) )y&=\sin x(\mathrm (डी) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(संरेखित)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)सामान्य समाधान खोजने के लिए, हमने परिचय दिया एकीकृत कारकके एक समारोह के रूप में एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने के लिए और इस प्रकार समीकरण को हल करें।

   • दोनों पक्षों को से गुणा करें μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने के लिए, निम्नलिखित परिवर्तन किए जाने चाहिए:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (डी) )\mu )((\mathrm (डी) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+\mu py)
   • अंतिम समानता का अर्थ है d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). यह एक एकीकृत कारक है जो किसी भी प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त है। अब हम इस समीकरण को हल करने के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं μ , (\displaystyle \mu ,)हालांकि प्रशिक्षण के लिए सभी मध्यवर्ती गणना करना उपयोगी होता है।
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.2।इस उदाहरण में, हम इस बात पर विचार करते हैं कि दी गई आरंभिक शर्तों के साथ अवकल समीकरण का विशेष हल कैसे खोजा जाए।
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\क्वाड y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln टी)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (डी) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (सी)(t^(2)))\end(संरेखित)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • वाई (टी) = 1 4 टी 2 + 8 टी 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   पहले क्रम के रैखिक समीकरणों को हल करना (इंटुइट - नेशनल ओपन यूनिवर्सिटी द्वारा रिकॉर्ड किया गया)।

2. अरैखिक प्रथम कोटि के समीकरण. इस खंड में, प्रथम कोटि के कुछ अरैखिक अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों पर विचार किया गया है। हालांकि ऐसे समीकरणों को हल करने की कोई सामान्य विधि नहीं है, उनमें से कुछ को नीचे दी गई विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   डी वाई डी एक्स = एच (एक्स) जी (वाई)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)यदि समारोह f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))एक चर के कार्यों में विभाजित किया जा सकता है, ऐसा समीकरण कहा जाता है वियोज्य अंतर समीकरण. इस स्थिति में, आप उपरोक्त विधि का उपयोग कर सकते हैं:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (डी) )एक्स)
   • उदाहरण 1.3।
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(aligned)\int y(\mathrm (डी) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (डी) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(संरेखित)))

   डी वाई डी एक्स = जी (एक्स, वाई) एच (एक्स, वाई)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y)))।)चलो बहाना करते हैं जी (एक्स, वाई) (\displaystyle g(x, y))और एच (एक्स, वाई) (\displaystyle h(x, y))कार्य हैं एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)और वाई। (\displaystyle y.)तब सजातीय अंतर समीकरणएक समीकरण है जिसमें जी (\displaystyle g)और एच (\displaystyle h)हैं सजातीय कार्यसमान डिग्री। अर्थात्, कार्यों को शर्त को पूरा करना चाहिए g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)कहाँ के (\डिस्प्लेस्टाइल के)समरूपता की कोटि कहलाती है। किसी भी सजातीय अंतर समीकरण को उपयुक्त द्वारा दिया जा सकता है चर का परिवर्तन (v = y / x (\displaystyle v=y/x)या वी = एक्स / वाई (\displaystyle v=x/y)) वियोज्य चर के साथ एक समीकरण में बदलने के लिए।

   • उदाहरण 1.4।एकरूपता का उपरोक्त विवरण अस्पष्ट लग सकता है। आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण के साथ देखें।
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^) (3))(y^(2)x)))
     • आरंभ करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह समीकरण गैर-रैखिक है वाई। (\displaystyle y.)हम यह भी देखते हैं कि इस मामले में चरों को अलग करना असंभव है। हालांकि, यह अंतर समीकरण सजातीय है, क्योंकि अंश और हर दोनों 3 की शक्ति के साथ सजातीय हैं। इसलिए, हम चर में परिवर्तन कर सकते हैं वी = वाई / एक्स। (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (डी) )वी)((\mathrm (डी) )x))x+v)
     • डी वी डी एक्स एक्स = −1 वी 2। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (डी) )v)((\mathrm (डी) )x))x=-(\frac (1)(v^(2)))।)नतीजतन, हमारे पास एक समीकरण है वी (\displaystyle v)साझा चर के साथ।
     • v (x) = − 3 लॉग ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   डी वाई डी एक्स = पी (एक्स) वाई + क्यू (एक्स) वाई एन। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)यह बरनौली अवकल समीकरण- पहली डिग्री का एक विशेष प्रकार का अरेखीय समीकरण, जिसका समाधान प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

   • समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा कीजिये (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • हम बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को एक रैखिक समीकरण में बदल देते हैं y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)जिसे उपरोक्त विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (डी) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (डी)) एक्स)) = 0।)यह कुल अंतर समीकरण. तथाकथित को खोजना आवश्यक है संभावित समारोह φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), जो शर्त को पूरा करता है d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • इस शर्त को पूरा करने के लिए यह जरूरी है कुल व्युत्पन्न. कुल व्युत्पन्न अन्य चरों पर निर्भरता को ध्यान में रखता है। कुल व्युत्पन्न की गणना करने के लिए φ (\displaystyle \varphi )द्वारा एक्स , (\displaystyle x,)हम मानते हैं कि y (\displaystyle y)पर भी निर्भर हो सकता है एक्स । (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\आंशिक \varphi) )(\आंशिक x))+(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक y))(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x)))
   • तुलना करने वाले शब्द हमें देते हैं M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))और एन (एक्स, वाई) = ∂ φ ∂ वाई। (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)यह कई चर वाले समीकरणों के लिए एक विशिष्ट परिणाम है, जहां चिकनी कार्यों के मिश्रित डेरिवेटिव एक दूसरे के बराबर होते हैं। कभी-कभी इस मामले को कहा जाता है क्लेराट की प्रमेय. इस स्थिति में, अंतर समीकरण कुल अंतरों में एक समीकरण है, यदि निम्न स्थिति संतुष्ट होती है:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • कुल अंतरों में समीकरणों को हल करने की विधि कई डेरिवेटिव्स की उपस्थिति में संभावित कार्यों को खोजने के समान है, जिसकी हम संक्षेप में चर्चा करेंगे। पहले हम एकीकृत करते हैं एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)द्वारा एक्स । (\displaystyle x.)क्योंकि एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)एक समारोह है और एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), और वाई , (\displaystyle y,)समाकलन करते समय, हमें एक अपूर्ण फलन मिलता है φ , (\displaystyle \varphi ,)के रूप में लेबल किया गया φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). परिणाम में निर्भर भी शामिल है y (\displaystyle y)एकीकरण की निरंतरता।
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (डी) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • इसके बाद पाना है सी (वाई) (\डिस्प्लेस्टाइल सी(वाई))आप परिणामी फ़ंक्शन के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न ले सकते हैं वाई , (\displaystyle y,)परिणाम की बराबरी करें एन (एक्स, वाई) (\displaystyle N(x, y))और एकीकृत करें। कोई पहले एकीकृत भी कर सकता है एन (\displaystyle N), और उसके बाद आंशिक व्युत्पन्न लें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), जो हमें एक मनमाना कार्य खोजने की अनुमति देगा डी (एक्स)। (\displaystyle d(x).)दोनों विधियाँ उपयुक्त हैं, और आमतौर पर एकीकरण के लिए सरल कार्य को चुना जाता है।
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ आंशिक (\tilde (\varphi )))(\आंशिक y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • उदाहरण 1.5।आप आंशिक डेरिवेटिव ले सकते हैं और सत्यापित कर सकते हैं कि नीचे दिया गया समीकरण कुल अंतर समीकरण है।
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (डी)) )y)((\mathrm (डी) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (डी) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\आंशिक) \varphi )(\आंशिक y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(संरेखित)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • यदि अंतर समीकरण कुल अंतर समीकरण नहीं है, तो कुछ मामलों में आप एक एकीकृत कारक पा सकते हैं जो आपको इसे कुल अंतर समीकरण में बदलने की अनुमति देगा। हालांकि, इस तरह के समीकरण व्यवहार में शायद ही कभी उपयोग किए जाते हैं, और हालांकि एकीकृत कारक मौजूद, लगता है ऐसा होता है आसान नहीं है, इसलिए इस लेख में इन समीकरणों पर विचार नहीं किया गया है।

भाग 2

दूसरे क्रम के समीकरण

1. निरंतर गुणांक वाले सजातीय रैखिक अंतर समीकरण।इन समीकरणों का व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इसलिए उनका समाधान सर्वोपरि है। इस मामले में, हम सजातीय कार्यों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन इस तथ्य के बारे में कि समीकरण के दाईं ओर 0 है। अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि कैसे संबंधित विजातीयविभेदक समीकरण। नीचे ए (\displaystyle a)और बी (\displaystyle b)स्थिरांक हैं।

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण. यह विभेदक समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसे बहुत आसानी से हल किया जा सकता है यदि आप इस बात पर ध्यान दें कि इसके समाधानों में क्या गुण होने चाहिए। यह समीकरण से देखा जा सकता है कि y (\displaystyle y)और इसके डेरिवेटिव एक दूसरे के आनुपातिक हैं। पिछले उदाहरणों से, जिन पर प्रथम-क्रम समीकरणों के खंड में विचार किया गया था, हम जानते हैं कि केवल चरघातांकी फलन में ही यह गुण होता है। इसलिए, सामने रखना संभव है ansatz(एक शिक्षित अनुमान) दिए गए समीकरण का हल क्या होगा।

   • समाधान एक चरघातांकी फलन का रूप ले लेगा ई आर एक्स , (\displaystyle e^(rx),)कहाँ आर (\displaystyle r)एक स्थिरांक है जिसका मान ज्ञात करना है। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करें
     • ई आर एक्स (आर 2 + ए आर + बी) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • यह समीकरण इंगित करता है कि घातीय फलन और बहुपद का गुणनफल शून्य होना चाहिए। यह ज्ञात है कि डिग्री के किसी भी मान के लिए प्रतिपादक शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि बहुपद शून्य के बराबर है। इस प्रकार, हमने एक अवकल समीकरण को हल करने की समस्या को एक बीजीय समीकरण को हल करने की एक बहुत ही सरल समस्या में बदल दिया है, जिसे एक दिए गए अवकल समीकरण के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण कहा जाता है।
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • हमारी दो जड़ें हैं। चूँकि यह अवकल समीकरण रैखिक है, इसका व्यापक हल आंशिक हलों का एक रैखिक संयोजन है। चूंकि यह दूसरे क्रम का समीकरण है, हम जानते हैं कि यह है वास्तव मेंसामान्य समाधान, और कोई अन्य नहीं हैं। इसके लिए एक अधिक कठोर औचित्य समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेयों में निहित है, जो पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है।
   • गणना करने के लिए दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं, यह जांचने का एक उपयोगी तरीका है Wronskian. Wronskian डब्ल्यू (\डिस्प्लेस्टाइल डब्ल्यू)- यह मैट्रिक्स का निर्धारक है, जिसके स्तंभों में कार्य और उनके क्रमिक डेरिवेटिव हैं। रैखिक बीजगणित प्रमेय में कहा गया है कि व्रोनस्कियन में कार्य रैखिक रूप से निर्भर हैं यदि व्रोनस्कियन शून्य के बराबर है। इस खंड में, हम यह सुनिश्चित करके परीक्षण कर सकते हैं कि क्या दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, यह सुनिश्चित करके कि व्रोनस्कियन गैर-शून्य है। पैरामीटर भिन्नता विधि द्वारा निरंतर गुणांक वाले गैर-समरूप अंतर समीकरणों को हल करने में व्रोनस्कियन महत्वपूर्ण है।
     • डब्ल्यू = | वाई 1 वाई 2 वाई 1 'वाई 2' | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, दिए गए अंतर समीकरण के सभी समाधानों का सेट एक सदिश स्थान बनाता है जिसका आयाम अंतर समीकरण के क्रम के बराबर होता है। इस स्थान में, कोई एक आधार चुन सकता है रैखिक रूप से स्वतंत्रएक दूसरे से निर्णय। यह इस तथ्य के कारण संभव है कि function वाई (एक्स) (\displaystyle y(x))वैध रैखिक ऑपरेटर. यौगिक हैरैखिक ऑपरेटर, क्योंकि यह अलग-अलग कार्यों के स्थान को सभी कार्यों के स्थान में बदल देता है। समीकरणों को ऐसे मामलों में सजातीय कहा जाता है जहां कुछ रैखिक ऑपरेटर के लिए एल (\डिस्प्लेस्टाइल एल)समीकरण का हल खोजना आवश्यक है एल [वाई] = 0. (\displaystyle एल[y]=0.)

   आइए अब कुछ विशिष्ट उदाहरणों की ओर मुड़ें। क्रम में कमी पर अनुभाग में विशेषता समीकरण की कई जड़ों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार किया जाएगा।

   अगर जड़ें आर ± (\displaystyle r_(\pm ))भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं, अवकल समीकरण का निम्नलिखित हल है

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   दो जटिल जड़ें।यह बीजगणित के मूलभूत प्रमेय से अनुसरण करता है कि वास्तविक गुणांक वाले बहुपद समीकरणों के समाधान की जड़ें वास्तविक हैं या संयुग्म जोड़े हैं। इसलिए, यदि जटिल संख्या r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )विशेषता समीकरण की जड़ है, तो r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )इस समीकरण का मूल भी है। इस प्रकार, समाधान को रूप में लिखा जा सकता है c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)हालाँकि, यह एक जटिल संख्या है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में अवांछनीय है।

   • इसके बजाय आप उपयोग कर सकते हैं यूलर सूत्र e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), जो आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में समाधान लिखने की अनुमति देता है:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ बीटा x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • अब आप निरंतर के बजाय कर सकते हैं सी 1 + सी 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))लिखो सी 1 (\displaystyle c_(1)), और अभिव्यक्ति i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))द्वारा प्रतिस्थापित सी 2। (\displaystyle c_(2).)उसके बाद हमें निम्नलिखित समाधान मिलता है:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2) \ पाप \ बीटा x))
   • समाधान को आयाम और चरण के संदर्भ में लिखने का एक और तरीका है, जो शारीरिक समस्याओं के लिए बेहतर अनुकूल है।
   • उदाहरण 2.1।आइए, दी गई आरंभिक शर्तों के साथ नीचे दिए गए अवकल समीकरण का हल ज्ञात करें। इसके लिए प्राप्त किए गए घोल को लेना आवश्यक है, साथ ही इसके व्युत्पन्न, और उन्हें प्रारंभिक स्थितियों में स्थानापन्न करें, जो हमें मनमाना स्थिरांक निर्धारित करने की अनुमति देगा।
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (डी) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (डी) )x)((\mathrm (डी) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )मैं)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • एक्स ′ (टी) = - 3 2 ई - 3 टी / 2 (सी 1 कॉस ⁡ 31 2 टी + सी 2 पाप ⁡ 31 2 टी) + ई - 3 टी / 2 (- 31 2 सी 1 पाप ⁡ 31 2 टी + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\बाएं(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(संरेखित)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   निरंतर गुणांक वाले nवें क्रम के अवकल समीकरणों को हल करना (Intuit - National Open University द्वारा रिकॉर्ड किया गया)।

2. पदावनति आदेश।जब एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान ज्ञात हो, तब अवकल समीकरणों को हल करने के लिए ऑर्डर रिडक्शन एक विधि है। इस पद्धति में समीकरण के क्रम को एक से कम करना शामिल है, जो पिछले अनुभाग में वर्णित विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। उपाय जानते हैं। आदेश को कम करने का मुख्य विचार नीचे दिए गए फॉर्म में एक समाधान खोजना है, जहां फ़ंक्शन को परिभाषित करना आवश्यक है वी (एक्स) (\displaystyle v(x)), इसे अंतर समीकरण और खोज में प्रतिस्थापित करना वी (एक्स)। (\displaystyle v(x).)आइए विचार करें कि निरंतर गुणांक और कई जड़ों के साथ अंतर समीकरण को हल करने के लिए क्रम में कमी का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

   
   

   एकाधिक जड़ेंनिरंतर गुणांक के साथ सजातीय अंतर समीकरण। याद रखें कि दूसरे क्रम के समीकरण में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान होने चाहिए। यदि अभिलाक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हैं, तो हलों का समुच्चय नहींएक स्थान बनाता है क्योंकि ये समाधान रैखिक रूप से निर्भर हैं। इस मामले में, एक दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने के लिए क्रम में कमी का उपयोग किया जाना चाहिए।

   • बता दें कि चारित्रिक समीकरण के कई मूल हैं आर (\displaystyle r). हम मानते हैं कि दूसरा समाधान इस रूप में लिखा जा सकता है वाई (एक्स) = ई आर एक्स वी (एक्स) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), और इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के साथ शब्द के अपवाद के साथ, अधिकांश शर्तें वी , (\displaystyle v,)कम कर दिया जाएगा।
     • v″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • उदाहरण 2.2।निम्नलिखित समीकरण दिया गया है, जिसके कई मूल हैं r = − 4. (\displaystyle r=-4.)प्रतिस्थापित करते समय, अधिकांश शर्तें रद्द कर दी जाती हैं।
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e - 4 x y '= v' (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x) \ अंत (संरेखित)))
     • v″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(गठबंधन) )v""e^(-4x)&-(\रद्द करें (8v"e^(-4x)))+(\रद्द करें (16ve^(-4x)))\\&+(\रद्द करें (8v"ई ^(-4x)))-(\रद्द (32ve^(-4x)))+(\रद्द करें (16ve^(-4x)))=0\end(संरेखित)))
   • स्थिर गुणांक वाले अवकल समीकरण के लिए हमारे ansatz की तरह, इस मामले में केवल दूसरा अवकलज शून्य के बराबर हो सकता है। हम दो बार एकीकृत करते हैं और इसके लिए वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं वी (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • तब अचर गुणांक वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल, यदि अभिलाक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हों, तो उसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। सुविधा के लिए, आप याद रख सकते हैं कि रैखिक स्वतंत्रता प्राप्त करने के लिए, बस दूसरे पद को गुणा करना पर्याप्त है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स). समाधानों का यह सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इस प्रकार हमें इस समीकरण के सभी समाधान मिल गए हैं।
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+q(x)y=0.)समाधान ज्ञात होने पर आदेश में कमी लागू होती है y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), जो समस्या कथन में पाया या दिया जा सकता है।

   • हम फॉर्म में समाधान ढूंढ रहे हैं y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))और इसे इस समीकरण में प्लग करें:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • क्योंकि y 1 (\displaystyle y_(1))सभी शर्तों के साथ अंतर समीकरण का समाधान है वी (\displaystyle v)सिकुड़ रहे हैं। नतीजतन, यह बनी हुई है पहला क्रम रैखिक समीकरण. इसे और अधिक स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आइए चरों को बदलें डब्ल्यू (एक्स) = वी' (एक्स) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (डी) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • यदि अभिन्नों की गणना की जा सकती है, तो हमें प्राथमिक कार्यों के संयोजन के रूप में सामान्य समाधान मिलता है। अन्यथा, समाधान को अभिन्न रूप में छोड़ा जा सकता है।

3. कौशी-यूलर समीकरण।कौशी-यूलर समीकरण दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक उदाहरण है चरगुणांक, जिनके सटीक समाधान हैं। इस समीकरण का व्यवहार में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास समीकरण को हल करने के लिए।

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण।जैसा कि आप देख सकते हैं, इस अंतर समीकरण में, प्रत्येक शब्द में एक शक्ति कारक होता है, जिसकी डिग्री संबंधित व्युत्पन्न के क्रम के बराबर होती है।

   • इस प्रकार, कोई प्रपत्र में समाधान खोजने का प्रयास कर सकता है y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)कहाँ परिभाषित करना है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), ठीक वैसे ही जैसे हम अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण के लिए चरघातांकी फलन के रूप में समाधान खोज रहे थे। विभेदीकरण और प्रतिस्थापन के बाद, हम प्राप्त करते हैं
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • विशेषता समीकरण का उपयोग करने के लिए, हमें यह मान लेना चाहिए x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). डॉट x = 0 (\displaystyle x=0)बुलाया नियमित एकवचन बिंदुअंतर समीकरण। घात श्रेणी का उपयोग करके अवकल समीकरणों को हल करते समय ऐसे बिंदु महत्वपूर्ण होते हैं। इस समीकरण की दो जड़ें हैं, जो अलग और वास्तविक, एकाधिक या जटिल संयुग्मी हो सकती हैं।
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   दो भिन्न वास्तविक जड़ें।अगर जड़ें n ± (\displaystyle n_(\pm ))वास्तविक और भिन्न हैं, तो अवकल समीकरण के हल का निम्न रूप है:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   दो जटिल जड़ें।यदि विशेषता समीकरण की जड़ें हैं n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i)समाधान एक जटिल कार्य है।

   • हल को एक वास्तविक फलन में बदलने के लिए, हम चरों में परिवर्तन करते हैं x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)वह है t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)और यूलर सूत्र का प्रयोग करें। मनमाना स्थिरांक परिभाषित करते समय इसी तरह की क्रियाएं पहले की गई थीं।
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • तो सामान्य समाधान के रूप में लिखा जा सकता है
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   एकाधिक जड़ें।दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, क्रम को फिर से कम करना आवश्यक है।

   • इसमें काफी संगणना लगती है, लेकिन सिद्धांत वही है: हम स्थानापन्न करते हैं वाई = वी (एक्स) वाई 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))एक समीकरण में जिसका पहला समाधान है y 1 (\displaystyle y_(1)). कटौती के बाद, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • के संबंध में यह प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है वी' (एक्स)। (\displaystyle v"(x).)उसका समाधान है वी (एक्स) = सी 1 + सी 2 एलएन ⁡ एक्स। (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)इस प्रकार, समाधान को निम्न रूप में लिखा जा सकता है। यह याद रखना बहुत आसान है - दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको केवल एक अतिरिक्त पद की आवश्यकता है ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. स्थिर गुणांकों के साथ असमांगी रेखीय अवकल समीकरण।असमघात समीकरणों का रूप होता है एल [y (x) ] = f (x), (\displaystyle L=f(x),)कहाँ f (x) (\displaystyle f(x))- तथाकथित स्वतंत्र सदस्य. अवकल समीकरणों के सिद्धांत के अनुसार, इस समीकरण का सामान्य हल अध्यारोपण है निजी निर्णय y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))और अतिरिक्त समाधान वाई सी (एक्स)। (\displaystyle y_(c)(x).)हालाँकि, इस मामले में, एक विशेष समाधान का मतलब प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिया गया समाधान नहीं है, बल्कि एक ऐसा समाधान है जो असमानता (मुक्त अवधि) की उपस्थिति के कारण होता है। पूरक समाधान संगत सजातीय समीकरण का समाधान है जिसमें f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)सामान्य समाधान इन दो समाधानों का एक सुपरपोजिशन है, क्योंकि एल [वाई पी + वाई सी] = एल [वाई पी] + एल [वाई सी] = एफ (एक्स) (\displaystyle L=L+L=f(x)), और तबसे एल [वाई सी] = 0, (\डिस्प्लेस्टाइल एल=0,)ऐसा अध्यारोपण वास्तव में एक सामान्य समाधान है।

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=f(x))
   

   अनिश्चित गुणांक की विधि।अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां मुक्त पद घातीय, त्रिकोणमितीय, अतिशयोक्तिपूर्ण या शक्ति कार्यों का संयोजन होता है। केवल इन कार्यों को रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की सीमित संख्या की गारंटी है। इस भाग में, हम समीकरण का एक विशेष हल प्राप्त करेंगे।

   • शर्तों की तुलना करें f (x) (\displaystyle f(x))निरंतर कारकों की अनदेखी करने की शर्तों के साथ। तीन मामले संभव हैं।
     • कोई समान सदस्य नहीं हैं।इस मामले में, एक विशेष समाधान y p (\displaystyle y_(p))शब्दों का एक रैखिक संयोजन होगा y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) सदस्य शामिल है एक्स एन (\displaystyle x^(n)) और से एक सदस्य वाई सी , (\displaystyle y_(c),) कहाँ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन) शून्य या एक सकारात्मक पूर्णांक है, और यह शब्द विशेषता समीकरण के एकल मूल से मेल खाता है।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))समारोह का एक संयोजन शामिल होगा x n + 1 h (x), (\displaystyle x^(n+1)h(x),)इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव, साथ ही साथ अन्य शर्तें f (x) (\displaystyle f(x))और उनके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव।
     • f (x) (\displaystyle f(x)) सदस्य शामिल है एच (एक्स), (\डिस्प्लेस्टाइल एच(एक्स),) जो एक कार्य है एक्स एन (\displaystyle x^(n)) और से एक सदस्य वाई सी , (\displaystyle y_(c),) कहाँ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन) 0 या धनात्मक पूर्णांक के बराबर है, और यह शब्द इससे मेल खाता है एकाधिकविशेषता समीकरण की जड़।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(कहाँ s (\displaystyle s)- जड़ की बहुलता) और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव, साथ ही फ़ंक्शन के अन्य सदस्य f (x) (\displaystyle f(x))और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव।
   • चलो लिखो y p (\displaystyle y_(p))उपरोक्त शर्तों के एक रैखिक संयोजन के रूप में। एक रैखिक संयोजन में इन गुणांकों के कारण, इस विधि को "अनिश्चित गुणांकों की विधि" कहा जाता है। में निहित लोगों की उपस्थिति पर वाई सी (\displaystyle y_(c))मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति के कारण उनके सदस्यों को त्याग दिया जा सकता है वाई सी। (\displaystyle y_(c).)उसके बाद हम स्थानापन्न करते हैं y p (\displaystyle y_(p))एक समीकरण में और शर्तों की समानता।
   • हम गुणांक निर्धारित करते हैं। इस स्तर पर, बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है, जिसे आमतौर पर बिना किसी विशेष समस्या के हल किया जा सकता है। इस प्रणाली का समाधान प्राप्त करना संभव बनाता है y p (\displaystyle y_(p))और इस तरह समीकरण को हल करें।
   • उदाहरण 2.3।एक असमांगी विभेदक समीकरण पर विचार करें जिसके मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या होती है। ऐसे समीकरण का एक विशेष समाधान अनिश्चित गुणांकों की विधि द्वारा पाया जा सकता है।
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 ए ई 3 टी - 25 बी कॉस ⁡ 5 टी - 25 सी पाप ⁡ 5 टी + 6 ए ई 3 टी + 6 बी कॉस ⁡ 5 टी + 6 सी पाप ⁡ 5 टी = 2 ई 3 टी - कॉस ⁡ 5 टी ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(गठबंधन)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ अंत (मामले)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   लैग्रेंज विधि।लाग्रेंज विधि, या मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि, विषम अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि है, विशेष रूप से उन मामलों में जहां मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मुक्त सदस्यों के साथ टैन ⁡ x (\displaystyle \tan x)या x − n (\displaystyle x^(-n))एक विशेष समाधान खोजने के लिए, लैग्रेंज विधि का उपयोग करना आवश्यक है। लाग्रेंज विधि का उपयोग चर गुणांक वाले अवकल समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि इस मामले में, कॉची-यूलर समीकरण के अपवाद के साथ, इसका उपयोग कम बार किया जाता है, क्योंकि प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में अतिरिक्त समाधान आमतौर पर व्यक्त नहीं किया जाता है।

   • मान लीजिए कि समाधान का निम्न रूप है। इसका व्युत्पन्न दूसरी पंक्ति में दिया गया है।
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • चूंकि प्रस्तावित समाधान में शामिल है दोअज्ञात मात्रा, लगाना आवश्यक है अतिरिक्तस्थिति। हम इस अतिरिक्त शर्त को निम्नलिखित रूप में चुनते हैं:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • अब हम दूसरा समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। सदस्यों को प्रतिस्थापित और पुनर्वितरित करने के बाद, आप सदस्यों को एक साथ समूहित कर सकते हैं वी 1 (\displaystyle v_(1))और सदस्यों से वी 2 (\displaystyle v_(2)). ये शर्तें रद्द कर दी गई हैं क्योंकि y 1 (\displaystyle y_(1))और y 2 (\displaystyle y_(2))संगत समांगी समीकरण के हल हैं। नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(संरेखित)))
   • इस प्रणाली को फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण में बदला जा सकता है A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)जिसका समाधान है x = ए − 1 ख। (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) )।)मैट्रिक्स के लिए 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निर्धारक द्वारा विभाजित करके, विकर्ण तत्वों की अनुमति देकर, और ऑफ-विकर्ण तत्वों के चिह्न को उलट कर पाया जाता है। वास्तव में, इस मैट्रिक्स का निर्धारक व्रोनस्कियन है।
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ अंत(pmatrix))(\शुरू(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • के लिए भाव वी 1 (\displaystyle v_(1))और वी 2 (\displaystyle v_(2))नीचे सूचीबद्ध हैं। आदेश में कमी विधि के रूप में, इस मामले में एकीकरण के दौरान एक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है, जिसमें अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में एक अतिरिक्त समाधान शामिल होता है।
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (डी) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (एक्स) (\mathrm (डी)) एक्स)
   
   नेशनल ओपन यूनिवर्सिटी इंटुइट का व्याख्यान "निरंतर गुणांक के साथ एन-वें क्रम के रैखिक अंतर समीकरण"।

प्रायोगिक उपयोग

विभेदक समीकरण एक फ़ंक्शन और उसके एक या अधिक डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करते हैं। चूंकि इस तरह के रिश्ते बहुत आम हैं, अंतर समीकरणों को व्यापक रूप से विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में व्यापक आवेदन मिला है, और चूंकि हम चार आयामों में रहते हैं, ये समीकरण अक्सर अंतर समीकरण होते हैं निजीडेरिवेटिव। यह खंड इस प्रकार के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों पर चर्चा करता है।

• घातीय वृद्धि और क्षय।रेडियोधर्मी क्षय। चक्रवृद्धि ब्याज। रासायनिक प्रतिक्रियाओं की दर। रक्त में दवाओं की एकाग्रता। असीमित जनसंख्या वृद्धि। न्यूटन-रिचमैन कानून। वास्तविक दुनिया में, ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिनमें किसी भी समय विकास या क्षय की दर उस समय की मात्रा के समानुपाती होती है, या एक मॉडल द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित की जा सकती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस अंतर समीकरण का समाधान, घातीय कार्य, गणित और अन्य विज्ञानों में सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है। अधिक आम तौर पर, नियंत्रित जनसंख्या वृद्धि के तहत, सिस्टम में अतिरिक्त शर्तें शामिल हो सकती हैं जो विकास को सीमित करती हैं। नीचे दिए गए समीकरण में, स्थिरांक के (\डिस्प्लेस्टाइल के)शून्य से अधिक या कम हो सकता है।
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• हार्मोनिक कंपन।शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में, हार्मोनिक थरथरानवाला सबसे महत्वपूर्ण भौतिक प्रणालियों में से एक है, क्योंकि इसकी सरलता और अधिक जटिल प्रणालियों जैसे सरल पेंडुलम का अनुमान लगाने के लिए व्यापक अनुप्रयोग है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, हार्मोनिक दोलनों को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जो हुक के नियम के माध्यम से एक भौतिक बिंदु की स्थिति को उसके त्वरण से संबंधित करता है। इस मामले में अवमंदन और प्रेरक बलों को भी ध्यान में रखा जा सकता है। नीचे दिए गए भाव में x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- समय व्युत्पन्न एक्स , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )एक पैरामीटर है जो भिगोना बल का वर्णन करता है, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- प्रणाली की कोणीय आवृत्ति, एफ (टी) (\displaystyle एफ(टी))समय पर निर्भर प्रेरक शक्ति है। हार्मोनिक ऑसिलेटर इलेक्ट्रोमैग्नेटिक ऑसिलेटरी सर्किट में भी मौजूद होता है, जहां इसे मैकेनिकल सिस्टम की तुलना में अधिक सटीकता के साथ लागू किया जा सकता है।
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x = एफ (टी))
• बेसेल समीकरण।बेसेल डिफरेंशियल समीकरण का उपयोग भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें तरंग समीकरण, लाप्लास समीकरण और श्रोडिंगर समीकरण का समाधान शामिल है, विशेष रूप से बेलनाकार या गोलाकार समरूपता की उपस्थिति में। चर गुणांकों के साथ यह दूसरे क्रम का अवकल समीकरण कॉची-यूलर समीकरण नहीं है, इसलिए इसके समाधान प्राथमिक कार्यों के रूप में नहीं लिखे जा सकते हैं। बेसेल समीकरण के समाधान बेसेल फलन हैं, जिनका इस तथ्य के कारण अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है कि वे कई क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। नीचे दिए गए भाव में α (\displaystyle \alpha )एक स्थिर है जो मेल खाता है आदेशबेसेल कार्य करता है।
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (डी) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) वाई = 0)
• मैक्सवेल के समीकरण।लोरेंत्ज़ बल के साथ, मैक्सवेल के समीकरण शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स का आधार बनाते हैं। इलेक्ट्रिक के लिए ये चार आंशिक अंतर समीकरण हैं ई (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (ई) )((\mathbf (आर)),टी))और चुंबकीय बी (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (बी) )((\mathbf (आर)),टी))खेत। नीचे दिए गए भावों में ρ = ρ (आर, टी) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- चार्ज का घनत्व, जे = जे (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))वर्तमान घनत्व है, और ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))और μ 0 (\displaystyle \mu _(0))क्रमशः विद्युत और चुंबकीय स्थिरांक हैं।
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (ई) )&=-(\frac (\आंशिक (\mathbf (बी) ))(\आंशिक टी))\\\नाबला \बार (\mathbf (बी) )&=\mu _(0)(\ गणितबीएफ (जे) )+\म्यू _(0)\एप्सिलॉन _(0)(\frac (\आंशिक (\mathbf (ई) ))(\आंशिक टी))\अंत(संरेखित)))
• श्रोडिंगर समीकरण।क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण गति का मूल समीकरण है जो तरंगों के कार्य में परिवर्तन के अनुसार कणों की गति का वर्णन करता है। Ψ = Ψ (आर, टी) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))समय के साथ। गति के समीकरण व्यवहार द्वारा वर्णित है हैमिल्टनियन एच ^ (\डिस्प्लेस्टाइल (\हैट(एच))) - ऑपरेटर, जो सिस्टम की ऊर्जा का वर्णन करता है। भौतिकी में श्रोडिंगर समीकरण के प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक गैर-सापेक्षतावादी कण के लिए समीकरण है, जो क्षमता के अधीन है वी (आर, टी) (\displaystyle वी((\mathbf (आर)),टी)). कई प्रणालियों का वर्णन समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण द्वारा किया जाता है, जिसमें समीकरण बाईं ओर होता है ई Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)कहाँ ई (\displaystyle ई)कण की ऊर्जा है। नीचे दिए गए भावों में ℏ (\displaystyle \hbar )घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है।
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (- ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• तरंग समीकरण।तरंगों के बिना भौतिकी और प्रौद्योगिकी की कल्पना करना असंभव है, वे सभी प्रकार की प्रणालियों में मौजूद हैं। सामान्य तौर पर, तरंगों का वर्णन नीचे दिए गए समीकरण द्वारा किया जाता है, जिसमें यू = यू (आर, टी) (\displaystyle u=u((\mathbf (आर)), टी))वांछित कार्य है, और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)- प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित स्थिरांक। डी'अलेम्बर्ट सबसे पहले खोज करने वाले थे कि एक-आयामी मामले के लिए तरंग समीकरण का समाधान है कोईतर्क के साथ कार्य करें x − c t (\displaystyle x-ct), जो दाईं ओर फैलने वाली मनमानी लहर का वर्णन करता है। एक-आयामी मामले के लिए सामान्य समाधान तर्क के साथ दूसरे फ़ंक्शन के साथ इस फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है एक्स + सी टी (\displaystyle x+ct), जो बाईं ओर फैलने वाली तरंग का वर्णन करता है। यह समाधान दूसरी पंक्ति में प्रस्तुत किया गया है।
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • यू (एक्स, टी) = एफ (एक्स - सी टी) + जी (एक्स + सी टी) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• नेवियर-स्टोक्स समीकरण।नेवियर-स्टोक्स समीकरण तरल पदार्थों की गति का वर्णन करते हैं। चूंकि विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग हर क्षेत्र में तरल पदार्थ मौजूद हैं, ये समीकरण मौसम की भविष्यवाणी, विमान डिजाइन, समुद्री धाराओं और कई अन्य अनुप्रयोगों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरण गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरण हैं, और ज्यादातर मामलों में उन्हें हल करना बहुत मुश्किल होता है, क्योंकि गैर-रैखिकता अशांति की ओर ले जाती है, और संख्यात्मक तरीकों से एक स्थिर समाधान प्राप्त करने के लिए, बहुत छोटे में विभाजन कोशिकाओं की आवश्यकता होती है, जिसके लिए महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है। हाइड्रोडायनामिक्स में व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अशांत प्रवाह को मॉडल करने के लिए समय औसत जैसे तरीकों का उपयोग किया जाता है। इससे भी अधिक बुनियादी प्रश्न, जैसे गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों के अस्तित्व और समाधान की विशिष्टता, जटिल समस्याएं हैं, और तीन आयामों में नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करना सहस्राब्दी की गणितीय समस्याओं में से एक है। . नीचे असम्पीडित द्रव प्रवाह समीकरण और निरंतरता समीकरण हैं।
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)) ) )(\आंशिक t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\आंशिक \रो )(\आंशिक t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• कई अवकल समीकरणों को केवल उपरोक्त विधियों से हल नहीं किया जा सकता है, विशेष रूप से पिछले खंड में उल्लिखित। यह तब लागू होता है जब समीकरण में परिवर्तनशील गुणांक होते हैं और यह कॉची-यूलर समीकरण नहीं है, या जब समीकरण गैर-रैखिक है, कुछ दुर्लभ मामलों को छोड़कर। हालाँकि, उपरोक्त विधियाँ आपको कई महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों को हल करने की अनुमति देती हैं जो अक्सर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सामने आती हैं।
• भेदभाव के विपरीत, जो आपको किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की अनुमति देता है, प्राथमिक कार्यों में कई अभिव्यक्तियों का अभिन्न अंग व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, जहां असंभव है वहां इंटीग्रल की गणना करने की कोशिश में समय बर्बाद न करें। इंटीग्रल की तालिका देखें। यदि एक अंतर समीकरण का समाधान प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो कभी-कभी इसे अभिन्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, और इस मामले में कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस अभिन्न की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है या नहीं।

चेतावनी

• उपस्थितिविभेदक समीकरण भ्रामक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, नीचे दो प्रथम-क्रम अवकल समीकरण दिए गए हैं। इस आलेख में वर्णित विधियों का उपयोग करके पहला समीकरण आसानी से हल किया जाता है। पहली नज़र में, एक मामूली बदलाव y (\displaystyle y)पर y 2 (\displaystyle y^(2))दूसरे समीकरण में इसे अरैखिक बना देता है और इसे हल करना बहुत कठिन हो जाता है।
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

उस समस्या को याद करें जिसका हमें निश्चित समाकल ज्ञात करते समय सामना करना पड़ा था:

या डीई = एफ (एक्स) डीएक्स। उसका समाधान:

और यह एक अनिश्चित समाकल की गणना के लिए कम हो जाता है। व्यवहार में, एक अधिक कठिन कार्य अधिक सामान्य है: एक फ़ंक्शन खोजना वाई, अगर यह ज्ञात है कि यह फॉर्म के संबंध को संतुष्ट करता है

यह संबंध स्वतंत्र चर से संबंधित है एक्स, अज्ञात कार्य वाईऔर इसके डेरिवेटिव ऑर्डर तक एनसमावेशी कहलाते हैं .

अवकल समीकरण में एक क्रम या किसी अन्य के अवकलज (या अवकल) के चिह्न के अंतर्गत एक फलन शामिल होता है। उच्चतम के क्रम को आदेश कहा जाता है (9.1) .

विभेदक समीकरण:

- पहले के आदेश

दूसरा आदेश,

- पाँचवाँ क्रम, आदि।

वह फलन जो दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उसका हल कहलाता है , या अभिन्न . इसे हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधानों को खोजना। यदि वांछित कार्य के लिए वाईएक सूत्र प्राप्त करने में सफल होते हैं जो सभी समाधान देता है, तो हम कहते हैं कि हमें इसका सामान्य समाधान मिल गया है , या सामान्य अभिन्न .

सामान्य निर्णय रोकना एनमनमाना स्थिरांक और दिखता है

यदि कोई संबंध प्राप्त होता है जो संबंधित है एक्स, वाईऔर एनमनमाना स्थिरांक, एक ऐसे रूप में जिसके संबंध में अनुमति नहीं है वाई -

तब ऐसे संबंध को समीकरण का व्यापक समाकल (9.1) कहा जाता है।

कॉची समस्या

प्रत्येक विशिष्ट समाधान, अर्थात, प्रत्येक विशिष्ट फलन जो एक दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है और स्वेच्छ अचरों पर निर्भर नहीं करता है, एक विशेष हल कहलाता है। , या निजी अभिन्न। सामान्य से विशेष समाधान (इंटीग्रल) प्राप्त करने के लिए, विशिष्ट संख्यात्मक मानों को स्थिरांक से जोड़ना आवश्यक है।

किसी विशेष समाधान के आलेख को समाकल वक्र कहते हैं। सामान्य समाधान, जिसमें सभी विशेष समाधान शामिल हैं, अभिन्न वक्रों का एक परिवार है। पहले क्रम के समीकरण के लिए, यह परिवार एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है; समीकरण के लिए एनवें क्रम - से एनमनमाना स्थिरांक।

कॉची समस्या समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने के लिए है एनवें आदेश, संतोषजनक एनआरंभिक स्थितियां:

जो n स्थिरांक с 1 , с 2 ,..., c n निर्धारित करते हैं।

प्रथम क्रम अवकल समीकरण

व्युत्पन्न के संबंध में एक अनसुलझे के लिए, पहले क्रम के अंतर समीकरण का रूप है

या अपेक्षाकृत अनुमति के लिए

उदाहरण 3.46. समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए

समाधान।समाकलित करने पर हमें प्राप्त होता है

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। यदि हम C विशिष्ट संख्यात्मक मान देते हैं, तो हमें विशेष समाधान मिलते हैं, उदाहरण के लिए,

उदाहरण 3.47. बैंक में जमा धन की बढ़ती हुई राशि पर विचार करें, जो 100 आर के संचय के अधीन है प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज। बता दें कि यो पैसे की प्रारंभिक राशि है, और समाप्ति के बाद Yx एक्ससाल। जब ब्याज की गणना वर्ष में एक बार की जाती है, तो हमें प्राप्त होता है

जहाँ x = 0, 1, 2, 3,.... जब ब्याज की गणना वर्ष में दो बार की जाती है, तो हमें प्राप्त होता है

जहाँ x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... ब्याज की गणना करते समय एनसाल में एक बार और अगर एक्सक्रमिक रूप से 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., तब मान लेता है

निरूपित करें 1/n = h , तो पिछली समानता इस तरह दिखेगी:

असीमित आवर्धन के साथ एन(पर ) सीमा में हम निरंतर ब्याज उपार्जन के साथ धन की राशि बढ़ाने की प्रक्रिया में आते हैं:

इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि एक निरंतर परिवर्तन के साथ एक्समुद्रा आपूर्ति में परिवर्तन का नियम प्रथम क्रम के अंतर समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया है। जहाँ Y x एक अज्ञात फलन है, एक्स- स्वतंत्र चर, आर- नियत। हम इस समीकरण को हल करते हैं, इसके लिए हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:

कहाँ , या , जहां पी ई सी के लिए खड़ा है।

प्रारंभिक स्थितियों Y(0) = Yo से, हम P: Yo = Pe o पाते हैं, जहां से, Yo = P. इसलिए, समाधान इस तरह दिखता है:

दूसरी आर्थिक समस्या पर विचार करें। मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल को पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो समय के कार्य के रूप में आय या आउटपुट वाई में परिवर्तन का वर्णन करता है।

उदाहरण 3.48. बता दें कि राष्ट्रीय आय Y इसके आकार के आनुपातिक दर से बढ़ती है:

और बता दें, सरकारी खर्च में घाटा आनुपातिक गुणांक के साथ आय Y के सीधे आनुपातिक है क्यू. खर्च में कमी से राष्ट्रीय ऋण में वृद्धि होती है D:

प्रारंभिक स्थितियाँ Y = यो और D = t = 0 पर करें। पहले समीकरण Y = Yoe kt से। Y को प्रतिस्थापित करने पर हमें dD/dt = qYoe kt मिलता है। सामान्य समाधान का रूप है
डी = (क्यू/ के) यो केटी + सी, जहां सी = कॉन्स्ट, जो प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है। प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Do = (q/k)Yo + C प्राप्त होता है। इसलिए, अंत में,

डी = डू + (क्यू/के) यो (ई केटी -1),

इससे पता चलता है कि राष्ट्रीय ऋण उसी सापेक्ष दर से बढ़ रहा है क, जो राष्ट्रीय आय है।

सबसे सरल अंतर समीकरणों पर विचार करें एनक्रम, ये रूप के समीकरण हैं

इसका सामान्य समाधान प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एनएकीकरण के समय।

उदाहरण 3.49।उदाहरण y """ = cos x पर विचार करें।

समाधान।एकीकरण, हम पाते हैं

सामान्य समाधान का रूप है

रैखिक अंतर समीकरण

अर्थशास्त्र में ये बड़े काम के होते हैं, ऐसे समीकरणों के हल पर विचार कीजिए। यदि (9.1) का रूप है:

तब इसे रैखिक कहा जाता है, जहाँ po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) दिए गए फलन हैं। यदि f(x) = 0, तो (9.2) समांगी कहलाता है, अन्यथा असमघात कहलाता है। समीकरण (9.2) का सामान्य समाधान इसके किसी विशेष समाधान के योग के बराबर है वाई (एक्स)और इसके अनुरूप सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान:

यदि गुणांक p o (x), p 1 (x),..., p n (x) स्थिरांक हैं, तो (9.2)

समीकरण (9.4) को कोटि के अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है एन .

(9.4) के लिए इसका रूप है:

हम व्यापकता p = 1 को खोए बिना सेट कर सकते हैं और फॉर्म में (9.5) लिख सकते हैं

हम y = e kx के रूप में एक हल (9.6) खोजेंगे, जहाँ k एक अचर है। अपने पास: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx । प्राप्त अभिव्यक्तियों को (9.6) में प्रतिस्थापित करें, हमारे पास होगा:

(9.7) एक बीजगणितीय समीकरण है, इसका अज्ञात है क, इसे विशेषता कहते हैं। विशेषता समीकरण में डिग्री है एनऔर एनजड़ें, जिनमें से कई और जटिल दोनों हो सकते हैं। मान लीजिए k 1 , k 2 ,..., k n वास्तविक और विशिष्ट हैं, तब विशेष समाधान (9.7) हैं, जबकि सामान्य

निरंतर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के एक रेखीय सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें:

इसकी विशेषता समीकरण का रूप है

(9.9)

इसका विविक्तकर D = p 2 - 4q, D के चिह्न के आधार पर, तीन स्थितियाँ संभव हैं।

1. यदि D > 0, तो मूल k 1 और k 2 (9.9) वास्तविक और भिन्न हैं, और सामान्य समाधान का रूप है:

समाधान।विशेषता समीकरण: k 2 + 9 = 0, जहाँ k = ± 3i, a = 0, b = 3, सामान्य समाधान है:

वाई = सी 1 कॉस 3x + सी 2 पाप 3x।

माल के शेयरों के साथ एक वेब-जैसे आर्थिक मॉडल का अध्ययन करने के लिए दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का उपयोग किया जाता है, जहां मूल्य P के परिवर्तन की दर स्टॉक के आकार पर निर्भर करती है (पैराग्राफ 10 देखें)। यदि आपूर्ति और मांग मूल्य के रैखिक कार्य हैं, अर्थात,

ए - एक स्थिरांक है जो प्रतिक्रिया दर निर्धारित करता है, फिर मूल्य परिवर्तन की प्रक्रिया को एक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है:

किसी विशेष समाधान के लिए, आप एक स्थिरांक ले सकते हैं

जिसका अर्थ है संतुलन कीमत। विचलन सजातीय समीकरण को संतुष्ट करता है

(9.10)

विशेषता समीकरण निम्नलिखित होंगे:

मामले में, शब्द सकारात्मक है। निरूपित . चारित्रिक समीकरण k 1,2 = ± i w की जड़ें, इसलिए सामान्य समाधान (9.10) का रूप है:

जहां सी और मनमाना स्थिरांक, वे प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। हमने समय में मूल्य परिवर्तन का नियम प्राप्त किया है:

अपना अंतर समीकरण दर्ज करें, एपोस्ट्रोफी """ का उपयोग व्युत्पन्न में प्रवेश करने के लिए किया जाता है, सबमिट दबाएं और समाधान प्राप्त करें

साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण कहा जाता है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात कार्य और इसके विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव (या अंतर) को जोड़ता है।

अवकल समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

साधारण अवकल समीकरणों के अतिरिक्त, आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात फलन और समान चरों के संबंध में इसके आंशिक डेरिवेटिव हैं। लेकिन हम केवल विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए हम संक्षिप्तता के लिए "साधारण" शब्द को छोड़ देंगे।

अंतर समीकरणों के उदाहरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनऑर्डर में स्पष्ट रूप से एक फ़ंक्शन शामिल नहीं है, इसके सभी डेरिवेटिव पहले से एनवें आदेश और एक स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ ऑर्डर, एक फ़ंक्शन, एक स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से तीसरे और दूसरे क्रम के डेरिवेटिव नहीं हैं, साथ ही कार्य भी हैं; समीकरण में (2) - दूसरे क्रम के व्युत्पन्न और कार्य; समीकरण में (4) - स्वतंत्र चर; समीकरण (5) में - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी डेरिवेटिव, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

अवकल समीकरण को हल करके कोई समारोह कहा जाता है वाई = एफ (एक्स), जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके, यह एक पहचान में बदल जाता है।

एक अवकल समीकरण का हल खोजने की प्रक्रिया को इसका कहा जाता है एकीकरण.

उदाहरण 1अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम इस समीकरण को रूप में लिखते हैं। समाधान इसके व्युत्पन्न द्वारा कार्य को खोजना है। मूल फलन, जैसा कि समाकलन कलन से जाना जाता है, इसके लिए प्रतिअवकलज है, अर्थात

यह वही है दिए गए अंतर समीकरण का समाधान . इसमें बदल रहा है सी, हमें अलग-अलग समाधान मिलेंगे। हमने पाया कि प्रथम कोटि के अवकल समीकरण के अपरिमित संख्या में हल होते हैं।

अंतर समीकरण का सामान्य समाधान एनवां क्रम इसका समाधान है जो स्पष्ट रूप से अज्ञात फ़ंक्शन और युक्त के संबंध में व्यक्त किया गया है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का हल व्यापक है।

अंतर समीकरण का आंशिक समाधान इसका समाधान कहा जाता है, जिसमें विशिष्ट संख्यात्मक मान मनमाने स्थिरांक को निर्दिष्ट किए जाते हैं।

उदाहरण 2अवकल समीकरण का सामान्य हल और विशेष हल ज्ञात कीजिए .

समाधान। हम समीकरण के दोनों भागों को इतनी बार एकीकृत करते हैं कि अवकल समीकरण की कोटि बराबर हो जाती है।

,

.

नतीजतन, हमें सामान्य समाधान मिला -

दिए गए तीसरे क्रम के अंतर समीकरण।

अब आइए निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने गुणांक के बजाय उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

.

यदि, अवकल समीकरण के अतिरिक्त, प्रारंभिक स्थिति के रूप में दी जाती है, तो ऐसी समस्या कहलाती है कॉची समस्या . मूल्यों और समीकरण के सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित किया जाता है और एक मनमाना स्थिरांक का मान पाया जाता है सी, और फिर प्राप्त मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यही कॉची समस्या का समाधान है।

उदाहरण 3शर्त के तहत उदाहरण 1 से अंतर समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

समाधान। हम प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं वाई = 3, एक्स= 1. हम प्राप्त करते हैं

हम पहले क्रम के दिए गए अवकल समीकरण के लिए कौशी समस्या का हल लिखते हैं:

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, यहां तक ​​कि सबसे सरल समीकरणों को जटिल कार्यों सहित एकीकृत करने और डेरिवेटिव लेने में अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

समाधान। समीकरण इस रूप में लिखा गया है कि दोनों पक्षों को तुरंत एकीकृत किया जा सकता है।

.

हम चर (प्रतिस्थापन) को बदलकर एकीकरण की विधि लागू करते हैं। चलो, तो।

लेना आवश्यक है डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं, क्योंकि एक्सऔर एक जटिल कार्य है ("सेब" - वर्गमूल निकालना या, जो समान है - "एक सेकंड", और "कीमा बनाया हुआ मांस" - जड़ के नीचे की अभिव्यक्ति को बढ़ाना):

हम अभिन्न पाते हैं:

चर पर लौट रहा है एक्स, हम पाते हैं:

.

यह पहली डिग्री के इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए न केवल उच्च गणित के पिछले वर्गों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्राथमिक, यानी स्कूली गणित के कौशल की भी आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अवकल समीकरण में एक स्वतंत्र चर, यानी एक चर नहीं हो सकता है एक्स. स्कूल बेंच से अनुपात के बारे में ज्ञान जिसे भुलाया नहीं गया है (हालांकि, किसी को भी यह पसंद है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है।

अवकल समीकरणों का हल। हमारी ऑनलाइन सेवा के लिए धन्यवाद, आप किसी भी प्रकार और जटिलता के अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं: अमानवीय, सजातीय, गैर-रैखिक, रैखिक, पहला, दूसरा क्रम, वियोज्य चर के साथ या बिना, आदि। आपको विस्तृत विवरण के साथ एक विश्लेषणात्मक रूप में अवकल समीकरणों का हल मिलता है। कई लोग इसमें रुचि रखते हैं: अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करना क्यों आवश्यक है? गणित और भौतिकी में इस प्रकार के समीकरण बहुत आम हैं, जहाँ अवकल समीकरण की गणना किए बिना कई समस्याओं को हल करना असंभव होगा। साथ ही, अर्थशास्त्र, चिकित्सा, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान और अन्य विज्ञानों में अंतर समीकरण आम हैं। इस तरह के एक समीकरण को ऑनलाइन हल करना आपके कार्यों को बहुत आसान बनाता है, सामग्री को बेहतर ढंग से समझना और स्वयं का परीक्षण करना संभव बनाता है। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने के लाभ। एक आधुनिक गणितीय सेवा साइट आपको किसी भी जटिलता के अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देती है। जैसा कि आप जानते हैं, बड़ी संख्या में प्रकार के अंतर समीकरण हैं, और उनमें से प्रत्येक का अपना समाधान है। हमारी सेवा पर आप किसी भी क्रम और प्रकार के अंतर समीकरणों का समाधान ऑनलाइन पा सकते हैं। एक समाधान प्राप्त करने के लिए, हम सुझाव देते हैं कि आप प्रारंभिक डेटा भरें और "समाधान" बटन पर क्लिक करें। सेवा के संचालन में त्रुटियों को बाहर रखा गया है, इसलिए आप 100% सुनिश्चित हो सकते हैं कि आपको सही उत्तर प्राप्त हुआ है। हमारी सेवा के साथ अंतर समीकरणों को हल करें। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करें। डिफ़ॉल्ट रूप से, ऐसे समीकरण में, y फ़ंक्शन x चर का एक फ़ंक्शन होता है। लेकिन आप अपना स्वयं का चर पदनाम भी निर्धारित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक अवकल समीकरण में y(t) निर्दिष्ट करते हैं, तो हमारी सेवा स्वचालित रूप से निर्धारित करेगी कि y, t चर का एक फलन है। संपूर्ण अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में उपस्थित फलन के अवकलज की अधिकतम कोटि पर निर्भर करेगा। ऐसे समीकरण को हल करने का अर्थ है आवश्यक फलन ज्ञात करना। हमारी सेवा आपको अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने में मदद करेगी। समीकरण को हल करने में आपकी ओर से अधिक प्रयास की आवश्यकता नहीं है। आपको केवल आवश्यक फ़ील्ड में अपने समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को दर्ज करना होगा और "समाधान" बटन पर क्लिक करना होगा। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में प्रवेश करते समय, इसे एपोस्ट्रोफी के साथ निरूपित करना आवश्यक है। सेकंड के मामले में, आपके पास अंतर समीकरण के लिए तैयार विस्तृत समाधान होगा। हमारी सर्विस बिल्कुल फ्री है। वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण। यदि बाईं ओर एक अंतर समीकरण में एक अभिव्यक्ति है जो y पर निर्भर करती है, और दाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो x पर निर्भर करती है, तो इस तरह के एक अंतर समीकरण को वियोज्य चर कहा जाता है। बायीं ओर y का अवकलज हो सकता है, इस प्रकार के अवकल समीकरणों का हल y के फलन के रूप में होगा, जो समीकरण के दायीं ओर के समाकलन द्वारा अभिव्यक्त होगा। यदि बाईं ओर y के किसी फलन का अवकलन हो, तो समीकरण के दोनों भाग समाकलित हो जाते हैं। जब एक अंतर समीकरण में चर अलग नहीं होते हैं, तो उन्हें एक अलग अंतर समीकरण प्राप्त करने के लिए विभाजित करने की आवश्यकता होगी। रैखिक अंतर समीकरण। एक अंतर समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि फ़ंक्शन और उसके सभी डेरिवेटिव पहली डिग्री में हों। समीकरण का सामान्य रूप: y'+a1(x)y=f(x). f(x) और a1(x) x के निरंतर कार्य हैं। इस प्रकार के अवकल समीकरणों के हल को अलग-अलग चरों वाले दो अवकल समीकरणों के समाकलन तक सीमित कर दिया जाता है। अवकल समीकरण का क्रम। अवकल समीकरण प्रथम, द्वितीय, n-वें क्रम का हो सकता है। एक अंतर समीकरण का क्रम उसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम निर्धारित करता है। हमारी सेवा में आप पहले, दूसरे, तीसरे आदि के अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल कर सकते हैं। आदेश देना। समीकरण का हल कोई भी फलन y=f(x) होगा, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर आपको एक सर्वसमिका प्राप्त होगी। अवकल समीकरण का हल खोजने की प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं। कॉची समस्या। यदि, अंतर समीकरण के अलावा, प्रारंभिक शर्त y(x0)=y0 निर्दिष्ट है, तो इसे कॉची समस्या कहा जाता है। संकेतक y0 और x0 को समीकरण के समाधान में जोड़ा जाता है और एक मनमाना स्थिरांक C का मान निर्धारित किया जाता है, और फिर C के इस मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान। यह कॉची समस्या का समाधान है। कॉची समस्या को सीमा स्थितियों की समस्या भी कहा जाता है, जो भौतिकी और यांत्रिकी में बहुत आम है। आपके पास कॉची समस्या को सेट करने का अवसर भी है, अर्थात, समीकरण के सभी संभावित समाधानों से, एक विशेष को चुनें जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

या तो पहले से ही व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

अंतराल पर प्रकार के अंतर समीकरणों का सामान्य समाधान एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का समाकलन करके पाया जा सकता है।

पाना .

यदि हम अनिश्चित समाकल के गुणों को देखें, तो हमें वांछित व्यापक हल प्राप्त होता है:

वाई = एफ (एक्स) + सी,

कहाँ एफ (एक्स)- फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक च (एक्स)बीच में एक्स, ए साथएक मनमाना स्थिरांक है।

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश कार्यों में अंतराल एक्सइंगित न करें। इसका मतलब यह है कि सभी के लिए एक समाधान खोजा जाना चाहिए। एक्स, जिसके लिए और वांछित समारोह वाई, और मूल समीकरण समझ में आता है।

यदि आपको प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतर समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है वाई (एक्स 0) = वाई 0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना के बाद वाई = एफ (एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी0प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करना। यानी एक स्थिरांक सी = सी0समीकरण से निर्धारित एफ(एक्स 0) + सी = वाई 0, और अंतर समीकरण का वांछित विशेष समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ (एक्स) + सी0.

एक उदाहरण पर विचार करें:

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए, परिणाम की सत्यता की जाँच कीजिए। आइए इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा।

समाधान:

दिए गए अंतर समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

.

हम इस अभिन्न अंग को भागों द्वारा एकीकरण की विधि से लेते हैं:

वह।, अवकल समीकरण का एक सामान्य हल है।

यह सुनिश्चित करने के लिए जांचें कि परिणाम सही है। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए समीकरण में पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं:

.

यानी पर मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो समाधान पाया वह तर्क के प्रत्येक वास्तविक मूल्य के लिए अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है एक्स.

यह ODE के एक विशेष समाधान की गणना करना बाकी है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है साथ, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापन सी = 2 ODE के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण द्वारा समीकरण के 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है च (एक्स). यह परिवर्तन समकक्ष होगा यदि च (एक्स)किसी के लिए शून्य नहीं होता एक्सअंतर समीकरण के एकीकरण के अंतराल से एक्स.

स्थितियों की संभावना तब होती है, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्य च (एक्स)और जी (एक्स)एक ही समय में शून्य हो जाना। समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल कोई फलन होता है वाई, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

यदि तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सस्थिति संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

अन्य सभी के लिए एक्सअंतराल से एक्सअंतर समीकरण का सामान्य समाधान रूपांतरित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

आइए हम ODE का सामान्य समाधान खोजें: .

समाधान।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से, यह स्पष्ट है कि प्राकृतिक लघुगणक समारोह तर्क के गैर-नकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए अभिव्यक्ति का डोमेन लॉग (एक्स + 3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण सार्थक है एक्स > -3 . तर्क के इन मूल्यों के साथ, अभिव्यक्ति एक्स + 3गायब नहीं होता है, इसलिए कोई 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में ODE को हल कर सकता है एक्स + 3.

हम पाते हैं .

अगला, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस समाकल को लेने के लिए, हम अवकल के चिन्ह के नीचे समाकलन की विधि का उपयोग करते हैं।