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एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन और उसके गुणों का ग्राफ़। एंटीडेरिवेटिव और अनिश्चितकालीन इंटीग्रल - नॉलेज हाइपरमार्केट

एक सीधी रेखा के साथ एक बिंदु की गति पर विचार करें। समय के लिए चलो टीआंदोलन की शुरुआत से, बिंदु रास्ता पार कर गया है अनुसूचित जनजाति)।तब तत्काल गति वी (टी)समारोह के व्युत्पन्न के बराबर अनुसूचित जनजाति),वह है वी (टी) = एस "(टी)।

व्यवहार में, एक व्युत्क्रम समस्या है: एक बिंदु की गति की दी गई गति के लिए वी (टी)उसका रास्ता खोजो अनुसूचित जनजाति), यानी ऐसे फंक्शन को खोजने के लिए अनुसूचित जनजाति),जिसका व्युत्पन्न है वी (टी). समारोह अनुसूचित जनजाति),ऐसा है कि एस "(टी) = वी (टी), फलन का अवकलज कहा जाता है वी (टी)।

उदाहरण के लिए, यदि वी (टी) = पर, कहाँ एदी गई संख्या है, तो फलन
एस (टी) = (2 पर) / 2वी (टी),क्योंकि
s "(t) \u003d ((पर 2) / 2) " \u003d at \u003d v (t)।

समारोह एफ (एक्स)प्रतिकारक क्रिया कहलाती है च (एक्स)कुछ अंतराल पर, अगर सभी के लिए एक्सइस अंतराल से एफ "(एक्स) = एफ (एक्स)।

उदाहरण के लिए, समारोह एफ (एक्स) = पाप एक्सकार्य का प्रतिपक्षी है एफ (एक्स) = कॉस एक्स,क्योंकि (पाप एक्स)" = कॉस एक्स; समारोह एफ (एक्स) \u003d एक्स 4/4कार्य का प्रतिपक्षी है एफ (एक्स) = एक्स 3, क्योंकि (एक्स 4 / 4)" \u003d एक्स 3।

आइए समस्या पर विचार करें।

काम.

सिद्ध करें कि कार्य x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 एक ही फ़ंक्शन f (x) \u003d x 2 के प्रतिपक्षी हैं।

समाधान.

1) F 1 (x) \u003d x 3/3, फिर F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2/3) \u003d x 2 \u003d f (x) को निरूपित करें।

2) एफ 2 (एक्स) \u003d एक्स 3/3 + 1, एफ "2 (एक्स) \u003d (एक्स 3/3 + 1)" \u003d (एक्स 3/3) "+ (1)" \u003d एक्स 2 \u003d च ( एक्स).

3) एफ 3 (एक्स) \u003d एक्स 3/3 - 4, एफ "3 (एक्स) \u003d (एक्स 3/3 - 4)" \u003d एक्स 2 \u003d एफ (एक्स)।

सामान्य तौर पर, कोई भी फ़ंक्शन x 3/3 + C, जहां C एक स्थिरांक है, फ़ंक्शन x 2 का प्रतिपक्षी है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है। इस उदाहरण से पता चलता है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, इसके प्रतिपक्षी को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है।

F 1 (x) और F 2 (x) को एक ही फ़ंक्शन f (x) के दो प्रतिपक्षी होने दें।

फिर एफ 1 "(एक्स) = एफ (एक्स) और एफ" 2 (एक्स) = एफ (एक्स)।

उनके अंतर का व्युत्पन्न g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) शून्य के बराबर है, क्योंकि g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d एफ (एक्स) - एफ (एक्स) = 0।

यदि g "(x) \u003d 0 एक निश्चित अंतराल पर, तो इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d g (x) के ग्राफ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d g (x) ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, अर्थात। g (x) \u003d C, जहाँ C समानता g (x) \u003d C, g (x) \u003d F से कुछ स्थिर है 1 (एक्स) - एफ 2 (एक्स) यह इस प्रकार है कि एफ 1 (एक्स) \u003d एफ 2(एक्स) + सी।

इसलिए, यदि फलन F(x) किसी अंतराल पर f(x) का एक प्रतिअवकलज है, तो f(x) के सभी प्रतिअवकलज F(x) + С के रूप में लिखे जाते हैं, जहां С एक मनमाना स्थिरांक है।

दिए गए फलन f(x) के सभी प्रतिअवकलजों के आलेखों पर विचार करें। यदि F(x) फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है, तो इस फलन का कोई भी प्रतिअवकलज F(x) में कुछ स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है: F(x) + C. फलन y = का रेखांकन F(x) + C ग्राफ y = F(x) से Oy अक्ष के साथ एक शिफ्ट द्वारा प्राप्त किया जाता है। C को चुनकर, कोई यह सुनिश्चित कर सकता है कि एंटीडेरिवेटिव का ग्राफ किसी दिए गए बिंदु से गुजरता है।

आइए आदिम खोजने के नियमों पर ध्यान दें।

याद कीजिए कि किसी दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करने की संक्रिया कहलाती है भेदभाव. किसी दिए गए फलन के लिए प्रतिअवकलज ज्ञात करने की व्युत्क्रम संक्रिया कहलाती है एकीकरण(लैटिन शब्द से "पुनर्स्थापित करना").

एंटीडेरिवेटिव्स की तालिकाडेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करके कुछ कार्यों के लिए संकलित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह जानना (cos x)" = -sin x,हम पाते हैं (-cos x)" = पाप x, जहाँ से यह अनुसरण करता है कि सभी प्रतिपक्षी कार्य पाप एक्सरूप में लिखे गए हैं -कोस एक्स + सी, कहाँ साथ- नियत।

आइए प्रतिपक्षी के कुछ मूल्यों पर विचार करें।

1) समारोह: एक्स पी, पी ≠ -1. एंटीडेरिवेटिव: (एक्स पी + 1) / (पी + 1) + सी।

2) समारोह: 1/एक्स, एक्स> 0।एंटीडेरिवेटिव: एलएनएक्स + सी।

3) समारोह: एक्स पी, पी ≠ -1. एंटीडेरिवेटिव: (एक्स पी + 1) / (पी + 1) + सी।

4) समारोह: पूर्व. एंटीडेरिवेटिव: ई एक्स + सी।

5) समारोह: पाप एक्स. एंटीडेरिवेटिव: -कोस एक्स + सी।

6) समारोह: (केएक्स + बी) पी , पी ≠ -1, के ≠ 0।एंटीडेरिवेटिव: (((केएक्स + बी) पी + 1) / के (पी + 1)) + सी।

7) समारोह: 1/(केएक्स + बी), के ≠ 0. एंटीडेरिवेटिव: (1 / के) एलएन (केएक्स + बी) + सी।

8) समारोह: ई केएक्स + बी, के ≠ 0. एंटीडेरिवेटिव: (1/के) ई केएक्स + बी + सी।

9) समारोह: पाप (केएक्स + बी), के ≠ 0. एंटीडेरिवेटिव: (-1/k) cos (kx + b).

10) समारोह: cos (kx + b), k ≠ 0।एंटीडेरिवेटिव: (1/के) पाप (केएक्स + बी)।

एकीकरण नियमका प्रयोग कर प्राप्त किया जा सकता है भेदभाव नियम. आइए कुछ नियमों पर नजर डालते हैं।

होने देना एफ (एक्स)और जी (एक्स)क्रमशः कार्यों के प्रतिपक्षी हैं च (एक्स)और जी (एक्स)कुछ अंतराल पर। तब:

1) समारोह एफ (एक्स) ± जी (एक्स)कार्य का प्रतिपक्षी है एफ (एक्स) ± जी (एक्स);

2) समारोह वायुसेना (एक्स)कार्य का प्रतिपक्षी है एएफ (एक्स)।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शंस खोजने के लिए तीन बुनियादी नियम हैं। वे संबंधित भेदभाव नियमों के समान ही हैं।

नियम 1

अगर F किसी फंक्शन f के लिए एक एंटीडेरिवेटिव है, और G कुछ फंक्शन g के लिए एक एंटीडेरिवेटिव है, तो F + G, f + g के लिए एक एंटीडेरिवेटिव होगा।

एंटीडेरिवेटिव एफ '= एफ की परिभाषा के अनुसार। जी' = जी। और जब से ये शर्तें पूरी होती हैं, तब कार्यों के योग के लिए व्युत्पन्न की गणना के नियम के अनुसार, हमारे पास होगा:

(एफ + जी) '= एफ' + जी '= एफ + जी।

नियम 2

यदि F किसी फलन f के लिए एक प्रतिअवकलज है और k कुछ अचर है। तब k*F फलन k*f का प्रतिअवकलज है। यह नियम जटिल फलन के अवकलज की गणना के लिए नियम से अनुसरण करता है।

हमारे पास है: (के*एफ)' = के*एफ' = के*एफ।

नियम 3

यदि F(x) f(x) का कुछ प्रतिपक्षी है, और k और b कुछ स्थिरांक हैं, और k गैर-शून्य है, तो (1/k)*F*(k*x+b) का एक प्रतिपक्षी होगा एफ (के * एक्स + बी)।

यह नियम एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम से अनुसरण करता है:

((1/के)*एफ*(के*एक्स+बी))' = (1/के)*एफ'(के*एक्स+बी)*के = एफ(के*एक्स+बी)।

आइए कुछ उदाहरण देखें कि ये नियम कैसे लागू होते हैं:

उदाहरण 1. फलन f(x) = x^3 +1/x^2 के लिए प्रतिअवकलज का सामान्य रूप ज्ञात कीजिए। फ़ंक्शन x^3 के लिए एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन (x^4)/4 होगा, और फ़ंक्शन 1/x^2 के लिए एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन -1/x होगा। पहले नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास:

एफ(एक्स) = x^4/4 - 1/x +सी।

उदाहरण 2. आइए फलन f(x) = 5*cos(x) के लिए प्रतिअवकलज का सामान्य रूप ज्ञात करें। cos(x) फलन के लिए, एक प्रतिअवकलज sin(x) फलन होगा। यदि अब हम दूसरे नियम का उपयोग करते हैं, तो हमारे पास होगा:

एफ (एक्स) = 5 * पाप (एक्स)।

उदाहरण 3फलन y = sin(3*x-2) के लिए एक प्रतिअवकलज ज्ञात कीजिए। sin(x) फलन के लिए, अवकलजों में से एक -cos(x) फलन होगा। यदि हम अब तीसरे नियम का उपयोग करते हैं, तो हमें प्रतिपक्षी के लिए एक व्यंजक मिलता है:

एफ(एक्स) = (-1/3)*cos(3*x-2)

उदाहरण 4. फलन f(x) = 1/(7-3*x)^5 के लिए अवकलज ज्ञात कीजिए

फ़ंक्शन 1/x^5 के लिए एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन (-1/(4*x^4)) होगा। अब, तीसरे नियम का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

अवकलन की संक्रियाओं में से एक है अवकलज (अवकलन) का पता लगाना और उसे फलनों के अध्ययन में लागू करना।

उलटा समस्या भी उतनी ही महत्वपूर्ण है। यदि किसी फ़ंक्शन का व्यवहार उसकी परिभाषा के प्रत्येक बिंदु के आसपास के क्षेत्र में जाना जाता है, तो फ़ंक्शन को समग्र रूप से कैसे पुनर्स्थापित किया जाए, अर्थात। इसकी परिभाषा की पूरी श्रृंखला में। यह समस्या तथाकथित अभिन्न कलन के अध्ययन का विषय है।

एकीकरण भेदभाव की विपरीत क्रिया है। या दिए गए व्युत्पन्न f`(x) से फ़ंक्शन f(x) की बहाली। लैटिन शब्द "इंटेग्रो" का अर्थ है बहाली।

उदाहरण 1.

माना (f(x))' = 3x 2 । एफ (एक्स) खोजें।

समाधान:

विभेदन नियम के आधार पर, यह अनुमान लगाना आसान है कि f (x) \u003d x 3, क्योंकि

(x 3)' = 3x 2 हालांकि, यह देखना आसान है कि f (x) अस्पष्ट रूप से पाया जाता है। f (x) के रूप में आप f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3, आदि ले सकते हैं।

क्योंकि उनमें से प्रत्येक का व्युत्पन्न 3x2 है। (स्थिर का व्युत्पन्न 0 है)। ये सभी कार्य एक दूसरे से एक स्थिर अवधि से भिन्न होते हैं। इसीलिए सामान्य निर्णयसमस्याओं को f(x)= x 3 +C के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ C कोई अचर वास्तविक संख्या है।

कोई भी पाया गया फलन f(x) कहा जाता है प्राचीनफलन F`(x) = 3x 2 के लिए

परिभाषा।

फलन F(x) को दिए गए अंतराल J पर फलन f(x) के लिए प्रतिपक्षी कहा जाता है, यदि इस अंतराल से सभी x के लिए F`(x) = f(x). तो फ़ंक्शन F (x) \u003d x 3 f (x) \u003d 3x 2 ऑन (- ∞ ; ∞) के लिए प्रतिपक्षी है। चूंकि, सभी x ~ R के लिए, समानता सत्य है: F`(x)=(x 3)`=3x 2

जैसा कि हमने पहले ही देखा है, इस फ़ंक्शन में एंटीडेरिवेटिव्स का एक अनंत सेट है।

उदाहरण #2।

फ़ंक्शन अंतराल (0; +∞) पर सभी के लिए एंटीडेरिवेटिव है, क्योंकि इस अंतराल से सभी h के लिए, समानता धारण करती है।

एकीकरण का कार्य किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए इसके सभी एंटीडेरिवेटिव्स को खोजना है। इस समस्या को हल करते समय महत्वपूर्ण भूमिकानिम्नलिखित कथन निभाता है:

एक समारोह की स्थिरता का संकेत। यदि F "(x) \u003d 0 किसी अंतराल I पर है, तो फ़ंक्शन F इस अंतराल पर एक स्थिरांक है।

सबूत।

आइए हम अंतराल I से कुछ x 0 तय करें। फिर ऐसे अंतराल से किसी भी संख्या x के लिए, लग्रेंज सूत्र के आधार पर, x और x 0 के बीच ऐसी संख्या c निर्दिष्ट कर सकते हैं कि

एफ (एक्स) - एफ (एक्स 0) \u003d एफ "(सी) (एक्स-एक्स 0)।

शर्त के अनुसार, F' (c) = 0, क्योंकि c ∈1, इसलिए,

एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0) = 0।

इसलिए, अंतराल I से सभी x के लिए

यानी फ़ंक्शन F स्थिर रहता है।

सभी प्रतिपक्षी कार्य f को एक सूत्र का उपयोग करके लिखा जा सकता है, जिसे कहा जाता है समारोह के लिए एंटीडेरिवेटिव्स का सामान्य रूपएफ। निम्नलिखित प्रमेय सत्य है ( आदिम की मूल संपत्ति):

प्रमेय। अंतराल I पर फलन f के लिए कोई भी प्रतिपक्षी इस रूप में लिखा जा सकता है

F(x) + C, (1) जहां F(x) अंतराल I पर फलन f(x) के लिए एक अवकलज है, और C एक मनमाना स्थिरांक है।

आइए हम इस कथन की व्याख्या करें, जिसमें प्रतिपक्षी के दो गुण संक्षेप में तैयार किए गए हैं:

C के बजाय हम अभिव्यक्ति (1) में जो भी संख्या रखते हैं, हमें अंतराल I पर f के लिए प्रतिपक्षी मिलता है;
अंतराल I पर f के लिए जो भी प्रतिपक्षी Ф लिया जाता है, कोई ऐसी संख्या C चुन सकता है कि अंतराल I से सभी x के लिए समानता संतुष्ट हो जाएगी

सबूत।

शर्त के अनुसार, फ़ंक्शन F अंतराल I पर f के लिए प्रतिपक्षी है। इसलिए, F "(x) \u003d f (x) किसी भी x∈1 के लिए, इसलिए (F (x) + C)" \u003d F "( x) + सी" \u003d f(x)+0=f(x), यानी। एफ(एक्स) + सी फ़ंक्शन एफ के लिए विरोधी है।
चलो Ф (х) एक ही अंतराल I पर फ़ंक्शन f के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है, यानी सभी x∈I के लिए Ф "(x) = f (х)।

तब (Ф (x) - F (x)) "= Ф" (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0।

यह यहाँ से चलता है। फ़ंक्शन की स्थिरता के संकेत के कारण, कि अंतर Ф (х) - F (х) एक ऐसा फ़ंक्शन है जो अंतराल I पर कुछ स्थिर मान C लेता है।

इस प्रकार, अंतराल I से सभी x के लिए, समानता Ф(х) - F(x)=С सत्य है, जिसे सिद्ध किया जाना था। प्रतिपक्षी की मुख्य संपत्ति को एक ज्यामितीय अर्थ दिया जा सकता है: फलन f के लिए किन्ही दो प्रतिअवकलजों के रेखांकन y-अक्ष के समानांतर अनुवाद द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किए जाते हैं

सार के लिए प्रश्न

फलन F(x) फलन f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज है। F(1) ज्ञात कीजिये यदि f(x)=9x2 - 6x + 1 और F(-1) = 2.

एक समारोह के लिए सभी प्रतिपक्षी खोजें

फलन (x) = cos2 * sin2x के लिए, प्रतिअवकलज F(x) ज्ञात कीजिए यदि F(0) = 0।

किसी फलन के लिए, वह प्रतिअवकलज ज्ञात कीजिए जिसका ग्राफ बिंदु से होकर गुजरता है

अनिश्चितकालीन अभिन्न

अवकलन कलन का मुख्य कार्य किसी दिए गए फलन के अवकलज या अवकलन की गणना करना था। अभिन्न कलन, जिसका हम अभी अध्ययन कर रहे हैं, व्युत्क्रम समस्या को हल करता है, अर्थात्, इसके व्युत्पन्न या अंतर से कार्य को खोजना। यानी होना डीएफ (एक्स) = एफ (एक्स) डी (7.1) या एफ′ (एक्स) = एफ (एक्स),

कहाँ च (एक्स)- एक ज्ञात समारोह, आपको एक समारोह खोजने की जरूरत है एफ (एक्स).

परिभाषा:फलन F(x) कहलाता है प्राचीनफलन f (x) खंड पर यदि इस खंड के सभी बिंदुओं पर समानता सत्य है: एफ' (एक्स) = एफ (एक्स)या डीएफ (एक्स) = एफ (एक्स) डी.

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक एफ (एक्स) = 3x2इच्छा एफ (एक्स) \u003d एक्स 3, क्योंकि ( x 3)'=3x 2. लेकिन समारोह के लिए प्रतिपक्षी एफ (एक्स) = 3x2कार्य भी होंगे और , क्योंकि .

तो यह समारोह एफ (एक्स) = 3x2अनंत संख्या में आदिम हैं, जिनमें से प्रत्येक केवल एक स्थिर शब्द से भिन्न होता है। आइए हम दिखाते हैं कि यह परिणाम सामान्य स्थिति में भी लागू होता है।

प्रमेय कुछ अंतराल में परिभाषित एक ही फ़ंक्शन के दो अलग-अलग प्रतिपक्षी, इस अंतराल पर एक दूसरे से एक स्थिर शब्द से भिन्न होते हैं।

सबूत

समारोह होने दें च (एक्स) अंतराल पर परिभाषित (ए¸बी)और एफ 1 (एक्स) और एफ 2 (एक्स) - आदिम, यानी एफ 1 '(एक्स) = एफ (एक्स) और एफ 2' (एक्स) = एफ (एक्स).

तब F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ एफ 1 (एक्स) - एफ 2 (एक्स) \u003d सी

यहाँ से, एफ 2 (एक्स) \u003d एफ 1 (एक्स) + सी

कहाँ साथ एक स्थिरांक है (यहाँ हम लैग्रेंज के प्रमेय से उपप्रमेय का उपयोग करते हैं)।

इस प्रकार प्रमेय सिद्ध होता है।

ज्यामितीय चित्रण. अगर पर = एफ 1 (एक्स) और पर = एफ 2 (एक्स) एक ही कार्य के प्रतिपक्षी हैं च (एक्स), फिर एक सामान्य भुज वाले बिंदुओं पर उनके ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एक्सएक दूसरे के समांतर (चित्र 7.1)।

इस मामले में, अक्ष के साथ इन वक्रों के बीच की दूरी कहांस्थिर रहता है एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) \u003d सी , यानी ये वक्र अंदर हैं कुछ समझएक दूसरे के "समानांतर" हैं।

परिणाम .

कुछ आदिम में जोड़ना एफ (एक्स) इस समारोह के लिए च (एक्स)अंतराल पर परिभाषित एक्स, सभी संभावित स्थिरांक साथ, हमें फ़ंक्शन के लिए सभी संभव एंटीडेरिवेटिव मिलते हैं च (एक्स).

तो अभिव्यक्ति एफ (एक्स) + सी , और कहां एफ (एक्स) फ़ंक्शन का कुछ प्रतिकूल है च (एक्स)के लिए सभी संभावित एंटीडेरिवेटिव शामिल हैं च (एक्स).

उदाहरण 1जांचें कि क्या कार्य हैं समारोह के लिए एंटीडेरिवेटिव

समाधान:

उत्तर: फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव समारोह होंगे और

परिभाषा: यदि फलन F(x) फलन f(x) के लिए कोई प्रतिअवकलज है, तो सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय F(x) + C कहलाता है का अनिश्चितकालीन अभिन्न f(x) और निरूपित करें:

∫f(x)dx.

ए-प्रायरी:

च(एक्स) - एकीकृत,

f(x)dx - एकीकृत

इससे यह पता चलता है अनिश्चितकालीन अभिन्नएक कार्य है सामान्य रूप से देखें, जिसका अंतर पूर्णांक के बराबर है, और जिसका व्युत्पन्न चर के संबंध में है एक्ससभी बिंदुओं पर समाकलन के बराबर है।

साथ ज्यामितीय बिंदुदृष्टिअनिश्चित समाकल वक्रों का एक परिवार है, जिनमें से प्रत्येक वक्र को अपने समानांतर ऊपर या नीचे स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात अक्ष के साथ कहां(चित्र 7.2)।

किसी फलन के अनिश्चित समाकल की गणना की संक्रिया कहलाती है एकीकरण यह समारोह।

ध्यान दें कि यदि का व्युत्पन्न प्राथमिक समारोहहमेशा एक प्रारंभिक फलन होता है, तो किसी प्राथमिक फलन के प्रतिअवकलज को प्राथमिक फलनों की परिमित संख्या द्वारा निरूपित करने की आवश्यकता नहीं होती है।

अभी विचार करें अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण.

परिभाषा 2 का अर्थ है:

1. अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न एकीकृत के बराबर है, अर्थात यदि एफ' (एक्स) = एफ (एक्स) , वह

2. अनिश्चित समाकल का अंतर समाकलन के बराबर होता है

. (7.4)

अंतर और संपत्ति की परिभाषा से (7.3)

3. किसी फलन के अवकलन का अनिश्चित समाकल इस फलन के बराबर होता है जो एक स्थिर पद तक होता है, अर्थात (7.5)

समारोह एफ(एक्स ) बुलाया प्राचीन समारोह के लिए एफ(एक्स) किसी दिए गए अंतराल पर, यदि सभी के लिए एक्स इस अंतराल से समानता

एफ"(एक्स ) = एफ(एक्स ) .

उदाहरण के लिए, समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 एफ(एक्स ) = 2एक्स , क्योंकि

एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 )" = 2एक्स = एफ (एक्स)। ◄

प्रतिपक्षी की मुख्य संपत्ति

अगर एफ (एक्स) समारोह के लिए प्रतिपक्षी है च (एक्स) किसी दिए गए अंतराल पर, फिर function च (एक्स) असीम रूप से कई प्रतिपक्षी हैं, और इन सभी प्रतिपक्षी को इस रूप में लिखा जा सकता है एफ (एक्स) + सी, कहाँ साथ एक मनमाना स्थिरांक है।

उदाहरण के लिए।

समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 + 1 समारोह के लिए प्रतिपक्षी है

एफ(एक्स ) = 2एक्स , क्योंकि एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 + 1 )" = 2 एक्स = एफ (एक्स);

समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 - 1 समारोह के लिए प्रतिपक्षी है

एफ(एक्स ) = 2एक्स , क्योंकि एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 - 1)" = 2एक्स = एफ (एक्स) ;

समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 - 3 समारोह के लिए प्रतिपक्षी है

एफ(एक्स) = 2एक्स , क्योंकि एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 - 3)" = 2 एक्स = एफ (एक्स);

कोई समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 + साथ , कहाँ साथ एक स्वेच्छ स्थिरांक है, और केवल ऐसा फलन फलन के लिए अवकलज है एफ(एक्स) = 2एक्स . ◄

एंटीडेरिवेटिव्स की गणना के नियम

अगर एफ (एक्स) - के लिए मूल च (एक्स) , ए जी (एक्स) - के लिए मूल जी (एक्स) , वह एफ(एक्स) + जी(एक्स) - के लिए मूल एफ (एक्स) + जी (एक्स) . दूसरे शब्दों में, योग का प्रतिपक्षी प्रतिपक्षी योग के बराबर है .
अगर एफ (एक्स) - के लिए मूल च (एक्स) , और क स्थिर है, तो क · एफ (एक्स) - के लिए मूल क · च (एक्स) . दूसरे शब्दों में, स्थिर कारक को व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है .
अगर एफ (एक्स) - के लिए मूल च (एक्स) , और क,बी- स्थायी, और कश्मीर ≠ 0 , वह 1 / क एफ(क एक्स +बी ) - के लिए मूल एफ(क एक्स + बी) .

अनिश्चितकालीन अभिन्न

नहीं समाकलन परिभाषित करें समारोह से च (एक्स) अभिव्यक्ति कहते हैं एफ (एक्स) + सी, अर्थात्, दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स का सेट च (एक्स) . अनिश्चितकालीन अभिन्न को निम्नानुसार दर्शाया गया है:

∫ एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) + सी ,

च (एक्स)- बुलाया एकीकृत ;

एफ (एक्स) डीएक्स- बुलाया एकीकृत ;

एक्स - बुलाया एकीकरण चर ;

एफ (एक्स) फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है च (एक्स) ;

साथ एक मनमाना स्थिरांक है।

उदाहरण के लिए, ∫ 2 एक्स डीएक्स =एक्स 2 + साथ , ∫ ओलएक्स डीएक्स =पाप एक्स + साथ और इसी तरह। ◄

"इंटीग्रल" शब्द लैटिन शब्द से आया है पूर्णांक , जिसका अर्थ है "बहाल"। के अनिश्चितकालीन अभिन्न को ध्यान में रखते हुए 2 एक्स, हम फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं एक्स 2 , जिसका व्युत्पन्न है 2 एक्स. किसी फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न से पुनर्स्थापित करना, या, जो समान है, किसी दिए गए इंटीग्रैंड पर अनिश्चितकालीन इंटीग्रल को खोजना कहा जाता है एकीकरण यह समारोह। समाकलन अवकलन की व्युत्क्रम संक्रिया है। समाकलन सही है या नहीं, यह जाँचने के लिए, यह परिणाम में अंतर करने और समाकलन प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के मूल गुण

अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न एकीकृत के बराबर है:

(∫ एफ (एक्स) डीएक्स )" = एफ (एक्स) .

इंटीग्रैंड के निरंतर कारक को इंटीग्रल साइन से बाहर निकाला जा सकता है:

∫ क · एफ (एक्स) डीएक्स = क · ∫ एफ (एक्स) डीएक्स .

कार्यों के योग (अंतर) का अभिन्न अंग योग के बराबर है(अंतर) इन कार्यों के अभिन्न अंग:

∫ ( एफ (एक्स) ± जी (एक्स ) ) डीएक्स = ∫ एफ (एक्स) डीएक्स ± ∫ जी (एक्स ) डीएक्स .

अगर क,बी- स्थायी, और कश्मीर ≠ 0 , वह

∫ एफ( क एक्स + बी) डीएक्स = 1 / क एफ(क एक्स +बी ) + सी .

एंटीडेरिवेटिव और अनिश्चित इंटीग्रल की तालिका

	च (एक्स)	एफ (एक्स) + सी	∫ एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) + सी
मैं।	$$0$$	$$सी$$	$$\int 0dx = सी $$
द्वितीय।	$$के$$	$$केएक्स+सी$$	$$\int kdx=kx+C$$
तृतीय।	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
चतुर्थ।	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln \|x\|+C$$
वी	$$\पाप x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
छठी।	$$\cos x$$	$$ \ पाप एक्स + सी $$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
सातवीं।	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$ \ textrm (टीजी) ~ एक्स + सी $$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
आठवीं।	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm (सीटीजी) ~ एक्स + सी $$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
नौवीं।	$$ई^एक्स$$	$$ई^एक्स+सी$$	$$\int ई^xdx=ई^x+सी$$
एक्स।	$$ए^एक्स$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
ग्यारहवीं।	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin एक्स + सी $$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
बारहवीं।	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(ए)+सी$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
तेरहवीं।	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV।	$$\frac(1)(ए^2+x^2)$$	$$\frac(1)(ए)\textrm(arctg) ~\frac(x)(ए)+सी$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV।	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ सी$$
XVII।	$$ \ textrm (टीजी) ~ एक्स $$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
XVIII।	$$\textrm (सीटीजी) ~ एक्स $$	$$\ln \|\sin x\|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln \|\sin x\|+C$$
उन्नीसवीं।	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
एक्सएक्स।	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\बाएं (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \दाएं ) \end(vmatrix)+C $$
इस तालिका में दिए गए आदिम और अनिश्चित समाकलों को आमतौर पर कहा जाता है सारणीबद्ध आदिम और तालिका अभिन्न .

समाकलन परिभाषित करें

बीच में रहने दें [ए; बी] एक निरंतर कार्य दिया वाई = एफ (एक्स) , तब ए से बी तक निश्चित अभिन्न कार्य च (एक्स) आदिम की वृद्धि कहा जाता है एफ (एक्स) यह कार्य, अर्थात्

$$\int_(ए)^(बी)एफ(एक्स)डीएक्स=एफ(एक्स)|(_ए^बी) = ~~एफ(ए)-एफ(बी).$$

नंबर एऔर बीक्रमशः कहलाते हैं निचला और ऊपर एकीकरण की सीमा।

निश्चित अभिन्न की गणना के लिए बुनियादी नियम

1. $\int_(a)^(a)f(x)dx=0$;

2. $\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx$;

3. $\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,$ कहा पे क - नियत;

4. $\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) जी (एक्स) डीएक्स $;

5. $\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx$;

6. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx$, जहां च (एक्स) एक सम फलन है;

7. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=0$, कहा पे च (एक्स) एक विषम कार्य है।

टिप्पणी . सभी मामलों में, यह माना जाता है कि पूर्णांक संख्यात्मक अंतरालों पर पूर्णांक हैं जिनकी सीमाएँ एकीकरण की सीमाएँ हैं।

निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

ज्यामितीय भाव समाकलन परिभाषित करें	भौतिक अर्थ समाकलन परिभाषित करें

वर्ग एस वक्रीय चतुर्भुज(अंतराल पर निरंतर सकारात्मक के ग्राफ से घिरा एक आंकड़ा [ए; बी] कार्य च (एक्स) , एक्सिस बैल और प्रत्यक्ष एक्स = ए , एक्स = बी ) सूत्र द्वारा गणना की जाती है $$S=\int_(ए)^(बी)एफ(एक्स)dx.$$	पथ एस, जिसे भौतिक बिंदु ने पार कर लिया है, एक सीधी रेखा में गति के साथ चलती है जो कानून के अनुसार बदलती है वी (टी) , एक समय अंतराल के लिए ए ; बी], फिर इन कार्यों और सीधी रेखाओं के रेखांकन से घिरी आकृति का क्षेत्र एक्स = ए , एक्स = बी , सूत्र द्वारा गणना की जाती है $$S=\int_(ए)^(बी)(एफ(एक्स)-जी(एक्स))डीएक्स।$$
	उदाहरण के लिए। आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए रेखाओं से घिरा हुआ वाई = एक्स 2 और वाई = 2-एक्स . हम योजनाबद्ध रूप से इन कार्यों के ग्राफ़ को चित्रित करेंगे और उस आकृति को उजागर करेंगे जिसका क्षेत्र एक अलग रंग में खोजने की आवश्यकता है। समाकलन की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं: एक्स 2 = 2-एक्स ; एक्स 2 + एक्स- 2 = 0 ; एक्स 1 = -2, एक्स 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\बाएं (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \दाएं )\bigm\|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

क्रांति के शरीर का आयतन

यदि शरीर अक्ष के चारों ओर घूमने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है बैल अंतराल पर निरंतर और गैर-नकारात्मक के ग्राफ से घिरा कर्विलीनियर ट्रेपेज़ॉइड [ए; बी] कार्य वाई = एफ (एक्स) और प्रत्यक्ष एक्स = एऔर एक्स = बी , तो कहा जाता है क्रांति का शरीर .

क्रांति के शरीर की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जाती है

$$V=\pi\int_(ए)^(बी)एफ^2(एक्स)dx.$$

यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा ऊपर और नीचे बंधी हुई आकृति के रोटेशन के परिणामस्वरूप क्रांति का शरीर प्राप्त होता है वाई = एफ (एक्स) और वाई = जी (एक्स) , क्रमशः, फिर

$$V=\pi\int_(ए)^(बी)(एफ^2(x)-g^2(x))dx.$$

उदाहरण के लिए। त्रिज्या वाले शंकु के आयतन की गणना करें आर और ऊंचाई एच .

आइए शंकु को एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रखें ताकि इसकी धुरी अक्ष के साथ मेल खाती हो बैल , और आधार का केंद्र निर्देशांक के मूल में स्थित था। जेनरेटर रोटेशन अबशंकु को परिभाषित करता है। समीकरण के बाद से अब

$$\frac(x)(एच)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(एच)$$

और शंकु के आयतन के लिए हमारे पास है

$$V=\pi\int_(0)^(एच)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(एच)(1-\frac( x)(ज))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\बाएं (0-\frac(1)(3) \दाएं)=\frac(\pi r^2h)(3).$$

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