सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं को कैसे हल करें। सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं का समाधान
असमानताएँ a › b के रूप में संबंध हैं, जहाँ a और b कम से कम एक चर वाले व्यंजक हैं। असमानताएँ कठोर हो सकती हैं - ‹, › और गैर-सख्त - ≥, ≤।
त्रिकोणमितीय असमानताएँ इस रूप की अभिव्यक्तियाँ हैं: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, जिसमें F(x) एक या अधिक त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा दर्शाया गया है .
सरलतम त्रिकोणमितीय असमानता का एक उदाहरण है: sin x ‹ 1/2। ऐसी समस्याओं को रेखांकन से हल करने की प्रथा है, इसके लिए दो तरीके विकसित किए गए हैं।
विधि 1 - एक फलन आलेखित करके असमानताओं को हल करना
असमानता पाप x ‹ 1/2 की शर्तों को पूरा करने वाले अंतराल को खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित करना होगा:
- निर्देशांक अक्ष पर एक साइनसॉइड y = sin x बनाएँ।
- उसी अक्ष पर, असमानता के संख्यात्मक तर्क का एक ग्राफ बनाएं, यानी ओए समन्वय के बिंदु ½ के माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा।
- दो ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।
- उस खण्ड को छायांकित कीजिए जो उदाहरण का हल है।
जब किसी व्यंजक में प्रबल चिह्न होते हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु समाधान नहीं होते हैं। चूंकि साइनसॉइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि 2π है, हम उत्तर लिखते हैं इस अनुसार:
यदि व्यंजक के चिह्न सख्त नहीं हैं, तो समाधान अंतराल को वर्ग कोष्ठक - में संलग्न किया जाना चाहिए। समस्या का उत्तर एक अन्य असमानता के रूप में भी लिखा जा सकता है: 
विधि 2 - यूनिट सर्कल का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना
त्रिकोणमितीय वृत्त की सहायता से इसी तरह की समस्याओं को आसानी से हल किया जाता है। खोज एल्गोरिथ्म बहुत सरल है:
- सबसे पहले, एक यूनिट सर्कल बनाएं।
- फिर आपको वृत्त के चाप पर असमानता के दाईं ओर के तर्क के चाप फ़ंक्शन के मान को नोट करने की आवश्यकता है।
- एक्स-अक्ष (ओएक्स) के समानांतर आर्क फ़ंक्शन के मान के माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा खींचना आवश्यक है।
- उसके बाद, यह केवल एक वृत्त के चाप का चयन करने के लिए रहता है, जो कि त्रिकोणमितीय असमानता के समाधान का समूह है।
- उत्तर को आवश्यक रूप में लिखें।
आइए एक उदाहरण के रूप में असमानता sin x > 1/2 का उपयोग करके समाधान चरणों का विश्लेषण करें। बिंदु α और β सर्कल पर चिह्नित हैं - मान
दी गई असमानता को हल करने के लिए α और β के ऊपर स्थित चाप के बिंदु अंतराल हैं।
यदि आपको कॉस के लिए एक उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है, तो उत्तर चाप सममित रूप से OX अक्ष पर स्थित होगा, न कि ओए। आप पाठ में नीचे दिए गए आरेखों में sin और cos के समाधान अंतराल के बीच अंतर पर विचार कर सकते हैं।
स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श असमानताओं के लिए ग्राफिकल समाधान साइन और कोसाइन दोनों से भिन्न होंगे। यह कार्यों के गुणों के कारण है।
चाप स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा त्रिकोणमितीय वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं, और दोनों कार्यों के लिए न्यूनतम धनात्मक अवधि π है। दूसरी विधि का त्वरित और सही ढंग से उपयोग करने के लिए, आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि किस अक्ष पर sin, cos, tg और ctg के मान प्लॉट किए गए हैं।
स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा ओए अक्ष के समानांतर चलती है। यदि हम आर्कटग ए के मान को यूनिट सर्कल पर प्लॉट करते हैं, तो दूसरा आवश्यक बिंदु विकर्ण तिमाही में स्थित होगा। कोनों
वे फ़ंक्शन के लिए ब्रेकप्वाइंट हैं, क्योंकि ग्राफ उनके पास जाता है लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता।
कॉटैंजेंट के मामले में, टेंगेंट OX अक्ष के समानांतर चलता है, और फ़ंक्शन π और 2π बिंदुओं पर बाधित होता है।
जटिल त्रिकोणमितीय असमानताएँ
यदि असमानता फलन के तर्क को न केवल एक चर द्वारा, बल्कि एक अज्ञात युक्त संपूर्ण अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जाता है, तो हम एक जटिल असमानता के बारे में बात कर रहे हैं। इसके समाधान का क्रम और क्रम ऊपर वर्णित विधियों से कुछ अलग है। मान लीजिए हमें निम्नलिखित असमानता का समाधान खोजने की आवश्यकता है:
ग्राफिकल समाधान x के मनमाने ढंग से चुने गए मानों के लिए एक साधारण साइनसॉइड y = sin x के निर्माण के लिए प्रदान करता है। आइए चार्ट के संदर्भ बिंदुओं के लिए निर्देशांक वाली तालिका की गणना करें:
नतीजा एक अच्छा वक्र होना चाहिए।
समाधान खोजने में आसानी के लिए, हम जटिल कार्य तर्क को प्रतिस्थापित करते हैं
अधिकांश छात्र त्रिकोणमितीय असमानताओं को नापसंद करते हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। जैसा कि एक पात्र कहा करता था,
"आप उन्हें खाना बनाना नहीं जानते"
तो कैसे "खाना बनाना" है और साइन के साथ असमानता को क्या प्रस्तुत करना है, हम इस लेख में इसका पता लगाएंगे। हम तय करेंगे सरल तरीके सेयूनिट सर्कल का उपयोग करना।
तो, सबसे पहले, हमें निम्नलिखित एल्गोरिथम की आवश्यकता है।
साइन के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथम:
- संख्या $a$ साइन अक्ष पर रखें और कोसाइन अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें जब तक कि यह सर्कल के साथ प्रतिच्छेद न करे;
- यदि असमानता सख्त नहीं है, और असमानता सख्त है, तो सर्कल के साथ इस रेखा के चौराहे के बिंदुओं को भरा जाएगा;
- असमानता का समाधान क्षेत्र रेखा के ऊपर और वृत्त तक होगा यदि असमानता में "$> $" चिह्न है, और रेखा के नीचे और वृत्त तक है यदि असमानता में "$" चिन्ह है<$”;
- प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए, हम त्रिकोणमितीय समीकरण $\sin(x)=a$ को हल करते हैं, हमें $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- सेटिंग $n=0$, हम पहला चौराहा बिंदु पाते हैं (यह या तो पहले या चौथे चतुर्थांश में स्थित है);
- दूसरे बिंदु को खोजने के लिए, हम देखते हैं कि हम किस दिशा में क्षेत्र में दूसरे चौराहे बिंदु तक जाते हैं: यदि एक सकारात्मक दिशा में है, तो $n=1$ लिया जाना चाहिए, और यदि एक नकारात्मक दिशा में, तो $n=- 1$;
- जवाब में, छोटे चौराहे बिंदु $+ 2\pi n$ से बड़े चौराहे $+ 2\pi n$ तक का अंतराल लिखा जाता है।
एल्गोरिथम सीमा
महत्वपूर्ण: डीयह एल्गोरिदम काम नहीं करता हैफॉर्म की असमानताओं के लिए $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
साइन के साथ असमानता को हल करते समय विशेष मामले
यह भी ध्यान रखना जरूरी है निम्नलिखित मामले, जो उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग किए बिना तार्किक रूप से हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक हैं।
विशेष मामला 1. असमानता को हल करें:
$\sin(x) \leq 1.$
इस तथ्य के कारण कि सीमा त्रिकोणमितीय समारोह$y=\sin(x)$ तब अधिकतम सापेक्ष $1$ है बाईं तरफअसमानता किसी के लिएडोमेन से $x$ (और साइन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं) $1$ से अधिक नहीं है। और, इसलिए, प्रतिक्रिया में हम लिखते हैं: $x \in R$।
परिणाम:
$\sin(x) \geq -1.$
विशेष प्रसंग 2.असमानता को हल करें:
$\sin(x)< 1.$
विशेष मामले 1 के समान तर्कों को लागू करने पर, हम पाते हैं कि असमानता का बायां पक्ष सभी $x \in R$ के लिए $1$ से कम है, उन बिंदुओं को छोड़कर जो समीकरण $\sin(x) = का समाधान हैं 1$। इस समीकरण को हल करने पर, हमारे पास होगा:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
और, इसलिए, प्रतिक्रिया में हम लिखते हैं: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$।
परिणाम:असमानता को इसी तरह हल किया जाता है
$\sin(x) > -1.$
एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के उदाहरण।
उदाहरण 1:असमानता को हल करें:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- साइन अक्ष पर निर्देशांक $\frac(1)(2)$ पर ध्यान दें।
- कोसाइन अक्ष के समानांतर और इस बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा खींचें।
- चौराहे के बिंदुओं पर ध्यान दें। उन्हें छायांकित किया जाएगा क्योंकि असमानता सख्त नहीं है।
- असमानता का चिन्ह $\geq$ है, जिसका अर्थ है कि हम रेखा के ऊपर के क्षेत्र पर पेंट करते हैं, अर्थात। छोटा अर्धवृत्त।
- चौराहे का पहला बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, असमानता को एक समानता में बदल दें और इसे हल करें: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. हम आगे $n=0$ सेट करते हैं और पहला चौराहा बिंदु पाते हैं: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$।
- हम दूसरा बिंदु पाते हैं। हमारा क्षेत्र पहले बिंदु से सकारात्मक दिशा में जाता है, इसलिए हम $n$ को $1$ के बराबर सेट करते हैं: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$।
इस प्रकार, समाधान रूप लेगा:
$x \in \बाएं[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$
उदाहरण 2:असमानता को हल करें:
$\sin(x)< -\frac{1}{2}$
हम साइन अक्ष पर निर्देशांक $- \frac(1)(2)$ चिह्नित करते हैं और कोसाइन अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं और इस बिंदु से गुजरते हैं। चौराहे के बिंदुओं पर ध्यान दें। उन्हें छायांकित नहीं किया जाएगा, क्योंकि असमानता सख्त है। असमानता चिह्न $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\बाएं(-\frac(1)(2)\दाएं))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
$n=0$ को आगे सेट करने पर, हमें पहला चौराहा बिंदु मिलता है: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$। हमारा क्षेत्र पहले बिंदु से नकारात्मक दिशा में जाता है, इसलिए हम $n$ को $-1$ के बराबर सेट करते हैं: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$।
तो, इस असमानता का समाधान अंतराल होगा:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$
उदाहरण 3:असमानता को हल करें:
$1 - 2\sin(\बाएं(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\दाएं) \leq 0.$
एल्गोरिथम का उपयोग करके इस उदाहरण को तुरंत हल नहीं किया जा सकता है। सबसे पहले आपको इसे कन्वर्ट करने की जरूरत है। हम ठीक वैसा ही करते हैं जैसा हम समीकरण के साथ करते हैं, लेकिन चिह्न के बारे में मत भूलना। किसी ऋणात्मक संख्या से भाग देने या गुणा करने पर यह उल्टा हो जाता है!
तो, चलो सब कुछ स्थानांतरित करें जिसमें त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन शामिल नहीं है, दाईं ओर। हम पाते हैं:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
बाएँ और दाएँ पक्षों को $-2$ से विभाजित करें (चिन्ह के बारे में न भूलें!)। होगा:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$
दोबारा, हमें एक असमानता मिली जिसे हम एल्गोरिथम का उपयोग करके हल नहीं कर सकते। लेकिन यहाँ यह परिवर्तनशील परिवर्तन करने के लिए पर्याप्त है:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
हमें एक त्रिकोणमितीय असमानता मिलती है, जिसे एल्गोरिथम का उपयोग करके हल किया जा सकता है:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
इस असमानता को उदाहरण 1 में हल किया गया था, इसलिए हम इसका उत्तर वहीं से लेंगे:
$t \in \बाएं[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
हालांकि, फैसला अभी खत्म नहीं हुआ है। हमें मूल चर पर लौटने की जरूरत है।
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \बाएं[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
आइए एक प्रणाली के रूप में अंतराल का प्रतिनिधित्व करें:
$\बाएं\(\शुरू(सरणी)(सी) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(सरणी) \right.$
सिस्टम के बाईं ओर एक व्यंजक ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) है, जो अंतराल से संबंधित है। अंतराल की बाईं सीमा पहली असमानता के लिए जिम्मेदार है, और दाईं सीमा दूसरी के लिए जिम्मेदार है। इसके अलावा, कोष्ठक एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि कोष्ठक वर्गाकार है, तो असमानता गैर-सख्त होगी, और यदि यह गोल है, तो सख्त होगी। हमारा काम बाईं ओर $x$ प्राप्त करना है दोनों असमानताओं में.
आइए $\frac(\pi)(6)$ को बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:
$\बाएं\(\शुरू(सरणी)(सी) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(सरणी) \right.$
सरलीकरण, हमारे पास होगा:
$\बाएं\(\शुरू(सरणी)(सी) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$
बाएँ और दाएँ पक्षों को $4$ से गुणा करने पर, हम पाते हैं:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(सरणी) \right. $
सिस्टम को एक अंतराल में इकट्ठा करने पर, हमें उत्तर मिलता है:
$x \in \बाएं[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$
sin x>a के रूप की सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताएँ अधिक जटिल हल करने का आधार हैं त्रिकोणमितीय असमानताएँ.
यूनिट सर्कल पर sin x>a के रूप की सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं के समाधान पर विचार करें।
1) 0 पर
कोसाइन-कोलोबोक एसोसिएशन की मदद से (दोनों सह के साथ शुरू होते हैं, दोनों "गोल" हैं), हम याद करते हैं कि कोसाइन क्रमशः x है, साइन y है। यहां से हम एक ग्राफ y=a - बैल अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा बनाते हैं। यदि असमानता सख्त है, तो यूनिट सर्कल के चौराहे के बिंदु और सीधी रेखा y=a पंचर हैं, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो हम अंक भरते हैं (बिंदु को पंचर होने पर याद रखना कितना आसान है, कब यह भर गया है, देखें)। सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने में सबसे बड़ी कठिनाई यूनिट सर्कल और सीधी रेखा y=a के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का सही पता लगाना है।
पहला बिंदु खोजना आसान है - यह आर्क्सिन ए है। हम उस पथ को निर्धारित करते हैं जिसके साथ हम पहले बिंदु से दूसरे तक जाते हैं। रेखा y=a sinx=a पर, ऊपर, रेखा के ऊपर, sin x>a, और नीचे, रेखा के नीचे, sin x
2) a=0, अर्थात sin x>0
इस स्थिति में, अंतराल का पहला बिंदु 0 है, दूसरा n है। अंतराल के दोनों सिरों पर, ज्या की अवधि को ध्यान में रखते हुए, हम 2пn जोड़ते हैं।
3) a=-1, यानी sinx>-1 के साथ
इस स्थिति में, पहला बिंदु -p / 2 है, और दूसरे पर जाने के लिए, हम पूरे सर्कल को वामावर्त घुमाते हैं। हम बिंदु पर आते हैं -p/2+2p=3p/2। उन सभी अंतरालों को ध्यान में रखने के लिए जो इस असमिका का हल हैं, हम दोनों सिरों पर 2pn जोड़ते हैं।
4) sinx>-a, 0 पर
पहला बिंदु, हमेशा की तरह, आर्क्सिन (-ए) = - आर्क्सिना है। दूसरे बिंदु पर जाने के लिए, हम ऊपर की ओर जाते हैं, यानी कोण को बढ़ाने की दिशा में।
इस बार हम एन पर जाते हैं। हम कितना जाते हैं? आर्क्सिंक्स पर। तो दूसरा बिंदु n+arcsin x है। कोई माइनस क्यों नहीं है? क्योंकि अंकन में ऋण -arcsin a का अर्थ है दक्षिणावर्त घूमना, और हम इसके विरुद्ध गए। और अंत में, हम अंतराल के प्रत्येक छोर पर 2pn जोड़ते हैं।
5) sinx>a if a>1.
यूनिट सर्कल पूरी तरह से लाइन y = a के नीचे स्थित है। रेखा के ऊपर कोई बिंदु नहीं है। तो कोई उपाय नहीं हैं।
6) sinx>-a, जहां a>1।
इस स्थिति में, संपूर्ण इकाई वृत्त पूरी तरह से रेखा y = a के ऊपर स्थित है। इसलिए, कोई भी बिंदु शर्त sinx>a को संतुष्ट करता है। अतः x कोई भी संख्या है।
और यहाँ x कोई भी संख्या है, क्योंकि अंक -n/2+2n सख्त असमानता sinx>-1 के विपरीत, समाधान में शामिल हैं। कुछ भी बहिष्कृत करने की आवश्यकता नहीं है।
इस स्थिति को पूरा करने वाले वृत्त पर एकमात्र बिंदु n/2 है। साइन की अवधि को ध्यान में रखते हुए, इस असमानता का समाधान बिंदुओं का सेट x=p/2+2pn है।
उदाहरण के लिए, असमानता sinx>-1/2 को हल करें:
1.5 त्रिकोणमितीय असमानताएं और उनके समाधान के तरीके
1.5.1 सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना
गणित पर आधुनिक पाठ्यपुस्तकों के अधिकांश लेखकों का सुझाव है कि हम सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करके इस विषय पर अपना विचार शुरू करें। सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने का सिद्धांत एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर न केवल मुख्य त्रिकोणमितीय कोणों के मूल्यों, बल्कि अन्य मूल्यों को निर्धारित करने के ज्ञान और क्षमता पर आधारित है।
इस बीच, रूप की असमानताओं का समाधान , , , को निम्नानुसार किया जा सकता है: पहले, हम कुछ अंतराल () पाते हैं, जिस पर यह असमानता सत्य है, और फिर हम अंतिम उत्तर को अंत में जोड़कर लिखते हैं। अंतराल ज्या या कोसाइन की अवधि के गुणक: ( 
). इस मामले में, मूल्य आसानी से मिल जाता है, क्योंकि या । मान की खोज छात्रों के अंतर्ज्ञान पर निर्भर करती है, साइन या कोसाइन ग्राफ के अलग-अलग हिस्सों की समरूपता का उपयोग करते हुए आर्क्स या सेगमेंट की समानता को नोटिस करने की उनकी क्षमता। और यह कभी-कभी काफी बड़ी संख्या में छात्रों की शक्ति से परे होता है। ज्ञात कठिनाइयों को दूर करने के लिए, हाल के वर्षों में पाठ्यपुस्तकों ने सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग किया है, लेकिन इससे सीखने के परिणामों में सुधार नहीं हुआ।
कई वर्षों से, हम त्रिकोणमितीय असमानताओं के समाधान खोजने के लिए संबंधित समीकरणों की जड़ों के सूत्रों का सफलतापूर्वक उपयोग कर रहे हैं।
हम इस विषय का अध्ययन निम्न प्रकार से करते हैं:
1. हम यह मानते हुए ग्राफ़ और y \u003d a बनाते हैं।
फिर हम समीकरण और उसका हल लिखते हैं। दे रहा है एन 0; 1; 2, हम रचित समीकरण की तीन जड़ें पाते हैं: . मान रेखांकन और y = a के लगातार तीन चौराहे बिंदुओं के भुज हैं। यह स्पष्ट है कि असमानता हमेशा अंतराल (), और अंतराल () - असमानता पर टिकी रहती है।
इन अंतरालों के सिरों पर एक संख्या जोडऩा ज्या की अवधि का गुणक है, पहले मामले में हम इस रूप में असमानता का समाधान प्राप्त करते हैं: ; और दूसरे मामले में, असमानता के समाधान के रूप में:
केवल सूत्र से ज्या के विपरीत, जो समीकरण का एक हल है, n = 0 के लिए हमें दो जड़ें मिलती हैं, और तीसरी जड़ n = 1 के रूप में 
. और फिर से रेखांकन के चौराहे बिंदुओं के लगातार तीन भुज हैं और। अंतराल में () असमानता पूरी होती है, अंतराल में () असमानता
अब असमानताओं के समाधान लिखना आसान है और . पहले मामले में, हम प्राप्त करते हैं:;
और दूसरे में: .
संक्षेप। असमानता को हल करने के लिए या, संबंधित समीकरण को बनाना और उसे हल करना आवश्यक है। परिणामी सूत्र से, जड़ों और को खोजें, और असमानता का उत्तर इस रूप में लिखें:।
असमानताओं को हल करते समय, संबंधित समीकरण की जड़ों के सूत्र से हम जड़ें और ढूंढते हैं, और असमानता का उत्तर फॉर्म में लिखते हैं:।
यह तकनीक आपको सभी छात्रों को त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने का तरीका सिखाने की अनुमति देती है। यह तकनीक पूरी तरह से उन कौशलों पर निर्भर करती है जिन पर छात्रों ने दृढ़ता से महारत हासिल की है। ये सरलतम को हल करने और सूत्र का उपयोग करके चर का मान ज्ञात करने की क्षमता है। इसके अलावा, एक शिक्षक के मार्गदर्शन में बड़ी संख्या में अभ्यासों को सावधानी से हल करना पूरी तरह से वैकल्पिक हो जाता है ताकि असमानता के संकेत के आधार पर सभी प्रकार की तर्क तकनीकों का प्रदर्शन किया जा सके, संख्या के मापांक का मान और उसका चिन्ह। और असमानता को हल करने की प्रक्रिया ही छोटी और, जो बहुत महत्वपूर्ण है, एकसमान हो जाती है।
इस पद्धति का एक अन्य लाभ यह है कि यह असमानताओं को हल करना आसान बनाता है, भले ही दायां पक्ष साइन या कोसाइन का तालिका मान न हो।
आइए इसे एक विशिष्ट उदाहरण के साथ प्रदर्शित करें। असमानता को हल करने के लिए इसे आवश्यक होने दें। आइए संबंधित समीकरण लिखें और इसे हल करें:
आइए और के मान ज्ञात करें।
एन = 1 के लिए 
एन = 2 के लिए 
हम इस असमानता का अंतिम उत्तर लिखते हैं:
सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के विचारित उदाहरण में, केवल एक दोष हो सकता है - एक निश्चित मात्रा में औपचारिकता की उपस्थिति। लेकिन अगर इन पदों से ही सब कुछ का मूल्यांकन किया जाता है, तो द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के सभी सूत्र, और बहुत कुछ औपचारिकता का आरोप लगाना संभव होगा।
प्रस्तावित विधि, हालांकि यह त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं के निर्माण में एक योग्य स्थान रखती है, त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए अन्य तरीकों के महत्व और विशेषताओं को कम करके नहीं आंका जा सकता है। इसमें अंतराल विधि शामिल है।
आइए इसके सार पर विचार करें।
एजी द्वारा संपादित सेट मोर्डकोविच, हालांकि अन्य पाठ्यपुस्तकों को भी नजरअंदाज नहीं किया जाना चाहिए। § 3. बीजगणित के दौरान और विश्लेषण की शुरुआत में "त्रिकोणमितीय कार्यों" विषय को पढ़ाने के तरीके स्कूल में त्रिकोणमितीय कार्यों के अध्ययन में, दो मुख्य चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: ü त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ प्रारंभिक परिचित ...
शोध के दौरान निम्नलिखित कार्य हल किए गए: 1) बीजगणित की वर्तमान पाठ्यपुस्तकों और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत में तर्कहीन समीकरणों और उनमें प्रस्तुत असमानताओं को हल करने के तरीकों की पहचान करने के लिए उनका विश्लेषण किया गया। किया गया विश्लेषण हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है: हाई स्कूल में, विभिन्न अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीकों पर अपर्याप्त ध्यान दिया जाता है, मुख्य रूप से ...
बीजगणित परियोजना "त्रिकोणमितीय असमानताओं का समाधान" कक्षा 10 "बी" जूलिया कज़चकोवा पर्यवेक्षक के एक छात्र द्वारा पूरा किया गया: गणित शिक्षक कोचकोवा एन.एन.
उद्देश्य "त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना" विषय पर सामग्री को समेकित करना और आगामी परीक्षा की तैयारी के लिए छात्रों के लिए एक मेमो बनाना।
उद्देश्य विषय पर सामग्री को सारांशित करें। प्राप्त जानकारी को व्यवस्थित करें। परीक्षा में इस विषय पर विचार करें।
प्रासंगिकता मेरे द्वारा चुने गए विषय की प्रासंगिकता इस तथ्य में निहित है कि "त्रिकोणमितीय असमानताओं का समाधान" विषय पर कार्य परीक्षा के कार्यों में शामिल हैं।
त्रिकोणमितीय असमानताएँ एक असमानता एक ऐसा संबंध है जो दो संख्याओं या व्यंजकों को एक चिन्ह के माध्यम से जोड़ता है: (से बड़ा); ≥ (इससे बड़ा या इसके बराबर)। एक त्रिकोणमितीय असमानता एक असमानता है जिसमें त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं।
त्रिकोणमितीय असमानताएं त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताओं का समाधान, एक नियम के रूप में, सरलतम असमानताओं के समाधान के रूप में कम हो जाता है: sin x>a, sin x ए, कॉस एक्स ए, टीजीएक्स ए, सीटीजी एक्स
त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथम दिए गए त्रिकोणमितीय फलन के संगत अक्ष पर दिए गए चिह्न को चिन्हित करें अंकीय मूल्ययह समारोह। यूनिट सर्कल को छेड़छाड़ करने वाले चिह्नित बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचें। सख्त या गैर-सख्त असमानता चिह्न को ध्यान में रखते हुए, रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का चयन करें। उस वृत्त के चाप का चयन करें जिस पर असमानता के समाधान स्थित हैं। वृत्ताकार चाप के प्रारंभ और अंत बिंदुओं पर कोणों के मान निर्धारित करें। दिए गए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए असमानता का समाधान लिखें।
त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के सूत्र sinx>a; x (आर्क्सिन ए + 2πn; π- आर्क्सिन ए + 2πn)। sinx ए; एक्स (- आर्ककोस ए + 2πएन; आर्ककोस ए + 2πएन)। cosxए; एक्स (आर्कटग ए + πn ; + πn)। tgx ए; एक्स (πn; आर्कटग + πn)। ctgx
मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं sinx>a का आलेखीय समाधान
मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं sinx का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं cosx >a का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं cosx का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का आलेखीय समाधान tgx >a मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं tgx का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं ctgx >a का आलेखीय समाधान
