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जटिल त्रिकोणमितीय असमानताओं को कैसे हल करें। त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीके

बेलारूस गणराज्य के शिक्षा मंत्रालय

शैक्षिक संस्था

"गोमेल स्टेट यूनिवर्सिटी

फ्रांसिस्क स्केरिना के नाम पर"

गणित संकाय

बीजगणित और ज्यामिति विभाग

रक्षा के योग्य

सिर विभाग शेमेतकोव एल.ए.

त्रिकोणमितीय समीकरणऔर असमानताएँ

कोर्स वर्क

निष्पादक:

छात्र समूह M-51

सेमी। गोर्स्की

वैज्ञानिक सलाहकार

वरिष्ठ व्याख्याता

वी.जी. सफ़ोनोव

गोमेल 2008

परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

गुणन

त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणनफल को योग में परिवर्तित करके समीकरणों को हल करना

ट्रिपल तर्क सूत्रों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

कुछ त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन द्वारा गुणन

गैर-मानक त्रिकोणमितीय समीकरण

त्रिकोणमितीय असमानताएँ

जड़ों का चयन

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

निष्कर्ष

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

प्राचीन काल में, त्रिकोणमिति खगोल विज्ञान, सर्वेक्षण और निर्माण की आवश्यकताओं के संबंध में उत्पन्न हुई, अर्थात, यह विशुद्ध रूप से ज्यामितीय प्रकृति की थी और मुख्य रूप से इसका प्रतिनिधित्व करती थी।<<исчисление хорд>>। समय के साथ, कुछ विश्लेषणात्मक बिंदु इसमें शामिल होने लगे। 18वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में एक तीव्र मोड़ आया, जिसके बाद त्रिकोणमिति ने एक नई दिशा ली और गणितीय विश्लेषण की ओर स्थानांतरित हो गया। यह इस समय था कि त्रिकोणमितीय निर्भरता को कार्यों के रूप में माना जाने लगा।

त्रिकोणमितीय समीकरण स्कूली गणित पाठ्यक्रम के सबसे कठिन विषयों में से एक हैं। त्रिकोणमितीय समीकरण समतलमिति, ठोस ज्यामिति, खगोल विज्ञान, भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होते हैं। केंद्रीकृत परीक्षण के कार्यों में वर्ष-दर-वर्ष त्रिकोणमितीय समीकरण और असमानताएँ पाई जाती हैं।

अधिकांश महत्वपूर्ण अंतरबीजगणितीय से त्रिकोणमितीय समीकरण यह है कि बीजगणितीय समीकरणों में जड़ों की एक सीमित संख्या होती है, और त्रिकोणमितीय में --- अनंत, जो जड़ों के चयन को बहुत जटिल करता है। त्रिकोणमितीय समीकरणों की एक और विशिष्टता उत्तर लिखने का गैर-अद्वितीय रूप है।

यह थीसिस त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीकों के प्रति समर्पित है।

डिप्लोमा कार्य में 6 खंड होते हैं।

पहले खंड में बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी है: त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा और गुण; कुछ तर्कों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका; अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों की अभिव्यक्ति, जो त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले; मुख्य के अलावा त्रिकोणमितीय सूत्रसे जाना जाता है स्कूल का कोर्सव्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले भावों को सरल बनाने वाले सूत्र दिए गए हैं।

दूसरे खंड में त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियों की रूपरेखा दी गई है। प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान, गुणनखंडन की विधि, त्रिकोणमितीय समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में कम करने के तरीकों पर विचार किया जाता है। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान कई तरीकों से लिखे जा सकते हैं, और इन समाधानों का रूप किसी को तुरंत यह स्थापित करने की अनुमति नहीं देता है कि ये समाधान समान हैं या अलग हैं, जो कर सकते हैं<<сбить с толку>> परीक्षण हल करते समय, विचार किया जाता है सामान्य योजनात्रिकोणमितीय समीकरणों के हल और समूहों के परिवर्तन पर विस्तार से विचार किया सामान्य समाधानत्रिकोणमितीय समीकरण।

तीसरा खंड गैर-मानक त्रिकोणमितीय समीकरणों से संबंधित है, जिनके समाधान कार्यात्मक दृष्टिकोण पर आधारित हैं।

चौथा खंड त्रिकोणमितीय असमानताओं से संबंधित है। प्रारंभिक हल करने के तरीके त्रिकोणमितीय असमानताएँ, दोनों एक यूनिट सर्कल पर और एक ग्राफिकल विधि द्वारा। प्रारंभिक असमानताओं के माध्यम से गैर-प्राथमिक त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की प्रक्रिया और स्कूली बच्चों को पहले से ही ज्ञात अंतराल की विधि का वर्णन किया गया है।

पांचवां खंड सबसे अधिक प्रस्तुत करता है कठिन कार्य: जब यह न केवल एक त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक है, बल्कि कुछ शर्तों को पूरा करने वाली जड़ों से जड़ों का चयन करने के लिए भी आवश्यक है। यह खंड जड़ों के चयन के लिए विशिष्ट कार्यों का समाधान प्रदान करता है। जड़ों के चयन के लिए आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी दी गई है: पूर्णांकों के सेट को गैर-अंतर्विभाजक उपसमुच्चय में विभाजित करना, पूर्णांकों में समीकरणों का समाधान (डायोफैंटाइन)।

छठा खंड कार्यों को प्रस्तुत करता है स्वतंत्र निर्णयएक परीक्षण के रूप में। 20 परीक्षण कार्य उन सबसे कठिन कार्यों को सूचीबद्ध करते हैं जिनका केंद्रीकृत परीक्षण में सामना किया जा सकता है।

प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरण

प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरण फॉर्म के समीकरण हैं, जहां त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक है: , , , .

प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरणों के अपरिमित रूप से अनेक मूल होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं: , , , आदि। सामान्य सूत्रजिससे समीकरण के सभी मूल मिल जाते हैं, जहाँ , इस प्रकार है:

यहां यह कोई पूर्णांक मान ले सकता है, उनमें से प्रत्येक समीकरण की एक निश्चित जड़ से मेल खाता है; इस सूत्र में (साथ ही अन्य सूत्रों में जिसके द्वारा प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल किया जाता है) कहा जाता है पैरामीटर. वे आम तौर पर लिखते हैं, जिससे जोर दिया जाता है कि पैरामीटर कोई पूर्णांक मान ले सकता है।

समीकरण के समाधान, जहाँ, सूत्र द्वारा पाए जाते हैं

सूत्र को लागू करके समीकरण को हल किया जाता है

और समीकरण --- सूत्र के अनुसार

आइए विशेष रूप से प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरणों के कुछ विशेष मामलों पर ध्यान दें, जब सामान्य सूत्रों का उपयोग किए बिना समाधान लिखा जा सकता है:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय महत्वपूर्ण भूमिकात्रिकोणमितीय कार्यों की अवधि निभाता है। इसलिए, हम दो उपयोगी प्रमेय प्रस्तुत करते हैं:

प्रमेय यदि --- फ़ंक्शन की मुख्य अवधि है, तो संख्या फ़ंक्शन की मुख्य अवधि है।

कार्यों की अवधि और कहा जाता है कि यदि कोई मौजूद है तो उसके अनुरूप है पूर्णांकोंतो क्या हुआ ।

प्रमेय यदि आवधिक कार्य और, अनुरूप हैं और, तो उनके पास एक सामान्य अवधि है, जो कार्यों की अवधि है,।

प्रमेय कहता है कि फ़ंक्शन की अवधि क्या है, और जरूरी नहीं कि मुख्य अवधि हो। उदाहरण के लिए, कार्यों की मुख्य अवधि और --- है, और उनके उत्पाद की मुख्य अवधि --- है।

एक सहायक तर्क का परिचय

प्रपत्र के भावों को परिवर्तित करने का मानक तरीका निम्नलिखित युक्ति है: चलो --- कोना, समानता द्वारा दिया गया , . किसी के लिए और ऐसा कोण मौजूद है। इस प्रकार । यदि, या,,, अन्यथा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की योजना

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय हमें जो मुख्य योजना निर्देशित की जाएगी वह इस प्रकार है:

दिए गए समीकरण के हल को प्राथमिक समीकरणों के हल में बदल दिया जाता है। समाधान उपकरण --- परिवर्तन, गुणनखंड, अज्ञात का परिवर्तन। मार्गदर्शक सिद्धांत जड़ों को खोना नहीं है। इसका मतलब यह है कि अगले समीकरण (समीकरण) की ओर बढ़ते समय, हम अतिरिक्त (बाहरी) जड़ों की उपस्थिति से डरते नहीं हैं, लेकिन हम केवल इस बात का ध्यान रखते हैं कि हमारी "श्रृंखला" के प्रत्येक बाद के समीकरण (या समीकरणों के एक सेट के मामले में) ब्रांचिंग) पिछले एक का परिणाम है। जड़ों का चयन करने के लिए एक संभावित तरीका जांचना है। हम तुरंत ध्यान देते हैं कि त्रिकोणमितीय समीकरणों के मामले में, जड़ों के चयन से जुड़ी कठिनाइयाँ, एक नियम के रूप में, बीजगणितीय समीकरणों की तुलना में तेजी से बढ़ती हैं। आखिरकार, आपको असीमित संख्या में सदस्यों से मिलकर श्रृंखला की जांच करनी होगी।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में अज्ञात राशियों के परिवर्तन का विशेष उल्लेख किया जाना चाहिए। ज्यादातर मामलों में, आवश्यक प्रतिस्थापन के बाद, यह निकलता है बीजगणितीय समीकरण. इसके अलावा, यह समीकरणों के लिए असामान्य नहीं है, हालांकि वे त्रिकोणमितीय हैं उपस्थितिवास्तव में, वे नहीं हैं, क्योंकि पहले चरण के बाद ही --- प्रतिस्थापनचर --- बीजगणितीय में बदल जाते हैं, और त्रिकोणमिति पर वापसी केवल प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के चरण में होती है।

हम आपको एक बार फिर से याद दिलाते हैं: अज्ञात का प्रतिस्थापन जितनी जल्दी हो सके किया जाना चाहिए, प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त समीकरण को जड़ों के चयन के चरण सहित अंत तक हल किया जाना चाहिए, और उसके बाद ही यह मूल पर वापस आएगा अज्ञात।

त्रिकोणमितीय समीकरणों की एक विशेषता यह है कि कई मामलों में उत्तर लिखा जा सकता है विभिन्न तरीके. समीकरण को हल करने के लिए भी प्रतिक्रिया लिखी जा सकती है इस अनुसार:

1) दो श्रृंखलाओं के रूप में: , , ;

2) मानक रूप में, जो उपरोक्त श्रृंखला का एक संघ है: , ;

3) कब से , तो उत्तर के रूप में लिखा जा सकता है , . (आगे, पैरामीटर की उपस्थिति, या प्रतिक्रिया रिकॉर्ड में स्वचालित रूप से इसका मतलब है कि यह पैरामीटर सभी संभावित पूर्णांक मान लेता है। अपवाद निर्धारित किए जाएंगे।)

जाहिर है, तीन सूचीबद्ध मामले विचाराधीन समीकरण का उत्तर लिखने की सभी संभावनाओं को समाप्त नहीं करते हैं (उनमें से कई असीम हैं)।

उदाहरण के लिए, के लिए . इसलिए, पहले दो मामलों में, यदि , हम द्वारा प्रतिस्थापित कर सकते हैं .

आमतौर पर, उत्तर पैराग्राफ 2 के आधार पर लिखा जाता है। निम्नलिखित अनुशंसा को याद रखना उपयोगी है: यदि समीकरण के समाधान के साथ काम समाप्त नहीं होता है, तो अभी भी एक अध्ययन करना आवश्यक है, जड़ों का चयन, फिर रिकॉर्डिंग का सबसे सुविधाजनक रूप पैरा 1 में इंगित किया गया है। (समीकरण के लिए इसी तरह की सिफारिश दी जानी चाहिए।)

आइए एक उदाहरण पर विचार करें कि क्या कहा गया है।

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।सबसे स्पष्ट निम्नलिखित तरीका है। यह समीकरण दो में विभाजित होता है: और। उनमें से प्रत्येक को हल करने और प्राप्त उत्तरों को संयोजित करने पर, हम पाते हैं।

एक और तरीका।के बाद से, तब, की जगह और कमी सूत्रों द्वारा। मामूली परिवर्तनों के बाद, हम प्राप्त करते हैं, जहाँ से .

पहली नज़र में, दूसरे सूत्र का पहले पर कोई विशेष लाभ नहीं है। हालांकि, अगर हम लेते हैं, उदाहरण के लिए, तो यह पता चला है कि, यानी। समीकरण का एक हल है, जबकि पहला तरीका हमें उत्तर की ओर ले जाता है . "देखो" और समानता साबित करो इतना आसान नहीं।

उत्तर। .

त्रिकोणमितीय समीकरणों के सामान्य समाधान के समूहों का परिवर्तन और संघ

हम विचार करेंगे अंकगणितीय प्रगतिदोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक विस्तार। इस प्रगति की शर्तों को शब्दों के दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है, जो एक निश्चित पद के दाईं ओर और बाईं ओर स्थित हैं, जिसे प्रगति का केंद्रीय या शून्य पद कहा जाता है।

एक शून्य संख्या के साथ अनंत प्रगति की शर्तों में से एक को ठीक करना, हमें शेष सभी शर्तों के लिए एक डबल नंबरिंग करना होगा: दाईं ओर स्थित शर्तों के लिए सकारात्मक और शून्य के बाईं ओर स्थित शर्तों के लिए नकारात्मक।

सामान्य मामले में, यदि प्रगति का अंतर शून्य पद है, तो अनंत अंकगणितीय प्रगति के किसी भी (वें) पद के लिए सूत्र है:

एक अनंत अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य के लिए सूत्र परिवर्तन

1. यदि हम श्रेणी के अंतर को शून्य पद में जोड़ या घटा दें, तो इससे श्रेढ़ी नहीं बदलेगी, बल्कि केवल शून्य पद ही आगे बढ़ेगा, अर्थात सदस्यों की संख्या बदल जाएगी।

2. यदि एक चर के गुणांक को से गुणा किया जाता है, तो इसका परिणाम केवल शब्दों के दाएं और बाएं समूहों के क्रमपरिवर्तन में होगा।

3. यदि एक अनंत श्रेणी के क्रमिक सदस्य हैं

उदाहरण के लिए , , , ..., , समान अंतर वाली श्रेढ़ियों के केंद्रीय पदों को बराबर बनाने के लिए:

फिर प्रगति और प्रगति की श्रृंखला समान संख्याएं व्यक्त करती हैं।

उदाहरण पंक्ति को निम्नलिखित तीन पंक्तियों से बदला जा सकता है: , , .

4. यदि एक ही अंतर के साथ अनंत प्रगति में केंद्रीय सदस्यों के रूप में संख्याएं होती हैं जो अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, तो इन श्रृंखलाओं को एक अंतर के साथ एक प्रगति से बदला जा सकता है, और इनमें से किसी भी केंद्रीय सदस्य के बराबर केंद्रीय सदस्य के साथ प्रगति, अर्थात् अगर

तो इन प्रगति को एक में जोड़ दिया जाता है:

उदाहरण , , , दोनों को एक समूह में जोड़ दिया गया है, क्योंकि .

उन समूहों को बदलने के लिए जिनके सामान्य समाधान नहीं हैं, जिनके पास सामान्य समाधान नहीं हैं, इन समूहों को एक सामान्य अवधि वाले समूहों में विघटित किया जाता है, और फिर हम दोहराए जाने वाले समूहों को छोड़कर परिणामी समूहों को संयोजित करने का प्रयास करते हैं।

गुणन

कारककरण विधि इस प्रकार है: यदि

फिर समीकरण का कोई समाधान

समीकरणों के समुच्चय का हल है

विलोम कथन, आम तौर पर झूठा है: समुच्चय का प्रत्येक हल समीकरण का हल नहीं है। यह इस तथ्य के कारण है कि अलग-अलग समीकरणों के समाधान फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन में शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।मुख्य का उपयोग करना त्रिकोणमितीय पहचान, हम रूप में समीकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं

उत्तर। ; .

त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को एक उत्पाद में परिवर्तित करना

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।हम सूत्र लागू करते हैं, हम एक समतुल्य समीकरण प्राप्त करते हैं

उत्तर। .

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।इस मामले में, त्रिकोणमितीय कार्यों के योग के लिए सूत्र लागू करने से पहले, आपको कमी सूत्र का उपयोग करना चाहिए . नतीजतन, हम एक समकक्ष समीकरण प्राप्त करते हैं

उत्तर। , .

त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणनफल को योग में परिवर्तित करके समीकरणों को हल करना

कई समीकरणों को हल करते समय, सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण प्रश्न हल करें

समाधान।

उत्तर। , .

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।सूत्र को लागू करते हुए, हम एक समतुल्य समीकरण प्राप्त करते हैं:

उत्तर। .

न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

त्रिकोणमितीय समीकरणों की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करते समय सूत्र एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।सूत्र को लागू करने पर, हम एक समतुल्य समीकरण प्राप्त करते हैं।

उत्तर। ; .

ट्रिपल तर्क सूत्रों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।हम सूत्र लागू करते हैं, हमें समीकरण मिलता है

उत्तर। ; .

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।डिग्री कम करने के फार्मूले को लागू करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: . आवेदन करने पर हमें मिलता है:

उत्तर। ; .

एक ही नाम के त्रिकोणमितीय कार्यों की समानता

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।

उत्तर। , .

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।चलिए समीकरण बदलते हैं।

उत्तर। .

उदाहरण यह ज्ञात है कि और समीकरण को संतुष्ट करते हैं

योग ज्ञात कीजिए।

समाधान।यह समीकरण से अनुसरण करता है

उत्तर। .

फॉर्म के योग पर विचार करें

इन योगों को से गुणा और भाग करके एक गुणनफल में बदला जा सकता है, तब हमें प्राप्त होता है

इस तकनीक का उपयोग कुछ त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि परिणामस्वरूप बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। यहाँ इन सूत्रों का एक सामान्यीकरण है:

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।यह देखा जा सकता है कि समुच्चय मूल समीकरण का एक हल है। इसलिए, समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को द्वारा से गुणा करने से अतिरिक्त मूल नहीं दिखाई देते हैं।

अपने पास .

उत्तर। ; .

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।हम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करते हैं और त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को योग में परिवर्तित करने के लिए सूत्रों को लागू करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

यह समीकरण दो समीकरणों के समुच्चय के समतुल्य है और , जहां से और .

चूंकि समीकरण की जड़ें समीकरण की जड़ें नहीं हैं, इसलिए समाधानों के परिणामी सेटों को बाहर रखा जाना चाहिए। तो सेट में आपको बाहर करने की जरूरत है।

उत्तर।और , ।

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

समीकरण के रूप में लिखा जाएगा:

उत्तर। .

त्रिकोणमितीय समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में घटाना

वर्ग को कम करना

यदि समीकरण जैसा दिखता है

तब प्रतिस्थापन इसे एक वर्ग में लाता है, क्योंकि () और।

यदि शब्द के स्थान पर है, तो आवश्यक प्रतिस्थापन होगा।

समीकरण

उबल जाता है द्विघात समीकरण

के रूप में प्रस्तुति . यह जाँचना आसान है कि किसके लिए , समीकरण के मूल नहीं हैं, और परिवर्तन करके, समीकरण को द्विघात में घटा दिया जाता है।

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।आइए इसे बाईं ओर ले जाएं, इसे , से बदलें और और के माध्यम से व्यक्त करें।

सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं:। पद को पद से विभाजित करें, प्रतिस्थापन करें:

पर लौटते हुए, हम पाते हैं .

के संबंध में सजातीय समीकरण

फॉर्म के समीकरण पर विचार करें

कहाँ , , , ..., , --- वैधनंबर। समीकरण के बाईं ओर प्रत्येक पद में एकपद की घात समान होती है, अर्थात ज्या और कोज्या की घातों का योग समान और बराबर होता है। ऐसा समीकरण कहा जाता है सजातीयऔर के सापेक्ष, और संख्या कहलाती है समरूपता संकेतक .

यह स्पष्ट है कि यदि , तब समीकरण रूप लेगा:

जिनके हल वे मान हैं जिनके लिए , अर्थात् संख्याएँ , . कोष्ठक में लिखा गया दूसरा समीकरण भी सजातीय है, लेकिन डिग्री 1 कम है।

यदि , तो ये संख्याएँ समीकरण के मूल नहीं हैं।

जब हमें मिलता है: , और बाईं तरफसमीकरण (1) मान लेता है।

इसलिए, के लिए, और इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें समीकरण मिलता है:

जो, प्रतिस्थापन द्वारा, बीजीय एक में आसानी से कम हो जाता है:

समरूपता सूचकांक 1 के साथ सजातीय समीकरण। पर, हमारे पास समीकरण है।

यदि , तो यह समीकरण , , जहाँ , के तुल्य है ।

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।यह समीकरण पहली डिग्री का सजातीय है। इसके दोनों भागों को विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है: , , , .

उत्तर। .

उदाहरण पर, हम फॉर्म का एक सजातीय समीकरण प्राप्त करते हैं

समाधान।

यदि , तो हम समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं, हमें समीकरण प्राप्त होता है , जिसे प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से एक वर्ग में घटाया जा सकता है: . अगर , तब समीकरण के वास्तविक मूल हैं , . मूल समीकरण के समाधान के दो समूह होंगे: , , .

अगर , तब समीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।यह समीकरण दूसरी डिग्री का सजातीय है। समीकरण के दोनों पक्षों को से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है: चलो , फिर , . , , ; , , .

उत्तर। .

समीकरण को रूप के समीकरण में घटा दिया जाता है

ऐसा करने के लिए, यह पहचान का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है

विशेष रूप से, यदि द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए तो समीकरण सजातीय हो जाता है , तो हमें समतुल्य समीकरण मिलता है:

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।आइए समीकरण को सजातीय में बदलें:

समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करें , हमें समीकरण मिलता है:

मान लीजिए , फिर हम द्विघात समीकरण पर पहुँचते हैं: , , , , .

उत्तर। .

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें, यह देखते हुए कि उनके सकारात्मक मान हैं: , ,

चलो, तो हम प्राप्त करते हैं , , .

उत्तर। .

सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समीकरणों को हल किया गया

निम्नलिखित सूत्रों को जानना उपयोगी है:

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

उत्तर।

हम स्वयं सूत्र प्रदान नहीं करते हैं, बल्कि उन्हें प्राप्त करने का तरीका प्रदान करते हैं:

इस तरह,

वैसे ही, ।

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

समीकरण के रूप में लिखा जाएगा:

लेना, हमें मिलता है। , . इस तरह

उत्तर। .

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

प्रपत्र का त्रिकोणमितीय समीकरण

कहाँ --- तर्कसंगतसूत्रों की मदद से कार्य - साथ ही सूत्रों की मदद से - को कम किया जा सकता है तर्कसंगत समीकरणतर्कों के संबंध में , , , , जिसके बाद सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्रों का उपयोग करने के संबंध में समीकरण को बीजगणितीय तर्कसंगत समीकरण में घटाया जा सकता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सूत्रों के उपयोग से मूल समीकरण के ODZ का संकुचन हो सकता है, क्योंकि यह बिंदुओं पर परिभाषित नहीं है, इसलिए ऐसे मामलों में यह जांचना आवश्यक है कि कोण मूल समीकरण की जड़ें हैं या नहीं .

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।कार्य के अनुसार। सूत्रों को लागू करना और प्रतिस्थापन करना, हम प्राप्त करते हैं

कहां से और इसलिए, .

रूप के समीकरण

फॉर्म के समीकरण, जहां --- बहुपद, अज्ञात को बदलकर हल किया जाता है

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।प्रतिस्थापन करना और इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

कहाँ , । --- बाहरी व्यक्तिजड़, क्योंकि . समीकरण की जड़ें हैं ।

सीमित कार्यों का उपयोग

केंद्रीकृत परीक्षण के अभ्यास में, ऐसे समीकरणों का सामना करना असामान्य नहीं है जिनका समाधान कार्यों की सीमा पर आधारित है और। उदाहरण के लिए:

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।चूँकि , , तब बायीं ओर का भाग अधिक नहीं होता है और , यदि के बराबर होता है

दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाले मानों को खोजने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं। हम उनमें से एक को हल करते हैं, फिर पाए गए मूल्यों में से हम उन्हें चुनते हैं जो दूसरे को संतुष्ट करते हैं।

चलिए दूसरे से शुरू करते हैं: , . तब , .

यह स्पष्ट है कि केवल सम संख्याओं के लिए ही होगा।

उत्तर। .

निम्नलिखित समीकरण को हल करके एक और विचार प्राप्त किया जाता है:

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।आइए संपत्ति का उपयोग करें घातांक प्रकार्य: , .

इन असमानताओं को अवधि के अनुसार जोड़ना, हमारे पास है:

इसलिए, इस समीकरण का बायां पक्ष बराबर है अगर और केवल अगर दो समानताएं हैं:

यानी यह मान ले सकता है, ,, या यह मान ले सकता है, .

उत्तर। , .

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।, . इस तरह, .

उत्तर। .

उदाहरण प्रश्न हल करें

समाधान।निरूपित करें, फिर हमारे पास व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की परिभाषा से और .

चूंकि, असमानता समीकरण से अनुसरण करती है, अर्थात . के बाद से और , तब और . हालाँकि, और इसलिए।

अगर और, तो। चूंकि यह पहले स्थापित किया गया था, तब।

उत्तर। , .

उदाहरण प्रश्न हल करें

समाधान।समीकरण के मान्य मानों की श्रेणी है।

आइए पहले दिखाते हैं कि function

किसी के लिए, यह केवल सकारात्मक मान ले सकता है।

आइए इस फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व इस प्रकार करें: .

चूंकि, तब, यानी, .

इसलिए, असमानता को साबित करने के लिए, यह दिखाना जरूरी है . इसके लिए, हम इस असमानता के दोनों भागों का घन करते हैं, फिर

परिणामी संख्यात्मक असमानता इंगित करती है कि। अगर हम इसे भी ध्यान में रखते हैं, तो समीकरण का बायां पक्ष गैर-ऋणात्मक है।

अब समीकरण के दाहिने पक्ष पर विचार करें।

क्योंकि , वह

हालाँकि, यह ज्ञात है . यहाँ से यह अनुसरण करता है कि, अर्थात्। समीकरण का दाहिना पक्ष अधिक नहीं है। पहले, यह साबित हो गया था कि समीकरण का बायाँ पक्ष गैर-नकारात्मक है, इसलिए, में समानता केवल तभी हो सकती है जब इसके दोनों भाग समान हों, और यह केवल के लिए संभव है।

उत्तर। .

उदाहरण प्रश्न हल करें

समाधान।निरूपित करें और . कॉची-बुन्याकोवस्की असमानता को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए यह इस प्रकार है . दूसरी ओर, है . इसलिए, समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर। .

उदाहरण प्रश्न हल करें:

समाधान।आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें:

उत्तर। .

त्रिकोणमितीय और संयुक्त समीकरणों को हल करने के लिए कार्यात्मक तरीके

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्रत्येक समीकरण को एक या दूसरे के समीकरण में कम नहीं किया जा सकता है मानक दृश्य, जिसके लिए एक विशिष्ट समाधान विधि है। ऐसे मामलों में, कार्यों के ऐसे गुणों का उपयोग करना और एकरसता, परिबद्धता, समरूपता, आवधिकता आदि के रूप में उपयोगी हो जाता है। इसलिए, यदि कार्यों में से एक घटता है, और दूसरा अंतराल पर बढ़ता है, तो यदि समीकरण है इस अंतराल पर एक जड़, यह जड़ अद्वितीय है, और फिर, उदाहरण के लिए, इसे चयन द्वारा पाया जा सकता है। यदि फ़ंक्शन ऊपर से घिरा है, और फ़ंक्शन नीचे से घिरा है, और, तो समीकरण समीकरणों की प्रणाली के बराबर है

उदाहरण प्रश्न हल करें

समाधान।हम मूल समीकरण को रूप में बदलते हैं

और इसे के संबंध में एक वर्ग के रूप में हल करें। तब हमें मिलता है

आइए पहले सेट समीकरण को हल करें। फलन की परिबद्धता को ध्यान में रखते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि समीकरण का मूल केवल अंतराल पर हो सकता है। इस अंतराल पर, फ़ंक्शन बढ़ता है, और फ़ंक्शन घटता है। इसलिए, यदि इस समीकरण का एक मूल है, तो यह अद्वितीय है। हम चयन द्वारा पाते हैं।

उत्तर। .

उदाहरण प्रश्न हल करें

समाधान।चलो, और , तो मूल समीकरण को फलन समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि फलन विषम है, तब . इस मामले में, हमें समीकरण मिलता है

के बाद से , और मोनोटोनिक है , समीकरण समीकरण के बराबर है, अर्थात , जिसकी एक ही जड़ हो ।

उत्तर। .

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न पर प्रमेय के आधार पर, यह स्पष्ट है कि कार्य घटता (कार्य घटता, बढ़ता, घटता)। इससे यह स्पष्ट होता है कि कार्य पर परिभाषित, घट रहा है। इसीलिए दिया गया समीकरणअधिक से अधिक एक जड़ होती है। क्योंकि , वह

उत्तर। .

उदाहरण प्रश्न हल करें।

समाधान।तीन अंतरालों पर समीकरण पर विचार करें।

ए) चलो। फिर इस सेट पर मूल समीकरण समीकरण के बराबर है। जिसका अंतराल पर कोई हल नहीं है, चूँकि , , ए । अंतराल पर, मूल समीकरण की भी कोई जड़ नहीं है, क्योंकि , ए ।

बी) चलो। फिर इस सेट पर मूल समीकरण समीकरण के बराबर है

जिनकी जड़ें अंतराल पर संख्याएं हैं, , , .

ग) चलो। फिर इस सेट पर मूल समीकरण समीकरण के बराबर है

जिसका अंतराल पर कोई हल नहीं है, चूँकि , लेकिन . समीकरण का भी अंतराल पर कोई समाधान नहीं है, क्योंकि , , ए ।

उत्तर। , , , .

समरूपता विधि

समरूपता पद्धति का उपयोग करना तब सुविधाजनक होता है जब कार्य कथन में यह आवश्यकता होती है कि समीकरण, असमानता, प्रणाली आदि का समाधान अद्वितीय हो। या समाधान की संख्या का एक सटीक संकेत। इस मामले में, दिए गए व्यंजकों की किसी भी समरूपता का पता लगाया जाना चाहिए।

विभिन्न संभावित प्रकार की समरूपता की विविधता को ध्यान में रखना भी आवश्यक है।

समरूपता के साथ तर्क करने में तार्किक चरणों का कड़ाई से पालन करना भी उतना ही महत्वपूर्ण है।

आमतौर पर समरूपता आपको केवल सेट करने की अनुमति देती है आवश्यक शर्तें, और फिर उनकी पर्याप्तता की जांच करना आवश्यक है।

उदाहरण उस पैरामीटर के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण का एक अद्वितीय समाधान है।

समाधान।ध्यान दें और --- यहां तक कि कार्य करता है, इसलिए समीकरण का बायाँ पक्ष एक सम फलन है।

तो यदि --- समाधानसमीकरण, वह भी समीकरण का हल है। अगर --- एकमात्र वस्तुसमीकरण का समाधान, तब ज़रूरी , .

चलो चुनते हैं संभवमान, जिसके लिए आवश्यक है कि समीकरण का मूल हो।

हम तुरंत ध्यान देते हैं कि अन्य मूल्य समस्या की स्थिति को संतुष्ट नहीं कर सकते।

लेकिन यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि चुने गए सभी लोग वास्तव में समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं या नहीं।

पर्याप्तता।

1), समीकरण रूप लेगा .

2) , समीकरण रूप लेगा:

जाहिर है, सभी के लिए और . इसलिए, अंतिम समीकरण प्रणाली के बराबर है:

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि के लिए, समीकरण का एक अद्वितीय हल है।

उत्तर। .

फंक्शन एक्सप्लोरेशन के साथ समाधान

उदाहरण साबित करें कि समीकरण के सभी समाधान

पूर्ण संख्याएं।

समाधान।मूल समीकरण की मुख्य अवधि है। इसलिए, हम पहले इस समीकरण का खंड पर अध्ययन करते हैं।

आइए समीकरण को रूप में बदलें:

कैलकुलेटर की सहायता से हम प्राप्त करते हैं:

यदि , तो पिछली समानताओं से हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: .

की गई गणना यह मानने का अवसर प्रदान करती है कि अंतराल से संबंधित समीकरण की जड़ें हैं, और।

प्रत्यक्ष सत्यापन इस परिकल्पना की पुष्टि करता है। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि समीकरण के मूल केवल पूर्णांक हैं।

उदाहरण प्रश्न हल करें .

समाधान।समीकरण की मुख्य अवधि ज्ञात कीजिए। समारोह की मुख्य अवधि है। समारोह की मुख्य अवधि है। संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य और के बराबर है। इसलिए, समीकरण की मुख्य अवधि है। होने देना ।

जाहिर है, समीकरण का हल है। अंतराल पर। कार्य नकारात्मक है। इसलिए, समीकरण के अन्य मूलों को केवल अंतराल x और पर खोजा जाना चाहिए।

एक माइक्रोकैलकुलेटर की मदद से, हम पहले समीकरण की जड़ों के अनुमानित मान ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित करते हैं अंतराल पर और; यानी, अंतराल पर और।


0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

निम्नलिखित परिकल्पनाओं को तालिका से आसानी से देखा जा सकता है: खंड से संबंधित समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं:; ; . प्रत्यक्ष सत्यापन इस परिकल्पना की पुष्टि करता है।

उत्तर। ; ; .

यूनिट सर्कल का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना

प्रपत्र की त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करते समय, जहां त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक है, असमानता के समाधान को सबसे स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने और उत्तर लिखने के लिए त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करना सुविधाजनक है। त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका उन्हें प्रकार की सरलतम असमानताओं तक कम करना है। आइए इस तरह की असमानताओं को हल करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण असमानता को हल करें।

समाधान।आइए एक त्रिकोणमितीय वृत्त बनाएं और उस पर उन बिंदुओं को अंकित करें जिनकी कोटि से अधिक है।

इस असमानता के समाधान के लिए होगा। यह भी स्पष्ट है कि यदि कोई संख्या निर्दिष्ट अंतराल से किसी संख्या से भिन्न है, तो वह भी से कम नहीं होगी। इसलिए, समाधान के पाए गए खंड के अंत तक, आपको बस जोड़ने की आवश्यकता है। अंत में, हम पाते हैं कि मूल असमानता के समाधान सभी होंगे .

उत्तर। .

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के साथ असमानताओं को हल करने के लिए, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा की अवधारणा उपयोगी है। ये रेखाएँ हैं और क्रमशः (चित्र (1) और (2) में), त्रिकोणमितीय वृत्त को स्पर्श करती हैं।

यह देखना आसान है कि यदि आप भुज अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाते हुए मूल बिंदु पर मूल के साथ एक किरण का निर्माण करते हैं, तो रेखा के साथ इस किरण के बिंदु से चौराहे के बिंदु तक खंड की लंबाई स्पर्शरेखा उस कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होती है जो यह किरण भुज अक्ष के साथ बनाती है। कॉटैंजेंट के लिए एक समान अवलोकन होता है।

उदाहरण असमानता को हल करें।

समाधान।निरूपित करें, तो असमानता सबसे सरल का रूप ले लेगी:। स्पर्शरेखा की न्यूनतम धनात्मक अवधि (LPP) के बराबर लंबाई वाले अंतराल पर विचार करें। इस खंड पर, स्पर्शरेखा की रेखा का उपयोग करके, हम यह स्थापित करते हैं। फ़ंक्शन के RPE के बाद से अब हमें याद है कि क्या जोड़ा जाना चाहिए। इसलिए, . चर पर लौटने पर, हमें वह मिलता है।

उत्तर। .

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ असमानताओं को हल करना सुविधाजनक है। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे किया जाता है।

ग्राफ़िकल विधि द्वारा त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना

ध्यान दें कि अगर --- आवधिकफ़ंक्शन, फिर असमानता को हल करने के लिए, इसका समाधान उस खंड पर खोजना आवश्यक है जिसकी लंबाई फ़ंक्शन की अवधि के बराबर है। मूल असमानता के सभी समाधानों में पाए गए मान शामिल होंगे, साथ ही वे सभी जो फ़ंक्शन की अवधि के किसी भी पूर्णांक संख्या से भिन्न होते हैं।

असमानता के समाधान पर विचार करें ()।

चूंकि, तब असमानता के लिए कोई समाधान नहीं है। यदि , तो असमानता के समाधान का सेट --- गुच्छासभी वास्तविक संख्याएँ।

होने देना । साइन फ़ंक्शन की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि होती है, इसलिए असमानता को पहले लंबाई के एक खंड पर हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक खंड पर। हम फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाते हैं और ()। रूप की असमानताओं द्वारा दिए गए हैं: और, जहां से,

इस पत्र में, त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीकों, सरलतम और ओलंपियाड दोनों स्तरों पर विचार किया गया था। त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों को, इसके अलावा, विशिष्ट माना गया --- विशेषताकेवल त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं के लिए, --- और समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सामान्य कार्यात्मक तरीके, जैसा कि त्रिकोणमितीय समीकरणों पर लागू होता है।

थीसिस बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी प्रदान करती है: त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा और गुण; अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों की अभिव्यक्ति, जो त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले; बुनियादी त्रिकोणमितीय फ़ार्मुलों के अलावा, स्कूल के पाठ्यक्रम से प्रसिद्ध, सूत्र दिए गए हैं जो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले भावों को सरल बनाते हैं। प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान, गुणनखंडन की विधि, त्रिकोणमितीय समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में कम करने के तरीकों पर विचार किया जाता है। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान कई तरीकों से लिखे जा सकते हैं, और इन समाधानों का रूप किसी को तुरंत यह निर्धारित करने की अनुमति नहीं देता है कि ये समाधान समान हैं या भिन्न हैं, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य योजना पर विचार किया जाता है और त्रिकोणमितीय समीकरणों के सामान्य हलों के समूहों के रूपांतरण पर विस्तार से विचार किया गया है। प्रारंभिक त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीके, एक यूनिट सर्कल और ग्राफिकल विधि दोनों पर विस्तार से विचार किया जाता है। प्रारंभिक असमानताओं के माध्यम से गैर-प्राथमिक त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की प्रक्रिया और स्कूली बच्चों को पहले से ही ज्ञात अंतराल की विधि का वर्णन किया गया है। जड़ों के चयन के लिए विशिष्ट कार्यों के समाधान दिए गए हैं। जड़ों के चयन के लिए आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी दी गई है: पूर्णांकों के सेट को गैर-अंतर्विभाजक उपसमुच्चय में विभाजित करना, पूर्णांकों में समीकरणों का समाधान (डायोफैंटाइन)।

इस थीसिस के परिणाम के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है शैक्षिक सामग्रीकोर्सवर्क तैयार करते समय और शोध करेस्कूली बच्चों के लिए ऐच्छिक की तैयारी में उसी काम का उपयोग छात्रों को प्रवेश परीक्षा और केंद्रीकृत परीक्षण के लिए तैयार करने में किया जा सकता है।

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त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताओं को जब हल किया जाता है, तो उन्हें cos(t)>a, sint(t)=a और इसी तरह की सबसे सरल असमानताओं में बदल दिया जाता है। और पहले से ही सबसे सरल असमानताएं हल हो गई हैं। पर विचार करें विभिन्न उदाहरणसरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीके।

उदाहरण 1. असमिका sin(t) > = -1/2 को हल करें।

एक वृत्त खींचिए। चूँकि sin (t) परिभाषा के अनुसार y निर्देशांक है, हम Oy अक्ष पर बिंदु y \u003d -1/2 को चिह्नित करते हैं। हम इसके माध्यम से एक्स-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। यूनिट सर्कल ग्राफ के साथ सीधी रेखा के चौराहों पर बिंदु Pt1 और Pt2 को चिह्नित करें। हम निर्देशांक की उत्पत्ति को दो खंडों के साथ Pt1 और Pt2 बिंदुओं से जोड़ते हैं।

इस असमानता का समाधान इन बिंदुओं के ऊपर स्थित इकाई वृत्त के सभी बिंदु होंगे। दूसरे शब्दों में, समाधान चाप एल होगा। अब आपको उन शर्तों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जिनके तहत एक मनमाना बिंदु चाप एल से संबंधित होगा।

Pt1 दाएं अर्धवृत्त में स्थित है, इसकी कोटि -1/2 है, फिर t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. बिंदु Pt1 का वर्णन करने के लिए निम्न सूत्र लिखा जा सकता है:
टी 2 = पीआई - आर्क्सिन (-1/2) = 7 * पीआई/6। नतीजतन, हम टी के लिए निम्नलिखित असमानता प्राप्त करते हैं:

हम असमानता के संकेत रखते हैं। और चूंकि साइन फ़ंक्शन एक आवधिक कार्य है, समाधान हर 2 * पाई पर दोहराया जाएगा। हम इस स्थिति को टी के लिए परिणामी असमानता में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: -पीआई/6+2*पीआई*एन< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

उदाहरण 2असमानता को हल करें cos(t)<1/2.

आइए एक यूनिट सर्कल बनाएं। चूँकि, cos(t) की परिभाषा के अनुसार, यह x-निर्देशांक है, हम x-अक्ष पर ग्राफ़ पर बिंदु x = 1/2 अंकित करते हैं।
हम इस बिंदु से y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। यूनिट सर्कल ग्राफ के साथ सीधी रेखा के चौराहों पर बिंदु Pt1 और Pt2 को चिह्नित करें। हम निर्देशांक की उत्पत्ति को दो खंडों के साथ Pt1 और Pt2 बिंदुओं से जोड़ते हैं।

समाधान इकाई वृत्त के वे सभी बिंदु हैं जो चाप l से संबंधित हैं। आइए बिंदु t1 और t2 खोजें।

टी 1 = आर्ककोस (1/2) = पीआई/3।

टी 2 = 2 * पीआई - आर्ककोस (1/2) = 2 * पीआई-पीआई/3 = 5 * पीआई/6।

हमें t: pi/3 के लिए असमानता मिली

चूंकि कोसाइन एक आवधिक कार्य है, समाधान हर 2 * पाई पर दोहराया जाएगा। हम इस स्थिति को टी के लिए परिणामी असमानता में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: पीआई/3+2*पीआई*एन

उदाहरण 3असमानता को हल करें tg(t)< = 1.

स्पर्शरेखा की अवधि पाई है। आइए समाधान खोजें जो अंतराल से संबंधित हैं (-pi/2;pi/2) सही अर्धवृत्त। अगला, स्पर्शरेखा की आवधिकता का उपयोग करते हुए, हम इस असमानता के सभी समाधान लिखते हैं। आइए एक इकाई वृत्त बनाएं और उस पर स्पर्शरेखा की रेखा को चिह्नित करें।

यदि टी असमानता का समाधान है, तो बिंदु टी = टीजी (टी) का समन्वय 1 से कम या उसके बराबर होना चाहिए। ऐसे बिंदुओं का सेट किरण एटी बना देगा। बिंदुओं का समुच्चय जो इस किरण के बिंदुओं के संगत होगा वह चाप l है। इसके अलावा, बिंदु P(-pi/2) इस चाप से संबंधित नहीं है।

अधिकांश छात्र त्रिकोणमितीय असमानताओं को नापसंद करते हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। जैसा कि एक पात्र कहा करता था,

"आप उन्हें खाना बनाना नहीं जानते"

तो कैसे "खाना बनाना" है और साइन के साथ असमानता को क्या प्रस्तुत करना है, हम इस लेख में इसका पता लगाएंगे। हम सबसे सरल तरीके से हल करेंगे - एक यूनिट सर्कल का उपयोग करके।

तो, सबसे पहले, हमें निम्नलिखित एल्गोरिथम की आवश्यकता है।

साइन के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

संख्या $a$ साइन अक्ष पर रखें और कोसाइन अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें जब तक कि यह सर्कल के साथ प्रतिच्छेद न करे;
यदि असमानता सख्त नहीं है, और असमानता सख्त है, तो सर्कल के साथ इस रेखा के चौराहे के बिंदुओं को भरा जाएगा;
असमानता का समाधान क्षेत्र रेखा के ऊपर और वृत्त तक होगा यदि असमानता में "$>$" चिह्न है, और रेखा के नीचे और वृत्त तक है यदि असमानता में "$" चिह्न है<$”;
प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए, हम त्रिकोणमितीय समीकरण $\sin(x)=a$ को हल करते हैं, हमें $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
सेटिंग $n=0$, हम पहला चौराहा बिंदु पाते हैं (यह या तो पहले या चौथे चतुर्थांश में स्थित है);
दूसरे बिंदु को खोजने के लिए, हम देखते हैं कि हम किस दिशा में क्षेत्र में दूसरे चौराहे बिंदु तक जाते हैं: यदि एक सकारात्मक दिशा में है, तो $n=1$ लिया जाना चाहिए, और यदि एक नकारात्मक दिशा में, तो $n=- 1$;
जवाब में, छोटे चौराहे बिंदु $+ 2\pi n$ से बड़े चौराहे $+ 2\pi n$ तक का अंतराल लिखा जाता है।

एल्गोरिथम सीमा

महत्वपूर्ण: डीयह एल्गोरिदम काम नहीं करता हैफॉर्म की असमानताओं के लिए $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

साइन के साथ असमानता को हल करते समय विशेष मामले

निम्नलिखित मामलों पर ध्यान देना भी महत्वपूर्ण है, जो उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग किए बिना तार्किक रूप से हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक हैं।

विशेष मामला 1.असमानता को हल करें:

$\sin(x) \leq 1.$

चूंकि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन $y=\sin(x)$ का डोमेन अधिकतम $1$ है, असमानता के बाईं ओर किसी के लिएडोमेन से $x$ (और साइन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं) $1$ से अधिक नहीं है। और, इसलिए, प्रतिक्रिया में हम लिखते हैं: $x \in R$।

परिणाम:

$\sin(x) \geq -1.$

विशेष प्रसंग 2.असमानता को हल करें:

$\sin(x)< 1.$

विशेष मामले 1 के समान तर्कों को लागू करने पर, हम पाते हैं कि असमानता का बायां पक्ष सभी $x \in R$ के लिए $1$ से कम है, उन बिंदुओं को छोड़कर जो समीकरण $\sin(x) = का समाधान हैं 1$। इस समीकरण को हल करने पर, हमारे पास होगा:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

और, इसलिए, प्रतिक्रिया में हम लिखते हैं: $x \in R \backslash \left$(-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right$$।

परिणाम:असमानता को इसी तरह हल किया जाता है

$\sin(x) > -1.$

एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1:असमानता को हल करें:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

साइन अक्ष पर निर्देशांक $\frac(1)(2)$ पर ध्यान दें।
कोसाइन अक्ष के समानांतर और इस बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा खींचें।
चौराहे के बिंदुओं पर ध्यान दें। उन्हें छायांकित किया जाएगा क्योंकि असमानता सख्त नहीं है।
असमानता का चिन्ह $\geq$ है, जिसका अर्थ है कि हम रेखा के ऊपर के क्षेत्र पर पेंट करते हैं, अर्थात। छोटा अर्धवृत्त।
चौराहे का पहला बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, असमानता को एक समानता में बदल दें और इसे हल करें: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. हम आगे $n=0$ सेट करते हैं और पहला चौराहा बिंदु पाते हैं: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$।
हम दूसरा बिंदु पाते हैं। हमारा क्षेत्र पहले बिंदु से सकारात्मक दिशा में जाता है, इसलिए हम $n$ को $1$ के बराबर सेट करते हैं: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$।

इस प्रकार, समाधान रूप लेगा:

$x \in \बाएं[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$

उदाहरण 2:असमानता को हल करें:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

हम साइन अक्ष पर निर्देशांक $- \frac(1)(2)$ चिह्नित करते हैं और कोसाइन अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं और इस बिंदु से गुजरते हैं। चौराहे के बिंदुओं पर ध्यान दें। उन्हें छायांकित नहीं किया जाएगा, क्योंकि असमानता सख्त है। असमानता चिह्न $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\बाएं(-\frac(1)(2)\दाएं))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

$n=0$ को आगे सेट करने पर, हमें पहला चौराहा बिंदु मिलता है: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$। हमारा क्षेत्र पहले बिंदु से नकारात्मक दिशा में जाता है, इसलिए हम $n$ को $-1$ के बराबर सेट करते हैं: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$।

तो, इस असमानता का समाधान अंतराल होगा:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

उदाहरण 3:असमानता को हल करें:

$1 - 2\sin(\बाएं(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\दाएं) \leq 0.$

एल्गोरिथम का उपयोग करके इस उदाहरण को तुरंत हल नहीं किया जा सकता है। सबसे पहले आपको इसे कन्वर्ट करने की जरूरत है। हम ठीक वैसा ही करते हैं जैसा हम समीकरण के साथ करते हैं, लेकिन चिह्न के बारे में मत भूलना। किसी ऋणात्मक संख्या से भाग देने या गुणा करने पर यह उल्टा हो जाता है!

तो, चलो सब कुछ स्थानांतरित करें जिसमें त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन शामिल नहीं है, दाईं ओर। हम पाते हैं:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

बाएँ और दाएँ पक्षों को $-2$ से विभाजित करें (चिन्ह के बारे में न भूलें!)। होगा:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

दोबारा, हमें एक असमानता मिली जिसे हम एल्गोरिथम का उपयोग करके हल नहीं कर सकते। लेकिन यहाँ यह परिवर्तनशील परिवर्तन करने के लिए पर्याप्त है:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

हमें एक त्रिकोणमितीय असमानता मिलती है, जिसे एल्गोरिथम का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

इस असमानता को उदाहरण 1 में हल किया गया था, इसलिए हम इसका उत्तर वहीं से लेंगे:

$t \in \बाएं[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

हालांकि, फैसला अभी खत्म नहीं हुआ है। हमें मूल चर पर लौटने की जरूरत है।

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \बाएं[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

आइए एक प्रणाली के रूप में अंतराल का प्रतिनिधित्व करें:

$\बाएं\(\शुरू(सरणी)(सी) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(सरणी) \right.$

सिस्टम के बाईं ओर एक व्यंजक ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) है, जो अंतराल से संबंधित है। अंतराल की बाईं सीमा पहली असमानता के लिए जिम्मेदार है, और दाईं सीमा दूसरी के लिए जिम्मेदार है। इसके अलावा, कोष्ठक एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि कोष्ठक वर्गाकार है, तो असमानता गैर-सख्त होगी, और यदि यह गोल है, तो सख्त होगी। हमारा काम बाईं ओर $x$ प्राप्त करना है दोनों असमानताओं में.

आइए $\frac(\pi)(6)$ को बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:

$\बाएं\(\शुरू(सरणी)(सी) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(सरणी) \right.$

सरलीकरण, हमारे पास होगा:

$\बाएं\(\शुरू(सरणी)(सी) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

बाएँ और दाएँ पक्षों को $4$ से गुणा करने पर, हम पाते हैं:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(सरणी) \right. $

सिस्टम को एक अंतराल में इकट्ठा करने पर, हमें उत्तर मिलता है:

$x \in \बाएं[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$

व्यावहारिक पाठ में, हम "त्रिकोणमिति" विषय से मुख्य प्रकार के कार्यों को दोहराएंगे, हम अतिरिक्त रूप से बढ़ी हुई जटिलता की समस्याओं का विश्लेषण करेंगे और विभिन्न त्रिकोणमितीय असमानताओं और उनकी प्रणालियों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

यह पाठ आपको किसी एक प्रकार के कार्य B5, B7, C1 और C3 के लिए तैयार करने में मदद करेगा।

आइए उन मुख्य प्रकार के कार्यों को दोहराते हुए शुरू करें जिनकी हमने त्रिकोणमिति विषय में समीक्षा की थी और कई गैर-मानक कार्यों को हल करते हैं।

कार्य 1. कोणों को रेडियन और डिग्री में बदलें: a); बी) ।

क) डिग्री को रेडियन में बदलने के सूत्र का उपयोग करें

इसमें दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें।

b) रेडियन को डिग्री में बदलने का सूत्र लागू करें

चलो प्रतिस्थापन करते हैं .

उत्तर। ए) ; बी) ।

टास्क #2. गणना करें: ए); बी) ।

क) चूंकि कोण तालिका से बहुत दूर है, हम ज्या की अवधि घटाकर इसे कम करते हैं। क्योंकि कोण रेडियन में दिया गया है, तो अवधि के रूप में माना जाएगा।

बी) इस मामले में स्थिति समान है। चूंकि कोण को डिग्री में निर्दिष्ट किया गया है, तो हम स्पर्शरेखा की अवधि पर विचार करेंगे।

परिणामी कोण, हालांकि अवधि से कम है, अधिक है, जिसका अर्थ है कि यह अब मुख्य को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन तालिका के विस्तारित भाग को संदर्भित करता है। ट्राइगोफ़ंक्शन मानों की एक विस्तारित तालिका को याद करके एक बार फिर से हमारी स्मृति को प्रशिक्षित न करने के लिए, हम स्पर्शरेखा अवधि को फिर से घटाते हैं:

हमने स्पर्शरेखा समारोह की विषमता का लाभ उठाया।

उत्तर। ए) 1; बी) ।

टास्क #3. गणना , अगर ।

हम भिन्न के अंश और हर को से भाग देकर संपूर्ण व्यंजक को स्पर्श रेखाओं में लाते हैं। उसी समय, हम डर नहीं सकते, क्योंकि इस स्थिति में, स्पर्शरेखा का मान मौजूद नहीं होगा।

टास्क #4. अभिव्यक्ति को सरल कीजिए।

कास्ट फ़ार्मुलों का उपयोग करके निर्दिष्ट अभिव्यक्तियों को परिवर्तित किया जाता है। यह सिर्फ इतना है कि वे डिग्री का उपयोग करके असामान्य रूप से लिखे गए हैं। पहली अभिव्यक्ति आम तौर पर एक संख्या होती है। बदले में सभी त्रिकोण कार्यों को सरल बनाएं:

क्योंकि , तो फ़ंक्शन एक कॉफ़ंक्शन में बदल जाता है, अर्थात। कॉटैंजेंट के लिए, और कोण दूसरी तिमाही में पड़ता है, जिसमें मूल स्पर्शरेखा का चिह्न ऋणात्मक है।

पिछली अभिव्यक्ति के समान कारणों से, फ़ंक्शन एक कोफंक्शन में बदल जाता है, यानी। कॉटैंजेंट के लिए, और कोण पहली तिमाही में पड़ता है, जिसमें प्रारंभिक स्पर्शरेखा का सकारात्मक चिह्न होता है।

सब कुछ एक सरलीकृत अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना:

टास्क #5. अभिव्यक्ति को सरल कीजिए।

आइए दोहरे कोण की स्पर्शरेखा को संबंधित सूत्र के अनुसार लिखें और अभिव्यक्ति को सरल करें:

अंतिम पहचान कोसाइन के लिए सार्वभौमिक प्रतिस्थापन फ़ार्मुलों में से एक है।

टास्क #6. गणना करें।

मुख्य बात मानक त्रुटि नहीं करना है और यह जवाब नहीं देना है कि अभिव्यक्ति के बराबर है। चाप स्पर्शरेखा के मुख्य गुण का उपयोग करना असंभव है जबकि इसके पास एक दो के रूप में एक कारक है। इससे छुटकारा पाने के लिए हम द्विकोण की स्पर्शरेखा के सूत्र के अनुसार व्यंजक लिखते हैं, जबकि हम इसे एक साधारण तर्क के रूप में लेते हैं।

अब चाप स्पर्शरेखा की मुख्य संपत्ति को लागू करना पहले से ही संभव है, याद रखें कि इसके संख्यात्मक परिणाम पर कोई प्रतिबंध नहीं है।

टास्क #7. प्रश्न हल करें।

एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करते समय जो शून्य के बराबर है, यह हमेशा संकेत दिया जाता है कि अंश शून्य है और भाजक नहीं है, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

पहला समीकरण सबसे सरल समीकरण का एक विशेष मामला है, जिसे त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके हल किया जाता है। इस उपाय पर आप स्वयं विचार करें। दूसरी असमानता को स्पर्शरेखा की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके सरलतम समीकरण के रूप में हल किया जाता है, लेकिन केवल चिह्न के बराबर नहीं है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, जड़ों का एक परिवार जड़ों के उसी परिवार को बाहर कर देता है जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। वे। कोई जड़ नहीं है।

उत्तर। कोई जड़ नहीं है।

टास्क #8. प्रश्न हल करें।

तुरंत ध्यान दें कि आप सामान्य कारक निकाल सकते हैं और इसे कर सकते हैं:

कई कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर होने पर समीकरण को मानक रूपों में से एक में घटा दिया गया है। हम पहले से ही जानते हैं कि इस मामले में या तो उनमें से एक शून्य के बराबर है, या दूसरा, या तीसरा। हम इसे समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखते हैं:

पहले दो समीकरण सबसे सरल के विशेष मामले हैं, हम पहले ही कई बार समान समीकरणों से मिल चुके हैं, इसलिए हम तुरंत उनके समाधान का संकेत देंगे। हम दोहरे कोण साइन सूत्र का उपयोग करके तीसरे समीकरण को एक फ़ंक्शन में घटाते हैं।

आइए अंतिम समीकरण को अलग से हल करें:

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि ज्या का मूल्य परे नहीं जा सकता .

इस प्रकार, जड़ों के केवल पहले दो परिवार ही समाधान हैं, उन्हें एक में जोड़ा जा सकता है, जिसे त्रिकोणमितीय वृत्त पर दिखाना आसान है:

यह सभी हिस्सों का परिवार है, यानी।

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। सबसे पहले, आइए सामान्य समाधान सूत्रों का उपयोग किए बिना एक उदाहरण को हल करने के दृष्टिकोण का विश्लेषण करें, लेकिन एक त्रिकोणमितीय वृत्त की सहायता से।

टास्क #9. असमानता को हल करें।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर sine के मान के अनुरूप एक सहायक रेखा खींचिए, और असमानता को संतुष्ट करने वाले कोणों के अंतराल को दर्शाइए।

यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि परिणामी कोण अंतराल को कैसे निर्दिष्ट किया जाए, अर्थात उसका आरंभ क्या है और उसका अंत क्या है। अंतराल की शुरुआत उस बिंदु के अनुरूप कोण होगी जिसे हम अंतराल की शुरुआत में प्रवेश करेंगे यदि हम वामावर्त चलते हैं। हमारे मामले में, यह वह बिंदु है जो बाईं ओर है, क्योंकि वामावर्त चलते हुए और सही बिंदु से गुजरते हुए, इसके विपरीत, हम आवश्यक कोण अंतराल से बाहर निकलते हैं। इसलिए सही बिंदु अंतराल के अंत के अनुरूप होगा।

अब हमें असमानता के समाधान के अपने अंतराल के आरंभ और अंत कोणों के मूल्यों को समझने की आवश्यकता है। एक विशिष्ट गलती यह है कि तुरंत इंगित करें कि सही बिंदु कोण से मेल खाता है, बाईं ओर और उत्तर दें। यह सच नहीं है! कृपया ध्यान दें कि हमने केवल सर्कल के ऊपरी हिस्से के अनुरूप अंतराल का संकेत दिया है, हालांकि हम निचले हिस्से में रुचि रखते हैं, दूसरे शब्दों में, हमने उन समाधानों के अंतराल की शुरुआत और अंत को मिलाया है जिनकी हमें आवश्यकता है।

अंतराल के लिए दाएं बिंदु के कोने पर शुरू करने और बाएं बिंदु के कोने पर समाप्त होने के लिए, पहला निर्दिष्ट कोण दूसरे से कम होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हमें नकारात्मक संदर्भ दिशा में सही बिंदु के कोण को मापना होगा, अर्थात दक्षिणावर्त और इसके बराबर होगा। फिर, इससे एक सकारात्मक दक्षिणावर्त दिशा में शुरू करते हुए, हम बाएं बिंदु के बाद दाएं बिंदु पर पहुंचेंगे और इसके लिए कोण मान प्राप्त करेंगे। अब कोणों के अंतराल की शुरुआत के अंत से कम है, और हम अवधि को ध्यान में रखे बिना समाधान के अंतराल को लिख सकते हैं:

यह देखते हुए कि इस तरह के अंतराल किसी भी पूर्णांक संख्या के घुमावों के बाद अनंत बार दोहराएंगे, हमें साइन अवधि को ध्यान में रखते हुए सामान्य समाधान मिलता है:

हम गोल कोष्ठक लगाते हैं क्योंकि असमानता सख्त है, और हम उस वृत्त पर बिंदुओं को पंचर करते हैं जो अंतराल के सिरों के अनुरूप होता है।

अपने उत्तर की तुलना उस सामान्य हल के सूत्र से करें जो हमने व्याख्यान में दिया था।

उत्तर। .

यह विधि यह समझने के लिए अच्छी है कि सबसे सरल त्रिकोणीय असमानताओं के सामान्य समाधान के सूत्र कहाँ से आते हैं। इसके अलावा, यह उन लोगों के लिए उपयोगी है जो इन सभी बोझिल सूत्रों को सीखने में बहुत आलसी हैं। हालाँकि, विधि स्वयं भी आसान नहीं है, चुनें कि समाधान के लिए कौन सा दृष्टिकोण आपके लिए सबसे सुविधाजनक है।

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए, आप फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग भी कर सकते हैं, जिस पर सहायक रेखा बनाई गई है, उसी तरह यूनिट सर्कल का उपयोग करके दिखाई गई विधि। यदि आप रुचि रखते हैं, तो समाधान के लिए इस दृष्टिकोण को स्वयं समझने का प्रयास करें। निम्नलिखित में, हम सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग करेंगे।

टास्क #10. असमानता को हल करें।

हम सामान्य समाधान सूत्र का उपयोग करते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि असमानता सख्त नहीं है:

हम अपने मामले में आते हैं:

उत्तर।

टास्क #11. असमानता को हल करें।

हम इसी सख्त असमानता के लिए सामान्य समाधान सूत्र का उपयोग करते हैं:

उत्तर। .

टास्क #12. असमानताओं को हल करें: ए); बी) ।

इन असमानताओं में, किसी को सामान्य समाधान या त्रिकोणमितीय वृत्त के लिए सूत्रों का उपयोग करने में जल्दबाजी नहीं करनी चाहिए, यह केवल साइन और कोसाइन के मूल्यों की सीमा को याद रखने के लिए पर्याप्त है।

ए) क्योंकि , तो असमानता अर्थहीन है। इसलिए, कोई समाधान नहीं हैं।

बी) क्योंकि इसी तरह, किसी भी तर्क की ज्या शर्त में निर्दिष्ट असमानता को हमेशा संतुष्ट करती है। इसलिए, असमानता तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों से संतुष्ट है।

उत्तर। ए) कोई समाधान नहीं हैं; बी) ।

टास्क 13. असमानता को हल करें .