ऑनलाइन जोड़ विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरण: समाधान विधि

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल से मनुष्य द्वारा समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग बढ़ता ही गया है। केवल अलग-अलग जटिलता के समीकरणों की प्रणालियों को अपने दम पर हल करके, आप सीखेंगे कि किसी भी प्रणाली को हल करने के तरीकों को जल्दी से कैसे निर्धारित किया जाए। कभी-कभी सिस्टम को हल करना काफी मुश्किल हो सकता है द्विघातीय समीकरण. हालाँकि, इन समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि प्रतिस्थापन/जोड़ विधि है।

मान लीजिए कि हमें समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली दी गई है:

\[\बाएं\(\शुरू(मैट्रिक्स) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(मैट्रिक्स)\दाएं।\]

सिस्टम के समीकरणों को जोड़ते हैं:

\[\बाएं\(\शुरू(मैट्रिक्स) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1 \end(मैट्रिक्स)\दाएं।\]

आइए परिणामी प्रणाली को हल करें:

\[\बाएं\(\शुरू(मैट्रिक्स) x(x - y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(मैट्रिक्स)\दाएं।\]

\[(x - y) = -1 \] या \[(x - y) = 1\] - हमें दो समीकरणों से प्राप्त होता है

1 समीकरण 1 या -1 में स्थानापन्न:

\ या \

चूँकि अब हम एक अज्ञात का मान जानते हैं, हम दूसरा ज्ञात कर सकते हैं:

\[-3 - y= -1\] या \

\ या \

उत्तर: \[(-3; -2); (3; 4)\]

यदि आपको 2 डिग्री और 1 रैखिक की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, तो रैखिक से आप चर में से 1 को व्यक्त कर सकते हैं और स्थानापन्न कर सकते हैं दिया गया समीकरणएक वर्ग में।

मैं एक ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ द्विघात समीकरणों की प्रणाली को कहाँ हल कर सकता हूँ?

आप हमारी वेबसाइट https: // साइट पर समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन हल कर सकते हैं। मुफ्त ऑनलाइन सॉल्वर आपको सेकंडों में किसी भी जटिलता के ऑनलाइन समीकरण को हल करने की अनुमति देगा। आपको बस अपना डेटा सॉल्वर में दर्ज करना है। आप वीडियो निर्देश भी देख सकते हैं और हमारी वेबसाइट पर समीकरण को हल करना सीख सकते हैं। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे Vkontakte समूह http://vk.com/pocketteacher में पूछ सकते हैं। हमारे समूह में शामिल हों, हम आपकी मदद करने के लिए हमेशा खुश हैं।

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7 वीं कक्षा में बीजगणित का पाठ

पाठ विषय: विधि बीजगणितीय जोड़.

1. 1. पाठ का प्रकार: नए ज्ञान की प्राथमिक प्रस्तुति का पाठ।

पाठ का उद्देश्य: प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में ज्ञान और कौशल को आत्मसात करने के स्तर को नियंत्रित करना; जोड़ की विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं का निर्माण।

पाठ मकसद:

विषय: जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर वाले समीकरणों के सिस्टम को हल करना सीखें।

मेटासब्जेक्ट: संज्ञानात्मक यूयूडी: विश्लेषण करें (मुख्य बात पर प्रकाश डालें), अवधारणाओं को परिभाषित करें, सामान्यीकरण करें, निष्कर्ष निकालें। नियामक यूयूडी: लक्ष्य को परिभाषित करें, समस्या में शिक्षण गतिविधियां. संचारी यूयूडी: बहस करते हुए अपनी राय व्यक्त करें। व्यक्तिगत यूयूडी: एफसीखने के लिए एक सकारात्मक प्रेरणा बनाने के लिए, पाठ और विषय के प्रति छात्र का सकारात्मक भावनात्मक दृष्टिकोण बनाने के लिए।

काम का रूप: व्यक्तिगत

पाठ कदम:

1) संगठनात्मक चरण।

इस विषय की सोच और समझ की अखंडता के प्रति एक दृष्टिकोण बनाकर विषय पर छात्र के काम को व्यवस्थित करना।

2. घर में दी गई सामग्री पर विद्यार्थी से प्रश्न करना, ज्ञान को अद्यतन करना।

उद्देश्य: गृहकार्य के दौरान प्राप्त छात्र के ज्ञान की जाँच करना, गलतियों की पहचान करना, गलतियों पर काम करना। पिछले पाठ से सामग्री की समीक्षा करें।

3. नई सामग्री सीखना।

1). सिस्टम को हल करने की क्षमता विकसित करें रेखीय समीकरणअतिरिक्त विधि;

2). नई स्थितियों में मौजूदा ज्ञान का विकास और सुधार;

3). नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल को शिक्षित करें, स्वतंत्रता का विकास करें।

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

उद्देश्य: दृष्टि का संरक्षण, पाठ में काम करते समय आंखों की थकान को दूर करना।

5. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन

उद्देश्य: पाठ में अर्जित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का परीक्षण करना

6. पाठ का सारांश, के बारे में जानकारी गृहकार्य, प्रतिबिंब।

पाठ प्रगति (Google इलेक्ट्रॉनिक दस्तावेज़ में कार्य करना):

1. आज मैं पाठ की शुरुआत वाल्टर की दार्शनिक पहेली से करना चाहता था।

सबसे तेज, लेकिन सबसे धीमा, सबसे बड़ा, लेकिन सबसे छोटा, सबसे लंबा और सबसे छोटा, सबसे महंगा, लेकिन हमारे द्वारा सस्ते में मूल्यवान भी क्या है?

समय

आइए इस विषय पर बुनियादी अवधारणाओं को याद करें:

हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है।

आइए याद करें कि पिछले पाठ में हमने समीकरणों के सिस्टम को कैसे हल किया था।

प्रतिस्थापन विधि

एक बार फिर से हल किए गए सिस्टम पर ध्यान दें और मुझे बताएं कि हम प्रतिस्थापन विधि का सहारा लिए बिना सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को हल क्यों नहीं कर सकते?

क्योंकि ये दो चर वाले सिस्टम के समीकरण हैं। हम केवल एक चर वाले समीकरण को हल कर सकते हैं।

केवल एक चर के साथ एक समीकरण प्राप्त करके हम समीकरणों की प्रणाली को हल करने में कामयाब रहे।

3. हम निम्नलिखित प्रणाली को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं:

हम एक ऐसा समीकरण चुनते हैं जिसमें एक चर को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करना सुविधाजनक हो।

ऐसा कोई समीकरण नहीं है।

वे। इस स्थिति में, पहले अध्ययन की गई विधि हमें शोभा नहीं देती। इस स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता क्या है?

कोई नया तरीका खोजो।

आइए पाठ के उद्देश्य को तैयार करने का प्रयास करें।

सिस्टम को नए तरीके से हल करना सीखें।

हमें यह सीखने के लिए क्या करने की आवश्यकता है कि सिस्टम को एक नई पद्धति से कैसे हल किया जाए?

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए नियम (एल्गोरिदम) जानें, व्यावहारिक कार्य करें

आइए एक नई विधि निकालना शुरू करें।

पहली प्रणाली को हल करने के बाद हमने जो निष्कर्ष निकाला है, उस पर ध्यान दें। एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करने के बाद ही हम सिस्टम को हल करने में कामयाब रहे।

समीकरणों की प्रणाली को देखें और सोचें कि दो दिए गए समीकरणों से एक चर के साथ एक समीकरण कैसे प्राप्त करें।

समीकरण जोड़ें।

समीकरण जोड़ने का क्या अर्थ है?

अलग-अलग, बाएं भागों का योग, समीकरणों के दाहिने भागों का योग और परिणामी राशियों को समान करें।

आओ कोशिश करते हैं। हम मेरे साथ काम करते हैं।

13x+14x+17y-17y=43+11

हमें एक चर के साथ एक रेखीय समीकरण मिला।

क्या आपने समीकरणों की प्रणाली को हल किया है?

सिस्टम का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी है।

आपको कैसे ढूंढे?

सिस्टम के समीकरण में x के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें।

क्या इससे कोई फर्क पड़ता है कि हम x का मान किस समीकरण में रखते हैं?

तो x का पाया मान प्रतिस्थापित किया जा सकता है ...

सिस्टम का कोई भी समीकरण।

हम एक नई विधि से परिचित हुए - बीजगणितीय जोड़ की विधि।

सिस्टम को हल करते समय, हमने इस विधि द्वारा सिस्टम को हल करने के लिए एल्गोरिथम पर चर्चा की।

हमने एल्गोरिदम की समीक्षा की है। अब इसे समस्या समाधान पर लागू करते हैं।

समीकरणों के सिस्टम को हल करने की क्षमता व्यवहार में उपयोगी हो सकती है।

समस्या पर विचार करें:

खेत में मुर्गियां और भेड़ें हैं। उनमें से कितने और अन्य यदि उनके 19 सिर और 46 पैर एक साथ हैं?

यह जानते हुए कि कुल 19 मुर्गियाँ और भेड़ें हैं, हम पहले समीकरण की रचना करते हैं: x + y \u003d 19

4x भेड़ के पैरों की संख्या है

2y - मुर्गियों में पैरों की संख्या

यह जानते हुए कि केवल 46 पैर हैं, हम दूसरे समीकरण की रचना करते हैं: 4x + 2y \u003d 46

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

योग विधि द्वारा हल करने के लिए एल्गोरिथम का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं।

संकट! x और y के सामने के गुणांक न तो समान हैं और न ही विपरीत! क्या करें?

आइए एक और उदाहरण देखें!

आइए अपने एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ते हैं और इसे पहले स्थान पर रखते हैं: यदि चर के सामने गुणांक समान नहीं हैं और विपरीत नहीं हैं, तो हमें कुछ चर के लिए मॉड्यूल को बराबर करने की आवश्यकता है! और फिर हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

4. आंखों के लिए इलेक्ट्रॉनिक शारीरिक शिक्षा: http://zhkulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. हम समस्या को बीजगणितीय योग, फिक्सिंग की विधि से पूरा करते हैं नई सामग्रीऔर पता करें कि फार्म में कितनी मुर्गियां और भेड़ें थीं।

अतिरिक्त काम:

6.

प्रतिबिंब।

मैं कक्षा में अपने काम के लिए ग्रेड देता हूँ...

6. प्रयुक्त संसाधन-इंटरनेट:

शिक्षा के लिए Google सेवाएं

गणित के शिक्षक सोकोलोवा एन.एन.

जोड़ विधि का उपयोग करते हुए, सिस्टम के समीकरणों को शब्द दर शब्द जोड़ा जाता है, जबकि 1 या दोनों (कई) समीकरणों को किसी भी संख्या से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, वे समतुल्य SLE पर आ जाते हैं, जहां समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

सिस्टम को हल करने के लिए शब्द दर शब्द जोड़ (घटाव)अगले चरणों का पालन करें:

1. हम एक चर का चयन करते हैं जिसके लिए समान गुणांक बनाए जाएंगे।

2. अब आपको समीकरणों को जोड़ने या घटाने और एक चर के साथ एक समीकरण प्राप्त करने की आवश्यकता है।

सिस्टम समाधानफ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

आइए उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दी गई प्रणाली:

इस प्रणाली का विश्लेषण करने के बाद, आप देख सकते हैं कि चर के गुणांक निरपेक्ष मूल्य में समान हैं और चिह्न (-1 और 1) में भिन्न हैं। इस मामले में, समीकरणों को आसानी से शब्द द्वारा शब्द जोड़ा जा सकता है:

लाल घेरे में आने वाली क्रियाएं मन में की जाती हैं।

शब्दवार जोड़ का परिणाम चर का गायब होना था वाई. यह इसमें है और यह, वास्तव में, विधि का अर्थ है - पहले चर से छुटकारा पाने के लिए।

-4 - वाई + 5 = 0 → वाई = 1,

एक प्रणाली के रूप में, समाधान इस तरह दिखता है:

उत्तर: एक्स = -4 , वाई = 1.

उदाहरण 2

दी गई प्रणाली:

इस उदाहरण में, आप "स्कूल" विधि का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन इसका एक बड़ा ऋण है - जब आप किसी भी समीकरण से किसी भी चर को व्यक्त करते हैं, तो आपको साधारण अंशों में एक समाधान मिलेगा। और भिन्नों को हल करने में पर्याप्त समय लगता है और गलतियां होने की संभावना बढ़ जाती है।

इसलिए, समीकरणों के टर्म-बाय-टर्म जोड़ (घटाव) का उपयोग करना बेहतर है। आइए संबंधित चर के गुणांक का विश्लेषण करें:

वह संख्या ज्ञात कीजिए जिससे विभाजित किया जा सके 3 और पर 4 , जबकि यह आवश्यक है कि यह संख्या यथासंभव छोटी हो। यह न्यूनतम समापवर्तक. यदि आपके लिए सही संख्या ज्ञात करना कठिन है, तो आप गुणांकों को गुणा कर सकते हैं:।

अगला कदम:

पहले समीकरण को से गुणा कीजिये,

तीसरे समीकरण को से गुणा कीजिये,

बहुत बार, विद्यार्थियों को समीकरणों के निकाय को हल करने की विधि चुनने में कठिनाई होती है।

इस लेख में, हम सिस्टम को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करेंगे - प्रतिस्थापन विधि।

यदि दो समीकरणों का एक उभयनिष्ठ हल प्राप्त होता है, तो इन समीकरणों को एक तंत्र कहा जाता है। समीकरणों की एक प्रणाली में, प्रत्येक अज्ञात सभी समीकरणों में समान संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह दिखाने के लिए कि ये समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, उन्हें आमतौर पर एक के नीचे एक लिखा जाता है और एक घुमावदार ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए

हम देखते हैं कि x = 15, और y = 5 के लिए निकाय के दोनों समीकरण सही हैं। संख्याओं का यह युग्म समीकरणों के निकाय का हल है। अज्ञात मानों की प्रत्येक जोड़ी जो एक साथ सिस्टम के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करती है, सिस्टम का समाधान कहा जाता है।

एक प्रणाली में एक समाधान हो सकता है (जैसा कि हमारे उदाहरण में है), असीम रूप से कई समाधान, और कोई समाधान नहीं।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को कैसे हल करें? यदि दोनों समीकरणों में कुछ अज्ञात के गुणांक निरपेक्ष मान में बराबर हैं (यदि वे समान नहीं हैं, तो हम बराबर करते हैं), फिर दोनों समीकरणों को जोड़कर (या एक को दूसरे से घटाकर), आप एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। फिर हम इस समीकरण को हल करते हैं। हम एक अज्ञात को परिभाषित करते हैं। हम अज्ञात के प्राप्त मूल्य को सिस्टम के समीकरणों में से एक में (पहले या दूसरे में) प्रतिस्थापित करते हैं। हम एक और अज्ञात पाते हैं। आइए इस पद्धति के अनुप्रयोग के उदाहरण देखें।

उदाहरण 1समीकरणों की प्रणाली को हल करें

यहाँ y पर गुणांक निरपेक्ष मान के बराबर हैं, लेकिन संकेत में विपरीत हैं। आइए सिस्टम के समीकरणों को जोड़ने के लिए टर्म द्वारा टर्म का प्रयास करें।

परिणामी मान x \u003d 4, हम सिस्टम के कुछ समीकरण में स्थानापन्न करते हैं (उदाहरण के लिए, पहले वाले में) और y का मान ज्ञात करें:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3।

हमारे सिस्टम में एक समाधान x = 4, y = 3 है। या उत्तर कोष्ठक में लिखा जा सकता है, एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में, पहले स्थान पर x, दूसरे y में।

उत्तर: (4; 3)

उदाहरण 2. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम चर x के गुणांक को बराबर करते हैं, इसके लिए हम पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे को (-2) से गुणा करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण जोड़ते समय सावधान रहें

फिर y \u003d - 2। हम पहले समीकरण में y के बजाय संख्या (-2) को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है

4x + 3 (-2) \u003d - 4. हम इस समीकरण को 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½ हल करते हैं।

उत्तर: (1/2; - 2)

उदाहरण 3समीकरणों की प्रणाली को हल करें

पहले समीकरण को (-2) से गुणा करें

व्यवस्था को सुलझाना

हमें 0 = - 13 मिलता है।

कोई समाधान प्रणाली नहीं है, क्योंकि 0 (-13) के बराबर नहीं है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

उदाहरण 4समीकरणों की प्रणाली को हल करें

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं,

दूसरे समीकरण को तीन से विभाजित करते हैं और हमें एक प्रणाली मिलती है जिसमें दो समान समीकरण होते हैं।

इस प्रणाली के असीम रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि पहला और दूसरा समीकरण समान हैं (हमें दो चर के साथ केवल एक समीकरण मिला है)। इस व्यवस्था का समाधान कैसे प्रस्तुत करें? आइए चर y को समीकरण x + y = 5 से व्यक्त करें। हमें y = 5 - x प्राप्त होता है।

तब उत्तरइस प्रकार लिखा जाएगा: (x; 5-x), x कोई संख्या है।

हमने जोड़ विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करने पर विचार किया। यदि आपके कोई प्रश्न हैं या कुछ स्पष्ट नहीं है, तो पाठ के लिए साइन अप करें और हम आपके साथ सभी समस्याओं को ठीक कर देंगे।

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दो अज्ञात में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दो या दो से अधिक रैखिक समीकरण हैं जिनके लिए आपको उन सभी को खोजने की आवश्यकता है सामान्य समाधान. हम दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे। सामान्य फ़ॉर्मदो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली नीचे दी गई आकृति में दिखाई गई है:

(a1*x + b1*y = c1,
(ए2*एक्स + बी2*वाई = सी2

यहाँ x और y अज्ञात चर हैं, a1, a2, b1, b2, c1, c2 कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं (x, y) की एक जोड़ी है जैसे कि यदि इन संख्याओं को प्रणाली के समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो प्रणाली के प्रत्येक समीकरण एक वास्तविक समानता में बदल जाते हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के कई तरीके हैं। रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करें, अर्थात् योग विधि।

जोड़ विधि द्वारा हल करने के लिए एल्गोरिथम

दो अज्ञात जोड़ विधियों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म।

1. यदि आवश्यक हो, समकक्ष परिवर्तनों के माध्यम से, दोनों समीकरणों में अज्ञात चरों में से एक के गुणांकों को बराबर करें।

2. एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करने के लिए परिणामी समीकरणों को जोड़ना या घटाना

3. परिणामी समीकरण को एक अज्ञात के साथ हल करें और एक चर खोजें।

4. परिणामी व्यंजक को निकाय के दो समीकरणों में से किसी में प्रतिस्थापित करें और इस समीकरण को हल करें, इस प्रकार दूसरा चर प्राप्त करें।

5. समाधान की जाँच करें।

जोड़ विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण

अधिक स्पष्टता के लिए, हम योग विधि द्वारा दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की निम्न प्रणाली को हल करते हैं:

(3 * एक्स + 2 * वाई = 10;
(5*x + 3*y = 12;

चूँकि किसी भी चर का गुणांक समान नहीं है, इसलिए हम चर y के गुणांकों की बराबरी करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को तीन से और दूसरे समीकरण को दो से गुणा करें।

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

पाना समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

अब पहले को दूसरे समीकरण से घटाएं। हम समान पद प्रस्तुत करते हैं और परिणामी रेखीय समीकरण को हल करते हैं।

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; एक्स = -6;

हम परिणामी मान को अपनी मूल प्रणाली से पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं।

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

परिणाम संख्याओं x=6 और y=14 की एक जोड़ी है। हम जाँच कर रहे हैं। हम एक प्रतिस्थापन करते हैं।

(3 * एक्स + 2 * वाई = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो सच्ची समानताएँ मिलीं, इसलिए, हमें सही समाधान मिला।