साइन अनुपात के बराबर है। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटैंजेंट - वह सब कुछ जो आपको OGE और USE में जानना आवश्यक है

त्रिकोणमितीय पहचानसमानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बीच एक संबंध स्थापित करती हैं, जो आपको इनमें से किसी भी कार्य को खोजने की अनुमति देती है, बशर्ते कि कोई अन्य ज्ञात हो।

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

यह पहचान कहती है कि एक कोण के साइन के वर्ग का योग और एक कोण के कोसाइन के वर्ग का योग एक के बराबर होता है, जो व्यवहार में एक कोण की साइन की गणना करना संभव बनाता है जब इसकी कोसाइन ज्ञात होती है और इसके विपरीत .

त्रिकोणमितीय भावों को परिवर्तित करते समय, इस पहचान का बहुत बार उपयोग किया जाता है, जो आपको एक कोण के कोसाइन और साइन के वर्गों के योग को एक के साथ बदलने की अनुमति देता है और रिवर्स ऑर्डर में प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी करता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटेजेंट ढूँढना

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ये सर्वसमिकाएँ ज्या, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं से बनती हैं। आखिरकार, यदि आप देखें, तो परिभाषा के अनुसार, y की कोटि ज्या है, और x का भुज कोज्या है। तब स्पर्शरेखा अनुपात के बराबर होगी \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), और अनुपात \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- एक कोटिस्पर्श होगा।

हम यह जोड़ते हैं कि केवल ऐसे कोणों \alpha के लिए जिनके लिए उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण हों, सर्वसमिकाएँ होंगी, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

उदाहरण के लिए: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha कोणों के लिए मान्य है जो इससे भिन्न हैं \frac(\pi)(2)+\pi z, ए ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z के अलावा \alpha कोण के लिए, z एक पूर्णांक है।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बीच संबंध

टीजी \alpha \cdot ctg \alpha=1

यह तत्समक केवल \alpha कोणों के लिए मान्य है जो इससे भिन्न हैं \frac(\pi)(2) z. अन्यथा, या तो स्पर्शरेखा या स्पर्शरेखा निर्धारित नहीं की जाएगी।

उपरोक्त बिंदुओं के आधार पर, हम इसे प्राप्त करते हैं tg \alpha = \frac(y)(x), ए ctg\alpha=\frac(x)(y). इसलिए यह इस प्रकार है tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. इस प्रकार, एक कोण की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा जिस पर वे समझ में आते हैं परस्पर पारस्परिक संख्याएँ हैं।

स्पर्शज्या और कोज्या, कोस्पर्शज्या और ज्या के बीच संबंध

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- कोण \alpha और 1 की स्पर्श रेखा के वर्ग का योग इस कोण की कोज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान इसके अलावा सभी \alpha के लिए मान्य है \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 और कोण \alpha की कोटिस्पर्श रेखा के वर्ग का योग, दिए गए कोण की ज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \pi z के अलावा किसी भी \alpha के लिए मान्य है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

\sin \alpha और tg \alpha का पता लगाएँ यदि \cos \alpha=-\frac12और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

समाधान दिखाएं

समाधान

कार्य \sin \alpha और \cos \alpha सूत्र द्वारा जुड़े हुए हैं \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. इस सूत्र में प्रतिस्थापन \cos \alpha = -\frac12, हम पाते हैं:

\sin^(2)\alpha + \बाएं (-\frac12 \दाएं)^2 = 1

इस समीकरण के 2 समाधान हैं:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

शर्त से \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में ज्या सकारात्मक है, इसलिए \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

उदाहरण 2

ढूँढें \cos \alpha और ctg \alpha अगर और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

समाधान दिखाएं

समाधान

सूत्र में प्रतिस्थापित करना \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1सशर्त संख्या \sin\alpha=\frac(\sqrt3)(2), हम पाते हैं \बाएं (\frac(\sqrt3)(2)\दाएं)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. इस समीकरण के दो हल हैं \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

शर्त से \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में, कोज्या ऋणात्मक है, इसलिए \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). हम संगत मान जानते हैं।

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट की अवधारणाएं त्रिकोणमिति की मुख्य श्रेणियां हैं - गणित की एक शाखा, और एक कोण की परिभाषा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इस गणितीय विज्ञान के कब्जे के लिए याद रखने और सूत्रों और प्रमेयों की समझ के साथ-साथ विकसित स्थानिक सोच की आवश्यकता होती है। इसीलिए त्रिकोणमितीय गणना अक्सर स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए मुश्किलें पैदा करती हैं। उन्हें दूर करने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों से अधिक परिचित होना चाहिए।

त्रिकोणमिति में अवधारणाएँ

सुलझाने के लिए बुनियादी अवधारणाओंत्रिकोणमिति, आपको पहले यह तय करना होगा कि क्या है सही त्रिकोणऔर एक वृत्त में कोण, और सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय गणनाएं उनके साथ क्यों जुड़ी हुई हैं। एक त्रिभुज जिसका एक कोण 90 अंश का हो, समकोण त्रिभुज कहलाता है। ऐतिहासिक रूप से, यह आंकड़ा अक्सर लोगों द्वारा वास्तुकला, नेविगेशन, कला, खगोल विज्ञान में उपयोग किया जाता था। तदनुसार, इस आंकड़े के गुणों का अध्ययन और विश्लेषण करते हुए, लोग इसके मापदंडों के संगत अनुपात की गणना करने आए।

समकोण त्रिभुजों से जुड़ी मुख्य श्रेणियां कर्ण और पैर हैं। कर्ण त्रिभुज की वह भुजा है जो समकोण के विपरीत होती है। पैर, क्रमशः, अन्य दो भुजाएँ हैं। किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति का एक खंड है जिसका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन खगोल विज्ञान और भूगणित जैसे अनुप्रयुक्त विज्ञानों में वैज्ञानिक इसका उपयोग करते हैं। गोलाकार त्रिकोणमिति में त्रिभुज की एक विशेषता यह है कि इसमें हमेशा 180 डिग्री से अधिक कोणों का योग होता है।

त्रिभुज के कोण

एक समकोण त्रिभुज में, एक कोण की ज्या त्रिभुज के कर्ण के वांछित कोण के विपरीत पैर का अनुपात है। तदनुसार, कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। इन दोनों मानों का मान हमेशा एक से कम होता है, क्योंकि कर्ण हमेशा पैर से अधिक लंबा होता है।

एक कोण का स्पर्शरेखा वांछित कोण के आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर मान है, या साइन से कोसाइन है। कॉटैंजेंट, बदले में, विपरीत कैक्टेट के वांछित कोण के आसन्न पैर का अनुपात है। इकाई को स्पर्शरेखा के मान से भाग देकर कोण की कोटिस्पर्श रेखा भी प्राप्त की जा सकती है।

यूनिट सर्कल

ज्यामिति में एक इकाई वृत्त एक ऐसा वृत्त होता है जिसकी त्रिज्या एक के बराबर होती है। इस तरह के एक सर्कल कार्तीय समन्वय प्रणाली में बनाया गया है, सर्कल के केंद्र के मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति एक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा से निर्धारित होती है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक होते हैं: XX और YY, यानी भुज और कोटि के निर्देशांक। एक्सएक्स विमान में सर्कल पर किसी भी बिंदु का चयन करना, और इससे लंब को एब्सिस्सा अक्ष पर छोड़ना, हमें त्रिज्या द्वारा चयनित बिंदु पर एक सही त्रिकोण मिलता है (चलो इसे अक्षर सी द्वारा निरूपित करते हैं), एक लंब खींचा गया एक्स अक्ष (प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर जी द्वारा निरूपित किया जाता है), और मूल (बिंदु को अक्षर ए द्वारा दर्शाया गया है) और चौराहे बिंदु जी के बीच भुज अक्ष का एक खंड। एक वृत्त, जहाँ AG कर्ण है, और AC और GC पैर हैं। पदनाम AG के साथ वृत्त AC की त्रिज्या और भुज अक्ष के खंड के बीच का कोण, हम α (अल्फा) के रूप में परिभाषित करते हैं। अतः, cos α = AG/AC। यह देखते हुए कि AC इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और यह एक के बराबर है, यह पता चला है कि cos α=AG। इसी प्रकार, sin α=CG.

इसके अलावा, इन आंकड़ों को जानने के बाद, वृत्त पर बिंदु C के निर्देशांक को निर्धारित करना संभव है, क्योंकि cos α=AG, और sin α=CG, जिसका अर्थ है कि बिंदु C में दिए गए निर्देशांक हैं (cos α; sin α)। यह जानते हुए कि स्पर्शरेखा साइन से कोसाइन के अनुपात के बराबर है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि tg α \u003d y / x, और ctg α \u003d x / y। एक नकारात्मक समन्वय प्रणाली में कोणों को ध्यान में रखते हुए, यह गणना की जा सकती है कि कुछ कोणों के साइन और कोसाइन मान नकारात्मक हो सकते हैं।

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों का मान

सार मानते हुए त्रिकोणमितीय कार्ययूनिट सर्कल के माध्यम से, कुछ कोणों के लिए इन कार्यों के मूल्यों को प्राप्त किया जा सकता है। मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय पहचान

जिन समीकरणों में त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के नीचे कोई अज्ञात मान होता है उन्हें त्रिकोणमितीय कहते हैं। मान sin x = α के साथ सर्वसमिका, k कोई पूर्णांक है:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk।
3. पाप x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk।
4. पाप एक्स = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं।
5. पाप एक्स = ए, |ए| ≦ 1, x = (-1)^k * आर्क्सिन α + πk।

मान cos x = a के साथ सर्वसमिका, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk।
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk।
4. cos x = a, |a| > 1, कोई समाधान नहीं।
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk।

tg x = a के मान वाली सर्वसमिकाएँ, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. टीजी एक्स = 0, एक्स = π/2 + πk।
2. टीजी एक्स \u003d ए, एक्स \u003d आर्कटग α + πk।

मान ctg x = a के साथ सर्वसमिका, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. सीटीजी एक्स = 0, एक्स = π/2 + πk।
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk।

कास्ट सूत्र

यह श्रेणी निरंतर सूत्रउन विधियों को दर्शाता है जिनके द्वारा आप प्रपत्र के त्रिकोणमितीय कार्यों से तर्क के कार्यों तक जा सकते हैं, अर्थात, किसी भी मान के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेजेंट को 0 से अंतराल के कोण के संबंधित संकेतकों में परिवर्तित कर सकते हैं। गणना की अधिक सुविधा के लिए 90 डिग्री।

कोण की ज्या के लिए कार्यों को कम करने के सूत्र इस तरह दिखते हैं:

• पाप (900 - α) = α;
• पाप (900 + α) = cos α;
• पाप (1800 - α) = पाप α;
• पाप (1800 + α) = -पाप α;
• पाप (2700 - α) = -cos α;
• पाप (2700 + α) = -cos α;
• पाप (3600 - α) = -पाप α;
• पाप (3600 + α) = पाप α।

कोण के कोसाइन के लिए:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• कॉस (3600 - α) = कॉस α;
• कॉस (3600 + α) = कॉस α।

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग दो नियमों के अधीन संभव है। सबसे पहले, यदि कोण को मान (π/2 ± a) या (3π/2 ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है:

• पाप से कोस तक;
• क्योंकि पाप से;
• टीजी से सीटीजी तक;
• सीटीजी से टीजी तक।

यदि कोण को (π ± a) या (2π ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फलन का मान अपरिवर्तित रहता है।

दूसरे, घटे हुए कार्य का संकेत नहीं बदलता है: यदि यह शुरू में सकारात्मक था, तो ऐसा ही रहता है। नकारात्मक कार्यों के लिए भी यही सच है।

अतिरिक्त सूत्र

ये सूत्र उनके त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और योग के योग और दो रोटेशन कोणों के अंतर को व्यक्त करते हैं। कोणों को आमतौर पर α और β के रूप में दर्शाया जाता है।

सूत्र इस तरह दिखते हैं:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β)।
4. सीटीजी (α ± β) = (-1 ± सीटीजी α * सीटीजी β) / (सीटीजी α ± सीटीजी β)।

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं।

डबल और ट्रिपल कोण सूत्र

एक दोहरे और तिहरे कोण के त्रिकोणमितीय सूत्र वे सूत्र हैं जो कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए क्रमशः कोण 2α और 3α के कार्यों से संबंधित हैं। अतिरिक्त सूत्रों से व्युत्पन्न:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α।
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α)।
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α।
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα।
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)।

योग से उत्पाद में संक्रमण

यह मानते हुए कि 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), इस सूत्र को सरल बनाने पर, हम पहचान sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 प्राप्त करते हैं। इसी तरह, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

उत्पाद से योग में संक्रमण

ये सूत्र उत्पाद के योग के संक्रमण के लिए पहचान से अनुसरण करते हैं:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

कमी के सूत्र

इन सर्वसमिकाओं में, साइन और कोसाइन की वर्ग और घन शक्ति को एक बहु कोण की पहली शक्ति के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों को आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में व्यक्त करते हैं।

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), जबकि x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), जहाँ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), जहाँ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), जबकि x \u003d π + 2πn।

विशेष स्थितियां

सरलतम के विशेष मामले त्रिकोणमितीय समीकरणनीचे दिए गए हैं (k कोई पूर्णांक है)।

साइन के लिए निजी:

पाप एक्स मूल्य	एक्स मान
0	पी
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk या 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk या -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk या 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk या -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk या 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk या -2π/3 + 2πk

कोसाइन भागफल:

कॉस एक्स मूल्य	एक्स मान
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

स्पर्शरेखा के लिए निजी:

टीजी एक्स मूल्य	एक्स मान
0	पी
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

स्पर्शरेखा गुणांक:

सीटीजी एक्स मूल्य	एक्स मान
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

प्रमेयों

ज्या प्रमेय

प्रमेय के दो संस्करण हैं - सरल और विस्तारित। सरल ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. इस स्थिति में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α, β, γ क्रमशः विपरीत कोण हैं।

एक स्वेच्छ त्रिभुज के लिए विस्तारित ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R। इस पहचान में, R उस वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है जिसमें दिए गए त्रिभुज को अंकित किया गया है।

कोसाइन प्रमेय

पहचान इस प्रकार प्रदर्शित होती है: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α। सूत्र में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α विपरीत भुजा a का कोण है।

स्पर्शरेखा प्रमेय

सूत्र दो कोणों की स्पर्श रेखाओं और उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई के बीच के संबंध को व्यक्त करता है। पक्षों को ए, बी, सी, और संबंधित विपरीत कोण α, β, γ लेबल किया गया है। स्पर्शरेखा प्रमेय का सूत्र: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

स्पर्शरेखा प्रमेय

एक त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या को उसकी भुजाओं की लंबाई से संबद्ध करता है। यदि a, b, c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और A, B, C, क्रमशः उनके विपरीत कोण हैं, तो r खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या है, और p त्रिभुज की अर्ध-परिधि है, निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ पकड़:

• सीटीजी ए/2 = (पी-ए)/आर;
• सीटीजी बी/2 = (पी-बी)/आर;
• सीटीजी सी/2 = (पी-सी)/आर।

अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति केवल गणितीय सूत्रों से जुड़ा सैद्धांतिक विज्ञान नहीं है। इसके गुणों, प्रमेयों और नियमों का उपयोग विभिन्न उद्योगों द्वारा व्यवहार में किया जाता है मानवीय गतिविधि- खगोल विज्ञान, वायु और समुद्री नेविगेशन, संगीत सिद्धांत, भूगणित, रसायन विज्ञान, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला, अर्थशास्त्र, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, मापने का काम, कंप्यूटर चित्रलेख, नक्शानवीसी, समुद्र विज्ञान, और कई अन्य।

साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाएं हैं, जिनके साथ आप त्रिकोण में कोणों और भुजाओं की लंबाई के बीच के संबंध को गणितीय रूप से व्यक्त कर सकते हैं, और सर्वसमिकाओं, प्रमेयों और नियमों के माध्यम से वांछित मात्राएं पा सकते हैं।

साइन (), कोसाइन (), स्पर्शरेखा (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इनकी अच्छी समझ पाने के लिए, पहली नज़र में, जटिल अवधारणाएँ (जो कई स्कूली बच्चों में डरावनी स्थिति का कारण बनती हैं), और यह सुनिश्चित करने के लिए कि "शैतान उतना डरावना नहीं है जितना कि उसे चित्रित किया गया है", आइए शुरुआत से ही शुरू करें और कोण की अवधारणा को समझ सकेंगे।

कोण की अवधारणा: रेडियन, डिग्री

आइए तस्वीर देखें। वेक्टर एक निश्चित राशि से बिंदु के सापेक्ष "बदल गया"। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन का माप होगा कोना.

कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? ठीक है, कोण की इकाइयाँ, बिल्कुल!

कोण, ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में, डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।

वृत्त के भाग के बराबर वृत्ताकार चाप पर आधारित वृत्त में (एक डिग्री) कोण वृत्त का केंद्रीय कोण है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।

अर्थात्, ऊपर दिया गया चित्र एक कोण को दर्शाता है जो बराबर है, अर्थात यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है।

रेडियन में एक कोण एक वृत्त में केंद्रीय कोण कहलाता है, जो एक वृत्ताकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, क्या तुम समझ गए? अगर नहीं, तो आइए देखते हैं तस्वीर।

तो, आंकड़ा एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, अर्थात, यह कोण एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है (लंबाई लंबाई या त्रिज्या के बराबर है लंबाई के बराबरचाप)। इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

रेडियंस में केंद्रीय कोण कहां है।

खैर, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि एक वृत्त द्वारा वर्णित कोण में कितने रेडियन होते हैं? हां, इसके लिए आपको वृत्त की परिधि का सूत्र याद रखना होगा। ये रही वो:

अच्छा, अब इन दो सूत्रों को सहसंबंधित करते हैं और पाते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात, डिग्री और रेडियन में मान को सहसंबंधित करने पर हमें वह मिलता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द को छोड़ दिया गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।

रेडियन कितने होते हैं? यह सही है!

समझ गया? फिर आगे फास्ट करें:

कोई कठिनाई? फिर देखो जवाब:

समकोण त्रिभुज: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोण की कोटिस्पर्श रेखा

तो, कोण की अवधारणा के साथ पता चला। लेकिन एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श क्या है? आइए इसका पता लगाते हैं। इसके लिए एक समकोण त्रिभुज हमारी सहायता करेगा।

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह भुजा है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं और (जो आस-पास हैं समकोण), इसके अलावा, यदि हम पैरों को कोण के सापेक्ष मानते हैं, तो पैर आसन्न पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब हम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं?

एक कोण की ज्याकर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

एक कोण की कोसाइन- यह कर्ण के निकटवर्ती (करीब) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

एक कोण की कोटिस्पर्शज्या- यह आसन्न (करीब) पैर के विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर स्पर्शरेखाकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न;

स्पर्शरेखा → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श इन भुजाओं की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? तो तस्वीर देखकर यकीन कर लीजिए:

उदाहरण के लिए, एक कोण की कोसाइन पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज से: , लेकिन हम त्रिभुज से कोण के कोसाइन की गणना कर सकते हैं: . आप देखते हैं, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोने के लिए समान गणना करें।

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने त्रिज्या के बराबर एक वृत्त पर विचार किया। ऐसा घेरा कहलाता है अकेला. त्रिकोणमिति के अध्ययन में यह बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केन्द्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय की गई है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।

सर्कल का प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय और अक्ष के साथ समन्वय। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें विषय के साथ क्या करना है? ऐसा करने के लिए, माना समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।

एक त्रिभुज के बराबर क्या है? यह सही है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और इसलिए, . इस मान को हमारे कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

और त्रिभुज से बराबर क्या है? बेशक, ! त्रिज्या के मान को इस सूत्र में बदलें और प्राप्त करें:

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि उस बिंदु के निर्देशांक क्या हैं जो वृत्त से संबंधित है? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? और अगर आपको इसका एहसास है और केवल संख्याएं हैं? यह किस समन्वय से मेल खाता है? खैर, बिल्कुल, समन्वय! यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, समन्वय करें! इस प्रकार, बिंदु।

और फिर क्या बराबर हैं और? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें, a।

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

में क्या बदला है यह उदाहरण? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: एक कोण (एक कोण के सन्निकट के रूप में)। किसी कोण के साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श का मान क्या होता है? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय कार्यों की संबंधित परिभाषाओं का पालन करते हैं:

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण के कोसाइन का मान - निर्देशांक; और इसी अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया गया है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस सदिश को वामावर्त घुमाया है, लेकिन यदि हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएँ तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल ऋणात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाने पर - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि सर्कल के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की पूरी क्रांति या है। क्या त्रिज्या वेक्टर को घुमाना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, यानी त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण या (जहाँ कोई पूर्णांक है) से भिन्न हैं, वे त्रिज्या सदिश की समान स्थिति के अनुरूप हैं।

नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। वही छवि कोने से मेल खाती है, और इसी तरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है या (जहाँ कोई पूर्णांक है)

अब, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करने का उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

यहाँ से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, क्रम में शुरू करते हैं: कोने पर निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है, इसलिए:

मौजूद नहीं होना;

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले स्वयं प्रयास करें, फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

इस प्रकार, हम निम्न तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की जरूरत नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान और, नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद किया जाना चाहिए:

डरो मत, अब हम एक उदाहरण दिखाएंगे बल्कि संबंधित मूल्यों का सरल संस्मरण:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण के तीनों मापों () के लिए साइन के मूल्यों को याद रखना महत्वपूर्ण है, साथ ही कोण के स्पर्शरेखा के मान को भी याद रखना चाहिए। इन मूल्यों को जानने के बाद, पूरी तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मूल्यों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात:

यह जानकर, आप मूल्यों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " मेल खाएगा और हर " " मेल खाएगा। चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार स्पर्शरेखा मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीरों के साथ आरेख को याद करते हैं, तो यह तालिका से संपूर्ण मान को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या एक वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानना?

खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! चलो बाहर ले आओ सामान्य सूत्रएक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए.

यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक चक्र है:

हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। बिंदु को डिग्री से घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का समन्वय खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई सर्कल के केंद्र के समन्वय से मेल खाती है, अर्थात यह इसके बराबर है। कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके एक खंड की लंबाई व्यक्त की जा सकती है:

फिर हमारे पास उस बिंदु के लिए निर्देशांक है।

उसी तर्क से, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार,

तो में सामान्य रूप से देखेंबिंदु निर्देशांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

सर्किल केंद्र निर्देशांक,

सर्कल त्रिज्या,

त्रिज्या सदिश के घूर्णन का कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यूनिट सर्कल के लिए हम विचार कर रहे हैं, ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

ठीक है, आइए इन सूत्रों को स्वाद के लिए आज़माएं, एक वृत्त पर बिंदु खोजने का अभ्यास करें?

1. किसी बिंदु को चालू करके प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2. किसी बिंदु को घुमाने पर प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3. किसी बिंदु को चालू करके प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

4. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

5. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

किसी वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक खोजने में समस्या हो रही है?

इन पांच उदाहरणों को हल करें (या समाधान को अच्छी तरह से समझें) और आप उन्हें खोजना सीखेंगे!

1.

यह देखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के पूर्ण मोड़ से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:

2. वृत्त एक बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है। हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के दो पूर्ण घुमावों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:

साइन और कोसाइन सारणीबद्ध मान हैं। हम उनके मूल्यों को याद करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

3. वृत्त एक बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है। आइए चित्र में विचार किए गए उदाहरण को चित्रित करें:

त्रिज्या और के बराबर अक्ष के साथ कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के सारणीबद्ध मान समान हैं, और यह निर्धारित करने के बाद कि कोसाइन यहाँ एक नकारात्मक मान लेता है, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास:

विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय इसी तरह के उदाहरणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

4.

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)

साइन और कोसाइन के संबंधित संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम एक यूनिट सर्कल और कोण बनाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल्य, जो कि सकारात्मक है, और मूल्य, जो नकारात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में बदलें और निर्देशांक खोजें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ

सर्कल के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,

सर्कल त्रिज्या (शर्त के अनुसार)

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)।

सभी मानों को सूत्र में बदलें और प्राप्त करें:

और - तालिका मान। हम उन्हें याद करते हैं और सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

सारांश और बुनियादी सूत्र

एक कोण की ज्या कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

एक कोण का कोज्या कर्ण के सन्निकट (करीब) पैर का अनुपात है।

एक कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

एक कोण की कोटिस्पर्श रेखा सन्निकट (निकट) पाद और विपरीत (दूर) का अनुपात है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका

टिप्पणी. त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की यह तालिका निरूपित करने के लिए √ चिह्न का उपयोग करती है वर्गमूल. एक अंश को निरूपित करने के लिए - प्रतीक "/"।

यह सभी देखेंउपयोगी सामग्री:

के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान निर्धारित करना, इसे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को इंगित करने वाली रेखा के चौराहे पर खोजें। उदाहरण के लिए, 30 डिग्री साइन - हम शीर्ष पाप (साइन) के साथ एक कॉलम की तलाश कर रहे हैं और तालिका के इस कॉलम के चौराहे को "30 डिग्री" लाइन के साथ पाते हैं, उनके चौराहे पर हम परिणाम पढ़ते हैं - एक दूसरा। इसी प्रकार, हम पाते हैं कोसाइन 60डिग्री, ज्या 60डिग्री (एक बार फिर, साइन (साइन) कॉलम और 60 डिग्री पंक्ति के चौराहे पर, हम मूल्य पाप 60 = √3/2), आदि पाते हैं। इसी तरह, अन्य "लोकप्रिय" कोणों की ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखा के मान पाए जाते हैं।

पाई की ज्या, पाई की कोज्या, पाई की स्पर्शरेखा और रेडियन में अन्य कोण

त्रिकोणमितीय कार्यों का मान ज्ञात करने के लिए कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखाओं की तालिका भी उपयुक्त है जिसका तर्क है रेडियंस में दिया गया. ऐसा करने के लिए, कोण मानों के दूसरे स्तंभ का उपयोग करें। इसके लिए धन्यवाद, आप लोकप्रिय कोणों के मान को डिग्री से रेडियन में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए पहली पंक्ति में 60 डिग्री का कोण ज्ञात करें और उसके नीचे रेडियन में उसका मान पढ़ें। 60 डिग्री π/3 रेडियन के बराबर है।

संख्या पाई विशिष्ट रूप से परिधि की निर्भरता को व्यक्त करती है डिग्री मापकोण। तो पाई रेडियन 180 डिग्री के बराबर होता है।

पाई (रेडियन) के संदर्भ में व्यक्त की गई किसी भी संख्या को 180 के साथ संख्या पाई (π) के स्थान पर आसानी से डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है।.

उदाहरण:
1. साइन पाई.
पाप π = पाप 180 = 0
इस प्रकार, पाई की ज्या 180 डिग्री की ज्या के समान है और शून्य के बराबर है।

2. कोसाइन पाई.
cos π = cos 180 = -1
इस प्रकार, पाई का कोसाइन 180 डिग्री के कोसाइन के समान है और माइनस वन के बराबर है।

3. स्पर्शरेखा पाई
टीजी π = टीजी 180 = 0
इस प्रकार, पाई की स्पर्शरेखा 180 डिग्री की स्पर्शरेखा के समान है और शून्य के बराबर है।

0 - 360 डिग्री (लगातार मान) कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा मान की तालिका

कोण α (डिग्री)	कोण α रेडियंस में (पीआई के माध्यम से)	पाप (साइनस)	ओल (कोसाइन)	टीजी (स्पर्शरेखा)	सीटीजी (कोस्पर्शरेखा)	सेकंड (सेकेंट)	कारण (व्युत्क्रमज्या)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

यदि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में, फ़ंक्शन के मान के बजाय, एक डैश इंगित किया गया है (स्पर्शरेखा (tg) 90 डिग्री, cotangent (ctg) 180 डिग्री), तब जब दिया गया मूल्यकोण फ़ंक्शन के डिग्री माप का कोई निश्चित अर्थ नहीं है। यदि कोई डैश नहीं है - सेल खाली है, तो हमने अभी तक प्रवेश नहीं किया है वांछित मूल्य. हम इस बात में रुचि रखते हैं कि उपयोगकर्ता किस अनुरोध के लिए हमारे पास आते हैं और नए मूल्यों के साथ तालिका को पूरक करते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सबसे आम कोण मूल्यों के कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा के मूल्यों पर वर्तमान डेटा अधिकांश को हल करने के लिए पर्याप्त है समस्या।

सबसे लोकप्रिय कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों पाप, कॉस, टीजी के मूल्यों की तालिका
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 डिग्री
(संख्यात्मक मान "ब्रैडीस टेबल के अनुसार")

कोण मान α (डिग्री)	रेडियन में कोण α का मान	पाप (साइन)	क्योंकि (कोसाइन)	टीजी (स्पर्शरेखा)	सीटीजी (कोटिस्पर्श)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श क्या है, इससे आपको समकोण त्रिभुज को समझने में मदद मिलेगी।

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह भुजा \ (AC \) है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं \ (AB \) और \ (BC \) (जो समकोण के समीप हैं), इसके अलावा, यदि हम कोण \ (BC \) के संबंध में पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर \ (AB \) आसन्न पैर है, और पैर \ (BC \) विपरीत है। तो, अब हम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं?

एक कोण की ज्या- यह कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

एक कोण की कोसाइन- यह कर्ण के निकटवर्ती (करीब) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

एक कोण की कोटिस्पर्शज्या- यह आसन्न (करीब) पैर के विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर स्पर्शरेखाकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न;

स्पर्शरेखा → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श इन भुजाओं की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? तो तस्वीर देखकर यकीन कर लीजिए:

उदाहरण के लिए, कोण \(\beta \) की कोसाइन पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज \(ABC \) से : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), लेकिन हम त्रिभुज \(AHI \) से कोण \(\beta \) की कोसाइन की गणना कर सकते हैं: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). आप देखते हैं, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

त्रिभुज \(ABC \) के लिए, नीचे चित्र में दिखाया गया है, हम पाते हैं \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(सरणी) \)

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोण \(\beta \) के लिए इसकी गणना करें।

उत्तर: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \\beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने \ (1 \) के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसा घेरा कहलाता है अकेला. त्रिकोणमिति के अध्ययन में यह बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केन्द्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय की गई है (हमारे उदाहरण में, यह है त्रिज्या \(AB \) ).

सर्कल पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय (x \) और अक्ष के साथ समन्वय \ (y \) । ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें विषय के साथ क्या करना है? ऐसा करने के लिए, माना समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। त्रिभुज \(ACG \) पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि \(CG \) \(x \) अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज \(ACG \) से \(\cos \ \alpha \) क्या है? यह सही है \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). इसके अलावा, हम जानते हैं कि \(AC \) इकाई वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए \(AC=1 \) । इस मान को हमारे कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

और त्रिभुज \(ACG \) से \(\sin \ \alpha \) क्या है? बेशक, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! इस सूत्र में त्रिज्या \ (AC \) का मान रखें और प्राप्त करें:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि वृत्त के अंतर्गत आने वाले बिंदु \(C \) के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? लेकिन क्या होगा अगर आपको एहसास हो कि \(\cos \ \alpha \) और \(\sin \alpha \) सिर्फ संख्याएं हैं? \(\cos \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? ठीक है, निश्चित रूप से, निर्देशांक \(x \) ! और \(\sin \alpha \) किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, \(y \) निर्देशांक! तो बिंदु \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

तब \(tg \alpha \) और \(ctg \alpha \) क्या हैं? यह सही है, चलो स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ए \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदला है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : एक कोण (कोण \(\beta \) के सन्निकट)। एक कोण के लिए ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श का मान क्या है \(((सी)_(1))((ए)_(1))जी=180()^\circ -\बीटा \\)? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय कार्यों की संबंधित परिभाषाओं का पालन करते हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (ए)_(1))((सी)_(1)))=\dfrac(((सी)_(1))जी)(1)=((सी)_(1))जी=वाई; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((सी)_(1))=\dfrac(((ए)_(1))जी)(1)=((ए)_(1))जी=x;\\tg\angle ((सी )_(1))((ए)_(1))जी=\dfrac(((सी)_(1))जी)(((ए)_(1))जी)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((सी)_(1))((ए)_(1))जी=\dfrac(((ए)_(1))जी)(((सी)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(सरणी) \)

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक \ (y \) के अनुरूप है; कोण के कोज्या का मान - निर्देशांक \ (x \); और इसी अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस सदिश को वामावर्त घुमाया है, लेकिन यदि हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएँ तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल ऋणात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाने पर - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि सर्कल के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की पूरी क्रांति \(360()^\circ \) या \(2\pi \) है। क्या त्रिज्या वेक्टर को \(390()^\circ \) या \(-1140()^\circ \) द्वारा घुमाना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! पहले मामले में, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), इसलिए रेडियस वेक्टर एक पूरा चक्कर लगाएगा और \(30()^\circ \) या \(\dfrac(\pi )(6) \) पर रुकेगा।

दूसरे मामले में, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), अर्थात, त्रिज्या सदिश तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और \(-60()^\circ \) या \(-\dfrac(\pi )(3) \) स्थिति पर रुकेगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण \(360()^\circ \cdot m \) या \(2\pi \cdot m \) से भिन्न होते हैं (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप।

नीचे दिया गया चित्र कोण \(\beta =-60()^\circ \) दिखाता है। वही छवि कोने से मेल खाती है \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)वगैरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है \(\बीटा +360()^\circ \cdot m \)या \(\beta +2\pi \cdot m \) (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(सरणी) \)

अब, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करने का उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

\(\शुरू(सरणी)(एल)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(सरणी) \)

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(सरणी) \)

यहाँ से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने में \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है \(\बाएं(0;1 \दाएं) \) , इसलिए:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \);

\(\cos 90()^\circ =x=0 \);

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- मौजूद नहीं होना;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने अंदर हैं \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप \(\बाएं(-1;0 \दाएं),\पाठ()\बाएं(0;-1 \दाएं),\पाठ()\बाएं(1;0 \दाएं),\पाठ() \बाएं(0 ;1 \दाहिना) \), क्रमश। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले स्वयं प्रयास करें, फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \बाएं(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

इस प्रकार, हम निम्न तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की जरूरत नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

\(\लेफ्ट। dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(याद रखने या आउटपुट करने में सक्षम होने की आवश्यकता है !! \) !}

और यहाँ कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान हैं और \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)नीचे दी गई तालिका में, आपको याद रखना चाहिए:

डरने की जरूरत नहीं है, अब हम संबंधित मूल्यों के काफी सरल संस्मरण के उदाहरणों में से एक दिखाएंगे:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, तीनों कोण उपायों के लिए साइन मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), साथ ही \(30()^\circ \) में कोण के स्पर्शरेखा का मान। इन \(4\) मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मानों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2) \ \ end (सरणी) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), यह जानकर, मूल्यों को पुनर्स्थापित करना संभव है \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश "\(1 \)" \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) से मेल खाएगा, और भाजक "\(\sqrt(\text(3)) \)" \ से मेल खाएगा (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) । चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार स्पर्शरेखा मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ योजना को याद करते हैं, तो यह तालिका से केवल \(4\) मान याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या सर्कल के केंद्र के निर्देशांक, इसकी त्रिज्या और रोटेशन के कोण को जानते हुए, एक सर्कल पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! आइए एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें। यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक चक्र है:

हमें वह बिंदु दिया गया है \(के(((x)_(0));((y)_(0)))=के(3;2) \)वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या \(1,5 \) है। बिंदु \(O\) को \(\delta\) डिग्री घुमाकर प्राप्त बिंदु \(P\) के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु \ (P \) का निर्देशांक \ (x \) खंड \ (TP=UQ=UK+KQ \) की लंबाई से मेल खाता है। खंड \ (यूके \) की लंबाई सर्कल के केंद्र के समन्वय \ (x \) से मेल खाती है, अर्थात यह \ (3 \) के बराबर है। कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके खंड \ (KQ \) की लंबाई व्यक्त की जा सकती है:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

फिर हमारे पास बिंदु \(P \) के लिए निर्देशांक है \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

उसी तर्क से, हम बिंदु \(P\) के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

तो, सामान्य शब्दों में, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \ डेल्टा \ अंत (सरणी) \), कहाँ

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

\(r\) - वृत्त की त्रिज्या,

\(\delta \) - सदिश त्रिज्या का घूर्णन कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यूनिट सर्कल के लिए हम विचार कर रहे हैं, ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(सरणी) \)

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