नॉक खोजने के लिए नंबर। संख्याओं का नोड और नोक - सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और कई संख्याओं का कम से कम सामान्य गुणक

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य सीधे उन संख्याओं के महत्तम समापवर्तक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच लिंकनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्त्य a और b के गुणनफल के बराबर होता है जो a और b के महत्तम समापवर्तक से विभाजित होता है, अर्थात, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी).

सबूत।

होने देना M संख्या a और b का कुछ गुणक है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k है जैसे कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M भी b से विभाज्य है, तो a k, b से विभाज्य है।

gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। फिर हम समानताएँ a=a 1 ·d और b=b 1 ·d लिख सकते हैं, और a 1 =a:d और b 1 =b:d सहअभाज्य संख्याएँ होंगी। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त यह है कि a k, b से विभाज्य है, इसे निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: a 1 d k, b 1 d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के कारण, इस शर्त के बराबर है कि a 1 k b 1 से विभाज्य है।

हमें विचारित प्रमेय से दो महत्वपूर्ण परिणाम लिखने की भी आवश्यकता है।

दो संख्याओं के सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणज के समान होते हैं।

यह सत्य है, क्योंकि M संख्याओं a और b का कोई भी उभयनिष्ठ गुणज कुछ पूर्णांक मान t के लिए समानता M=LCM(a, b) t द्वारा परिभाषित किया गया है।

कोप्राइम धनात्मक संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर है।

इस तथ्य का तर्क बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, तब gcd(a, b)=1 , इसलिए, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी) = ए बी: 1 = ए बी.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने को क्रमशः दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए कम किया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है a 1 , a 2 , ..., a k संख्याओं के सामान्य गुणकों m k-1 और a k के साथ मेल खाता है, इसलिए, m k के गुणकों के साथ मेल खाता है। और चूंकि संख्या m k का लघुत्तम धनात्मक गुणक स्वयं संख्या m k है, तो संख्याओं a 1 , a 2 , ..., a k का लघुत्तम समापवर्तक m k है।

ग्रंथ सूची।

• विलेनकिन एन.वाई. आदि गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल तत्व।
• मिखेलोविच श.ख. संख्या सिद्धांत।
• कुलिकोव एल.वाई. और अन्य बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलभौतिकी और गणित के छात्रों के लिए। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के तीन तरीकों पर विचार करें।

फैक्टरिंग द्वारा ढूँढना

पहला तरीका यह है कि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों में गुणनखण्ड करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जाए।

मान लीजिए कि हमें संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

वांछित संख्या 99, 30 और 28 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन विभाजकों के सभी प्रमुख कारक शामिल हैं। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी प्रमुख कारकों को उच्चतम होने वाली शक्ति तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

तो एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या समान रूप से 99, 30, या 28 से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करने की आवश्यकता है, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को उस सबसे बड़े घातांक के साथ लें जिसके साथ वह घटित होता है, और इन गुणनखंडों को आपस में गुणा करें।

क्योंकि यह पारस्परिक है प्रमुख संख्यासामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 कोप्राइम हैं। इसीलिए

लघुत्तम समापवर्त्य (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

विभिन्न प्राइम्स के कम से कम सामान्य गुणकों की तलाश करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, लघुत्तम समापवर्त्य (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरा तरीका फिटिंग द्वारा कम से कम सामान्य गुणक खोजना है।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या अन्य दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है, तो इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनमें से बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6। उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एनओसी (60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, संख्याएँ खोजें जो गुणक हैं सबसे बड़ी संख्या, इसे आरोही क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करना और जाँचना कि क्या शेष दी गई संख्याएँ परिणामी गुणनफल से विभाज्य हैं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। उनमें से सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करें - यह संख्या 24 है। इसके बाद, 24 के गुणकों को खोजें, जाँच करें कि क्या उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है:

24 1 = 24 3 से विभाज्य है लेकिन 18 से विभाज्य नहीं है।

24 2 = 48 - 3 से विभाज्य लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 3 \u003d 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

अतः ल.स.प.(24, 3, 18) = 72।

अनुक्रमिक खोज एलसीएम द्वारा ढूँढना

तीसरा तरीका यह है कि लघुत्तम समापवर्त्य को क्रमशः लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करके ज्ञात किया जाए।

दी गई दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है जो उनके सबसे बड़े समापवर्तक से विभाजित होता है।

उदाहरण 1. दी गई दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए: 12 और 8। उनका महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए: GCD (12, 8) = 4। इन संख्याओं का गुणा कीजिए:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

अतः ल.स.प.(12, 8) = 24।

तीन या अधिक संख्याओं का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. सबसे पहले, दी गई संख्याओं में से किन्हीं दो का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जाता है।
2. फिर, लघुत्तम समापवर्त्य और तीसरी दी गई संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य।
3. फिर, परिणामी लघुत्तम समापवर्त्य और चौथी संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य, और इसी तरह आगे।
4. इस प्रकार LCM खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण 2. लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए तीन डेटासंख्याएँ: 12, 8 और 9। संख्याओं 12 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य हम पहले ही पिछले उदाहरण में प्राप्त कर चुके हैं (यह संख्या 24 है)। यह 24 का लघुत्तम समापवर्तक और दी गई तीसरी संख्या - 9 का पता लगाना बाकी है। उनका सबसे बड़ा सार्व भाजक निर्धारित करें: gcd (24, 9) = 3। LCM को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

अतः ल.स.प.(12, 8, 9) = 72।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृतिक संख्या एक प्राकृतिक संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का विभाजक कहा जाता है, और संख्या $a$ को $b$ का गुणक कहा जाता है।

$a$ और $b$ को प्राकृतिक संख्या होने दें। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों के लिए एक सामान्य भाजक कहा जाता है।

संख्या $a$ और $b$ के सामान्य विभाजक का सेट परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से अधिक नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन विभाजकों में सबसे बड़ा है, जिसे $a$ और $b$ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक कहा जाता है, और इसे निरूपित करने के लिए अंकन का उपयोग किया जाता है:

$gcd \ (ए; बी) \ ​​या \ डी \ (ए; बी) $

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए:

1. चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित महत्तम समापवर्तक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132.$ संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं का चयन करें जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित महत्तम समापवर्तक होगी।

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

मोनोमियल $63$ और $81$ का GCD ज्ञात करें।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य विभाजक होगा।

$gcd=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के विभाजकों के सेट का उपयोग करके दो नंबरों का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।

समाधान:

$48$ के विभाजकों का समूह ज्ञात करें: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

अब आइए $60$:$\ \बाएं\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$ के विभाजकों का सेट ढूंढें

आइए इन सेटों का प्रतिच्छेदन खोजें: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - यह सेट $48$ और $60 संख्याओं के सामान्य भाजक का सेट निर्धारित करेगा $। इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ होगा। तो $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक $12$ है।

एनओसी की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य गुणक$a$ और $b$ एक प्राकृतिक संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणक है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो बिना शेष के मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $25$ और $50$ संख्याओं के लिए, सामान्य गुणज संख्याएँ $50,100,150,200$, आदि होंगी।

लघुत्तम समापवर्त्य को लघुत्तम समापवर्त्य कहा जाएगा और LCM$(a;b)$ या K$(a;b).$ द्वारा निरूपित किया जाएगा।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें
2. उन कारकों को लिखें जो पहली संख्या का हिस्सा हैं और उन कारकों को जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर न जाएं

उदाहरण 4

संख्या $99$ और $77$ का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में सम्मिलित कारकों को लिखिए

उन कारकों को जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर न जाएं

चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्तक होगी

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के विभाजकों की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। GCD को खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिड का एल्गोरिथम कहा जाता है।

कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

अगर $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएं हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएं हैं जैसे कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम संख्याओं की संख्या को क्रमिक रूप से कम कर सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते हैं, जैसे कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य है। तब इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य विभाजक होगा।

जीसीडी और एलसीएम के गुण

1. $a$ और $b$ का कोई भी सामान्य गुणक K$(a;b)$ से विभाज्य है
2. अगर $a\vdots b$ , तो K$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$- प्राकृतिक संख्या, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$ $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

अगर $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का एक सामान्य गुणक है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य विभाजक $D(a;b)$ का भाजक है

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी भी अन्य संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य विभाजक और कम से कम सामान्य गुणक को जल्दी से खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलक्यूलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट फ़ील्ड में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग से हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे डालें

• संख्याएँ रिक्त स्थान, बिंदुओं या अल्पविराम से अलग करके दर्ज की जाती हैं
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm निकालना मुश्किल नहीं होगा

NOD और NOK क्या है?

महत्तम सामान्य भाजककई संख्याओं का सबसे बड़ा प्राकृतिक पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ शेष के बिना विभाज्य हैं। सबसे बड़ा सामान्य विभाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
न्यूनतम समापवर्तककई संख्याएँ सबसे छोटी संख्या होती हैं जो बिना शेष के प्रत्येक मूल संख्या से विभाज्य होती हैं। लघुत्तम समापवर्त्य को संक्षिप्त रूप में लिखा जाता है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

यह कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें जोड़कर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ संकेत

1. किसी संख्या की 2 से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखना पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक को देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं दोबारा।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पाँच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक को देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 9 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो नंबरों का जीसीडी कैसे पता करें

अधिकांश सरल तरीके सेदो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करना उन संख्याओं के सभी संभावित विभाजकों को खोजना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंडन करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम सामान्य गुणनखंड पाते हैं, अर्थात वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणकों को लिख सकते हैं, और फिर उनमें से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों का GCD निकालना है। आइए इस पर विचार करें।

LCM की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले प्राप्त GCD से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम (28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए GCD और LCM ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य विभाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल निकाला जाता है। साथ ही, कई संख्याओं का GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

समान संबंध संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए जीसीडी और एलसीएम खोजें।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखण्ड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 ।
2. आइए सामान्य कारक खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब LCM ज्ञात करें: इसके लिए हम पहले LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 ज्ञात करते हैं।
5. तीनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 ज्ञात करना होगा।
6. ल.स.प.(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो बिना शेषफल के दी गई संख्या से विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो समूह में प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य है। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। साथ ही, LCM की गणना कई अन्य विधियों का उपयोग करके की जा सकती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की संख्या

इन नंबरों को देखें।यहाँ वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी गई हों, प्रत्येक संख्या 10 से कम हो। यदि दी गई हो बड़ी संख्या, दूसरी विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, संख्याओं 5 और 8 का लघुतम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए इस विधि का उपयोग किया जा सकता है।

1. किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो बिना शेषफल के दी गई संख्या से विभाज्य होती है। गुणन तालिका में एकाधिक संख्याएँ पाई जा सकती हैं।

   • उदाहरण के लिए, संख्याएँ जो 5 की गुणज हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो पंक्तियों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणकों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, संख्याएँ जो 8 की गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. गुणकों की दोनों श्रृंखलाओं में आने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।खोजने के लिए आपको गुणकों की लंबी श्रृंखला लिखनी पड़ सकती है कुल गणना. गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में आने वाली सबसे छोटी संख्या लघुत्तम समापवर्तक होती है।

   • उदाहरण के लिए, सबसे छोटी संख्या, जो 5 और 8 के गुणकों की श्रृंखला में प्रकट होता है, संख्या 40 है। इसलिए, 40 संख्याओं 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्तक है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखें।यहाँ वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी गई हों जो दोनों 10 से अधिक हों। यदि छोटी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक भिन्न विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याओं 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए इस विधि का उपयोग किया जा सकता है।

   2. पहली संख्या को फ़ैक्टराइज़ करें।अर्थात्, आपको ऐसी अभाज्य संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है, जब गुणा किया जाता है, तो आपको एक दी गई संख्या मिलती है। प्रमुख कारकों को खोजने के बाद, उन्हें एक समानता के रूप में लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). इस प्रकार, संख्या 20 के प्रमुख गुणनखंड संख्या 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   3. दूसरी संख्या को प्रमुख कारकों में विभाजित करें।इसे उसी तरह से करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया है, अर्थात ऐसी अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करें जिन्हें गुणा करने पर यह संख्या प्राप्त हो।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के प्रमुख गुणनखंड संख्या 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखें:।

   4. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखण्ड लिखिए।गुणन संक्रिया के रूप में ऐसे कारकों को लिखिए। जैसा कि आप प्रत्येक कारक लिखते हैं, इसे दोनों भावों में पार करें (अभिव्यक्तियाँ जो संख्याओं के अपघटन को प्रमुख कारकों में वर्णित करती हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का सार्व गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखिए 2 × (\displaystyle 2\times )और दोनों व्यंजकों में 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखिए 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)और दोनों व्यंजकों में दूसरे 2 को काट दें।

   5. गुणा ऑपरेशन में शेष कारकों को जोड़ें।ये ऐसे कारक हैं जो दोनों अभिव्यक्तियों में पार नहीं किए गए हैं, अर्थात ऐसे कारक जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)दोनों ड्यूस (2) भी काट दिए गए हैं। गुणनखंड 7 और 3 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं का गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्तक 420 है।

   सामान्य विभाजक ढूँढना

   1. टिक-टैक-टो के खेल के लिए आप एक ग्रिड बनाएं।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएँ होती हैं जो दो अन्य समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इसका परिणाम तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों में होगा (ग्रिड बहुत हद तक # चिन्ह जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहली संख्या लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरी संख्या लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में 18 लिखिए, और पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में 30 लिखिए।

   2. दोनों संख्याओं का भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिख लें। प्रधान विभाजकों की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई पूर्वापेक्षा नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका सामान्य भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को पहले भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के नीचे लिखो। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), तो 9 को 18 के नीचे लिखो।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), इसलिए 15 को 30 के नीचे लिखें।

   4. दोनों भागफलों के लिए सामान्य भाजक खोजें।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। में अन्यथाभाजक को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए 3 को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संगत भागफल के अंतर्गत लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 को 9 के नीचे लिखें।
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), तो 5 को 15 के नीचे लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि भागफल एक सामान्य भाजक न हो।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति की संख्याओं पर गोला लगाएं।फिर हाइलाइट की गई संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, नंबर 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और नंबर 3 और 5 आखिरी पंक्ति में हैं, इसलिए गुणा ऑपरेशन इस तरह लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिदम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। विभाजक वह संख्या है जिससे भाग देना है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेष वह संख्या है जब दो संख्याओं को विभाजित किया जाता है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)आराम। 3:
        15 विभाज्य है
        6 भाजक है
        2 निजी है
        3 शेष है।