विभिन्न आधारों वाले घातीय समीकरणों को कैसे हल करें। घातीय समीकरण

उदाहरण:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

किसी भी घातीय समीकरण को हल करते समय, हम इसे \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) के रूप में लाने का प्रयास करते हैं, और फिर संकेतकों की समानता के लिए संक्रमण करते हैं, अर्थात्:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

उदाहरण के लिए:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

महत्वपूर्ण! उसी तर्क से, इस तरह के संक्रमण के लिए दो आवश्यकताएं होती हैं:
- संख्या में बाएँ और दाएँ समान होना चाहिए;
- डिग्री बाएँ और दाएँ "शुद्ध" होना चाहिए, यानी कोई भी गुणा, भाग आदि नहीं होना चाहिए।

उदाहरण के लिए:

समीकरण को इस रूप में लाने के लिए \(a^(f(x))=a^(g(x))\) और उपयोग किया जाता है।

उदाहरण . घातीय समीकरण को हल करें \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
समाधान:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		हम जानते हैं कि \(27 = 3^3\). इसे ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण बदलते हैं।
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		मूल \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) के गुण से हमें वह मिलता है \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). आगे, डिग्री गुण \((a^b)^c=a^(bc)\) का प्रयोग करके, हमें \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( प्राप्त होता है। 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		हम यह भी जानते हैं कि \(a^b a^c=a^(b+c)\). इसे बाईं ओर लागू करने पर, हम पाते हैं: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		अब याद रखें कि: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). में भी इस सूत्र का प्रयोग किया जा सकता है विपरीत पक्ष: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). तब \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		संपत्ति \((a^b)^c=a^(bc)\) को दाईं ओर लागू करने पर, हम पाते हैं: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		और अब हमारे पास समान आधार हैं और कोई हस्तक्षेप करने वाले गुणांक आदि नहीं हैं। तो हम संक्रमण कर सकते हैं।
		उदाहरण . घातीय समीकरण को हल करें \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) समाधान: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) फिर से हम विपरीत दिशा में डिग्री गुण \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) का उपयोग करते हैं। \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) अब याद रखें कि \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम रूपांतरित करते हैं: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) हम समीकरण को ध्यान से देखते हैं, और हम देखते हैं कि प्रतिस्थापन \(t=2^x\) खुद को यहां सुझाता है। \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) हालाँकि, हमें \ (t \) मान मिले, और हमें \ (x \) की आवश्यकता है। हम रिवर्स प्रतिस्थापन करते हुए एक्स पर लौटते हैं। \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) हम संपत्ति का उपयोग करके दूसरे समीकरण को बदलते हैं नकारात्मक डिग्री… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...और उत्तर तक हल करें। \(x_1=1\) \(x_2=-1\) उत्तर : \(-1; 1\). प्रश्न बना रहता है - कैसे समझें कि कब किस विधि को लागू किया जाए? यह अनुभव के साथ आता है। इस बीच, आपने इसे हल नहीं किया है, हल करने के लिए सामान्य अनुशंसा का उपयोग करें चुनौतीपूर्ण कार्य"यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं।" यही है, देखें कि आप समीकरण को सिद्धांत रूप में कैसे बदल सकते हैं, और इसे करने का प्रयास करें - क्या होगा यदि यह बाहर आता है? मुख्य बात केवल गणितीय रूप से उचित परिवर्तन करना है। समाधान के बिना घातीय समीकरण आइए दो और स्थितियों पर गौर करें जो अक्सर छात्रों को परेशान करती हैं: - घात के लिए धनात्मक संख्या शून्य के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, \(2^x=0\); - घात की धनात्मक संख्या ऋणात्मक संख्या के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, \(2^x=-4\). आइए इसे क्रूर बल द्वारा हल करने का प्रयास करें। यदि x एक धनात्मक संख्या है, तो जैसे-जैसे x बढ़ता है, पूरी शक्ति \(2^x\) केवल बढ़ेगी: \ (एक्स = 1 \); \(2^1=2\) \ (एक्स = 2 \); \(2^2=4\) \ (एक्स = 3 \); \(2^3=8\). \ (एक्स = 0 \); \(2^0=1\) विगत भी। ऋणात्मक x हैं। संपत्ति \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) को याद रखते हुए, हम जांचते हैं: \ (एक्स = -1 \); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \ (एक्स = -2 \); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \ (एक्स = -3 \); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) इस तथ्य के बावजूद कि संख्या प्रत्येक चरण के साथ छोटी होती जाती है, यह कभी भी शून्य तक नहीं पहुंचेगी। तो नकारात्मक डिग्री ने भी हमें नहीं बचाया। हम एक तार्किक निष्कर्ष पर आते हैं: किसी भी शक्ति के लिए एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या बनी रहेगी। इस प्रकार, उपरोक्त दोनों समीकरणों का कोई हल नहीं है। विभिन्न आधारों के साथ घातीय समीकरण व्यवहार में, कभी-कभी होते हैं घातीय समीकरणसाथ अलग मैदान, एक दूसरे के लिए कम नहीं, और एक ही समय में एक ही घातांक के साथ। वे इस तरह दिखते हैं: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), जहां \(a\) और \(b\) धनात्मक संख्याएं हैं। उदाहरण के लिए: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) इस तरह के समीकरणों को समीकरण के किसी भी भाग से विभाजित करके आसानी से हल किया जा सकता है (आमतौर पर दाईं ओर से विभाजित किया जाता है, अर्थात \ (b ^ (f (x)) \)। आप इस तरह से विभाजित कर सकते हैं, क्योंकि एक सकारात्मक संख्या किसी भी डिग्री के लिए सकारात्मक है (अर्थात, हम शून्य से विभाजित नहीं होते हैं।) हम प्राप्त करते हैं: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x))) \(=1\) उदाहरण . घातीय समीकरण को हल करें \(5^(x+7)=3^(x+7)\) समाधान: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) यहां हम पांच को तीन में नहीं बदल सकते, या इसके विपरीत (कम से कम उपयोग किए बिना)। इसलिए हम \(a^(f(x))=a^(g(x))\) के रूप में नहीं आ सकते हैं। इसी समय, संकेतक समान हैं। आइए समीकरण को दाईं ओर से विभाजित करें, अर्थात \(3^(x+7)\) द्वारा (हम ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि हम जानते हैं कि ट्रिपल किसी भी डिग्री में शून्य नहीं होगा)। \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7)) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) अब गुण \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) याद रखें और इसे बाईं ओर से विपरीत दिशा में उपयोग करें। दाईं ओर, हम केवल भिन्न को कम करते हैं। \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) यह कोई बेहतर नहीं लग रहा था। लेकिन डिग्री की एक और संपत्ति याद रखें: \(a^0=1\), दूसरे शब्दों में: "शून्य की कोई भी संख्या \(1\) के बराबर होती है।" इसका विलोम भी सत्य है: "एक इकाई को किसी भी संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसे शून्य की शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है।" इसका उपयोग हम दाईं ओर के आधार को बाईं ओर के आधार के समान बनाकर करते हैं। \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) वोइला! हम नींव से छुटकारा पा लेते हैं। हम उत्तर लिखते हैं। उत्तर : \(-7\). कभी-कभी प्रतिपादकों की "समानता" स्पष्ट नहीं होती है, लेकिन कुशल उपयोगडिग्री गुण इस समस्या को हल करते हैं। उदाहरण . घातीय समीकरण को हल करें \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) समाधान: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) समीकरण काफी दुखद लग रहा है ... न केवल आधारों को एक ही संख्या में घटाया जा सकता है (सात \(\frac(1)(3)\) के बराबर नहीं होंगे), इसलिए संकेतक भी अलग हैं... हालांकि, आइए लेफ्ट डिग्री ड्यूस के एक्सपोनेंट का उपयोग करें। \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) संपत्ति \((a^b)^c=a^(b c)\) को ध्यान में रखते हुए, बाईं ओर बदलें: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\)। \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) अब, नकारात्मक शक्ति संपत्ति \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) को याद करते हुए, हम दाईं ओर रूपांतरित होते हैं: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) हेलेलुजाह! अंक समान हैं! पहले से परिचित योजना के अनुसार कार्य करते हुए, हम उत्तर से पहले निर्णय लेते हैं। उत्तर : \(2\).

व्याख्यान: "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके।"

1 . घातीय समीकरण।

घातांक में अज्ञात वाले समीकरण घातीय समीकरण कहलाते हैं। इनमें से सबसे सरल समीकरण ax = b है, जहाँ a > 0 और a ≠ 1 है।

1) बी के लिए< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 के लिए, फलन की एकरसता और मूल प्रमेय का उपयोग करते हुए, समीकरण का एक मूल है। इसे खोजने के लिए, b को b = aс, ax = bс ó x = c या x = logab के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

चरघातांकी समीकरण, बीजगणितीय परिवर्तनों के माध्यम से, मानक समीकरणों की ओर ले जाते हैं, जिन्हें निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1) एक आधार में कमी की विधि;

2) मूल्यांकन पद्धति;

3) ग्राफिक विधि;

4) नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि;

5) गुणनखंड विधि;

6) घातीय - शक्ति समीकरण;

7) एक पैरामीटर के साथ घातीय।

2 . एक आधार कम करने की विधि।

विधि डिग्री के निम्नलिखित गुण पर आधारित है: यदि दो डिग्री समान हैं और उनके आधार समान हैं, तो उनके घातांक समान हैं, अर्थात, समीकरण को रूप में कम करने का प्रयास किया जाना चाहिए

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

1 . 3x=81;

81 = 34 के रूप में समीकरण के दाहिने पक्ष का प्रतिनिधित्व करते हैं और समीकरण को मूल 3 x = 34 के समतुल्य लिखते हैं; x = 4. उत्तर: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> और घातांक 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; एक्स = 0.5 उत्तर: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

ध्यान दें कि संख्याएँ 0.2, 0.04, √5, और 25 5 की घातें हैं। आइए इसका लाभ उठाएं और मूल समीकरण को इस प्रकार रूपांतरित करें:

, जहां से 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, जिससे हम समाधान x = -1 पाते हैं। उत्तर 1।

5. 3x = 5. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, x = log35। उत्तर: लॉग 35।

6. 62x+4 = 33x. 2x+8।

आइए समीकरण को 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, अर्थात.png" width="181" height="49 src="> इसलिए x - 4 =0, x = 4 के रूप में फिर से लिखें। उत्तर: 4।

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. शक्तियों के गुणों का उपयोग करके, हम ई के रूप में समीकरण लिखते हैं। x+1 = 2, x =1। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 1।

प्रश्न हल करें:

टेस्ट नंबर 1।

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
ए2 32x-8 = √3।	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
ए3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) कोई जड़ नहीं
	1) 7;1 2) कोई जड़ नहीं 3) -7;1 4) -1;-7
ए 5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
ए 6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

टेस्ट #2

ए 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
ए2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
ए3	1) 2;-1 2) कोई जड़ नहीं 3) 0 4) -2;1
ए 4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
ए 5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 मूल्यांकन पद्धति।

जड़ प्रमेय: यदि फलन f (x) अंतराल I पर बढ़ता (घटता) है, संख्या a इस अंतराल पर f द्वारा लिया गया कोई मान है, तो समीकरण f (x) = a का अंतराल I पर एकल मूल है।

अनुमान विधि द्वारा समीकरणों को हल करते समय, इस प्रमेय और फ़ंक्शन के एकरसता गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 1. 4x = 5 - एक्स।

समाधान। आइए समीकरण को 4x + x = 5 के रूप में फिर से लिखें।

1. यदि x \u003d 1, तो 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 सत्य है, तो 1 समीकरण की जड़ है।

फलन f(x) = 4x R पर बढ़ रहा है और g(x) = x R पर बढ़ रहा है => h(x)= f(x)+g(x) बढ़ते कार्यों के योग के रूप में R पर बढ़ रहा है, अतः x = 1 समीकरण 4x = 5 – x का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

2.

समाधान। हम फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखते हैं .

1. यदि x = -1, तो , 3 = 3-सत्य, अतः x = -1 समीकरण का मूल है।

2. सिद्ध कीजिए कि यह अद्वितीय है।

3. फलन f(x) = - R पर घटता है, और g(x) = - x - R पर घटता है => h(x) = f(x) + g(x) - R पर घटता है, योग के रूप में घटते कार्यों की। अत: मूल प्रमेय के अनुसार, x = -1 समीकरण का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 2। प्रश्न हल करें

ए) 4x + 1 = 6 - एक्स;

बी)

ग) 2x - 2 =1 - x;

4. नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि।

विधि खंड 2.1 में वर्णित है। एक नए चर (प्रतिस्थापन) की शुरूआत आमतौर पर समीकरण की शर्तों के परिवर्तन (सरलीकरण) के बाद की जाती है। उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण। आरसमीकरण खाओ: 1. .

आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> यानी..png" width="210" ऊंचाई = "45">

समाधान। आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

निरूपित https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - उपयुक्त नहीं है।

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> एक अपरिमेय समीकरण है। ध्यान दें कि

समीकरण का हल x = 2.5 ≤ 4 है, इसलिए 2.5 समीकरण का मूल है। उत्तर: 2.5।

समाधान। आइए समीकरण को फिर से इस रूप में लिखते हैं और दोनों पक्षों को 56x+6 ≠ 0 से विभाजित करते हैं। हमें समीकरण प्राप्त होता है

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, इसलिए..png" चौड़ाई="118" ऊंचाई="56">

द्विघात समीकरण के मूल - t1 = 1 और t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

समाधान . हम फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखते हैं

और ध्यान दें कि यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण है।

समीकरण को 42x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> बदलें।

उत्तर: 0; 0.5।

टास्क बैंक #3। प्रश्न हल करें

बी)

जी)

टेस्ट #3 उत्तरों के विकल्प के साथ। न्यूनतम स्तर।

ए 1	1) -0.2;2 2) लॉग52 3) -लॉग52 4) 2
ए2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0।	1) 2;1 2) -1;0 3) कोई जड़ नहीं 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0।	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) कोई जड़ नहीं 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

टेस्ट # 4 उत्तरों के विकल्प के साथ। सामान्य स्तर।

ए 1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
ए 5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) कोई जड़ नहीं

5. गुणनखंडन की विधि।

1. समीकरण हल करें: 5x+1 - 5x-1 = 24।

Solution..png" width="169" height="69"> , कहाँ से

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2।

समाधान। आइए समीकरण के बाईं ओर 6x और दाईं ओर 2x निकालें। हमें समीकरण 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x मिलता है।

चूँकि सभी x के लिए 2x >0, हम समाधान खोने के डर के बिना इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2x से विभाजित कर सकते हैं। हमें 3x = 1ó x = 0 प्राप्त होता है।

3.

समाधान। हम कारक द्वारा समीकरण को हल करते हैं।

हम द्विपद के वर्ग का चयन करते हैं

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 समीकरण का मूल है।

समीकरण x + 1 = 0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

ए1 5x-1 +5x -5x+1 = -19।

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

ए2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

टेस्ट #6 सामान्य स्तर।

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
ए2	1) 2.5 2) 3;4 3) लॉग43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
ए 4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
ए 5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. घातीय - शक्ति समीकरण।

एक्सपोनेंशियल समीकरण तथाकथित एक्सपोनेंशियल-पॉवर इक्वेशन से जुड़े होते हैं, यानी फॉर्म के समीकरण (f(x))g(x) = (f(x))h(x)।

यदि यह ज्ञात है कि f(x)>0 और f(x) ≠ 1, तो समीकरण, घातांक वाले की तरह, घातांक g(x) = f(x) को बराबर करके हल किया जाता है।

यदि स्थिति f(x)=0 और f(x)=1 की संभावना को बाहर नहीं करती है, तो हमें घातीय शक्ति समीकरण को हल करते समय इन मामलों पर विचार करना होगा।

1..png" चौड़ाई = "182" ऊंचाई = "116 src =">

2.

समाधान। x2 +2x-8 - किसी भी x के लिए समझ में आता है, क्योंकि एक बहुपद, इसलिए समीकरण सेट के बराबर है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

बी)

7. पैरामीटर के साथ घातीय समीकरण।

1. पैरामीटर पी के किन मूल्यों के लिए समीकरण 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) का एक अनूठा समाधान है?

समाधान। आइए हम परिवर्तन 2x = t, t > 0 का परिचय देते हैं, तब समीकरण (1) रूप लेगा t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0. (2)

समीकरण (2) का विविक्तकर D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2 है।

समीकरण (1) का एक अनूठा हल है यदि समीकरण (2) का एक धनात्मक मूल है। यह निम्नलिखित मामलों में संभव है।

1. यदि D = 0, अर्थात, p = 1, तो समीकरण (2) t2 - 2t + 1 = 0 का रूप लेगा, इसलिए t = 1, इसलिए, समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल x = 0 है।

2. यदि p1, तो 9(p – 1)2 > 0, तो समीकरण (2) के दो अलग-अलग मूल हैं t1 = p, t2 = 4p – 3. सिस्टम का सेट समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है

हमारे पास सिस्टम में t1 और t2 को प्रतिस्थापित करना है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

समाधान। होने देना तब समीकरण (3) t2 – 6t – a = 0 का रूप लेगा। (4)

आइए मूल्यों का पता लगाएंपैरामीटर a जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक मूल (4) स्थिति t> 0 को संतुष्ट करता है।

आइए फलन f(t) = t2 – 6t – a का परिचय दें। निम्नलिखित मामले संभव हैं।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} चौकोर ट्रिनोमियलच (टी);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

स्थिति 2। समीकरण (4) का एक अनूठा सकारात्मक समाधान है यदि

D = 0, यदि a = - 9, तो समीकरण (4) का रूप ले लेगा (t - 3)2 = 0, t = 3, x = - 1।

केस 3. समीकरण (4) के दो मूल हैं, लेकिन उनमें से एक असमानता t > 0 को संतुष्ट नहीं करता है। यह संभव है यदि

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17)" width="267" height="63">!}

इस प्रकार, a₳ 0 पर समीकरण (4) का एक सकारात्मक मूल है . तब समीकरण (3) का एक अनूठा हल है

एक के लिए< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

यदि एक< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
यदि a = - 9, तो x = - 1;

अगर एक  0, तो

आइए समीकरणों (1) और (3) को हल करने की विधियों की तुलना करें। ध्यान दें कि समीकरण (1) को हल करते समय एक द्विघात समीकरण में घटाया गया था, जिसका विविक्तकर एक पूर्ण वर्ग है; इस प्रकार, समीकरण (2) के मूलों को तुरंत द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा परिकलित किया गया और फिर इन मूलों के संबंध में निष्कर्ष निकाले गए। समीकरण (3) को द्विघात समीकरण (4) में घटा दिया गया है, जिसका विविक्तकर नहीं है पूर्ण वर्ग, इसलिए, समीकरण (3) को हल करते समय, वर्ग ट्रिनोमियल और ग्राफिकल मॉडल की जड़ों के स्थान पर प्रमेयों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। ध्यान दें कि समीकरण (4) को वीटा प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

आइए अधिक जटिल समीकरणों को हल करें।

टास्क 3। समीकरण को हल करें

समाधान। ओडीजेड: एक्स1, एक्स2।

आइए एक प्रतिस्थापन का परिचय दें। मान लीजिए 2x = t, t > 0, तो परिवर्तन के परिणामस्वरूप समीकरण t2 + 2t – 13 – a = 0 का रूप ले लेगा। समीकरण (*) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

उत्तर: यदि a > - 13, a  11, a  5, तो यदि a - 13,

a = 11, a = 5, तो कोई मूल नहीं है।

ग्रंथ सूची।

1. शैक्षिक प्रौद्योगिकी की गुज़ीव नींव।

2. गुजीव प्रौद्योगिकी: स्वागत से लेकर दर्शन तक।

एम। "हेडमास्टर" नंबर 4, 1996

3. गुजीव और शिक्षा के संगठनात्मक रूप।

4. गुजीव और अभिन्न शैक्षिक प्रौद्योगिकी का अभ्यास।

एम। "लोगों की शिक्षा", 2001

5. पाठ के रूपों से गुजीव - संगोष्ठी।

स्कूल नंबर 2, 1987, पीपी 9 - 11 पर गणित।

6. सेल्वको शैक्षिक प्रौद्योगिकियां।

एम। "लोगों की शिक्षा", 1998

7. एपिशेवा स्कूली बच्चे गणित सीखते हैं।

एम। "ज्ञान", 1990

8. इवानोव पाठ तैयार करने के लिए - कार्यशालाएँ।

स्कूल नंबर 6, 1990 में गणित, पी। 37-40।

9. गणित पढ़ाने का स्मिरनोव मॉडल।

स्कूल नंबर 1, 1997, पी पर गणित। 32-36।

10. तारासेंको व्यावहारिक कार्य के आयोजन के तरीके।

स्कूल नंबर 1, 1993, पी में गणित। 27 - 28।

11. एक प्रकार के व्यक्तिगत कार्य के बारे में।

स्कूल नंबर 2, 1994 में गणित, पीपी 63 - 64।

12. खज़ानकिन रचनात्मक कौशलस्कूली बच्चे।

स्कूल नंबर 2, 1989, पी में गणित। 10.

13. स्कैनवी। प्रकाशक, 1997

14. और अन्य बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। उपदेशात्मक सामग्रीके लिए

15. गणित में क्रिवोनोगोव कार्य।

एम। "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", 2002

16. चर्कासोव। हाई स्कूल के छात्रों के लिए हैंडबुक और

विश्वविद्यालयों में प्रवेश। "ए एस टी - प्रेस स्कूल", 2002

17. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए Zhevnyak।

मिन्स्क और आरएफ "समीक्षा", 1996

18. लिखित डी। गणित में परीक्षा की तैयारी। एम। रॉल्फ, 1999

19. और अन्य।समीकरणों और असमानताओं को हल करना सीखना।

एम। "इंटेलेक्ट - सेंटर", 2003

20. और अन्य ईजीई की तैयारी के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री।

एम। "बुद्धि - केंद्र", 2003 और 2004

21 और अन्य। सीएमएम के वेरिएंट। रूसी संघ के रक्षा मंत्रालय का परीक्षण केंद्र, 2002, 2003

22. गोल्डबर्ग समीकरण। "क्वांटम" नंबर 3, 1971

23. वोलोविच एम। गणित को सफलतापूर्वक कैसे पढ़ाया जाए।

गणित, 1997 नंबर 3।

पाठ के लिए 24 ओकुनेव, बच्चों! एम। प्रबुद्धता, 1988

25. यकीमंस्काया - स्कूल में उन्मुख शिक्षा।

26. लिमेट्स पाठ में काम करते हैं। एम। ज्ञान, 1975

एक घातीय समीकरण क्या है? उदाहरण।

तो, एक चरघातांकी समीकरण... विभिन्न प्रकार के समीकरणों की हमारी सामान्य प्रदर्शनी में एक नया अनूठा प्रदर्शन!) जैसा कि लगभग हमेशा होता है, किसी भी नए गणितीय शब्द का कीवर्ड संबंधित विशेषण होता है जो इसकी विशेषता बताता है। तो यहाँ भी। शब्द "घातीय समीकरण" में मुख्य शब्द शब्द है "प्रदर्शनकारी". इसका मतलब क्या है? इस शब्द का अर्थ है कि अज्ञात (x) है किसी भी डिग्री के मामले में।और केवल वहाँ! यह अत्यंत महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, ये सरल समीकरण:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

या ये राक्षस भी:

2 पाप x = 0.5

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण बात पर तुरंत ध्यान देने के लिए कहता हूं: में मैदानडिग्री (नीचे) - केवल संख्याएँ. लेकिन में संकेतकडिग्री (शीर्ष) - एक्स के साथ भावों की एक विस्तृत विविधता। बिल्कुल कोई भी।) सब कुछ विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। यदि, अचानक, x संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में आता है (कहते हैं, 3 x \u003d 18 + x 2), तो ऐसा समीकरण पहले से ही एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार . ऐसे समीकरणों को हल करने के स्पष्ट नियम नहीं होते। इसलिए, इस पाठ में हम उन पर विचार नहीं करेंगे। छात्रों की खुशी के लिए।) यहां हम "शुद्ध" रूप में केवल घातीय समीकरणों पर विचार करेंगे।

सामान्यतया, यहां तक ​​कि शुद्ध चरघातांकी समीकरण भी सभी मामलों में स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं और हमेशा नहीं होते हैं। लेकिन घातीय समीकरणों की समृद्ध विविधता के बीच, कुछ निश्चित प्रकार हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और उन्हें हल किया जाना चाहिए। यह इस प्रकार के समीकरण हैं जिन पर हम आपके साथ विचार करेंगे। और हम निश्चित रूप से उदाहरणों को हल करेंगे।) इसलिए हम आराम से और - सड़क पर बस गए! कंप्यूटर "निशानेबाजों" की तरह, हमारी यात्रा स्तरों से होकर गुजरेगी।) प्राथमिक से सरल, सरल से मध्यम और मध्यम से जटिल तक। साथ ही, आप एक गुप्त स्तर की भी प्रतीक्षा कर रहे होंगे - गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए ट्रिक्स और तरीके। जिनके बारे में आप अधिकांश स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में नहीं पढ़ेंगे... ठीक है, अंत में, निश्चित रूप से, अंतिम बॉस होमवर्क के रूप में आपकी प्रतीक्षा कर रहा है।)

स्तर 0. सरलतम चरघातांकी समीकरण क्या है? सबसे सरल घातीय समीकरणों का समाधान।

आरंभ करने के लिए, आइए कुछ स्पष्ट प्राथमिक देखें। आपको कहीं से शुरुआत करनी होगी, है ना? उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

2 एक्स = 2 2

यहां तक ​​कि बिना किसी सिद्धांत के, सरल तर्क द्वारा और व्यावहारिक बुद्धियह स्पष्ट है कि x = 2। कोई अन्य तरीका नहीं है, है ना? x का कोई अन्य मान अच्छा नहीं है ... अब हम अपना ध्यान इस ओर लगाते हैं निर्णय प्रविष्टियह शांत घातीय समीकरण:

2 एक्स = 2 2

एक्स = 2

हमें क्या हुआ? और निम्नलिखित हुआ। वास्तव में, हमने लिया और ... बस एक ही आधार (दो) बाहर फेंक दिया! पूरी तरह से बाहर कर दिया। और, क्या अच्छा है, बैल की आंख मारो!

हाँ, वास्तव में, यदि घातीय समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं जो उसीकिसी भी डिग्री में संख्याएं, तो इन नंबरों को छोड़ दिया जा सकता है और केवल घातांकों की बराबरी की जा सकती है। गणित अनुमति देता है।) और फिर आप संकेतकों के साथ अलग से काम कर सकते हैं और एक बहुत ही सरल समीकरण को हल कर सकते हैं। यह बहुत अच्छा है, है ना?

यहाँ किसी भी (हाँ, बिल्कुल कोई भी!) घातीय समीकरण को हल करने का मुख्य विचार है: समान परिवर्तनों की सहायता से, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं जो उसी विभिन्न डिग्री में आधार संख्या। और फिर आप समान आधारों को सुरक्षित रूप से हटा सकते हैं और घातांकों की बराबरी कर सकते हैं। और सरल समीकरण के साथ काम करें।

और अब हम याद करते हैं लोहे का नियम: समान आधारों को हटाना संभव है यदि और केवल यदि समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर आधार संख्याएं हैं गर्वित अकेलेपन में।

इसका क्या मतलब है, शानदार अलगाव में? इसका मतलब बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के है। मैं समझाता हूं।

उदाहरण के लिए, समीकरण में

3 3 x-5 = 3 2 x +1

आप ट्रिपलेट नहीं हटा सकते! क्यों? क्योंकि बाईं ओर हमारे पास न केवल डिग्री में एक अकेला तीन है, बल्कि काम 3 3 x-5 . रास्ते में एक अतिरिक्त ट्रिपल मिलता है: एक गुणांक, आप समझते हैं।)

समीकरण के बारे में भी यही कहा जा सकता है

5 3 x = 5 2 x +5 x

यहाँ भी, सभी आधार समान हैं - पाँच। लेकिन दाईं ओर हमारे पास पाँच की एक भी डिग्री नहीं है: डिग्रियों का योग है!

संक्षेप में, हमें उन्हीं आधारों को हटाने का अधिकार है जब हमारा घातीय समीकरण इस तरह दिखता है और केवल इस तरह:

एएफ (एक्स) = एक जी (एक्स)

इस प्रकार के चरघातांकी समीकरण कहलाते हैं सबसे आसान. या वैज्ञानिक रूप से, कैनन का . और कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारे सामने क्या मुड़ समीकरण है, एक तरह से या किसी अन्य, हम इसे एक ऐसे सरल (कैनोनिकल) रूप में कम कर देंगे। या, कुछ मामलों में, करने के लिए समुच्चयइस तरह के समीकरण तब हमारा सरलतम समीकरण हो सकता है सामान्य रूप से देखेंइस तरह फिर से लिखें:

एफ (एक्स) = जी (एक्स)

और बस। यह समतुल्य परिवर्तन होगा। साथ ही, एक्स के साथ पूरी तरह से किसी भी अभिव्यक्ति को एफ (एक्स) और जी (एक्स) के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। जो कुछ भी।

शायद एक विशेष रूप से जिज्ञासु छात्र पूछेगा: पृथ्वी पर हम इतनी आसानी से और केवल बाएँ और दाएँ समान आधारों को क्यों त्यागते हैं और प्रतिपादकों की बराबरी करते हैं? अंतर्ज्ञान अंतर्ज्ञान है, लेकिन अचानक, किसी समीकरण में और किसी कारण से, यह दृष्टिकोण गलत हो जाएगा? क्या एक ही आधार को फेंकना हमेशा कानूनी होता है?दुर्भाग्य से, इसके कठोर गणितीय उत्तर के लिए रुचि पूछोआपको काफी गहराई तक और गंभीरता से जाने की जरूरत है सामान्य सिद्धांतडिवाइस और फ़ंक्शन व्यवहार। और थोड़ा और विशेष रूप से - घटना में सख्त एकरसता।विशेष रूप से, सख्त एकरसता घातांक प्रकार्यवाई= एक एक्स. इसकी वजह यह घातांक प्रकार्यऔर इसके गुण घातीय समीकरणों के समाधान के अंतर्गत आते हैं, हाँ।) इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर एक अलग विशेष पाठ में दिया जाएगा जो विभिन्न कार्यों की एकरसता का उपयोग करके जटिल गैर-मानक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है।)

इस बिंदु को अब विस्तार से समझाना केवल एक औसत स्कूली बच्चे के मस्तिष्क को निकालकर एक शुष्क और भारी सिद्धांत के साथ समय से पहले डराना है। मैं ऐसा नहीं करूंगा।) हमारे मुख्य के लिए इस पलकाम - घातीय समीकरणों को हल करना सीखें!सबसे सरल! इसलिए, जब तक हम पसीना बहाते हैं और साहसपूर्वक उन्हीं कारणों को दूर नहीं करते हैं। यह कर सकना, इसके लिए मेरा शब्द लें!) और फिर हम पहले से ही समतुल्य समीकरण f (x) = g (x) को हल करते हैं। एक नियम के रूप में, यह मूल घातांक से सरल है।

यह निश्चित रूप से माना जाता है, कि लोग पहले से ही जानते हैं कि कैसे कम से कम , और समीकरणों को हल करना है, पहले से ही संकेतकों में एक्स के बिना।) जो अभी भी नहीं जानते कि कैसे, इस पृष्ठ को बंद करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, उचित लिंक के साथ चलें और भरें पुराने अंतराल। नहीं तो मुश्किल होगी, हां...

मैं तर्कहीन, त्रिकोणमितीय और अन्य क्रूर समीकरणों के बारे में चुप हूं जो आधारों को खत्म करने की प्रक्रिया में भी उभर सकते हैं। लेकिन चिंतित न हों, अभी के लिए हम डिग्री के मामले में फ्रैंक टिन पर विचार नहीं करेंगे: यह बहुत जल्दी है। हम केवल सबसे सरल समीकरणों पर प्रशिक्षण देंगे।)

अब उन समीकरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम रूप में कम करने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता होती है। उन्हें अलग करने के लिए, आइए उन्हें कॉल करें सरल घातीय समीकरण. तो चलिए अगले स्तर पर चलते हैं!

स्तर 1. सरल घातीय समीकरण। डिग्रियों को पहचानो! प्राकृतिक संकेतक।

किसी भी चरघातांकी समीकरण को हल करने के प्रमुख नियम हैं डिग्री से निपटने के नियम. इस ज्ञान और कौशल के बिना कुछ भी काम नहीं करेगा। काश। इसलिए, यदि डिग्रियों को लेकर कोई समस्या है, तो शुरुआत के लिए आपका स्वागत है। इसके अलावा हमें भी चाहिए। ये रूपांतरण (दो जितने!) सामान्य रूप से गणित के सभी समीकरणों को हल करने का आधार हैं। और न केवल शोकेस। इसलिए, जो लोग भूल गए हैं, वे भी लिंक पर टहल लें: मैंने उन्हें एक कारण के लिए रखा है।

लेकिन केवल शक्तियों और समान परिवर्तनों वाली क्रियाएं पर्याप्त नहीं हैं। इसके लिए व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता की भी आवश्यकता होती है। हमें वही आधार चाहिए, है ना? इसलिए हम उदाहरण की जांच करते हैं और उन्हें स्पष्ट या प्रच्छन्न रूप में देखते हैं!

उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

3 2x - 27x +2 = 0

पहले देखो मैदान. वे भिन्न हैं! तीन और सत्ताईस। लेकिन घबराना और निराशा में पड़ना जल्दबाजी होगी। इसे याद करने का समय आ गया है

27 = 3 3

अंक 3 और 27 डिग्री के रिश्तेदार हैं! इसके अलावा, रिश्तेदार।) इसलिए, हमें लिखने का पूरा अधिकार है:

27 x +2 = (3 3) x+2

और अब हम अपने ज्ञान को जोड़ते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाई(और मैंने आपको चेतावनी दी!)। ऐसा ही एक बहुत ही उपयोगी सूत्र है:

(एएम) एन = एक एमएन

अब यदि आप इसे पाठ्यक्रम में चलाते हैं, तो यह आम तौर पर ठीक हो जाता है:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

मूल उदाहरण अब ऐसा दिखता है:

3 2 x - 3 3(x +2) = 0

बढ़िया, डिग्रियों के आधार संरेखित हो गए हैं। जिसके लिए हम प्रयास कर रहे थे। आधा काम पूरा हो गया है।) और अब हम बुनियादी पहचान परिवर्तन शुरू करते हैं - हम 3 3 (x +2) को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। किसी ने भी गणित की प्राथमिक क्रियाओं को रद्द नहीं किया, हाँ।) हमें मिलता है:

3 2 x = 3 3(x +2)

हमें इस प्रकार का समीकरण क्या देता है? और यह बात कि अब हमारा समीकरण कम हो गया है विहित रूप में: बाएँ और दाएँ खड़े होना समान संख्याएँ(ट्रिपल) शक्तियों में। और दोनों ट्रिपल - शानदार अलगाव में। हम साहसपूर्वक तीनों को हटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

2x = 3(x+2)

हम इसे हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक्स = -6

इसके लिए यही सब कुछ है। यह सही जवाब है।)

और अब हम निर्णय के पाठ्यक्रम को समझते हैं। इस उदाहरण में हमें क्या बचाया? हम त्रिगुण की डिग्री के ज्ञान से बच गए थे। बिल्कुल कैसे? हम पहचान कीनंबर 27 एन्क्रिप्टेड तीन! यह ट्रिक (एक ही आधार को अलग-अलग नंबरों के नीचे एनकोड करना) एक्सपोनेंशियल इक्वेशन में सबसे लोकप्रिय में से एक है! जब तक कि यह सबसे लोकप्रिय न हो। हाँ, और वैसे भी। यही कारण है कि अवलोकन और संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने की क्षमता घातीय समीकरणों में बहुत महत्वपूर्ण है!

प्रायोगिक उपकरण:

आपको लोकप्रिय नंबरों की शक्तियों को जानने की जरूरत है। सामने!

बेशक, कोई भी दो को सातवीं शक्ति या तीन को पांचवें तक बढ़ा सकता है। मेरे दिमाग में नहीं, तो कम से कम एक मसौदे पर। लेकिन घातीय समीकरणों में, यह अधिक बार आवश्यक होता है कि किसी शक्ति को न बढ़ाया जाए, बल्कि, इसके विपरीत, यह पता लगाने के लिए कि किस संख्या और किस हद तक संख्या के पीछे छिपा है, कहते हैं, 128 या 243। और यह पहले से ही अधिक है सरल घातांक से जटिल, आप देखते हैं। अंतर महसूस करें, जैसा वे कहते हैं!

चूँकि चेहरे पर डिग्री पहचानने की क्षमता न केवल इस स्तर पर, बल्कि निम्न स्तरों पर भी उपयोगी है, यहाँ आपके लिए एक छोटा सा काम है:

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तर (बेशक बिखरे हुए):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

हां हां! आश्चर्यचकित न हों कि कार्यों से अधिक उत्तर हैं। उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी 256 हैं।

स्तर 2. सरल चरघातांकी समीकरण। डिग्रियों को पहचानो! नकारात्मक और आंशिक घातांक।

इस स्तर पर, हम पहले से ही डिग्रियों के अपने ज्ञान का उपयोग कर रहे हैं पूरा भरने तक. अर्थात्, हम इस आकर्षक प्रक्रिया में नकारात्मक और भिन्नात्मक संकेतक शामिल करते हैं! हां हां! हमें शक्ति का निर्माण करने की आवश्यकता है, है ना?

उदाहरण के लिए, यह भयानक समीकरण:

दोबारा, पहले नींव देखें। आधार अलग हैं! और इस बार दूर से भी नहीं समान दोस्तएक दोस्त पर! 5 और 0.04... और आधारों को खत्म करने के लिए उन्हीं की जरूरत है... क्या करें?

कोई बात नहीं! वास्तव में, सब कुछ समान है, बस पाँच और 0.04 के बीच का संबंध नेत्रहीन रूप से खराब दिखाई देता है। हम कैसे निकलेंगे? और चलिए संख्या 0.04 पर चलते हैं साधारण अंश! और वहां, आप देखते हैं, सब कुछ बनता है।)

0,04 = 4/100 = 1/25

बहुत खूब! यह पता चला है कि 0.04 1/25 है! भला, किसने सोचा होगा!)

कितनी अच्छी तरह से? अब संख्या 5 और 1/25 के बीच संबंध देखना आसान है? यह वही है...

और अब, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार नकारात्मक संकेतकदृढ़ हाथ से लिखा जा सकता है:

यह बहुत बढ़िया बात है। तो हम एक ही आधार पर पहुँचे - पाँच। अब हम समीकरण में असहज संख्या 0.04 को 5 -2 से बदलते हैं और प्राप्त करते हैं:

पुनः, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, अब हम लिख सकते हैं:

(5 -2) एक्स -1 = 5 -2 (एक्स -1)

बस के मामले में, मैं आपको याद दिलाता हूं (अचानक, कौन नहीं जानता) कि डिग्री के साथ कार्यों के लिए बुनियादी नियम मान्य हैं कोईसंकेतक! नकारात्मक लोगों सहित।) इसलिए संबंधित नियम के अनुसार संकेतक (-2) और (x-1) लेने और गुणा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। हमारा समीकरण बेहतर और बेहतर होता जा रहा है:

सभी! बाईं और दाईं ओर की डिग्रियों में एकाकी फाइव के अलावा और कुछ नहीं है। समीकरण को विहित रूप में घटाया गया है। और फिर - घुमावदार ट्रैक के साथ। हम पाँचों को हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5=-2(एक्स-1)

उदाहरण लगभग पूरा हो चुका है। मध्य वर्गों का प्रारंभिक गणित बना रहता है - हम कोष्ठक खोलते हैं (सही ढंग से!) और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5 = -2 एक्स+2

एक्स 2 –4 एक्स+3 = 0

हम इसे हल करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 3

बस इतना ही।)

अब चलिए फिर से सोचते हैं। में यह उदाहरणहमें फिर से एक ही संख्या को अलग-अलग डिग्री में पहचानना पड़ा! अर्थात्, संख्या 0.04 में एन्क्रिप्टेड पाँच को देखने के लिए। और इस बार में नकारात्मक डिग्री!हम इसे कैसे करेंगे? चल रहा है - कोई रास्ता नहीं। लेकिन से संक्रमण के बाद दशमलव अंश 0.04 से साधारण अंश 1/25 सब कुछ हाइलाइट किया गया था! और फिर पूरा फैसला घड़ी की कल की तरह चला गया।)

इसलिए, एक और हरी व्यावहारिक सलाह।

यदि घातीय समीकरण में दशमलव भिन्न हैं, तो हम दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न की ओर बढ़ते हैं। में सामान्य अंशकई लोकप्रिय नंबरों की शक्तियों को पहचानना बहुत आसान है! मान्यता के बाद, हम अंशों से नकारात्मक घातांक वाले घातों की ओर बढ़ते हैं।

ध्यान रखें कि एक्सपोनेंशियल इक्वेशन में ऐसा फेंट बहुत बार होता है! और व्यक्ति विषय में नहीं है। उदाहरण के लिए, वह संख्या 32 और 0.125 को देखता है और परेशान हो जाता है। यह उनके लिए अज्ञात है कि यह एक ही ड्यूस है, केवल अलग-अलग डिग्री में ... लेकिन आप पहले से ही इस विषय में हैं!)

प्रश्न हल करें:

में! यह एक शांत हॉरर जैसा दिखता है ... हालांकि, दिखावे धोखा दे रहे हैं। भयानक होने के बावजूद यह सबसे सरल घातीय समीकरण है उपस्थिति. और अब मैं इसे आपको दिखाऊंगा।)

सबसे पहले, हम आधारों और गुणांकों में बैठे सभी नंबरों से निपटते हैं। वे स्पष्ट रूप से भिन्न हैं, हाँ। लेकिन हम अभी भी जोखिम उठाते हैं और उन्हें बनाने की कोशिश करते हैं जो उसी! आइए जाने की कोशिश करते हैं अलग-अलग डिग्री में एक ही संख्या. और, अधिमानतः, सबसे छोटी संभव संख्या। तो, चलिए डिक्रिप्शन शुरू करते हैं!

खैर, एक बार में चार के साथ सब कुछ स्पष्ट है - यह 2 2 है। तो, पहले से ही कुछ।)

0.25 के अंश के साथ - यह अभी स्पष्ट नहीं है। देखने की जरूरत है। हम व्यावहारिक सलाह का उपयोग करते हैं - दशमलव से साधारण पर जाएँ:

0,25 = 25/100 = 1/4

पहले से काफी बेहतर है। अभी के लिए यह स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि 1/4 2 -2 है। महान, और संख्या 0.25 भी एक ड्यूस के समान है।)

अब तक तो सब ठीक है। लेकिन सबसे खराब संख्या बनी हुई है - दो का वर्गमूल!इस मिर्च का क्या करें? क्या इसे दो की शक्ति के रूप में भी दर्शाया जा सकता है? और कौन जानता है...

खैर, हम फिर से डिग्री के बारे में अपने ज्ञान के खजाने में चढ़ते हैं! इस बार हम अपने ज्ञान को भी जोड़ते हैं जड़ों के बारे में. 9 वीं कक्षा के पाठ्यक्रम से, आपको और मुझे यह सहना पड़ा कि कोई भी जड़, यदि वांछित हो, तो हमेशा डिग्री में बदल सकती है एक अंश के साथ।

इस कदर:

हमारे मामले में:

कैसे! यह पता चला है कि दो का वर्गमूल 2 1/2 है। इतना ही!

वह ठीक है! हमारे सभी असुविधाजनक नंबर वास्तव में एक एन्क्रिप्टेड ड्यूस निकले।) मैं बहस नहीं करता, कहीं बहुत परिष्कृत रूप से एन्क्रिप्टेड। लेकिन हम ऐसे सिफर को हल करने में अपना व्यावसायिकता भी बढ़ाते हैं! और फिर सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। हम अपने समीकरण में संख्या 4, 0.25 और दो के मूल को दो की घात से प्रतिस्थापित करते हैं:

सभी! उदाहरण में सभी डिग्रियों के आधार एक ही बन गए हैं - दो। और अब डिग्री के साथ मानक क्रियाओं का उपयोग किया जाता है:

पूर्वाह्नएक = पूर्वाह्न + एन

ए एम: ए एन = ए एम-एन

(एएम) एन = एक एमएन

बाईं ओर के लिए आपको मिलता है:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

दाईं ओर के लिए होगा:

और अब हमारा दुष्ट समीकरण कुछ इस तरह दिखने लगा:

उन लोगों के लिए जिन्होंने यह पता नहीं लगाया है कि यह समीकरण वास्तव में कैसे निकला, तो सवाल घातीय समीकरणों के बारे में नहीं है। सवाल शक्तियों के साथ कार्रवाई के बारे में है। मैंने तत्काल उन लोगों से दोहराने के लिए कहा जिन्हें समस्या है!

यहाँ फिनिश लाइन है! घातीय समीकरण का विहित रूप प्राप्त होता है! कितनी अच्छी तरह से? क्या मैंने आपको विश्वास दिलाया है कि यह इतना डरावना नहीं है? ;) हम ड्यूस को हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

इसे सुलझाना बाकी है रेखीय समीकरण. कैसे? समान परिवर्तनों की मदद से, निश्चित रूप से।) जो पहले से है उसे हल करें! दोनों भागों को दो से गुणा करें (अंश 3/2 को हटाने के लिए), शर्तों को Xs के साथ बाईं ओर ले जाएं, Xs के बिना दाईं ओर, समान लाएं, गिनें - और आप खुश होंगे!

सब कुछ खूबसूरती से निकलना चाहिए:

एक्स = 4

अब फैसले पर पुनर्विचार करते हैं। इस उदाहरण में, हमें से संक्रमण द्वारा बचाया गया था वर्गमूल को एक्सपोनेंट 1/2 के साथ डिग्री. इसके अलावा, केवल इस तरह के चालाक परिवर्तन ने हमें हर जगह उसी आधार (ड्यूस) तक पहुंचने में मदद की, जिसने स्थिति को बचा लिया! और, अगर यह नहीं होता, तो हमारे पास हमेशा के लिए जमने का हर मौका होता और कभी भी इस उदाहरण का सामना नहीं करना पड़ता, हाँ ...

इसलिए, हम अगली व्यावहारिक सलाह की उपेक्षा नहीं करते हैं:

यदि घातीय समीकरण में जड़ें हैं, तो हम भिन्नात्मक घातांक वाले मूल से घात की ओर बढ़ते हैं। बहुत बार, केवल ऐसा परिवर्तन ही आगे की स्थिति को स्पष्ट करता है।

बेशक, प्राकृतिक शक्तियों की तुलना में नकारात्मक और आंशिक शक्तियाँ पहले से ही बहुत अधिक जटिल हैं। कम से कम दृश्य धारणा के संदर्भ में और, विशेष रूप से, दाएं से बाएं की पहचान!

यह स्पष्ट है कि सीधे ऊपर उठाना, उदाहरण के लिए, एक दो की घात -3 या एक चार की घात -3/2 ऐसा नहीं है बड़ी समस्या. जो जानते हैं उनके लिए।)

लेकिन जाओ, उदाहरण के लिए, तुरंत इसका एहसास करो

0,125 = 2 -3

या

यहां केवल अभ्यास और समृद्ध अनुभव ही राज करता है, हां। और, ज़ाहिर है, एक स्पष्ट दृष्टिकोण, एक नकारात्मक और एक भिन्नात्मक घातांक क्या है।और - प्रायोगिक उपकरण! हाँ, हाँ, वो हरा.) मुझे आशा है कि वे फिर भी आपको विभिन्न प्रकार की डिग्रियों में बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करेंगे और आपकी सफलता की संभावनाओं को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाएंगे! तो आइए उनकी उपेक्षा न करें। मैं व्यर्थ नहीं हूँ हरे मेंमैं कभी-कभी लिखता हूं।)

दूसरी ओर, यदि आप नकारात्मक और भिन्नात्मक जैसी विदेशी शक्तियों के साथ भी "आप" बन जाते हैं, तो घातीय समीकरणों को हल करने की आपकी संभावनाएँ बहुत बढ़ जाएँगी, और आप पहले से ही लगभग किसी भी प्रकार के घातीय समीकरणों को संभालने में सक्षम हो जाएँगे। ठीक है, यदि कोई नहीं है, तो सभी घातीय समीकरणों का 80 प्रतिशत - निश्चित रूप से! हाँ, हाँ, मैं मज़ाक नहीं कर रहा हूँ!

तो, घातीय समीकरणों के साथ हमारे परिचित का पहला भाग अपने तार्किक निष्कर्ष पर आ गया है। और, बीच-बीच में कसरत के रूप में, मैं पारंपरिक रूप से अपने दम पर थोड़ा हल करने का सुझाव देता हूं।)

अभ्यास 1।

ताकि नकारात्मक और आंशिक अंशों को समझने के बारे में मेरे शब्द व्यर्थ न हों, मैं थोड़ा खेल खेलने का प्रस्ताव करता हूं!

संख्या को दो की शक्ति के रूप में व्यक्त करें:

उत्तर (विवाद में):

घटित? महान! फिर हम एक लड़ाकू मिशन करते हैं - हम सबसे सरल और सरल घातीय समीकरणों को हल करते हैं!

कार्य 2।

समीकरणों को हल करें (सभी उत्तर गड़बड़ हैं!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16x+3 = 0

उत्तर:

एक्स = 16

एक्स 1 = -1; एक्स 2 = 2

एक्स = 5

घटित? वास्तव में, बहुत आसान!

फिर हम निम्नलिखित खेल को हल करते हैं:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

उत्तर:

एक्स 1 = -2; एक्स 2 = 2

एक्स = 0,5

एक्स 1 = 3; एक्स 2 = 5

और एक के ये उदाहरण बचे हैं? महान! तुम बढ़ रहे हो! फिर यहाँ कुछ और उदाहरण दिए गए हैं जिन पर आप नाश्ता कर सकते हैं:

उत्तर:

एक्स = 6

एक्स = 13/31

एक्स = -0,75

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 8/3

और यह तय है? अच्छा, सम्मान! मैं अपनी टोपी उतारता हूं।) तो, सबक व्यर्थ नहीं था, और प्रथम स्तरघातीय समीकरणों को हल करने में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने पर विचार किया जा सकता है। आगे - अगले स्तर और अधिक जटिल समीकरण! और नई तकनीकें और दृष्टिकोण। और गैर मानक उदाहरण. और नया आश्चर्य।) यह सब - अगले पाठ में!

कुछ काम नहीं किया? तो, सबसे अधिक संभावना है, समस्याएं हैं। या में। या दोनों एक ही समय में। यहाँ मैं शक्तिहीन हूँ। में कर सकते हैं फिर एक बारकेवल एक चीज की पेशकश करें - आलसी मत बनो और लिंक के माध्यम से चलो।)

करने के लिए जारी।)

सभी नए वीडियो पाठों से अवगत होने के लिए हमारी साइट साइट के यूट्यूब चैनल पर।

सबसे पहले, आइए डिग्री और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद करें।

एक संख्या का उत्पाद एस्वयं n बार होता है, हम इस व्यंजक को a a … a = a n के रूप में लिख सकते हैं

1. एक 0 = 1 (एक ≠ 0)

3. एक एन एम = एक एन + एम

4. (एन) एम = एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम \u003d एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये समीकरण हैं जिनमें चर शक्तियों (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण:

इस उदाहरण में, संख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे है, और चर एक्सडिग्री या माप।

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 x *5=10
16x-4x-6=0

अब देखते हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

आइए एक साधारण समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

ऐसा उदाहरण मन में भी हल किया जा सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आखिरकार, बाएँ और दाएँ पक्षों के बराबर होने के लिए, आपको x के बजाय संख्या 3 डालने की आवश्यकता है।
अब देखते हैं कि यह निर्णय कैसे किया जाना चाहिए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया एक ही मैदान(यानी, ड्यूस) और जो बचा था उसे लिख दिया, ये डिग्रियां हैं। हमें वह उत्तर मिला जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

अब हम अपने समाधान को सारांशित करते हैं।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है जो उसीक्या समीकरण के आधार दाईं ओर और बाईं ओर हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान होने के बाद, समान बनानाडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

अब कुछ उदाहरण हल करते हैं:

चलिए सरल शुरू करते हैं।

बाएँ और दाएँ पक्ष के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण निकला है।
एक्स = 4 - 2
एक्स = 2
उत्तर: एक्स = 2

निम्नलिखित उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं, ये 3 और 9 हैं।

3 3x - 9 x + 8 = 0

आरंभ करने के लिए, हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2 । आइए घात सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x \u003d (3 2) x + 8

हमें 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 मिलते हैं

3 3x \u003d 3 2x + 16 अब आप देख सकते हैं कि बाईं ओर और दाईं ओरआधार समान और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

3x=2x+16 को सबसे सरल समीकरण मिला
3x-2x=16
एक्स = 16
उत्तर: एक्स = 16।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार अलग-अलग दो और चार होते हैं। और हमें वही होना चाहिए। हम चौगुनी को सूत्र (a n) m = a nm के अनुसार रूपांतरित करते हैं।

4 x = (2 2) x = 2 2x

और हम एक सूत्र a n m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमारे साथ हस्तक्षेप करती हैं। उनके साथ क्या करना है? यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हम 2 2x दोहराते हैं, यहाँ उत्तर है - हम 2 2x को कोष्ठक से बाहर कर सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

कल्पना कीजिए 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 आधार समान हैं, उन्हें त्यागें और डिग्री की बराबरी करें।
2x \u003d 2 सबसे सरल समीकरण निकला। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1।

आइए समीकरण को हल करें:

9 x - 12*3 x +27= 0

आइए रूपांतरित करें:
9 x = (3 2) x = 3 2x

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर हैं। इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पहले ट्रिपल में दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दो बार (2x) डिग्री है। इस मामले में आप फैसला कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. सबसे छोटी डिग्री वाली संख्या को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

फिर 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d टी 2

हम टी के साथ समीकरण में एक्स के साथ सभी डिग्री को प्रतिस्थापित करते हैं:

टी 2 - 12t + 27 \u003d 0
हम पाते हैं द्विघात समीकरण. हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:
डी=144-108=36
टी 1 = 9
टी 2 = 3

वेरिएबल को लौटें एक्स.

हम टी 1 लेते हैं:
टी 1 \u003d 9 \u003d 3 एक्स

वह है,

3 एक्स = 9
3 x = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:
टी 2 \u003d 3 \u003d 3 एक्स
3 x = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 \u003d 2; एक्स 2 = 1।

साइट पर आप रुचि के प्रश्न पूछने के लिए सहायता निर्णय अनुभाग में कर सकते हैं, हम निश्चित रूप से आपको उत्तर देंगे।

एक समूह में शामिल हों

अंतिम परीक्षण की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि ऐसे कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत को सावधानीपूर्वक मास्टर करने, सूत्रों को याद करने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्यों से निपटने के लिए सीखने के बाद, गणित में परीक्षा उत्तीर्ण करने पर स्नातक उच्च अंकों पर भरोसा कर सकेंगे।

शकोल्कोवो के साथ मिलकर परीक्षा परीक्षण के लिए तैयार हो जाइए!

कवर की गई सामग्री को दोहराते समय, कई छात्रों को समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है। स्कूल पाठ्यपुस्तकहमेशा हाथ में नहीं है, और चयन आवश्यक जानकारीइंटरनेट पर विषय पर एक लंबा समय लगता है।

शकोल्कोवो शैक्षिक पोर्टल छात्रों को हमारे ज्ञान के आधार का उपयोग करने के लिए आमंत्रित करता है। हम पूरी तरह से अमल करते हैं नई विधिअंतिम परीक्षा की तैयारी। हमारी साइट पर अध्ययन करके, आप ज्ञान में अंतराल की पहचान करने में सक्षम होंगे और उन कार्यों पर ध्यान देंगे जो सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं।

"शकोल्कोवो" के शिक्षकों ने सफल प्रसव के लिए आवश्यक सब कुछ एकत्र, व्यवस्थित और प्रस्तुत किया सामग्री का प्रयोग करेंसबसे सरल और सुलभ तरीके से।

मुख्य परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक संदर्भ" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप असाइनमेंट का अभ्यास करें। गणना एल्गोरिथम को समझने के लिए इस पृष्ठ पर प्रस्तुत किए गए समाधान के साथ घातीय समीकरणों के उदाहरणों की सावधानीपूर्वक समीक्षा करें। उसके बाद, "कैटलॉग" अनुभाग में कार्यों के साथ आगे बढ़ें। आप सबसे आसान कार्यों से शुरू कर सकते हैं या कई अज्ञात या के साथ जटिल घातीय समीकरणों को हल करने के लिए सीधे जा सकते हैं। हमारी वेबसाइट पर अभ्यासों का डेटाबेस लगातार पूरक और अद्यतन किया जाता है।

संकेतकों के साथ वे उदाहरण जिनके कारण आपको कठिनाइयाँ हुईं, उन्हें "पसंदीदा" में जोड़ा जा सकता है। तो आप उन्हें जल्दी से ढूंढ सकते हैं और शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकते हैं।

परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने के लिए, हर दिन शकोल्कोवो पोर्टल पर अध्ययन करें!