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किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान. किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा है?

अंतरिम में ( ए,बी), ए एक्स- दिए गए अंतराल का एक यादृच्छिक रूप से चुना गया बिंदु है। चलिए एक तर्क देते हैं एक्स वेतन वृद्धिΔx (सकारात्मक या नकारात्मक)।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) को Δy के बराबर वृद्धि प्राप्त होगी:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

असीम रूप से छोटे Δx के लिए वेतन वृद्धिΔy भी अपरिमित रूप से छोटा है।

उदाहरण के लिए:

किसी पिंड के मुक्त पतन के उदाहरण का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के समाधान पर विचार करें।

चूँकि t 2 = t l + Δt, तब

सीमा की गणना करने पर, हम पाते हैं:

किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करते समय टी की स्थिरता पर जोर देने के लिए नोटेशन टी 1 पेश किया गया है। चूँकि t 1 समय का एक मनमाना मान है, सूचकांक 1 को हटाया जा सकता है; तो हमें मिलता है:

यह देखा जा सकता है कि गति वी,जिस तरह की तरह एस, वहाँ है समारोहसमय। फ़ंक्शन प्रकार वीयह पूरी तरह से फ़ंक्शन के प्रकार पर निर्भर करता है एस, तो फ़ंक्शन एसएक प्रकार का फ़ंक्शन "उत्पन्न" करता है वी. इसके कारण नाम " व्युत्पन्न कार्य».

दूसरे पर विचार करें उदाहरण.

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें:

y = x 2पर एक्स = 7.

समाधान। पर एक्स = 7हमारे पास है y=7 2=49. चलिए एक तर्क देते हैं एक्सवेतन वृद्धि Δ एक्स. तर्क बन जाता है 7 + Δ एक्स, और फ़ंक्शन को मान मिलेगा (7 + Δ एक्स) 2.

फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति के साथ व्युत्पन्न के चिह्न का संबंध दिखाना।

कृपया निम्नलिखित में अत्यधिक सावधानी बरतें। देखिए, आपको क्या दिया गया है इसका शेड्यूल! कार्य या उसका व्युत्पन्न

व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिया गया है, तो हम केवल फ़ंक्शन चिह्न और शून्य में रुचि रखते हैं। सैद्धांतिक रूप से कोई भी "नोल्स" और "खोखले" हमारे लिए रुचिकर नहीं हैं!

कार्य 1।

यह चित्र एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है।

समाधान:

चित्र में, घटते फ़ंक्शन के क्षेत्रों को रंग में हाइलाइट किया गया है:

घटते फलन के इन क्षेत्रों में 4 पूर्णांक मान आते हैं।

कार्य 2.

यह चित्र एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जहां फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा रेखा के समानांतर या संपाती है।

समाधान:

चूँकि फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्श रेखा एक सीधी रेखा के समानांतर (या संपाती) होती है (या, जो समान है, ) ढलान , शून्य, तो स्पर्शरेखा में ढलान है .

बदले में इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर है, क्योंकि ढलान अक्ष के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा है।

इसलिए, हम ग्राफ़ पर चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम बिंदु) पाते हैं - यह उनमें है कि ग्राफ़ के स्पर्शरेखा वाले कार्य अक्ष के समानांतर होंगे।

ऐसे 4 बिंदु हैं.

कार्य 3.

यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जहां फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा रेखा के समानांतर या संपाती है।

समाधान:

चूँकि फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा के समानांतर (या संपाती) होती है, जिसमें ढलान होती है, तो स्पर्शरेखा में ढलान होती है।

बदले में इसका मतलब है कि संपर्क के बिंदुओं पर।

इसलिए, हम देखते हैं कि ग्राफ़ पर कितने बिंदुओं की कोटि बराबर है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे चार बिंदु हैं।

कार्य 4.

यह चित्र एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 है।

समाधान:

चरम बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य है। हमारे पास उनमें से 4 हैं:

कार्य 5.

चित्र एक फ़ंक्शन ग्राफ़ और x-अक्ष पर ग्यारह बिंदु दिखाता है:। इनमें से कितने बिंदुओं पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है?

समाधान:

घटते फ़ंक्शन के अंतराल पर, इसका व्युत्पन्न नकारात्मक मान लेता है। तथा बिन्दुओं पर फलन घटता जाता है। ऐसे 4 बिंदु हैं.

कार्य 6.

यह चित्र एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं का योग ज्ञात करें।

समाधान:

चरम बिंदुअधिकतम अंक (-3, -1, 1) और न्यूनतम अंक (-2, 0, 3) हैं।

चरम बिंदुओं का योग: -3-1+1-2+0+3=-2.

कार्य 7.

यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। बढ़ते फलन के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांक बिंदुओं का योग इंगित करें।

समाधान:

यह आंकड़ा उन अंतरालों को उजागर करता है जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गैर-नकारात्मक है।

वृद्धि के छोटे अंतराल पर कोई पूर्णांक बिंदु नहीं होते हैं, वृद्धि के अंतराल पर चार पूर्णांक मान होते हैं: , , और .

उनका योग:

कार्य 8.

यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। बढ़ते फलन के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में उनमें से सबसे बड़े की लंबाई लिखें।

समाधान:

चित्र में, वे सभी अंतराल जिन पर व्युत्पन्न सकारात्मक है, को हाइलाइट किया गया है, जिसका अर्थ है कि इन अंतरालों पर फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता है।

इनमें से सबसे बड़े की लंबाई 6 है.

कार्य 9.

यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड पर किस बिंदु पर यह सबसे बड़ा मूल्य लेता है।

समाधान:

हम देखते हैं कि ग्राफ़ उस खंड पर कैसे व्यवहार करता है, अर्थात्, जिसमें हम रुचि रखते हैं केवल व्युत्पन्न चिह्न .

व्युत्पन्न का चिह्न ऋणात्मक है, क्योंकि इस खंड पर ग्राफ़ अक्ष के नीचे है।

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अनुपात बनाएं और सीमा की गणना करें.

जहाँ किया व्युत्पन्न और विभेदीकरण नियमों की तालिका? एक सीमा के लिए धन्यवाद. यह जादू जैसा लगता है, लेकिन हकीकत में - हाथ की सफाई और कोई धोखाधड़ी नहीं। सबक पर व्युत्पन्न क्या है?मैं देखने लगा ठोस उदाहरण, जहां, परिभाषा का उपयोग करते हुए, मुझे रैखिक और के व्युत्पन्न मिले द्विघात फंक्शन. संज्ञानात्मक वार्म-अप के उद्देश्य से, हम परेशान करना जारी रखेंगे व्युत्पन्न तालिका, एल्गोरिदम और तकनीकी समाधानों का सम्मान करना:

उदाहरण 1

मूलतः, हमें सिद्ध करने की आवश्यकता है विशेष मामलापावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जो आमतौर पर तालिका में दिखाई देता है:।

समाधानतकनीकी रूप से दो प्रकार से औपचारिक रूप दिया गया। आइए पहले, पहले से ही परिचित दृष्टिकोण से शुरू करें: सीढ़ी एक तख़्त से शुरू होती है, और व्युत्पन्न फ़ंक्शन एक बिंदु पर व्युत्पन्न के साथ शुरू होता है।

विचार करना कुछ(विशिष्ट) बिंदु से संबंधित डोमेनएक फ़ंक्शन जिसका व्युत्पन्न है। इस बिंदु पर वेतन वृद्धि निर्धारित करें (बेशक, इससे आगे नहींओ/ओ -मैं)और फ़ंक्शन की संगत वृद्धि लिखें:

आइए सीमा की गणना करें:

अनिश्चितता 0:0 को ईसा पूर्व पहली शताब्दी में मानी जाने वाली एक मानक तकनीक द्वारा समाप्त किया जाता है। अंश और हर को संयुक्त अभिव्यक्ति से गुणा करें :

ऐसी सीमा को हल करने की तकनीक पर परिचयात्मक पाठ में विस्तार से चर्चा की गई है। कार्यों की सीमा के बारे में.

चूँकि अंतराल के किसी भी बिंदु को चुना जा सकता है, इसलिए, प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह मिलता है:

उत्तर

एक बार फिर, आइए लघुगणक पर आनंद लें:

उदाहरण 2

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान: आइए एक ही कार्य के प्रचार के लिए एक अलग दृष्टिकोण पर विचार करें। यह बिल्कुल वैसा ही है, लेकिन डिजाइन के मामले में अधिक तर्कसंगत है। विचार यह है कि समाधान की शुरुआत में सबस्क्रिप्ट से छुटकारा पा लिया जाए और अक्षर के बजाय अक्षर का उपयोग किया जाए।

विचार करना मनमानासे संबंधित बिंदु डोमेनफ़ंक्शन (अंतराल), और इसमें वृद्धि निर्धारित करें। और यहां, वैसे, जैसा कि ज्यादातर मामलों में होता है, आप बिना किसी आपत्ति के कर सकते हैं, क्योंकि परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर लॉगरिदमिक फ़ंक्शन भिन्न होता है।

फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

डिज़ाइन की आसानी उस भ्रम से संतुलित होती है जिसे शुरुआती (और न केवल) अनुभव कर सकते हैं। आख़िरकार, हम इस तथ्य के आदी हैं कि अक्षर "X" सीमा में बदलता है! लेकिन यहां सब कुछ अलग है: - एक प्राचीन मूर्ति, और - एक जीवित आगंतुक, जो संग्रहालय के गलियारे में तेजी से चल रहा है। अर्थात्, "x" "एक स्थिरांक की तरह" है।

मैं चरण दर चरण अनिश्चितता के उन्मूलन पर टिप्पणी करूंगा:

(1) लघुगणक के गुण का प्रयोग करें .

(2) कोष्ठक में, हम अंश को हर से विभाजित करते हैं।

(3) हर में, हम लाभ लेने के लिए कृत्रिम रूप से "x" से गुणा और भाग करते हैं अद्भुत सीमा , के रूप में करते हुए बहुत छोताअलग दिखना।

उत्तर: व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार:

या संक्षेप में:

मैं स्वतंत्र रूप से दो और सारणीबद्ध सूत्र बनाने का प्रस्ताव करता हूं:

उदाहरण 3

इस मामले में, चक्रवृद्धि वृद्धि को तुरंत कम करना सुविधाजनक है आम विभाजक. पाठ के अंत में असाइनमेंट का एक अनुमानित नमूना (पहली विधि)।

उदाहरण 3:समाधान : कुछ बिंदु पर विचार करें , फ़ंक्शन के दायरे से संबंधित . इस बिंदु पर वेतन वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की संगत वृद्धि लिखें:

आइए एक बिंदु पर व्युत्पन्न खोजें :

से के रूप में आप कोई भी बिंदु चुन सकते हैं कार्य क्षेत्र , वह और
उत्तर : व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार

उदाहरण 4

परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें

और यहाँ सब कुछ कम किया जाना चाहिए अद्भुत सीमा. समाधान दूसरे तरीके से तैयार किया गया है।

इसी तरह, कई अन्य सारणीबद्ध व्युत्पन्न. पूरी सूचीमें पाए जा सकते हैं स्कूल की पाठ्यपुस्तक, या, उदाहरण के लिए, फिचटेनहोल्ट्ज़ का पहला खंड। मुझे पुस्तकों और विभेदीकरण के नियमों के प्रमाणों को दोबारा लिखने का कोई मतलब नहीं दिखता - वे भी सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं।

उदाहरण 4:समाधान , स्वामित्व , और इसमें एक वृद्धि निर्धारित करें

आइए व्युत्पन्न खोजें:

अद्भुत सीमा का उपयोग करना

उत्तर : एक-प्राथमिकता

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें , व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए

समाधान: पहली दृश्य शैली का प्रयोग करें. आइए संबंधित कुछ बिंदु पर विचार करें, आइए इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें। फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

शायद कुछ पाठक अभी तक उस सिद्धांत को पूरी तरह नहीं समझ पाए हैं जिसके द्वारा वेतन वृद्धि की जानी चाहिए। हम एक बिंदु (संख्या) लेते हैं और उसमें फ़ंक्शन का मान पाते हैं: , अर्थात्, फ़ंक्शन में के बजाय"x" प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए. अब हम एक बहुत विशिष्ट संख्या भी लेते हैं और उसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित भी करते हैं के बजाय"एक्स": । हम अंतर लिख देते हैं, जबकि यह जरूरी है पूर्णतया कोष्ठक में रखें.

रचित कार्य वृद्धि तुरंत सरलीकरण करना लाभकारी है. किस लिए? आगे की सीमा के समाधान को सुगम और छोटा करें।

हम सूत्रों का उपयोग करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और जो कुछ भी कम किया जा सकता है उसे कम करते हैं:

टर्की नष्ट हो गया है, भूनने में कोई समस्या नहीं:

अंततः:

चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या को गुणवत्ता के रूप में चुना जा सकता है, हम प्रतिस्थापन करते हैं और प्राप्त करते हैं .

उत्तर: एक-प्राथमिकता.

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, हम व्युत्पन्न का उपयोग करते हुए पाते हैं विभेदीकरण नियम और तालिकाएँ:

पहले से सही उत्तर जानना हमेशा उपयोगी और सुखद होता है, इसलिए समाधान की शुरुआत में ही मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर प्रस्तावित फ़ंक्शन को "त्वरित" तरीके से अलग करना बेहतर होता है।

उदाहरण 6

व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करें

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. परिणाम सतह पर है:

उदाहरण 6:समाधान : कुछ बिंदु पर विचार करें , स्वामित्व , और इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें . फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

इस प्रकार:
क्योंकि के रूप में कोई भी वास्तविक संख्या चुनी जा सकती है और
उत्तर : एक-प्राथमिकता.

आइए शैली #2 पर वापस जाएँ:

उदाहरण 7

आइए तुरंत जानें कि क्या होना चाहिए। द्वारा एक जटिल कार्य के विभेदन का नियम:

समाधान: से संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें, उसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की वृद्धि लिखें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

(1) प्रयोग त्रिकोणमितीय सूत्र .

(2) ज्या के नीचे हम कोष्ठक खोलते हैं, कोज्या के नीचे हम समान पद प्रस्तुत करते हैं।

(3) साइन के तहत हम पदों को कम करते हैं, कोसाइन के तहत हम अंश को हर से विभाजित करते हैं।

(4) साइन की विषमता के कारण हम "माइनस" निकाल देते हैं। कोसाइन के तहत, हम इंगित करते हैं कि शब्द।

(5) हम उपयोग करने के लिए हर को कृत्रिम रूप से गुणा करते हैं पहली अद्भुत सीमा. इस प्रकार, अनिश्चितता समाप्त हो जाती है, हम परिणाम का आकलन करते हैं।

उत्तर: एक-प्राथमिकता

जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन समस्या की मुख्य कठिनाई सीमा की जटिलता + पैकिंग की थोड़ी मौलिकता पर टिकी हुई है। व्यवहार में, डिज़ाइन के दोनों तरीके सामने आते हैं, इसलिए मैं दोनों दृष्टिकोणों का यथासंभव विस्तार से वर्णन करता हूँ। वे समतुल्य हैं, लेकिन फिर भी, मेरी व्यक्तिपरक धारणा में, नौसिखियों के लिए "X शून्य" के साथ पहले विकल्प पर टिके रहना अधिक समीचीन है।

उदाहरण 8

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 8:समाधान : एक मनमाना बिंदु पर विचार करें , स्वामित्व , आइए इसमें एक वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन में वृद्धि करें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं और पहली उल्लेखनीय सीमा:

उत्तर : एक-प्राथमिकता

आइए समस्या के एक दुर्लभ संस्करण का विश्लेषण करें:

उदाहरण 9

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

सबसे पहले, अंतिम पंक्ति क्या होनी चाहिए? संख्या

उत्तर की गणना करें एक मानक तरीके से:

समाधान: स्पष्टता के दृष्टिकोण से, यह कार्य बहुत सरल है, क्योंकि सूत्र इसके बजाय एक विशिष्ट मान पर विचार करता है।

हम बिंदु पर एक वृद्धि निर्धारित करते हैं और फ़ंक्शन की संबंधित वृद्धि की रचना करते हैं:

एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करें:

हम स्पर्शरेखाओं के अंतर के लिए एक बहुत ही दुर्लभ सूत्र का उपयोग करते हैं और एक बार फिर समाधान को कम करें पहली अद्भुत सीमा:

उत्तर: एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार।

समस्या को हल करना इतना कठिन नहीं है और सामान्य रूप से देखें”- यह डिज़ाइन विधि के आधार पर, या बस से बदलने के लिए पर्याप्त है। इस मामले में, निश्चित रूप से, आपको कोई संख्या नहीं, बल्कि एक व्युत्पन्न फ़ंक्शन मिलता है।

उदाहरण 10

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें एक बिंदु पर (जिनमें से एक अनंत हो सकता है), जिसके बारे में I सामान्य शब्दों मेंपर पहले ही बताया जा चुका है व्युत्पन्न के बारे में सैद्धांतिक पाठ.

कुछ टुकड़े-टुकड़े परिभाषित फ़ंक्शन ग्राफ़ के "जंक्शन" बिंदुओं पर भी भिन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, कैटडॉग बिंदु पर एक उभयनिष्ठ व्युत्पन्न और एक उभयनिष्ठ स्पर्शज्या (एब्सिस्सा) है। वक्र, हाँ द्वारा अवकलनीय ! जो लोग चाहें वे इसे अभी हल किए गए उदाहरण के मॉडल पर स्वयं सत्यापित कर सकते हैं।

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पेज निर्माण दिनांक: 2017-06-11

एक चर के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

परिचय।

असली पद्धतिगत विकासऔद्योगिक और सिविल इंजीनियरिंग संकाय के छात्रों के लिए डिज़ाइन किया गया। उन्हें "एक चर के कार्यों की विभेदक गणना" खंड में गणित के पाठ्यक्रम के कार्यक्रम के संबंध में संकलित किया गया है।

ये घटनाक्रम एक एकल कार्यप्रणाली मार्गदर्शिका का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसमें शामिल हैं: संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी; इन समाधानों के लिए विस्तृत समाधान और स्पष्टीकरण के साथ "विशिष्ट" कार्य और अभ्यास; नियंत्रण विकल्प.

प्रत्येक अनुच्छेद के अंत में अतिरिक्त अभ्यास। विकास की ऐसी संरचना उन्हें शिक्षक की न्यूनतम सहायता के साथ अनुभाग में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए उपयुक्त बनाती है।

§1. व्युत्पन्न की परिभाषा.

यांत्रिक और ज्यामितीय अर्थ

व्युत्पन्न.

व्युत्पन्न की अवधारणा सबसे अधिक में से एक है महत्वपूर्ण अवधारणाएँगणितीय विश्लेषण। इसकी उत्पत्ति 17वीं शताब्दी में हुई। व्युत्पन्न की अवधारणा का गठन ऐतिहासिक रूप से दो समस्याओं से जुड़ा हुआ है: परिवर्तनशील गति की गति की समस्या और वक्र के स्पर्शरेखा की समस्या।

ये कार्य, अपनी भिन्न सामग्री के बावजूद, उसी गणितीय ऑपरेशन की ओर ले जाते हैं जिसे किसी फ़ंक्शन पर निष्पादित किया जाना चाहिए। इस ऑपरेशन को गणित में एक विशेष नाम प्राप्त हुआ है। इसे किसी फ़ंक्शन को विभेदित करने की क्रिया कहा जाता है। विभेदन संक्रिया के परिणाम को व्युत्पन्न कहा जाता है।

तो, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन y=f(x) का व्युत्पन्न फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा (यदि यह मौजूद है) है
पर
.

व्युत्पन्न को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

तो परिभाषा के अनुसार

प्रतीकों का उपयोग व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए भी किया जाता है
.

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ.

यदि s=s(t) किसी भौतिक बिंदु की सीधी गति का नियम है, तो
समय t पर इस बिंदु की गति है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ.

यदि फ़ंक्शन y=f(x) का एक बिंदु पर व्युत्पन्न है , फिर बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान
के बराबर होती है
.

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
बिंदु पर =2:

1) आइए एक बिंदु दें =2 वृद्धि
. नोटिस जो।

2) बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें =2:

3) फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात लिखें:

आइए रिश्ते की सीमा ज्ञात करें
:

इस प्रकार,
.

§ 2. कुछ के व्युत्पन्न

सबसे सरल कार्य.

छात्र को यह सीखना होगा कि विशिष्ट कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कैसे करें: y=x,y= और सामान्य तौर पर y= .

फलन y=x का अवकलज ज्ञात कीजिए।

वे। (x)'=1.

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यौगिक

होने देना
तब

किसी पावर फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के भावों में एक पैटर्न को नोटिस करना आसान है
n=1,2,3 पर.

इस तरह,

. (1)

यह सूत्र किसी भी वास्तविक n के लिए मान्य है।

विशेष रूप से, सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

;

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह फ़ंक्शन प्रपत्र के फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है

पर
.

सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

फ़ंक्शन y=sin x और y=cos x के व्युत्पन्न।

माना y=sinx.

∆x से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

∆x→0 के रूप में सीमा को पार करते हुए, हमारे पास है

मान लीजिए y=cosx ।

∆x→0 के रूप में सीमा तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

;
. (2)

§3. विभेदीकरण के बुनियादी नियम.

विभेदन के नियमों पर विचार करें.

प्रमेय1 . यदि फ़ंक्शन u=u(x) और v=v(x) किसी दिए गए बिंदु x पर भिन्न हैं, तो उनका योग भी इस बिंदु पर भिन्न है, और योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न पदों के योग के बराबर है: (u+v)"=u"+v"।(3 )

प्रमाण: फलन y=f(x)=u(x)+v(x) पर विचार करें।

तर्क x की वृद्धि ∆x, फ़ंक्शन u और v की वृद्धि ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) से मेल खाती है। फिर फ़ंक्शन y बढ़ाया जाएगा

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

इस तरह,

तो, (u+v)"=u"+v"।

प्रमेय2. यदि फ़ंक्शन u=u(x) और v=v(x) किसी दिए गए बिंदु x पर भिन्न हैं, तो उनका उत्पाद भी उसी बिंदु पर भिन्न है। इस मामले में, उत्पाद का व्युत्पन्न निम्नलिखित सूत्र द्वारा पाया जाता है : (यूवी) "=यू" वी + यूवी "। (4)

प्रमाण: मान लीजिए y=uv, जहां u और v x के कुछ भिन्न फलन हैं। माना x को ∆x से बढ़ाया जाता है; फिर u को ∆u से बढ़ाया जाएगा, v को ∆v से बढ़ाया जाएगा, और y को ∆y से बढ़ाया जाएगा।

हमारे पास y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), या है

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

इसलिए, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

यहाँ से

∆x→0 के रूप में सीमा को पार करना और यह ध्यान में रखते हुए कि u और v ∆x पर निर्भर नहीं हैं, हमारे पास है

प्रमेय 3. दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका हर विभाजक के वर्ग के बराबर होता है, और अंश भाजक द्वारा लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद और विभाजक के उत्पाद के बीच का अंतर होता है। भाजक के व्युत्पन्न द्वारा लाभांश, अर्थात्।

अगर
वह
(5)