यदि आप क्षेत्र और परिधि जानते हैं तो एक आयत की भुजाएँ कैसे ज्ञात करें? ज्यामितीय आंकड़े। आयत

इसलिए, आरंभ करने के लिए, क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करने के सूत्रों पर विचार करें:

1) एस = ए * बी = 56 सेमी2;

2) पी \u003d 2ए + 2बी \u003d 30 सेमी।

आखिरकार, हम जानते हैं कि एक आयत में दो समान भुजाएँ होती हैं।

इस प्रकार, हमें दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

इससे हम पाते हैं कि एक भुजा 7 और दूसरी 8 है।

एक आयत की परिधि और उसके क्षेत्रफल के सूत्रों को जानने के बाद, पक्षों को दो समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में खोजा जाता है। सबसे पहले, हम एक पक्ष के मूल्य को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करते हैं और, उदाहरण के लिए, क्षेत्र। यह इस तरह दिखता है ए \u003d एस / बी \u003d 56 / बी

फिर हम परिधि के समीकरण में अक्षर A के लिए इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

पी \u003d 2 (56 / बी + बी) \u003d 30

हमें वह 56/बी+बी=15 मिलता है

इस समीकरण में, आपको इसे हल करने की भी आवश्यकता नहीं है - गुणा तालिका से परिचित कोई भी तुरंत देख सकता है कि 56 7 और 8 का उत्पाद है, और चूंकि इन संख्याओं का योग सिर्फ 15 है, वे मान हैं \u200b\u200bहमें आयत के किनारों की आवश्यकता है।

आप समीकरणों की एक प्रणाली को संकलित करके इस समस्या को हल करने का प्रयास कर सकते हैं।

आयत का परिमाप है: p=2a+2b;

आयत का क्षेत्रफल है: s=a*b;

चूँकि हम परिमाप और क्षेत्रफल जानते हैं, हम तुरंत संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं:

दूसरे समीकरण में b को a से व्यक्त करें:

और पहले समीकरण में b के लिए 56/a स्थानापन्न करें:

हम दोनों भागों को एक से गुणा करते हैं:

हम पाते हैं द्विघात समीकरण:

हम इस द्विघात समीकरण की जड़ें पाते हैं:

(15(15-4*1*56))/2*1 = (15(225-224))/2 = (151)/2 = (151)/2

यह पता चला कि इस समीकरण की जड़ें:

ए1=(15+1)/2=16/2=8;

ए2=(15-1)/2=14/2=7;

यह पता चला है कि हमारे पास 2 है संभव विकल्पआयत।

याद करें कि हमने व्यक्त किया था: b=56/a;

यहाँ से हमें संभव b मिलता है:

बी1=56/ए1=56/8=7;

बी2=56/ए2=56/7=8;

जैसा कि यह निकला, ये दो अलग-अलग आयतें समान हैं, आप केवल 56 के क्षेत्रफल के साथ 30 की परिधि तक पहुँच सकते हैं:

अगर ए = 7 और बी = 8।

या इसके विपरीत: a = 8 और b = 7।

अर्थात्, संक्षेप में, हमारे पास एक ही आयत है, बस एक संस्करण में ऊर्ध्वाधर पक्ष क्षैतिज एक से बड़ा है, और दूसरे में, इसके विपरीत, क्षैतिज पक्ष ऊर्ध्वाधर से बड़ा है।

उत्तर: एक भुजा 7 सेंटीमीटर और दूसरी 8 सेंटीमीटर है।

• स्कूल की ज्यामिति को याद करना:

  एक आयत की परिधि सभी पक्षों की लंबाई का योग है, और एक आयत का क्षेत्रफल उसके दो आसन्न पक्षों (लंबाई गुणा चौड़ाई) का उत्पाद है।

  इस स्थिति में, हम आयत का क्षेत्रफल और परिमाप दोनों जानते हैं। वे क्रमशः 56 सेमी ^ 2 और 30 सेमी के बराबर हैं।

  तो समाधान है:

  एस - क्षेत्र = ए एक्स बी;

  पी - परिधि \u003d ए + बी + ए + बी \u003d 2 ए + 2 बी;

  30 = 2 (ए + बी);

  हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:

  56 = (15 - बी) एक्स बी;

  56 \u003d 15 बी - बी ^ 2;

  बी ^ 2 - 15 बी + 56 = 0।

  हमें एक द्विघात समीकरण मिला, जिसे हल करने पर हमें मिलता है: b1 = 8, b2 = 7।

  आयत की दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए:

  ए1 = 15 - 8 = 7;

  ए2 = 15 - 7 = 8।

  उत्तर: एक आयत की भुजाएँ 8 और 7 सेमी या 7 और 8 सेमी हैं।

  यदि आयत P का परिमाप = 30 सेमी, और इसका क्षेत्रफल S = 56 सेमी, तो इसकी भुजाएँ बराबर होंगी:

  a एक भुजा है, b आयत की दूसरी भुजा है।

  इस प्रणाली को हल करने के बाद, हम इस तथ्य पर आते हैं कि भुजा a 7 सेमी के बराबर होगी, और भुजा b 8 सेमी के बराबर होगी।

  ए = 7 सेमी बी = 8 सेमी।

• दिया है : S = 56 सेमी

  आर = 30 सेमी

  पक्ष =?

  समाधान:

  माना आयत की भुजाएँ a और b हैं।

  तब: क्षेत्र S \u003d a * b, परिधि P \u003d 2 * (a + b),

  हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

  (ए * बी = 56? (एबी = 56

  (2(a+b)=30, (a+b=15 ), b को a के रूप में व्यक्त करने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:

  b=15-a, a^2 -15a +56 =0 , जिसे हल करने पर, हमें मिलता है:

  बी1=8, बी2=7। अर्थात्, आयत की भुजाएँ: a=7,b=8 , या इसके विपरीत: a=8,b=7।

समस्या को हल करने के लिए, आपको समीकरणों की एक प्रणाली लिखनी होगी और इसे हल करना होगा

हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है, जो आसानी से हल हो जाता है यदि हम इसमें परिधि और क्षेत्र के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं

विविक्तकर 1 है और समीकरण के दो मूल 7 और 8 हैं, इसलिए एक पक्ष है 7 सेमी के बराबर, अन्य 8 सेमी या इसके विपरीत।

मैंने विशेष रूप से यहाँ विवेचक को लिखा है, क्योंकि इसके द्वारा नेविगेट करना बहुत अच्छा है

यदि एक आयत की भुजाएँ ज्ञात करने की समस्या की स्थिति में, परिमाप और क्षेत्रफल का मान इस प्रकार निर्धारित किया जाता है कि यह विविक्तकर शून्य से अधिक, तो हमारे पास हैं आयत;

अगर भेदभाव करने वाला शून्य- तो हमारे पास हैं वर्ग(पी = 30, एस = 56.25, 7.5 वर्ग);

अगर भेदभाव करने वाला शून्य से कम, फिर ऐसा आयत मौजूद नहीं है(पी=20, एस=56 - कोई समाधान नहीं)

परिमाप 30, क्षेत्रफल 56। चलिए आयत की भुजाओं को a और c कहते हैं। तब हम निम्नलिखित समीकरण लिख सकते हैं:

चलो एक तरफ एक्स के रूप में और दूसरी तरफ वाई के रूप में लेबल करते हैं।

आयत के क्षेत्रफल की गणना पक्षों की लंबाई को गुणा करके की जाती है, इसलिए हम पहला समीकरण लिख सकते हैं:

परिधि पक्षों की लंबाई का योग है, इसलिए दूसरा समीकरण है:

हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है।

पहले समीकरण के अनुसार, हम X: X \u003d 56: Y का चयन करते हैं, हम इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

2*56:Y+2Y=30 यहां से Y: Y=7, फिर X=8 का मान ज्ञात करना पहले से ही आसान है।

एक और उपाय मिला

यह ज्ञात है कि एक आयत का परिमाप 30 और क्षेत्रफल 56 है, आगे:

परिमाप = 2*(लंबाई + चौड़ाई) या 2L + 2W

क्षेत्र = लंबाई * चौड़ाई या एल * डब्ल्यू

2L + 2W = 30 (दोनों भागों को 2 से विभाजित करें)

एल * (15 - एल) = 56

ईमानदारी से कहूं तो मुझे समाधान समझ में नहीं आया, लेकिन मुझे लगता है कि जो लोग गणित को पूरी तरह से नहीं भूले हैं वे इसका पता लगा लेंगे।

भुजा A=7, भुजा B=8

आयत का क्षेत्र, जैसा कि यह बोल्ड नहीं होगा, लेकिन यह महत्वपूर्ण अवधारणा. में रोजमर्रा की जिंदगीहम लगातार इसका सामना कर रहे हैं। खेतों, सब्जियों के बगीचों के आकार का पता लगाएं, छत की सफेदी के लिए आवश्यक पेंट की मात्रा की गणना करें, को चिपकाने के लिए कितने वॉलपेपर की आवश्यकता है

टकसाल और अधिक।

ज्यामितीय आकृति

सबसे पहले, आयत के बारे में बात करते हैं। यह एक समतल पर एक आकृति है जिसमें चार समकोण हैं, और इसकी विपरीत भुजाएँ बराबर हैं। इसकी भुजाओं को लंबाई और चौड़ाई कहा जाता है। उन्हें मिलीमीटर, सेंटीमीटर, डेसीमीटर, मीटर आदि में मापा जाता है। अब आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: "एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?" ऐसा करने के लिए, आपको लंबाई को चौड़ाई से गुणा करना होगा।

क्षेत्र = लंबाई * चौड़ाई

लेकिन एक और चेतावनी: लंबाई और चौड़ाई को माप की समान इकाइयों में व्यक्त किया जाना चाहिए, यानी मीटर और मीटर, मीटर और सेंटीमीटर नहीं। रिकॉर्ड किया गया क्षेत्र लैटिन पत्र S. सुविधा के लिए, हम लंबाई को लैटिन अक्षर b से और चौड़ाई को लैटिन अक्षर a से निरूपित करते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि क्षेत्रफल की इकाई मिमी 2, सेमी 2, मी 2, आदि है।

पर विचार करें विशिष्ट उदाहरणएक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। लंबाई बी = 10 इकाइयां चौड़ाई = 6 यूनिट हल: S=a*b, S=10 यूनिट*6 यूनिट, S=60 यूनिट 2। काम। एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि लंबाई चौड़ाई से 2 गुना है और 18 मीटर है? हल: यदि b=18 मीटर, तो a=b/2, a=9 मीटर एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि दोनों पक्ष ज्ञात हों? यह सही है, इसे सूत्र में प्लग करें। एस=ए*बी, एस=18*9, एस=162 एम2। उत्तर: 162 मीटर 2. काम। एक कमरे के लिए वॉलपेपर के कितने रोल खरीदने की जरूरत है यदि इसके आयाम हैं: लंबाई 5.5 मीटर, चौड़ाई 3.5 और ऊंचाई 3 मीटर? वॉलपेपर रोल आयाम: लंबाई 10 मीटर, चौड़ाई 50 सेमी। समाधान: कमरे की एक ड्राइंग बनाएं।

विपरीत भुजाओं के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। 5.5 मीटर और 3 मीटर के आयाम वाली दीवार के क्षेत्रफल की गणना करें।S दीवार 1 = 5.5 * 3,

एस दीवार 1 \u003d 16.5 मीटर 2। इसलिए, विपरीत दीवार का क्षेत्रफल 16.5 वर्ग मीटर है। अगली दो दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उनकी भुजाएँ क्रमशः 3.5 मीटर और 3 मीटर हैं। एस दीवारें 2 \u003d 3.5 * 3, एस दीवारें 2 \u003d 10.5 मीटर 2। इसलिए, विपरीत भुजा 10.5 मीटर 2 के बराबर है। आइए सभी परिणामों को जोड़ते हैं। 16.5 + 16.5 + 10.5 + 10.5 \u003d 54 मीटर 2। आयत के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें यदि पक्ष विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किए गए हैं। पहले, हमने मीटर 2 में क्षेत्र की गणना की, फिर इस मामले में हम मीटर का उपयोग करेंगे। फिर वॉलपेपर रोल की चौड़ाई 0.5 मीटर एस रोल \u003d 10 * 0.5, एस रोल \u003d 5 मीटर 2 होगी। अब हम पता लगाएंगे कि एक कमरे को चिपकाने के लिए कितने रोल चाहिए। 54:5=10.8 (रोल)। चूंकि उन्हें पूर्ण संख्याओं में मापा जाता है, इसलिए आपको वॉलपेपर के 11 रोल खरीदने होंगे। उत्तर: वॉलपेपर के 11 रोल। काम। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें यदि आप जानते हैं कि चौड़ाई लंबाई से 3 सेमी कम है, और आयत की भुजाओं का योग 14 सेमी है? हल: मान लें कि लंबाई x सेमी है, तो चौड़ाई (x-3) सेमी. x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 सेमी - आयत की लंबाई, 5-3 \u003d 2 सेमी - आयत की चौड़ाई, S \u003d 5 * 2, S \u003d 10 सेमी 2 उत्तर: 10 सेमी 2।

सारांश

उदाहरणों पर विचार करने के बाद, मुझे उम्मीद है कि यह स्पष्ट हो गया है कि आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। मैं आपको याद दिला दूं कि लंबाई और चौड़ाई की माप की इकाइयों का मिलान होना चाहिए, अन्यथा आपको गलत परिणाम मिलेगा, गलतियों से बचने के लिए, कार्य को ध्यान से पढ़ें। कभी-कभी एक पक्ष दूसरे पक्ष के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, डरो मत। हमारी हल की गई समस्याओं का संदर्भ लें, यह बहुत संभव है कि वे मदद कर सकें। लेकिन जीवनकाल में कम से कम एक बार हमें एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सामना करना पड़ता है।

4. एक वर्ग के विकर्ण के माध्यम से एक आयत के बारे में वर्णित एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र:

5. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो एक वृत्त के व्यास (परिक्रमित) के माध्यम से एक आयत के पास वर्णित है:

6. एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र, जो एक आयत के पास विकर्ण के निकटवर्ती कोण की ज्या के माध्यम से वर्णित है, और इस कोण के विपरीत भुजा की लंबाई है:

7. एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र, जो एक आयत के बारे में वर्णित है, कोण के कोसाइन के संदर्भ में जो विकर्ण से सटे हुए हैं, और इस कोण पर भुजा की लंबाई:

8. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो एक साइन के माध्यम से एक आयत के चारों ओर वर्णित है तीव्र कोणविकर्णों और आयत के क्षेत्रफल के बीच:

आयत की एक भुजा और एक विकर्ण के बीच का कोण।

आयत के किनारे और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने के सूत्र:

1. विकर्ण और पार्श्व के माध्यम से एक आयत के पक्ष और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:

2. विकर्णों के बीच के कोण के माध्यम से एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:

आयत के विकर्णों के बीच का कोण।

आयत के विकर्णों के बीच के कोण को निर्धारित करने के सूत्र:

1. भुजा और विकर्ण के बीच के कोण से आयत के विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात करने का सूत्र:

β = 2α

2. क्षेत्रफल और विकर्ण के माध्यम से एक आयत के विकर्णों के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र।

क्षेत्र जैसी अवधारणा के साथ हमें अपने जीवन में प्रतिदिन व्यवहार करना पड़ता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक घर बनाते समय, आवश्यक सामग्री की मात्रा की गणना करने के लिए आपको इसे जानना होगा। आकार बाग़ का प्लॉटक्षेत्रफल के हिसाब से भी होगा। यहां तक ​​कि एक अपार्टमेंट में मरम्मत भी इस परिभाषा के बिना नहीं की जा सकती। इसलिए, एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, यह प्रश्न हमारे ऊपर बहुत बार उठता है और न केवल स्कूली बच्चों के लिए महत्वपूर्ण है।

जो लोग नहीं जानते हैं, उनके लिए एक आयत एक सपाट आकृति है जिसमें विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं और कोण 90 डिग्री होते हैं। गणित में क्षेत्र को निरूपित करने के लिए प्रयोग करें अंग्रेजी अक्षरएस। इसे वर्ग इकाइयों में मापा जाता है: मीटर, सेंटीमीटर, और इसी तरह।

अब आइए एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर देने का प्रयास करते हैं। इस मान को निर्धारित करने के कई तरीके हैं। सबसे अधिक बार, हमें चौड़ाई और लंबाई का उपयोग करके क्षेत्र का निर्धारण करने के तरीके का सामना करना पड़ता है।

चलिए चौड़ाई b और लंबाई k के साथ एक आयत लेते हैं। किसी दिए गए आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, चौड़ाई को लंबाई से गुणा करें। यह सब एक सूत्र के रूप में दर्शाया जा सकता है जो इस तरह दिखेगा: S = b * k।

अब आइए इस विधि को एक विशिष्ट उदाहरण के साथ देखें। बगीचे के भूखंड का क्षेत्रफल 2 मीटर चौड़ा और 7 मीटर लंबा निर्धारित करना आवश्यक है।

एस = 2 * 7 = 14 एम 2

गणित में, विशेष रूप से गणित में, हमें दूसरे तरीकों से क्षेत्रफल निर्धारित करना पड़ता है, क्योंकि कई मामलों में हमें आयत की लंबाई या चौड़ाई का पता नहीं होता है। इसी समय, अन्य ज्ञात मात्राएँ हैं। इस मामले में आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

• यदि हम विकर्ण की लंबाई और आयत के किसी भी पक्ष के साथ विकर्ण बनाने वाले कोणों में से एक को जानते हैं, तो इस मामले में हमें क्षेत्रफल याद रखने की आवश्यकता है।आखिरकार, यदि आप इसे समझते हैं, तो आयत में दो होते हैं समान समकोण त्रिभुज। तो, परिभाषित मूल्य पर वापस। पहले आपको कोण के कोसाइन को निर्धारित करने की आवश्यकता है। परिणामी मान को विकर्ण की लंबाई से गुणा करें। नतीजतन, हमें आयत के किनारों में से एक की लंबाई मिलती है। इसी तरह, लेकिन पहले से ही साइन की परिभाषा का उपयोग करके, आप दूसरी तरफ की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं। अब आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? हां, प्राप्त मूल्यों को गुणा करना बहुत आसान है।

सूत्र के रूप में, यह ऐसा दिखाई देगा:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , जहाँ d विकर्ण की लंबाई है

• एक आयत का क्षेत्रफल निर्धारित करने का दूसरा तरीका इसमें खुदा हुआ एक वृत्त है। यह लागू होता है अगर आयत एक वर्ग है। इस्तेमाल के लिए यह विधियह जानने की जरूरत है कि इस तरह एक आयत के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें? बेशक, सूत्र के अनुसार। हम इसे साबित नहीं करेंगे। और यह ऐसा दिखता है: S = 4 * r2, जहाँ r त्रिज्या है।

ऐसा होता है कि त्रिज्या के बजाय हम खुदा हुआ चक्र का व्यास जानते हैं। तब सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

S=d2, जहाँ d व्यास है।

• यदि एक पक्ष और परिधि ज्ञात है, तो इस मामले में आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? ऐसा करने के लिए, आपको कई सरल गणनाएँ करने की आवश्यकता है। जैसा कि हम जानते हैं, आयत के विपरीत पक्ष बराबर होते हैं, इसलिए आपको परिधि के मान से घटाना होगा ज्ञात लंबाईदो से गुणा। परिणाम को दो से विभाजित करें और दूसरी भुजा की लंबाई प्राप्त करें। ठीक है, फिर मानक चाल, हम दोनों पक्षों को गुणा करते हैं और आयत का क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं। सूत्र के रूप में, यह ऐसा दिखाई देगा:

S=b* (P - 2*b), जहां b भुजा की लंबाई है, P परिमाप है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक आयत का क्षेत्रफल निर्धारित किया जा सकता है विभिन्न तरीके. यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि विचार करने से पहले हम किन मात्राओं को जानते हैं यह मुद्दा. बेशक, नवीनतम कलन विधियाँ व्यावहारिक रूप से जीवन में कभी नहीं पाई जाती हैं, लेकिन वे स्कूल में कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी हो सकती हैं। शायद यह लेख आपकी समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी होगा।

अनुदेश

उदाहरण के लिए, आप पक्षों में से एक की लंबाई (ए) 7 सेमी है, और परिमाप आयत(P) 20 सेमी के बराबर है परिमापकोई आंकड़ा योग के बराबर हैइसके पक्षों की लंबाई, और आयततब सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं परिमापलेकिन यह दिखेगा इस अनुसार: पी = 2 एक्स (ए + बी), या पी = 2ए + 2बी। यह इस सूत्र से इस प्रकार है कि आप एक साधारण ऑपरेशन का उपयोग करके दूसरी भुजा (बी) की लंबाई पा सकते हैं: बी \u003d (पी - 2 ए): 2। इसलिए, हमारे मामले में, साइड बी (20 - 2) के बराबर होगा x 7): 2 \u003d 3 सेमी .

अब, दोनों आसन्न भुजाओं (a और b) की लंबाई जानने के बाद, आप उन्हें क्षेत्रफल सूत्र S = ab में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इस मामले में आयत 7x3 = 21 के बराबर होगा। कृपया ध्यान दें कि माप की इकाइयाँ अब नहीं होंगी, बल्कि वर्ग सेंटीमीटर होंगी, क्योंकि आपने माप की इकाई (सेंटीमीटर) के दोनों पक्षों की लंबाई को एक दूसरे से गुणा किया है।

स्रोत:

• एक आयत की परिधि क्या है

एक सपाट आकृति जिसमें चार भुजाएँ और चार समकोण होते हैं। सभी आंकड़ों का वर्ग आयतदूसरों की तुलना में अधिक बार गणना की जानी है। यह और वर्गअपार्टमेंट, और वर्गउद्यान क्षेत्र, और वर्गमेज या शेल्फ सतह। उदाहरण के लिए, बस एक कमरे को वॉलपेपर करने के लिए, गणना करें वर्गइसकी आयताकार दीवारें।

अनुदेश

वैसे, से आयतआसानी से गणना की जा सकती है वर्ग. यह आयताकार को पूरा करने के लिए पर्याप्त है आयतताकि कर्ण एक विकर्ण बन जाए आयत. तब यह स्पष्ट होगा वर्गऐसा आयतत्रिकोण के पैरों के उत्पाद के बराबर है, और वर्गत्रिभुज ही, क्रमशः पैरों के आधे उत्पाद के बराबर है।

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विशेष मामलासमांतर चतुर्भुज - एक आयत - केवल यूक्लिड की ज्यामिति में जाना जाता है। पर आयतसभी कोण बराबर हैं, और उनमें से प्रत्येक अलग-अलग 90 डिग्री है। निजी संपत्तियों के आधार पर आयत, साथ ही विपरीत पक्षों के समांतरता के बारे में समांतर चतुर्भुज के गुणों से, कोई भी पा सकता है दोनों पक्षदिए गए विकर्णों के अनुदिश आकृतियाँ और उनके प्रतिच्छेदन से कोण। पार्श्व गणना आयतअतिरिक्त निर्माण और परिणामी आंकड़ों के गुणों के अनुप्रयोग पर आधारित है।

अनुदेश

अक्षर A विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करता है। निर्माणों द्वारा गठित ईएफए पर विचार करें। संपत्ति के अनुसार आयतइसके विकर्ण बराबर हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु ए द्वारा द्विभाजित हैं। एफए और ईए के मूल्यों की गणना करें। चूंकि त्रिभुज EFA समद्विबाहु है और इसका दोनों पक्षईए और एफए एक दूसरे के बराबर हैं और क्रमशः विकर्ण ईजी के आधे के बराबर हैं।

अगला, पहले EF की गणना करें आयत. यह किनारामाना त्रिभुज EFA की तीसरी अज्ञात भुजा है। कोज्या प्रमेय के अनुसार, भुजा EF ज्ञात करने के लिए संबंधित सूत्र का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, पक्षों के पहले से प्राप्त मूल्यों FА EA और उनके बीच ज्ञात कोण के कोसाइन α को कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें। परिणामी EF मान की गणना करें और रिकॉर्ड करें।

दूसरा पक्ष खोजो आयत FG। ऐसा करने के लिए, एक अन्य त्रिभुज EFG पर विचार करें। यह आयताकार है, जहाँ कर्ण EG और पाद EF ज्ञात हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, उपयुक्त सूत्र का उपयोग करके दूसरा चरण FG ज्ञात कीजिए।

सबसे सरल सपाट ज्यामितीय आकृतियों को संदर्भित करता है और समांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों में से एक है। विशेष फ़ीचरऐसा समांतर चतुर्भुज - चारों शीर्षों पर समकोण। सीमित पार्टियां आयत वर्गइसकी भुजाओं के आयामों, विकर्णों और उनके बीच के कोणों, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या आदि का उपयोग करके कई तरीकों से गणना की जा सकती है।

अनुदेश

यदि विकर्ण बनाने वाले कोण (α) का मान ज्ञात हो आयतइसके एक तरफ, साथ ही इस विकर्ण की लंबाई (C), फिर क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप आयताकार में त्रिकोणमितीय की परिभाषाओं का उपयोग कर सकते हैं। सही त्रिकोणयहाँ वे एक चतुर्भुज और उसके विकर्ण की दो भुजाएँ बनाते हैं। कोसाइन की परिभाषा से यह पता चलता है कि किसी एक भुजा की लंबाई कोण द्वारा विकर्ण की लंबाई के गुणनफल के बराबर होगी, मान ज्ञात है। साइन की परिभाषा से, आप दूसरी तरफ की लंबाई के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं - यह विकर्ण की लंबाई और उसी कोण की साइन के उत्पाद के बराबर है। इन सर्वसमिकाओं को पिछले चरण से सूत्र में प्रतिस्थापित करें, और यह पता चला है कि क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको ज्ञात कोण के साइन और कोसाइन को गुणा करने की आवश्यकता है, साथ ही साथ विकर्ण की लंबाई आयत: एस=पाप(α)*cos(α)*С².

यदि, विकर्ण की लंबाई के अतिरिक्त (C) आयतकोण (β) का मान जो विकर्णों का रूप ज्ञात है, फिर आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप इनमें से किसी एक का भी उपयोग कर सकते हैं त्रिकोणमितीय कार्य- साइन। विकर्ण की लंबाई का वर्ग करें और परिणाम को ज्ञात कोण के आधे साइन से गुणा करें: S=C²*sin(β)/2।

यदि (r) एक आयत में खुदे हुए वृत्त के लिए जाना जाता है, तो क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, इस मान को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएँ और परिणाम को चौगुना करें: S = 4 * r²। एक चतुर्भुज, जिसमें यह संभव है, एक वर्ग होगा, और इसकी भुजा की लंबाई खुदे हुए वृत्त के व्यास के बराबर है, अर्थात त्रिज्या की दुगुनी है। पहले चरण से पहचान में, त्रिज्या के संदर्भ में व्यक्त पक्षों की लंबाई को प्रतिस्थापित करके सूत्र प्राप्त किया जाता है।

यदि लंबाई (P) और एक भुजा (A) ज्ञात हो आयत, फिर इस परिमाप के अंदर का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल और परिमाप की लंबाई और इस भुजा की दो लंबाइयों के बीच के अंतर की गणना करें: S=A*(P-2*A)/2 .

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बहुभुज की परिधि या क्षेत्रफल ज्ञात करने का कार्य न केवल ज्यामिति के पाठों में छात्रों के सामने आता है। कभी-कभी यह एक वयस्क द्वारा हल किया जाता है। क्या आपको गिनना था आवश्यक राशिकमरे के लिए वॉलपेपर? या हो सकता है कि आपने लंबाई नापी हो उपनगरीय क्षेत्रइसे बाड़ से घेरने के लिए? इसलिए महत्वपूर्ण परियोजनाओं के कार्यान्वयन के लिए कभी-कभी ज्यामिति की मूल बातों का ज्ञान अनिवार्य होता है।