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विभाज्यता के अतिरिक्त संकेत। विज्ञान में प्रारंभ करें

संख्याओं की विभाज्यता के संकेत 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 और अन्य संख्याएँ जानने के लिए उपयोगी हैं त्वरित निर्णयकिसी संख्या की डिजिटल रिकॉर्डिंग के लिए कार्य। एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने के बजाय, यह कई संकेतों की जांच करने के लिए पर्याप्त है, जिसके आधार पर यह स्पष्ट रूप से निर्धारित करना संभव है कि एक संख्या दूसरे से पूरी तरह से विभाज्य है (चाहे वह एक बहु हो) या नहीं।

विभाज्यता के मुख्य लक्षण

ले आओ संख्याओं की विभाज्यता के मुख्य लक्षण:

किसी संख्या की "2" से विभाज्यता का चिह्नसंख्या 2 से समान रूप से विभाज्य है यदि संख्या सम है (अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 है)
उदाहरण: संख्या 1256 2 का एक गुणक है क्योंकि यह 6 पर समाप्त होती है। और संख्या 49603 2 से विभाज्य भी नहीं है क्योंकि यह 3 पर समाप्त होती है।
किसी संख्या की "3" से विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 3 से विभाज्य है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य है
उदाहरण: संख्या 4761 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग 18 है और यह 3 से विभाज्य है। और संख्या 143 3 का गुणज नहीं है क्योंकि इसके अंकों का योग 8 है और यह 3 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "4" से विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 4 से विभाज्य है यदि संख्या के अंतिम दो अंक शून्य हैं या यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है
उदाहरण: संख्या 2344, 4 का गुणक है क्योंकि 44/4 = 11. और संख्या 3951, 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 51, 4 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "5" से विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 5 से विभाज्य है यदि संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 है
उदाहरण: संख्या 5830 5 से विभाज्य है क्योंकि यह 0 पर समाप्त होती है। लेकिन संख्या 4921 5 से विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 1 में समाप्त होती है।
किसी संख्या की "6" से विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 6 से विभाज्य है यदि यह 2 और 3 से विभाज्य है
उदाहरण: संख्या 3504 6 की एक बहु है क्योंकि यह 4 में समाप्त होती है (2 से विभाज्यता का चिन्ह) और संख्या के अंकों का योग 12 है और यह 3 से विभाज्य है (3 से विभाज्यता का चिन्ह)। और संख्या 5432 6 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है, हालाँकि संख्या 2 के साथ समाप्त होती है (2 से विभाज्यता का चिन्ह देखा जाता है), लेकिन अंकों का योग 14 है और यह 3 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "8" से विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 8 से विभाज्य है यदि संख्या के अंतिम तीन अंक शून्य हैं या यदि संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है
उदाहरण: संख्या 93112 8 से विभाज्य है क्योंकि 112/8 = 14. और संख्या 9212 8 का गुणक नहीं है क्योंकि 212 8 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "9" से विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 9 से विभाज्य है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है
उदाहरण: संख्या 2916 9 का एक गुणक है, क्योंकि अंकों का योग 18 है और यह 9 से विभाज्य है। और संख्या 831 9 से विभाज्य भी नहीं है, क्योंकि संख्या के अंकों का योग 12 है और यह 9 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "10" से विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 10 से विभाज्य है यदि यह 0 में समाप्त होती है
उदाहरण: संख्या 39590 10 से विभाज्य है क्योंकि यह 0 में समाप्त होती है। और संख्या 5964 10 से विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 0 में समाप्त नहीं होती है।
"11" से किसी संख्या की विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 11 से विभाज्य है यदि विषम स्थानों के अंकों का योग सम स्थानों के अंकों के योग के बराबर है या योग 11 से भिन्न होना चाहिए
उदाहरण: संख्या 3762 11 से विभाज्य है क्योंकि 3 + 6 = 7 + 2 = 9. और संख्या 2374 11 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 2 + 7 = 9 और 3 + 4 = 7 है।
"25" से किसी संख्या की विभाज्यता का चिह्नएक संख्या 25 से विभाज्य है यदि यह 00, 25, 50 या 75 पर समाप्त होती है
उदाहरण: संख्या 4950 25 का गुणक है क्योंकि यह 50 पर समाप्त होती है। और 4935 25 से विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 35 पर समाप्त होती है।

एक समग्र संख्या के लिए विभाज्यता मानदंड

यह पता लगाने के लिए कि क्या दी गई संख्या एक समग्र संख्या से विभाज्य है, आपको इसका विस्तार करने की आवश्यकता है समग्र संख्यापर आपस लगीं प्रधान कारण , जिनके विभाज्यता मानदंड ज्ञात हैं। सहअभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं होता। उदाहरण के लिए, एक संख्या 15 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 5 से विभाज्य हो।

यौगिक भाजक के एक और उदाहरण पर विचार करें: एक संख्या 18 से विभाज्य है यदि यह 2 और 9 से विभाज्य है। इस मामले में, आप 18 को 3 और 6 में विघटित नहीं कर सकते, क्योंकि वे सहअभाज्य नहीं हैं, क्योंकि उनके पास है सामान्य विभाजक 3. इसे एक उदाहरण से देखते हैं।

संख्या 456 3 से विभाज्य है, क्योंकि इसके अंकों का योग 15 है, और 6 से विभाज्य है, क्योंकि यह 3 और 2 दोनों से विभाज्य है। लेकिन यदि आप मैन्युअल रूप से 456 को 18 से विभाजित करते हैं, तो आपको शेषफल मिलता है। यदि, संख्या 456 के लिए, हम 2 और 9 से विभाज्यता के चिह्नों की जाँच करते हैं, तो यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि यह 2 से विभाज्य है, लेकिन 9 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि संख्या के अंकों का योग 15 है और यह नहीं है 9 से विभाज्य।

एमऔर एनएक पूर्णांक है कऔर एनके= एम, फिर संख्या एमद्वारा विभाजित एन

विभाज्यता कौशल का उपयोग गणना को सरल करता है, और आनुपातिक रूप से उनके निष्पादन की गति को बढ़ाता है। आइए मुख्य विशेषता का विस्तार से विश्लेषण करें विभाज्यता सुविधाएँ.

विभाज्यता के लिए सबसे सीधा मानदंड इकाइयां: सभी संख्याएँ एक से विभाज्य होती हैं। यह प्राथमिक के रूप में और विभाज्यता के संकेतों के साथ है दो, पाँच, दस. एक सम संख्या को दो से विभाजित किया जा सकता है, या एक को 0 के अंतिम अंक के साथ, पाँच से - एक संख्या को 5 या 0 के अंतिम अंक के साथ विभाजित किया जा सकता है। केवल उन संख्याओं को 0 के अंतिम अंक के साथ दस से विभाजित किया जाएगा। 100 - केवल वे संख्याएँ जिनके अंतिम दो अंक शून्य हों, पर 1000 - केवल तीन अंतिम शून्य वाले।

उदाहरण के लिए:

संख्या 79516 को 2 से विभाजित किया जा सकता है, क्योंकि यह 6 में समाप्त होती है, एक सम संख्या; 9651 2 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 1 एक विषम अंक है; 1790 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक शून्य है। 3470 को 5 से विभाजित किया जाएगा (अंतिम अंक 0 है); 1054 5 (अंतिम 4) से विभाज्य नहीं है। 7800 को 10 और 100 से विभाजित किया जाएगा; 542000 10, 100, 1000 से विभाज्य है।

कम व्यापक रूप से जाना जाता है, लेकिन विशेषता का उपयोग करना बहुत आसान है विभाज्यता सुविधाएँपर 3 और 9 , 4 , 6 और 8, 25 . वे भी हैं विशेषताएँद्वारा विभाज्यता 7, 11, 13, 17, 19 और इसी तरह, लेकिन व्यवहार में उनका उपयोग बहुत कम बार किया जाता है।

3 और 9 से विभाजित करने की एक विशिष्ट विशेषता.

पर तीनऔर/या चालू नौशेष के बिना, उन संख्याओं को विभाजित किया जाएगा जिनके लिए अंकों को जोड़ने का परिणाम तीन और/या नौ का गुणक है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 156321, योग 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 का परिणाम क्रमशः 3 से विभाजित और 9 से विभाजित किया जाएगा, संख्या को क्रमशः 3 और 9 से विभाजित किया जा सकता है। संख्या 79123 नहीं होगी या तो 3 या 9 से विभाजित, इसलिए इसके अंकों का योग (22) इन संख्याओं से विभाज्य नहीं है।

4, 8, 16 और इसी तरह से विभाजित करने की एक विशेषता.

किसी संख्या को बिना शेषफल के विभाजित किया जा सकता है चार, यदि इसके अंतिम दो अंक शून्य हैं या एक संख्या है जिसे 4 से विभाजित किया जा सकता है। अन्य सभी मामलों में, शेष के बिना विभाजन संभव नहीं है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 75300 4 से विभाज्य है, क्योंकि अंतिम दो अंक शून्य हैं; 48834 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि अंतिम दो अंक 34 देते हैं, जो 4 से विभाज्य नहीं है; 35908 4 से विभाज्य है, क्योंकि 08 के अंतिम दो अंक 8 को 4 से विभाज्य बनाते हैं।

एक समान सिद्धांत द्वारा विभाज्यता की कसौटी पर लागू होता है आठ. एक संख्या आठ से विभाज्य है यदि उसके अंतिम तीन अंक शून्य हैं या 8 से विभाज्य संख्या बनाते हैं। अन्यथा, भाग से प्राप्त भागफल पूर्णांक नहीं होगा।

द्वारा विभाजन के लिए समान गुण 16, 32, 64 आदि, लेकिन इनका उपयोग रोजमर्रा की गणनाओं में नहीं किया जाता है।

6 से विभाज्यता की एक विशिष्ट विशेषता।

संख्या से विभाज्य है छह, यदि यह दो और तीन दोनों से विभाज्य है, अन्य सभी विकल्पों के साथ, शेष के बिना विभाजन असंभव है।

उदाहरण के लिए:

126 6 से विभाज्य है, क्योंकि यह 2 (अंतिम सम संख्या 6 है) और 3 (अंक 1 + 2 + 6 = 9 का योग तीन से विभाज्य है) दोनों से विभाज्य है।

7 से विभाज्यता की एक विशिष्ट विशेषता।

संख्या से विभाज्य है सातयदि इसकी दोगुनी अंतिम संख्या और "अंतिम अंक के बिना छोड़ी गई संख्या" का अंतर सात से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं सात से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 296492 है। आइए अंतिम अंक "2" लें, इसे दोगुना करें, यह 4 निकलता है। 29649 - 4 = 29645 घटाएं। यह पता लगाना समस्याग्रस्त है कि क्या यह 7 से विभाज्य है, इसलिए फिर से विश्लेषण किया गया। अगला, हम अंतिम अंक "5" को दोगुना करते हैं, यह 10 निकलता है। हम 2964 - 10 = 2954 घटाते हैं। परिणाम समान है, यह स्पष्ट नहीं है कि यह 7 से विभाज्य है, इसलिए हम विश्लेषण जारी रखते हैं। हम अंतिम अंक "4" के साथ विश्लेषण करते हैं, डबल, यह 8 निकलता है। 295 - 8 = 287 घटाएं। हम दो सौ सत्ताईस की तुलना करते हैं - यह 7 से विभाज्य नहीं है, इस संबंध में हम खोज जारी रखते हैं। सादृश्य से, अंतिम अंक "7", दोगुना, 14 निकलता है। 28 - 14 \u003d 14 घटाएं। संख्या 14 7 से विभाज्य है, इसलिए मूल संख्या 7 से विभाज्य है।

11 से विभाज्यता की एक विशिष्ट विशेषता.

पर ग्यारहकेवल वे संख्याएँ विभाज्य होती हैं जिनके लिए विषम स्थानों में रखे गए अंकों को जोड़ने का परिणाम होता है, या योग के बराबर हैअंक सम स्थानों में स्थित है, या ग्यारह से विभाज्य संख्या से भिन्न है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 103,785, 11 से विभाज्य है, क्योंकि विषम स्थानों के अंकों का योग, 1 + 3 + 8 = 12, सम स्थानों के अंकों के योग के बराबर है, 0 + 7 + 5 = 12. संख्या 9,163,627 है 11 से विभाज्य, चूंकि विषम स्थानों के अंकों का योग 9 + 6 + 6 + 7 = 28 है, और सम स्थानों के अंकों का योग 1 + 3 + 2 = 6 है; संख्या 28 और 6 के बीच का अंतर 22 है, और यह संख्या 11 से विभाज्य है। संख्या 461,025, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि संख्या 4 + 1 + 2 = 7 और 6 + 0 + 5 = 11 बराबर नहीं हैं एक दूसरे से, और उनका अंतर 11 - 7 = 4, 11 से विभाज्य नहीं है।

25 से विभाज्यता की एक विशिष्ट विशेषता.

पर पच्चीसउन संख्याओं को विभाजित करेगा जिनके दो अंतिम अंक शून्य हैं या एक संख्या बनाते हैं जिसे पच्चीस से विभाजित किया जा सकता है (अर्थात, 00, 25, 50, या 75 में समाप्त होने वाली संख्या)। अन्य मामलों में, संख्या को पूरी तरह से 25 से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

9450 25 से विभाज्य है (50 में समाप्त होता है); 5085 25 से विभाज्य नहीं है।

से स्कूल के पाठ्यक्रमबहुत से लोग याद करते हैं कि विभाज्यता के संकेत हैं। इस वाक्यांश को नियमों के रूप में समझा जाता है जो आपको सीधे अंकगणितीय ऑपरेशन किए बिना, किसी दिए गए एक से अधिक को निर्धारित करने की अनुमति देता है। यह विधिस्थितीय में प्रविष्टि से अंकों के एक भाग के साथ की गई क्रियाओं पर आधारित है

अधिकांश सरल संकेतविभाज्यता, कई लोग स्कूल के पाठ्यक्रम से याद करते हैं। उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, जिसके रिकॉर्ड में अंतिम अंक सम है। यह सुविधा अभ्यास में याद रखने और लागू करने में सबसे आसान है। यदि हम 3 से भाग देने की विधि की बात करें तो for बहु अंकों की संख्यालागू अगला नियम, जिसे इस उदाहरण में दिखाया जा सकता है। आपको पता लगाना है कि क्या 273 तीन का गुणज है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित कार्रवाई करें: 2+7+3=12। परिणामी योग 3 से विभाज्य है, इसलिए, 273 3 से विभाज्य होगा इस तरह से कि परिणाम एक पूर्णांक है।

5 और 10 से विभाज्यता के चिह्न इस प्रकार होंगे। पहले मामले में, प्रविष्टि संख्या 5 या 0 के साथ समाप्त होगी, दूसरे मामले में केवल 0 के साथ। यह पता लगाने के लिए कि क्या विभाज्य चार का एक गुणक है, आपको यह करना चाहिए इस अनुसार. अंतिम दो अंकों को अलग करना आवश्यक है। यदि यह दो शून्य या एक संख्या है जो बिना शेष के 4 से विभाज्य है, तो सभी विभाज्य विभाजक का एक गुणक होगा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सूचीबद्ध संकेत केवल दशमलव प्रणाली में उपयोग किए जाते हैं। वे अन्य मतगणना विधियों पर लागू नहीं होते हैं। ऐसे मामलों में, उनके अपने नियम व्युत्पन्न होते हैं, जो सिस्टम के आधार पर निर्भर करते हैं।

6 से भाग देने के चिन्ह इस प्रकार हैं। 6 यदि यह 2 और 3 दोनों का गुणज है। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 7 से विभाज्य है, आपको इसकी प्रविष्टि में अंतिम अंक को दोगुना करना होगा। प्राप्त परिणाम को मूल संख्या से घटाया जाता है, जिसमें अंतिम अंक को ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस नियम को निम्न उदाहरण में देखा जा सकता है। यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या 364 एक गुणक है। ऐसा करने के लिए, 4 को 2 से गुणा किया जाता है, यह 8 निकला। फिर निम्नलिखित क्रिया की जाती है: 36-8=28। प्राप्त परिणाम 7 का एक गुणक है, और इसलिए, मूल संख्या 364 को 7 से विभाजित किया जा सकता है।

8 से विभाज्यता के चिह्न इस प्रकार हैं। यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो आठ का गुणज है, तो संख्या स्वयं दिए गए भाजक द्वारा विभाज्य होगी।

आप यह पता लगा सकते हैं कि एक बहु-अंकीय संख्या 12 से विभाज्य है या नहीं। ऊपर सूचीबद्ध विभाज्यता मानदंड का उपयोग करते हुए, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या संख्या 3 और 4 की एक बहु है। यदि वे एक साथ एक संख्या के विभाजक के रूप में कार्य कर सकते हैं, तो दिए गए विभाज्य के साथ, आप 12 से भी विभाजित कर सकते हैं। समान नियम अन्य सम्मिश्र संख्याओं पर लागू होता है, उदाहरण के लिए, पंद्रह। इस स्थिति में, विभाजक 5 और 3 होने चाहिए। यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई संख्या 14 से विभाज्य है, आपको यह देखना चाहिए कि क्या यह 7 और 2 का गुणज है। इसलिए, आप निम्न उदाहरण में इस पर विचार कर सकते हैं। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या 658 को 14 से विभाजित किया जा सकता है। प्रविष्टि में अंतिम अंक सम है, इसलिए संख्या दो का गुणक है। अगला, हम 8 को 2 से गुणा करते हैं, हमें 16 मिलते हैं। 65 से, आपको 16 घटाना होगा। परिणाम 49, 7 से विभाज्य है, जैसे कि पूरी संख्या। इसलिए, 658 को 14 से विभाजित भी किया जा सकता है।

यदि किसी दी गई संख्या के अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य हैं, तो वह सभी इस भाजक का गुणज होगा। बहु-अंकीय संख्याओं के लिए, 11 से विभाज्यता का चिन्ह इस प्रकार होगा। यह पता लगाना आवश्यक है कि इसके रिकॉर्ड में विषम और सम स्थानों में अंकों के योग के बीच का अंतर किसी दिए गए विभाजक का गुणक है या नहीं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संख्याओं की विभाज्यता के संकेत और उनका ज्ञान अक्सर कई समस्याओं को बहुत सरल करता है जो न केवल गणित में बल्कि गणित में भी सामने आती हैं। रोजमर्रा की जिंदगी. यह निर्धारित करने की क्षमता के लिए धन्यवाद कि क्या एक संख्या दूसरे का एक गुणक है, आप जल्दी से विभिन्न कार्य कर सकते हैं। इसके अलावा, गणित की कक्षाओं में इन विधियों का उपयोग छात्रों या स्कूली बच्चों को विकसित करने में मदद करेगा, कुछ क्षमताओं के विकास में योगदान देगा।

विभाज्यता के चिन्हों पर लेखों की श्रंखला जारी है 3 से विभाज्यता का चिह्न. यह लेख पहले 3 से विभाज्यता की कसौटी का सूत्रीकरण देता है, और यह पता लगाने में इस कसौटी के अनुप्रयोग का उदाहरण देता है कि दिए गए पूर्णांकों में से कौन सा 3 से विभाज्य है और कौन सा नहीं। इसके अलावा, 3 से विभाज्यता परीक्षण का प्रमाण दिया गया है। कुछ व्यंजकों के मान के रूप में दी गई संख्याओं की 3 से विभाज्यता स्थापित करने के तरीकों पर भी विचार किया जाता है।

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3 से विभाज्यता का चिह्न, उदाहरण

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं 3 से विभाज्यता के लिए परीक्षण के योग: एक पूर्णांक 3 से विभाज्य है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य है, यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य नहीं है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य नहीं है।

उपरोक्त सूत्रीकरण से यह स्पष्ट है कि 3 से विभाज्यता के चिन्ह का उपयोग प्रदर्शन करने की क्षमता के बिना नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, 3 से विभाज्यता के चिह्न के सफल अनुप्रयोग के लिए, आपको यह जानना होगा कि सभी संख्याएँ 3, 6 और 9 3 से विभाज्य हैं, और संख्याएँ 1, 2, 4, 5, 7 और 8 विभाज्य नहीं हैं। द्वारा 3.

अब हम सबसे सरल पर विचार कर सकते हैं 3 से विभाज्यता के परीक्षण को लागू करने के उदाहरण. पता करें कि संख्या -42 3 से विभाज्य है या नहीं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या -42 के अंकों के योग की गणना करते हैं, यह 4+2=6 के बराबर है। चूंकि 6 3 से विभाज्य है, इसलिए 3 से विभाज्यता कसौटी के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि संख्या -42 भी 3 से विभाज्य है। लेकिन धनात्मक पूर्णांक 71, 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 7+1=8 है, और 8, 3 से विभाज्य नहीं है।

क्या 0 3 से विभाज्य है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, 3 से विभाज्यता के परीक्षण की आवश्यकता नहीं है, यहाँ हमें संबंधित विभाज्यता गुण को याद करने की आवश्यकता है, जो बताता है कि शून्य किसी भी पूर्णांक से विभाज्य है। अतः 0, 3 से विभाज्य है।

कुछ मामलों में, यह दिखाने के लिए कि दी गई संख्या में 3 से विभाज्य होने की क्षमता है या नहीं, 3 से विभाज्यता के परीक्षण को कई बार एक पंक्ति में लागू करना पड़ता है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण।

दिखाएँ कि संख्या 907444812 3 से विभाज्य है।

समाधान।

907444812 के अंकों का योग 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 है। यह पता लगाने के लिए कि क्या 39, 3 से विभाज्य है, हम इसके अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+9=12। और यह पता लगाने के लिए कि क्या 12, 3 से विभाज्य है, हम संख्या 12 के अंकों का योग ज्ञात करते हैं, हमारे पास 1+2=3 है। चूंकि हमें संख्या 3 मिली है, जो 3 से विभाज्य है, इसलिए, 3 से विभाज्यता के चिह्न के कारण, संख्या 12, 3 से विभाज्य है। इसलिए, 39 3 से विभाज्य है, क्योंकि इसके अंकों का योग 12 है, और 12 3 से विभाज्य है। अंत में, 907333812 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग 39 है और 39 3 से विभाज्य है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम दूसरे उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

क्या संख्या -543205 3 से विभाज्य है?

समाधान।

आइए इस संख्या के अंकों के योग की गणना करें: 5+4+3+2+0+5=19। बदले में, संख्या 19 के अंकों का योग 1+9=10 है, और संख्या 10 के अंकों का योग 1+0=1 है। चूँकि हमें संख्या 1 मिली है, जो 3 से विभाज्य नहीं है, यह 3 से विभाज्यता की कसौटी पर आधारित है कि 10, 3 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, 19, 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 10 है, और 10, 3 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, मूल संख्या -543205 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग, 19 के बराबर, 3 से विभाज्य नहीं है।

उत्तर:

नहीं।

यह ध्यान देने योग्य है कि किसी दी गई संख्या का 3 से प्रत्यक्ष विभाजन हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि दी गई संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं। इसके द्वारा हम यह कहना चाहते हैं कि 3 से विभाज्यता के चिह्न के पक्ष में विभाजन की उपेक्षा नहीं की जानी चाहिए। पिछले उदाहरण में, 543205 गुना 3, हम सुनिश्चित करेंगे कि 543205 3 से विभाज्य भी नहीं है, जिससे हम कह सकते हैं कि −543205 भी 3 से विभाज्य नहीं है।

3 से विभाज्यता के परीक्षण का प्रमाण

संख्या a का निम्नलिखित निरूपण हमें 3 से विभाज्यता के चिह्न को सिद्ध करने में मदद करेगा। कोई प्राकृतिक संख्या a हम कर सकते हैं, जिसके बाद यह हमें फॉर्म का एक प्रतिनिधित्व प्राप्त करने की अनुमति देता है, जहां a n , a n−1 , …, a 0 संख्या a के अंकन में बाएं से दाएं अंक हैं। स्पष्टता के लिए, हम इस तरह के प्रतिनिधित्व का एक उदाहरण देते हैं: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 ।

अब आइए काफी स्पष्ट समानताएँ लिखें: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 और इसी तरह।

समानता में प्रतिस्थापन a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0के बजाय 10 , 100 , 1 000 और इसी तरह भाव 3 3+1 , 33 3+1 , 999+1=333 3+1 और इसी तरह, हम प्राप्त करते हैं
.

और परिणामी समानता को निम्नानुसार फिर से लिखने की अनुमति दें:

अभिव्यक्ति a के अंकों का योग है। संक्षिप्तता और सुविधा के लिए इसे A अक्षर से निरूपित करते हैं, अर्थात . तब हमें संख्या a का एक रूप मिलता है, जिसका उपयोग हम 3 से विभाज्यता के परीक्षण को सिद्ध करने में करेंगे।

साथ ही, 3 से विभाज्यता के परीक्षण को सिद्ध करने के लिए, हमें विभाज्यता के निम्नलिखित गुणों की आवश्यकता है:

कि एक पूर्णांक a एक पूर्णांक b से विभाज्य है, आवश्यक और पर्याप्त है कि a, b के मापांक से विभाज्य है;
यदि समानता में a=s+t किसी एक को छोड़कर सभी पद किसी पूर्णांक b से विभाज्य हैं, तो यह एक पद भी b से विभाज्य है।

अब हम पूरी तरह से तैयार हैं और प्रदर्शन कर सकते हैं 3 से विभाज्यता का प्रमाण, सुविधा के लिए, हम इस सुविधा को 3 से विभाज्यता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त के रूप में तैयार करते हैं।

प्रमेय।

एक पूर्णांक a को 3 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

सबूत।

के लिए a=0 प्रमेय स्पष्ट है।

अगर a शून्य से भिन्न है, तो a का मापांक एक प्राकृत संख्या है, तब निरूपण संभव है, जहां संख्या ए के अंकों का योग है।

चूंकि पूर्णांकों का योग और उत्पाद एक पूर्णांक है, तो एक पूर्णांक है, फिर विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, उत्पाद किसी भी a 0, a 1, …, a n के लिए 3 से विभाज्य है।

यदि संख्या a के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, अर्थात A, 3 से विभाज्य है, तो प्रमेय से पहले इंगित विभाज्यता गुण के कारण, यह 3 से विभाज्य है, इसलिए a, 3 से विभाज्य है। यह पर्याप्तता सिद्ध करता है।

अगर a 3 से विभाज्य है, तो 3 से विभाज्य है, तो विभाज्यता के इसी गुण के कारण संख्या A 3 से विभाज्य है, अर्थात संख्या a के अंकों का योग 3 से विभाज्य है। यह आवश्यकता को सिद्ध करता है।

3 से विभाज्यता के अन्य मामले

कभी-कभी पूर्णांकों को स्पष्ट रूप से नहीं, बल्कि कुछ के मान के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है दिया गया मूल्यचर। उदाहरण के लिए, किसी प्राकृत n के व्यंजक का मान एक प्राकृत संख्या है। यह स्पष्ट है कि संख्याओं के इस असाइनमेंट के साथ, 3 से प्रत्यक्ष विभाजन 3 से उनकी विभाज्यता स्थापित करने में मदद नहीं करेगा, और 3 से विभाज्यता का चिन्ह हमेशा लागू नहीं हो पाएगा। अब हम ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कई दृष्टिकोणों पर विचार करेंगे।

इन दृष्टिकोणों का सार मूल अभिव्यक्ति को कई कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना है, और यदि कम से कम एक कारक 3 से विभाज्य है, तो, विभाज्यता की इसी संपत्ति के कारण, यह निष्कर्ष निकालना संभव होगा कि संपूर्ण उत्पाद 3 से विभाज्य है।

कभी-कभी यह दृष्टिकोण आपको लागू करने की अनुमति देता है। आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

क्या व्यंजक का मान किसी प्राकृत n के लिए 3 से विभाज्य है?

समाधान।

समानता स्पष्ट है। आइए न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करें:

अंतिम व्यंजक में, हम कोष्ठकों में से 3 निकाल सकते हैं, और हमें प्राप्त होता है। परिणामी उत्पाद 3 से विभाज्य है, क्योंकि इसमें एक कारक 3 है, और प्राकृतिक n के लिए कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मान एक प्राकृतिक संख्या है। इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए 3 से विभाज्य है।

उत्तर:

हाँ।

कई मामलों में, 3 से विभाज्यता साबित करने से . आइए एक उदाहरण को हल करने में इसके अनुप्रयोग का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत n के लिए व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है।

समाधान।

प्रमाण के लिए, हम गणितीय आगमन विधि का उपयोग करते हैं।

पर n=1 व्यंजक का मान है, और 6, 3 से विभाज्य है।

मान लीजिए व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है जब n=k , अर्थात 3 से विभाज्य है।

यह ध्यान में रखते हुए कि यह 3 से विभाज्य है, हम दिखाएंगे कि n=k+1 के लिए व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है, अर्थात, हम यह दिखाएंगे कि 3 से विभाज्य है।

परिभाषा 1. संख्या दें ए 1) दो संख्याओं का गुणनफल है बीऔर क्यूइसलिए ए = बीक्यू।तब एबहु कहा जाता है बी.

1) इस लेख में संख्या शब्द का अर्थ पूर्णांक होगा।

तुम भी कह सकते हो एद्वारा विभाजित बी,या बीएक भाजक है ए, या बीविभाजित ए, या बीमें कारक के रूप में प्रवेश करता है ए.

परिभाषा 1 का तात्पर्य निम्नलिखित कथनों से है:

कथन1. अगर एएकाधिक बी, बीएकाधिक सी, वह एएकाधिक सी.

वास्तव में। क्योंकि

कहाँ एमऔर एनकुछ नंबर,

इस तरह एद्वारा विभाजित सी।

यदि संख्याओं की एक श्रृंखला में, प्रत्येक अगले एक से विभाज्य है, तो प्रत्येक संख्या बाद की सभी संख्याओं का एक गुणक है।

कथन 2. यदि संख्याएँ एऔर बी- गुणक सी, तो उनका योग और अंतर भी गुणक है सी.

वास्तव में। क्योंकि

ए+बी=एमसी+एनसी=(एम+एन)सी,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

इस तरह क+खद्वारा विभाजित सीऔर एक-बीद्वारा विभाजित सी .

विभाज्यता के लक्षण

आइए व्युत्पन्न करें सामान्य सूत्रकिसी प्राकृतिक संख्या द्वारा संख्याओं की विभाज्यता का चिह्न निर्धारित करने के लिए एम, जिसे पास्कल का विभाज्यता परीक्षण कहा जाता है।

द्वारा भाग का शेषफल ज्ञात कीजिए एमअगला क्रम। मान लीजिए 10 को भाग देने का शेष बचता है एमइच्छा आर 1, 10 और मिडडॉट आर 1 पर एमइच्छा आर 2, आदि। तब आप लिख सकते हैं:

आइए हम सिद्ध करें कि संख्या के भाग का शेषफल एपर एमसंख्या को विभाजित करने के शेष के बराबर

(3)

जैसा कि आप जानते हैं, यदि दो संख्याएँ, जब किसी संख्या से विभाजित होती हैं एमवही शेषफल दें, तो अंतर से विभाज्य है एमएक का पता लगाए बिना।

अंतर पर विचार करें ए-ए"

(6)

(7)

(5) के दायीं ओर का प्रत्येक पद किससे विभाज्य है एमइस तरह बाईं तरफसमीकरण को भी विभाजित किया गया है एम. इसी प्रकार तर्क करने पर, हम प्राप्त करते हैं - (6) के दाहिने पक्ष को विभाजित किया जाता है एमइसलिए, (6) का बायां पक्ष भी विभाज्य है एम, (7) का दाहिना भाग विभाज्य है एमइसलिए, (7) का बायां पक्ष भी विभाज्य है एम. हमने पाया कि समीकरण (4) का दाहिना भाग विभाज्य है एम. इस तरह एऔर ए"से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है एम. इस मामले में उनका कहना है एऔर ए"मापांक में समतुल्य या तुलनीय एम.

इस प्रकार, यदि ए"द्वारा विभाजित एम एम) , वह एमें भी बांटा गया है एम(से विभाजित करने पर शून्य शेष रहता है एम). हमने दिखाया है कि विभाज्यता निर्धारित करने के लिए एसरल संख्या की विभाज्यता निर्धारित करना संभव है ए".

अभिव्यक्ति (3) के आधार पर, विशिष्ट संख्याओं के लिए विभाज्यता के संकेत प्राप्त करना संभव है।

संख्या 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 की विभाज्यता के चिन्ह

2 से विभाज्यता का चिह्न।

निम्नलिखित प्रक्रिया (1) के लिए एम = 2, हम पाते हैं:

2 से भाग देने पर शेषफल शून्य होता है। फिर, समीकरण (3) से हमारे पास है

3 से विभाजित करने के बाद सभी अवशेष 1 के बराबर हैं। फिर, समीकरण (3) से हमारे पास है

पहले वाले को छोड़कर 4 से विभाजन के सभी अवशेष 0 के बराबर हैं। फिर, समीकरण (3) से हमारे पास है

सभी शेष शून्य हैं। फिर, समीकरण (3) से हमारे पास है

सभी अवशेष 4 के बराबर हैं। फिर, समीकरण (3) से हमारे पास है

इसलिए, संख्या 6 से विभाज्य है यदि और केवल यदि दसियों की चौगुनी संख्या, इकाइयों की संख्या में जोड़ी जाए, तो 6 से विभाज्य है। अर्थात, हम संख्या से सही अंक को हटा देते हैं, फिर परिणामी संख्या को 4 से जोड़ते हैं और छोड़ी गई संख्या जोड़ें। यदि दी गई संख्या 6 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 6 से विभाज्य है।

उदाहरण। 2742 6 से विभाज्य है क्योंकि 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 6 से विभाज्य है।

विभाज्यता के लिए एक सरल मानदंड। एक संख्या 6 से विभाज्य है यदि यह 2 और 3 से विभाज्य है (अर्थात यदि यह एक सम संख्या है और यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य है)। संख्या 2742 6 से विभाज्य है क्योंकि संख्या सम है और 2+7+4+2=15 3 से विभाज्य है।

7 से विभाज्यता का चिह्न।

निम्नलिखित प्रक्रिया (1) के लिए एम = 7, हम पाते हैं: