चार भुजाओं वाले कैलकुलेटर के माध्यम से समलंब क्षेत्रफल सूत्र। ट्रैपेज़ियम क्षेत्र: गणना कैसे करें, सूत्र
और । अब हम इस प्रश्न पर विचार करना शुरू कर सकते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। रोजमर्रा की जिंदगी में यह कार्य बहुत कम होता है, लेकिन कभी-कभी यह आवश्यक हो जाता है, उदाहरण के लिए, एक कमरे के क्षेत्र को एक ट्रेपेज़ॉइड के रूप में खोजना, जिसका उपयोग आधुनिक अपार्टमेंट के निर्माण में तेजी से किया जा रहा है, या नवीकरण डिज़ाइन परियोजनाओं में।
ट्रैपेज़ॉइड एक ज्यामितीय आकृति है जो चार प्रतिच्छेदी खंडों से बनती है, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर होते हैं और ट्रैपेज़ॉइड के आधार कहलाते हैं। अन्य दो खंडों को समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, हमें बाद में एक और परिभाषा की आवश्यकता होगी। यह ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा है, जो पक्षों के मध्य बिंदुओं और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई को जोड़ने वाला एक खंड है, जो आधारों के बीच की दूरी के बराबर है।
त्रिभुजों की तरह, एक समलम्ब चतुर्भुज में एक समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्ब चतुर्भुज के रूप में विशेष प्रकार होते हैं, जिसमें भुजाओं की लंबाई समान होती है और आयताकार समलम्बाकार, जिसमें एक भुजा आधारों के साथ समकोण बनाती है।
ट्रैपेज़ॉइड्स में कुछ दिलचस्प गुण हैं:
- एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग का आधा और उनके समानांतर होती है।
- समद्विबाहु समलंब की भुजाएँ और कोण समान होते हैं जिन्हें वे आधारों के साथ बनाते हैं।
- एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदु और इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर होते हैं।
- यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर है, तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है
- यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा इसके किसी आधार पर बने कोणों का योग 90 है, तो आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उनके आधे-अंतर के बराबर है।
- एक समद्विबाहु समलंब को एक वृत्त द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और इसके विपरीत। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज एक वृत्त में अंकित है, तो वह समद्विबाहु है।
- एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाला खंड इसके आधारों के लंबवत होगा और समरूपता के अक्ष का प्रतिनिधित्व करता है।
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें.
एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग को उसकी ऊँचाई से गुणा करने पर आधा होगा। इसे एक सूत्र के रूप में अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है:
जहां S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, a,b समलम्ब चतुर्भुज के प्रत्येक आधार की लंबाई है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है।
इस सूत्र को आप समझ सकते हैं और याद रख सकते हैं इस अनुसार. नीचे दिए गए चित्र के अनुसार, मध्य रेखा का उपयोग करके एक समलंब को एक आयत में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसकी लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होगी।
आप किसी भी समलम्ब चतुर्भुज को सरल आकृतियों में भी विघटित कर सकते हैं: एक आयत और एक या दो त्रिकोण, और यदि यह आपके लिए आसान है, तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में ज्ञात करें।
इसके क्षेत्रफल की गणना का एक और सरल सूत्र है। इसके अनुसार, ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल इसकी मध्य रेखा और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के उत्पाद के बराबर है और इसे इस प्रकार लिखा गया है: S \u003d m * h, जहां S क्षेत्र है, m लंबाई है मध्य रेखा, h समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई है। यह सूत्र रोजमर्रा की समस्याओं की तुलना में गणित की समस्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि वास्तविक परिस्थितियों में आप प्रारंभिक गणना के बिना मध्य रेखा की लंबाई नहीं जान पाएंगे। और आपको केवल आधारों और भुजाओं की लंबाई ही पता चलेगी।
इस मामले में, ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
एस = ((ए + बी) / 2) * √सी 2 - ((बी-ए) 2 + सी 2 -डी 2/2 (बी-ए)) 2
जहां S क्षेत्रफल है, a,b आधार हैं, c,d समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के और भी कई तरीके हैं। लेकिन, वे पिछले फॉर्मूले की तरह ही असुविधाजनक हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ध्यान केंद्रित करने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप लेख से पहले सूत्र का उपयोग करें और आशा करते हैं कि आपको हमेशा सटीक परिणाम प्राप्त हों।
आत्मविश्वास महसूस करने और ज्यामिति पाठों में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, सूत्र सीखना पर्याप्त नहीं है। पहले उन्हें समझने की जरूरत है. डरना, और उससे भी अधिक सूत्रों से नफरत करना, अनुत्पादक है। इस आलेख में सुलभ भाषा का विश्लेषण किया जायेगा विभिन्न तरीकेएक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना। संबंधित नियमों और प्रमेयों को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम इसके गुणों पर कुछ ध्यान देंगे। इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि नियम कैसे काम करते हैं और किन मामलों में कुछ फ़ार्मुलों को लागू किया जाना चाहिए।
एक समलम्ब चतुर्भुज को परिभाषित करें
सामान्य तौर पर यह आंकड़ा क्या है? समलंब चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार कोण और दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। समलम्ब चतुर्भुज की अन्य दो भुजाओं को विभिन्न कोणों पर झुकाया जा सकता है। इसकी समानांतर भुजाओं को आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर भुजाओं के लिए "भुजाएँ" या "कूल्हे" नाम का प्रयोग किया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में ऐसे आंकड़े काफी आम हैं। ट्रैपेज़ॉइड की रूपरेखा कपड़ों, आंतरिक वस्तुओं, फर्नीचर, व्यंजन और कई अन्य लोगों के सिल्हूट में देखी जा सकती है। ट्रैपेज़ होता है अलग - अलग प्रकार: बहुमुखी, समद्विबाहु और आयताकार। हम लेख में बाद में उनके प्रकार और गुणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे।
ट्रेपेज़ॉइड गुण
आइए हम इस आकृति के गुणों पर संक्षेप में ध्यान दें। किसी भी भुजा से सटे कोणों का योग सदैव 180° होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है। ट्रेपेज़ॉइड में मध्य रेखा की अवधारणा होती है। यदि आप भुजाओं के मध्यबिंदुओं को एक खंड से जोड़ते हैं, तो यह मध्य रेखा होगी। इसे एम नामित किया गया है। मध्य रेखा है महत्वपूर्ण गुण: यह हमेशा आधारों के समानांतर होता है (हमें याद है कि आधार भी एक दूसरे के समानांतर होते हैं) और उनके आधे योग के बराबर होता है:
इस परिभाषा को सीखना और समझना चाहिए, क्योंकि यह कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है!
ट्रेपेज़ॉइड पर, आप हमेशा ऊँचाई को आधार से कम कर सकते हैं। ऊंचाई एक लंबवत है, जिसे अक्सर प्रतीक एच द्वारा दर्शाया जाता है, जो एक आधार पर किसी भी बिंदु से दूसरे आधार या उसके विस्तार पर खींचा जाता है। मध्य रेखा और ऊंचाई आपको समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करेगी। ये कार्य सबसे आम हैं स्कूल पाठ्यक्रमज्यामिति और नियमित रूप से नियंत्रण और परीक्षा पत्रों में उपस्थित होते हैं।
समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सबसे सरल सूत्र
आइए दो सबसे लोकप्रिय और सरल फ़ार्मुलों का विश्लेषण करें जिनकी सहायता से समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। आप जो खोज रहे हैं उसे आसानी से ढूंढने के लिए ऊंचाई को आधारों के योग के आधे से गुणा करना पर्याप्त है:
एस = एच*(ए + बी)/2.
इस सूत्र में, ए, बी ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को दर्शाते हैं, एच - ऊंचाई। इस लेख में पठनीयता के लिए, सूत्रों में गुणन चिह्न को प्रतीक (*) से चिह्नित किया गया है, हालांकि आधिकारिक संदर्भ पुस्तकों में गुणन चिह्न आमतौर पर छोड़ दिया जाता है।
एक उदाहरण पर विचार करें.
दिया गया है: 10 और 14 सेमी के बराबर दो आधारों वाला एक समलंब, ऊंचाई 7 सेमी है। समलंब का क्षेत्रफल क्या है?
आइए इस समस्या के समाधान का विश्लेषण करें। इस सूत्र का उपयोग करते हुए, आपको सबसे पहले आधारों का आधा योग ज्ञात करना होगा: (10 + 14) / 2 = 12। तो, आधा योग 12 सेमी है। अब हम आधे योग को ऊंचाई से गुणा करते हैं: 12 *7 = 84. जो चाहिए वह मिल जाता है। उत्तर: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है। सेमी।
दूसरा प्रसिद्ध सूत्रबताता है कि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल मध्य रेखा और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है। अर्थात्, यह वास्तव में मध्य रेखा की पिछली अवधारणा से अनुसरण करता है: S=m*h।
गणना के लिए विकर्णों का उपयोग करना
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का दूसरा तरीका वास्तव में उतना कठिन नहीं है। यह इसके विकर्णों से जुड़ा हुआ है। इस सूत्र के अनुसार, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसके विकर्णों (d 1 d 2) के आधे गुणनफल को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करना आवश्यक है:
एस = ½ डी 1 डी 2 पाप एक।
एक समस्या पर विचार करें जो इस पद्धति के अनुप्रयोग को दर्शाती है। दिया गया है: एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी विकर्ण लंबाई क्रमशः 8 और 13 सेमी है। विकर्णों के बीच का कोण 30° है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, यह गणना करना आसान है कि क्या आवश्यक है। जैसा कि आप जानते हैं, पाप 30° 0.5 है। इसलिए, एस = 8*13*0.5=52. उत्तर: क्षेत्रफल 52 वर्ग मीटर है। सेमी।
एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र की तलाश
एक समलंब चतुर्भुज समद्विबाहु (आइसोसेलस) हो सकता है। इसकी भुजाएँ समान हैं और आधारों पर कोण समान हैं, जो चित्र में अच्छी तरह से दर्शाया गया है। एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में नियमित समलंब चतुर्भुज के समान गुण होते हैं, साथ ही कई विशेष गुण भी होते हैं। आस-पास समद्विबाहु समलम्बाकारएक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और एक वृत्त को उसमें अंकित किया जा सकता है।
ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की क्या विधियाँ हैं? नीचे दी गई विधि के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होगी. इसका उपयोग करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण की ज्या (sin) और कोज्या (cos) का मान जानना होगा। उनकी गणना के लिए या तो ब्रैडिस तालिकाओं की आवश्यकता होती है इंजीनियरिंग कैलकुलेटर. यहाँ सूत्र है:
एस= सी*पाप ए*(ए - सी* क्योंकि ए),
कहाँ साथ- पार्श्व जांघ ए- निचले आधार पर कोण.
एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं, तो वह समद्विबाहु है। इसलिए समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में सहायता के लिए निम्नलिखित सूत्र - विकर्णों के वर्ग का आधा गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या: S = ½ d 2 पाप एक।
एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना
प्रसिद्ध विशेष मामलाआयताकार समलम्बाकार. यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसमें एक है ओर(उसकी जांघ) आधारों से समकोण पर जुड़ती है। इसमें एक साधारण ट्रेपेज़ॉइड के गुण हैं। इसके अलावा, उसके पास बहुत कुछ है दिलचस्प विशेषता. ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का अंतर उसके आधारों के वर्गों के अंतर के बराबर होता है। इसके लिए क्षेत्रफल की गणना के लिए पहले दी गई सभी विधियों का उपयोग किया जाता है।
सरलता को लागू करना
एक युक्ति है जो विशिष्ट सूत्रों को भूलने की स्थिति में मदद कर सकती है। आइए बारीकी से देखें कि ट्रैपेज़ॉइड क्या है। यदि हम मानसिक रूप से इसे भागों में विभाजित करते हैं, तो हमें परिचित और समझने योग्य ज्यामितीय आकार मिलेंगे: एक वर्ग या एक आयत और एक त्रिकोण (एक या दो)। यदि आप समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई और भुजाओं को जानते हैं, तो आप त्रिभुज और आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, और फिर सभी प्राप्त मूल्यों को जोड़ सकते हैं।
आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करें। एक आयताकार समलम्बाकार दिया गया है। कोण C = 45°, कोण A, D 90° हैं। ट्रेपेज़ॉइड का ऊपरी आधार 20 सेमी है, ऊंचाई 16 सेमी है। आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है।
इस आकृति में स्पष्ट रूप से एक आयत (यदि दो कोण 90° हैं) और एक त्रिभुज शामिल है। चूँकि समलंब आयताकार है, इसलिए इसकी ऊंचाई इसकी भुजा के बराबर है, अर्थात 16 सेमी। हमारे पास क्रमशः 20 और 16 सेमी की भुजाओं वाला एक आयत है। अब एक त्रिभुज पर विचार करें जिसका कोण 45° है। हम जानते हैं कि इसकी एक भुजा 16 सेमी है। चूँकि यह भुजा समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई भी है (और हम जानते हैं कि ऊँचाई समकोण पर आधार पर पड़ती है), इसलिए, त्रिभुज का दूसरा कोण 90° है। अतः त्रिभुज का शेष कोण 45° है। इसके परिणामस्वरूप, हमें एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है, जिसकी दो भुजाएँ समान होती हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज की दूसरी भुजा ऊंचाई के बराबर है, यानी 16 सेमी। यह त्रिभुज और आयत के क्षेत्रफल की गणना करने और परिणामी मान जोड़ने के लिए बनी हुई है।
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के आधे गुणनफल के बराबर होता है: S = (16*16)/2 = 128. एक आयत का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई और लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है: एस = 20*16 = 320। हमें आवश्यक मिला: ट्रेपेज़ॉइड एस का क्षेत्रफल = 128 + 320 = 448 वर्ग। देखें। आप उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आसानी से स्वयं को दोबारा जांच सकते हैं, उत्तर समान होगा।
हम पिक फॉर्मूला का उपयोग करते हैं
अंत में, हम एक और मूल सूत्र प्रस्तुत करते हैं जो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करता है। इसे पिक फॉर्मूला कहा जाता है. जब ट्रेपेज़ॉइड खींचा जाता है तो इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है चेकदार कागज. इसी तरह के कार्य अक्सर जीआईए की सामग्रियों में पाए जाते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:
एस = एम/2 + एन - 1,
इस सूत्र में, एम नोड्स की संख्या है, यानी। ट्रेपेज़ॉइड (आकृति में नारंगी बिंदु) की सीमाओं पर सेल की रेखाओं के साथ आकृति की रेखाओं का प्रतिच्छेदन, एन आकृति के अंदर नोड्स की संख्या (नीला बिंदु) है। अनियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय इसका उपयोग करना सबसे सुविधाजनक होता है। हालाँकि, से अधिक शस्त्रागारजिन विधियों का उपयोग किया जाएगा, त्रुटियाँ उतनी ही कम होंगी और परिणाम बेहतर होंगे।
बेशक, दी गई जानकारी ट्रैपेज़ॉइड के प्रकार और गुणों के साथ-साथ इसके क्षेत्र को खोजने के तरीकों को समाप्त करने से बहुत दूर है। यह आलेख इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं का अवलोकन प्रदान करता है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में, धीरे-धीरे कार्य करना, आसान सूत्रों और समस्याओं से शुरुआत करना, लगातार समझ को मजबूत करना और जटिलता के दूसरे स्तर पर जाना महत्वपूर्ण है।
एक साथ एकत्र किए गए, सबसे आम सूत्र छात्रों को एक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने और परीक्षणों के लिए बेहतर तैयारी करने के विभिन्न तरीकों को नेविगेट करने में मदद करेंगे और नियंत्रण कार्यइस टॉपिक पर।
गणित में, कई प्रकार के चतुर्भुज ज्ञात हैं: वर्ग, आयत, समचतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज। उनमें से एक ट्रेपेज़ॉइड है - एक प्रकार का उत्तल चतुर्भुज, जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं, और अन्य दो नहीं होते हैं। समानांतर विपरीत भुजाओं को आधार कहा जाता है, और अन्य दो को समलंब की भुजाएँ कहा जाता है। वह खंड जो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है, मध्य रेखा कहलाता है। ट्रेपेज़ॉइड कई प्रकार के होते हैं: समद्विबाहु, आयताकार, वक्ररेखीय। प्रत्येक प्रकार के ट्रेपेज़ॉइड के लिए, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र हैं।
ट्रैपेज़ियम क्षेत्र
किसी समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसके आधारों की लंबाई और उसकी ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई आधारों के लंबवत एक खंड है। मान लीजिए कि शीर्ष आधार a है, निचला आधार b है, और ऊँचाई h है। फिर आप सूत्र द्वारा क्षेत्र S की गणना कर सकते हैं:
एस = ½ * (ए + बी) * एच
वे। आधारों के योग को ऊँचाई से गुणा करके आधा लें।
यदि आप ऊंचाई और मध्य रेखा का मान जानते हैं तो आप समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना भी कर सकते हैं। निरूपित मध्य पंक्ति- एम। तब
आइए समस्या को और अधिक जटिल तरीके से हल करें: हम समलम्ब चतुर्भुज की चारों भुजाओं की लंबाई जानते हैं - ए, बी, सी, डी। तब क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
यदि विकर्णों की लंबाई और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल इस प्रकार निकाला जाता है:
एस = ½ * डी1 * डी2 * सिनα
जहाँ सूचकांक 1 और 2 के साथ d विकर्ण हैं। इस सूत्र में गणना में कोण की ज्या दी गई है।
पर ज्ञात लंबाईआधार ए और बी और निचले आधार पर दो कोण, क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:
एस = ½ * (बी2 - ए2) * (पाप α * पाप β / पाप(α + β))
एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है। इसका अंतर यह है कि ऐसा समलम्बाकार एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें समरूपता का अक्ष दो विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरता है। इसकी भुजाएँ बराबर हैं।
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं।
- तीन भुजाओं की लंबाई के माध्यम से. इस मामले में, पक्षों की लंबाई मेल खाएगी, इसलिए उन्हें एक मान - सी, ए और बी - आधारों की लंबाई से दर्शाया जाता है:
- यदि ऊपरी आधार की लंबाई, पार्श्व भुजा और निचले आधार पर कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:
एस = सी * पाप α * (ए + सी * कॉस α)
जहां a ऊपरी आधार है, c भुजा है।
- यदि ऊपरी आधार के बजाय निचले आधार की लंबाई ज्ञात हो - बी, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
एस = सी * पाप α * (बी - सी * कॉस α)
- यदि दो आधार और निचले आधार पर कोण ज्ञात हो, तो कोण की स्पर्शरेखा का उपयोग करके क्षेत्र की गणना की जाती है:
एस = ½ * (बी2 - ए2) * टीजी α
- साथ ही, क्षेत्रफल की गणना विकर्णों और उनके बीच के कोण के माध्यम से की जाती है। इस मामले में, विकर्णों की लंबाई बराबर होती है, इसलिए प्रत्येक को सूचकांकों के बिना अक्षर d द्वारा दर्शाया जाता है:
एस = ½ * डी2 * पापα
- पार्श्व पक्ष की लंबाई, मध्य रेखा और निचले आधार पर कोण को जानकर, समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें।
मान लीजिए पक्ष - सी, मध्य रेखा - एम, कोना - ए, फिर:
एस = एम * सी * पापα
कभी-कभी एक समबाहु समलंब में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, जिसकी त्रिज्या होगी - r.
यह ज्ञात है कि एक वृत्त को किसी भी समलंब में अंकित किया जा सकता है यदि आधारों की लंबाई का योग उसकी भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो। फिर क्षेत्रफल अंकित वृत्त की त्रिज्या और निचले आधार पर कोण के माध्यम से पाया जाता है:
एस = 4आर2 / सिनα
वही गणना अंकित वृत्त के व्यास डी के माध्यम से की जाती है (वैसे, यह ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई से मेल खाता है):
आधारों और कोण को जानकर, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:
एस = ए*बी/सिनα
(यह और इसके बाद के सूत्र केवल खुदे हुए वृत्त वाले समलम्ब चतुर्भुजों के लिए मान्य हैं)।
वृत्त के आधारों और त्रिज्या के माध्यम से क्षेत्रफल इस प्रकार खोजा जाता है:
यदि केवल आधार ज्ञात हैं, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
आधारों और पार्श्व रेखा के माध्यम से, एक उत्कीर्ण वृत्त के साथ और आधारों और मध्य रेखा के माध्यम से एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल - मी की गणना निम्नानुसार की जाती है:
एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है, जिसमें एक भुजा आधारों पर लंबवत होती है। इस मामले में, साइड की लंबाई ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई से मेल खाती है।
एक आयताकार समलंब एक वर्ग और एक त्रिभुज है। प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बाद, परिणाम जोड़ें और आकृति का कुल क्षेत्रफल प्राप्त करें।
आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए भी उपयुक्त है सामान्य सूत्रएक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए।
- यदि आधारों की लंबाई और ऊंचाई (या लंबवत पक्ष) ज्ञात है, तो क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
एस = (ए + बी) * एच / 2
जैसे h (ऊँचाई) साथ वाला पक्ष हो सकता है। तब सूत्र इस प्रकार दिखता है:
एस = (ए + बी) * सी/2
- क्षेत्रफल की गणना करने का दूसरा तरीका मध्य रेखा की लंबाई को ऊंचाई से गुणा करना है:
या पार्श्व लंबवत पक्ष की लंबाई से:
- अगली गणना विधि विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के माध्यम से होती है:
एस = ½ * डी1 * डी2 * सिनα
यदि विकर्ण लंबवत हैं, तो सूत्र सरल हो जाता है:
एस = ½ * डी1 * डी2
- गणना करने का दूसरा तरीका अर्ध-परिधि (दो विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग) और अंकित वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से है।
यह सूत्र आधारों के लिए मान्य है। यदि हम भुजाओं की लंबाई लें, तो उनमें से एक त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी। सूत्र इस प्रकार दिखेगा:
एस = (2आर + सी) * आर
- यदि एक वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो क्षेत्रफल की गणना उसी प्रकार की जाती है:
जहाँ m मध्य रेखा की लंबाई है।
एक वक्ररेखीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
एक वक्ररेखीय समलम्बाकार एक सपाट आकृति है जो खंड, एक्स-अक्ष और सीधी रेखाओं x = a, x = b पर परिभाषित एक गैर-नकारात्मक निरंतर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ से घिरा हुआ है। वास्तव में, इसकी दो भुजाएँ एक दूसरे (आधार) के समानांतर हैं, तीसरी भुजा आधारों के लंबवत है, और चौथा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुरूप एक वक्र है।
न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके अभिन्न के माध्यम से एक वक्ररेखीय समलम्बाकार का क्षेत्र खोजा जाता है:
क्षेत्रफल की गणना कैसे की जाती है विभिन्न प्रकारसमलम्बाकार। लेकिन, भुजाओं के गुणों के अलावा, समलम्ब चतुर्भुज में कोणों के समान गुण होते हैं। सभी मौजूदा चतुर्भुजों की तरह, एक समलम्ब चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360 डिग्री होता है। और भुजा के निकटवर्ती कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल. अभिवादन! इस प्रकाशन में हम इस सूत्र पर विचार करेंगे। ऐसा क्यों है और आप इसे कैसे समझ सकते हैं? अगर समझ है तो उसे सीखने की जरूरत नहीं है. अगर आप सिर्फ यह फॉर्मूला देखना चाहते हैं और क्या जरूरी है, तो आप तुरंत पेज को नीचे स्क्रॉल कर सकते हैं))
अब विस्तार से और क्रम से.
एक समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है, इस चतुर्भुज की दो भुजाएँ समानांतर हैं, अन्य दो नहीं हैं। जो समानांतर नहीं हैं वे समलंब के आधार हैं। अन्य दो को भुजाएँ कहा जाता है।
यदि भुजाएँ समान हों, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है। यदि कोई एक भुजा आधारों पर लंबवत है, तो ऐसे समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है।
शास्त्रीय रूप में, ट्रेपेज़ॉइड को इस प्रकार दर्शाया गया है - बड़ा आधार क्रमशः नीचे है, छोटा आधार शीर्ष पर है। लेकिन कोई भी इसे चित्रित करने से मना नहीं करता है और इसके विपरीत भी। यहाँ रेखाचित्र हैं:
अगली महत्वपूर्ण अवधारणा.
समलंब चतुर्भुज की मध्य रेखा एक खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। मध्य रेखा समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर है और उनके आधे योग के बराबर है।
अब आइए गहराई से जानें। आख़िर क्यों?
आधारों वाले एक समलम्ब चतुर्भुज पर विचार करें ए और बीऔर मध्य रेखा के साथ एल, और कुछ अतिरिक्त निर्माण करें: आधारों के माध्यम से सीधी रेखाएं खींचें, और मध्य रेखा के सिरों के माध्यम से लंबवत तब तक खींचें जब तक कि वे आधारों के साथ प्रतिच्छेद न करें:
*अनावश्यक पदनामों से बचने के लिए शीर्षों और अन्य बिंदुओं के अक्षर पदनाम जानबूझकर दर्ज नहीं किए जाते हैं।
देखिए, त्रिभुजों की समानता के दूसरे चिह्न के अनुसार त्रिभुज 1 और 2 बराबर हैं, त्रिभुज 3 और 4 भी समान हैं। त्रिभुजों की समानता से तत्वों की समानता का पता चलता है, अर्थात् पैर (उन्हें क्रमशः नीले और लाल रंग में दर्शाया गया है)।
अब ध्यान दें! यदि हम मानसिक रूप से निचले आधार से नीले और लाल खंडों को "काट" देते हैं, तो हमारे पास मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का किनारा है) होगा। इसके अलावा, यदि हम कटे हुए नीले और लाल खंडों को ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार पर "गोंद" देते हैं, तो हमें ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का पक्ष भी है) मिलेगा।
समझ गया? इससे पता चलता है कि आधारों का योग समलम्ब चतुर्भुज की दो माध्यिकाओं के बराबर होगा:
एक और स्पष्टीकरण देखें
आइए निम्नलिखित कार्य करें - ट्रेपेज़ॉइड के निचले आधार से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाएं और एक सीधी रेखा बनाएं जो बिंदु ए और बी से होकर गुजरेगी:
हमें त्रिभुज 1 और 2 मिलते हैं, वे भुजाओं और आसन्न कोणों में बराबर हैं (त्रिकोणों की समानता का दूसरा चिह्न)। इसका मतलब यह है कि परिणामी खंड (स्केच में इसे नीले रंग में चिह्नित किया गया है) ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार के बराबर है।
अब एक त्रिभुज पर विचार करें:
*इस समलंब की मध्य रेखा और त्रिभुज की मध्य रेखा संपाती हैं।
यह ज्ञात है कि त्रिभुज अपने समानांतर आधार के आधे के बराबर है, अर्थात:
ठीक है समझ आ गया। अब समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बारे में।
ट्रैपेज़ियम क्षेत्र सूत्र:
वे कहते हैं: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।
अर्थात्, यह पता चलता है कि यह मध्य रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है:
आपने शायद पहले ही नोटिस कर लिया होगा कि यह स्पष्ट है। ज्यामितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि हम मानसिक रूप से त्रिभुज 2 और 4 को समलंब से काट दें और उन्हें क्रमशः त्रिभुज 1 और 3 पर रख दें:
तब हमें क्षेत्रफल में एक आयत मिलता है क्षेत्रफल के बराबरहमारा समलम्बाकार. इस आयत का क्षेत्रफल मध्य रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात हम लिख सकते हैं:
लेकिन बेशक यहां बात लिखने की नहीं, बल्कि समझने की है।
लेख की सामग्री को *पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड करें (देखें)।
बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!
साभार, अलेक्जेंडर।
पिछले वर्ष के यूएसई और जीआईए के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएं कई छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।
इस लेख में, आप समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र, साथ ही समाधान वाली समस्याओं के उदाहरण देखेंगे। वही चीजें आपको केआईएम में प्रमाणन परीक्षाओं या ओलंपियाड में मिल सकती हैं। इसलिए, उनके साथ सावधानी से व्यवहार करें।
ट्रैपेज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?
आरंभ करने के लिए, आइए इसे याद रखें ट्रापेज़चतुर्भुज उसे कहते हैं, जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, जिन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर होती हैं और अन्य दो नहीं होतीं।
एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई (आधार से लंबवत) को भी छोड़ा जा सकता है। मध्य रेखा खींची गई है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर है और उनके योग के आधे के बराबर है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, न्यून और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।
ट्रैपेज़ियम क्षेत्र सूत्र
सबसे पहले, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्रों पर विचार करें। समद्विबाहु और वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर नीचे विचार किया जाएगा।
तो, कल्पना करें कि आपके पास आधार ए और बी के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड है, जिसमें ऊंचाई एच बड़े आधार से कम है। इस मामले में किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करना होगा और जो होता है उसे ऊंचाई से गुणा करना होगा: एस = 1/2(ए + बी)*एच.
चलिए एक और मामला लेते हैं: मान लीजिए कि ऊंचाई के अलावा, ट्रेपेज़ॉइड में एक मध्य रेखा एम है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2(a + b)। इसलिए, हम समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को उचित रूप से सरल बना सकते हैं निम्नलिखित प्रकार: एस = एम * एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको मध्य रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।
आइए एक और विकल्प पर विचार करें: विकर्ण d 1 और d 2 एक समलम्ब चतुर्भुज में खींचे गए हैं, जो समकोण α पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के गुणनफल को आधा करना होगा और जो प्राप्त होगा उसे उनके बीच के कोण के पाप से गुणा करना होगा: एस= 1/2डी 1 डी 2 *sinα.
अब एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके सभी पक्षों की लंबाई के अलावा इसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है: ए, बी, सी और डी। यह एक बोझिल और जटिल फॉर्मूला है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा: एस = 1/2 (ए + बी) * √सी 2 - ((1/2 (बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.
वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सत्य हैं जब आपको एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र की आवश्यकता होती है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसका किनारा समकोण पर आधारों से जुड़ता है।
समद्विबाहु समलंब
एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाता है। हम समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र के कई प्रकारों पर विचार करेंगे।
पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पार्श्व पक्ष और बड़ा आधार बनता है तेज़ कोनेएक। एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि उसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।
एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: अंकित वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और इसे पाप से विभाजित करें: S = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र उस विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और किनारे के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8आर2.
विकल्प 2: इस बार हम लेंगे समद्विबाहु समलम्बाकार, जिसमें, इसके अलावा, विकर्ण डी 1 और डी 2 खींचे गए हैं, साथ ही ऊंचाई एच भी है। यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, आपके लिए पहले से परिचित ट्रैपेज़ॉइड क्षेत्र सूत्र को इस रूप में परिवर्तित करना आसान है: एस = एच2.
एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
आइए समझने से शुरू करें: एक वक्ररेखीय समलम्बाकार क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन एफ के ग्राफ की कल्पना करें जो एक्स-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर संकेत नहीं बदलता है। एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ द्वारा बनता है - शीर्ष पर, x अक्ष - नीचे (खंड) पर, और किनारों पर - बिंदु a और b और ग्राफ़ के बीच खींची गई सीधी रेखाएँ समारोह का.
उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसी गैर-मानक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्, न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). इस सूत्र में, F चयनित अंतराल पर हमारे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। और वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र किसी दिए गए खंड पर प्रतिअवकलन की वृद्धि से मेल खाता है।
कार्य उदाहरण
इन सभी सूत्रों को आपके दिमाग में बेहतर बनाने के लिए, यहां समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही तैयार समाधान के साथ प्राप्त उत्तर की जांच करें।
कार्य 1:एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। समलंब में विकर्ण हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी लंबा।
समाधान: एक समलम्बाकार AMRS बनाएँ। शीर्ष P से होकर रेखा RX खींचिए ताकि यह विकर्ण MC के समानांतर हो और रेखा AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेद करे। आपको त्रिभुज APX मिलता है।
हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMPX।
समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि PX = MC = 12 सेमी और CX = MP = 4 सेमी। हम त्रिभुज ARCH की भुजा AX की गणना कहां कर सकते हैं: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 सेमी।
हम यह भी सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज ARCH समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 = AP 2 + PX 2 लागू करें)। और इसके क्षेत्रफल की गणना करें: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 सेमी 2।
इसके बाद, आपको यह साबित करना होगा कि त्रिकोण एएमपी और पीसीएक्स क्षेत्रफल में बराबर हैं। आधार एमपी और सीएक्स (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पक्षों की समानता होगी। और इन किनारों पर आप जो ऊंचाई कम करते हैं - वे एएमआरएस ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के बराबर हैं।
यह सब आपको यह दावा करने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी \u003d एस एपीएक्स \u003d 54 सेमी 2।
कार्य #2:एक समलम्बाकार KRMS दिया गया है। बिंदु O और E इसके पार्श्व किनारों पर स्थित हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्बाकार ORME और OXE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है। पीएम = ए और केएस = बी। आपको एक OE ढूंढ़ना होगा.
समाधान: आरके के समानांतर बिंदु एम से होकर एक रेखा खींचें और ओई के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को टी के रूप में नामित करें। केएस के आधार के साथ आरके के समानांतर बिंदु ई के माध्यम से खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ए है।
आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। साथ ही त्रिभुज TME के लिए ऊंचाई h 1 और त्रिभुज AEC के लिए ऊंचाई h 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिभुजों की समानता साबित कर सकते हैं)।
हम मान लेंगे कि b > a. समलम्बाकार ORME और OXE के क्षेत्रफल 1:5 के रूप में संबंधित हैं, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a))।
चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x) है। दोनों प्रविष्टियों को मिलाएं और प्राप्त करें: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (बी + एक्स) (बी - एक्स) ↔ 5 (एक्स 2 - ए 2) = (बी 2 - एक्स 2) ↔ 6x 2 = बी 2 + 5ए 2 ↔ एक्स = √ (5ए 2 + बी 2) / 6.
इस प्रकार, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6।
निष्कर्ष
ज्यामिति विज्ञान सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा कार्यों का सामना करने में सक्षम होंगे। तैयारी में बस थोड़ा सा धैर्य चाहिए। और, निःसंदेह, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।
हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी करते समय और सामग्री को दोहराते समय उनका उपयोग कर सकें।
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