पाइथागोरस प्रमेय का निरूपण। पायथागॉरियन प्रमेय: पृष्ठभूमि, साक्ष्य, व्यावहारिक अनुप्रयोग के उदाहरण
पायथागॉरियन प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीके
कक्षा 9 "ए" का छात्र
एमओयू माध्यमिक विद्यालय №8
वैज्ञानिक सलाहकार:
गणित शिक्षक,
एमओयू माध्यमिक विद्यालय №8
कला। नया क्रिसमस
क्रास्नोडार क्षेत्र।
कला। नया क्रिसमस
एनोटेशन।
पायथागॉरियन प्रमेय को ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण माना जाता है और यह निकट ध्यान देने योग्य है। यह कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने का आधार है, भविष्य में ज्यामिति के सैद्धांतिक और व्यावहारिक पाठ्यक्रम का अध्ययन करने का आधार है। प्रमेय सबसे अमीर से घिरा हुआ है ऐतिहासिक सामग्रीइसकी उपस्थिति और सबूत के तरीकों से जुड़ा हुआ है। ज्यामिति के विकास के इतिहास के अध्ययन से प्रेम पैदा होता है यह विषय, संज्ञानात्मक रुचि, सामान्य संस्कृति और रचनात्मकता के विकास में योगदान देता है, साथ ही अनुसंधान कार्य के कौशल को विकसित करता है।
खोज गतिविधि के परिणामस्वरूप, कार्य का लक्ष्य प्राप्त किया गया था, जो कि पायथागॉरियन प्रमेय के प्रमाण पर ज्ञान को फिर से भरना और सामान्य बनाना है। खोजने और समीक्षा करने में सफल रहे विभिन्न तरीकेसबूत और विषय पर गहरा ज्ञान, एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे जाकर।
एकत्रित सामग्री और भी अधिक आश्वस्त करती है कि पायथागॉरियन प्रमेय ज्यामिति का महान प्रमेय है और महान सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व का है।
परिचय। ऐतिहासिक संदर्भ 5 मुख्य भाग 8
3. निष्कर्ष 19
4. प्रयुक्त साहित्य 20
1 परिचय। ऐतिहासिक संदर्भ।
सत्य का सार यह है कि यह हमारे लिए हमेशा के लिए है,
जब कम से कम एक बार उसकी अंतर्दृष्टि में हम प्रकाश देखते हैं,
और पाइथागोरस प्रमेय इतने सालों बाद
हमारे लिए, उसके लिए, यह निर्विवाद, त्रुटिहीन है।
जश्न मनाने के लिए, पाइथागोरस ने देवताओं को एक प्रतिज्ञा दी थी:
अनंत ज्ञान को छूने के लिए,
उसने सौ बैलों का वध किया, अनन्त लोगों के लिए धन्यवाद;
इसके बाद उन्होंने प्रार्थना की और पीड़िता की स्तुति की।
तब से, बैल, जब वे सूंघते हैं, धक्का देते हैं,
जो लोगों को फिर से नए सत्य की ओर ले जाता है,
वे उग्र दहाड़ते हैं, इसलिए सुनने के लिए मूत्र नहीं है,
ऐसे पाइथागोरस ने उनमें हमेशा के लिए आतंक पैदा कर दिया।
नए सत्य का विरोध करने के लिए शक्तिहीन बैल,
क्या बचा है? - बस अपनी आँखें बंद करो, दहाड़ो, कांपो।
यह ज्ञात नहीं है कि पाइथागोरस ने अपनी प्रमेय को कैसे सिद्ध किया। इतना निश्चित है कि उसने इसकी खोज मिस्र के विज्ञान के प्रबल प्रभाव में की थी। विशेष मामलापाइथागोरस प्रमेय - 3, 4 और 5 पक्षों के साथ एक त्रिकोण के गुण - पाइथागोरस के जन्म से बहुत पहले पिरामिड के निर्माताओं के लिए जाने जाते थे, जबकि उन्होंने खुद 20 से अधिक वर्षों तक मिस्र के पुजारियों के साथ अध्ययन किया था। एक किंवदंती है जो कहती है कि, अपने प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध करने के बाद, पाइथागोरस ने देवताओं को एक बैल की बलि दी, और अन्य स्रोतों के अनुसार, यहाँ तक कि 100 बैल भी। हालाँकि, यह पाइथागोरस के नैतिक और धार्मिक विचारों के बारे में जानकारी का खंडन करता है। साहित्यिक स्रोतों में, कोई यह पढ़ सकता है कि उसने "जानवरों को मारने से भी मना किया, और इससे भी ज्यादा उन्हें खिलाना, क्योंकि जानवरों में हमारी तरह आत्मा होती है।" पाइथागोरस केवल शहद, रोटी, सब्जियां और कभी-कभार मछली खाते थे। इस सब के संबंध में, निम्नलिखित प्रविष्टि को और अधिक प्रशंसनीय माना जा सकता है: "... और यहां तक कि जब उन्होंने पाया कि समकोण त्रिभुज में कर्ण पैरों से मेल खाता है, तो उन्होंने गेहूं के आटे से बने एक बैल की बलि दी।"
पाइथागोरस प्रमेय की लोकप्रियता इतनी अधिक है कि इसके प्रमाण कल्पना में भी मिलते हैं, उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध अंग्रेजी लेखक हक्सले की कहानी "यंग आर्किमिडीज" में। समान प्रमाण, लेकिन एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के विशेष मामले के लिए, प्लेटो के डायलॉग मेनो में दिया गया है।
परी कथा घर।
“दूर, बहुत दूर, जहाँ हवाई जहाज भी नहीं उड़ते, ज्यामिति का देश है। इस असामान्य देश में एक अद्भुत शहर था - टेओरेम शहर। एक दिन मैं इस शहर में आया था सुंदर लड़कीकर्ण नाम दिया गया। उसने एक कमरा लेने की कोशिश की, लेकिन उसने जहाँ भी आवेदन किया, उसे हर जगह मना कर दिया गया। अंत में वह उस जर्जर घर के पास पहुंची और दस्तक दी। वह एक ऐसे व्यक्ति द्वारा खोला गया था जिसने खुद को समकोण कहा था, और उसने कर्ण को अपने साथ रहने के लिए आमंत्रित किया। कर्ण उस घर में रहा जहां राइट एंगल और उसके दो छोटे बेटे, जिनका नाम केट था, रहते थे। तब से, राइट एंगल हाउस में जीवन एक नए तरीके से बदल गया है। कर्ण ने खिड़की में फूल लगाए, और सामने के बगीचे में लाल गुलाब बिखेर दिए। घर ने एक समकोण त्रिभुज का रूप ले लिया। दोनों पैरों ने कर्ण को बहुत पसंद किया और उसे हमेशा के लिए अपने घर में रहने के लिए कहा। शाम को, यह दोस्ताना परिवार परिवार की मेज पर इकट्ठा होता है। कभी-कभी राइट एंगल अपने बच्चों के साथ लुका-छिपी खेलता है। सबसे अधिक बार उसे देखना पड़ता है, और कर्ण इतनी कुशलता से छिप जाता है कि उसे ढूंढना बहुत मुश्किल हो सकता है। एक दिन राइट एंगल खेलते हुए कमेंट किया दिलचस्प संपत्ति: यदि वह पैर खोजने में सफल हो जाता है, तो कर्ण को ढूंढना मुश्किल नहीं है। तो समकोण इस पैटर्न का उपयोग करता है, मुझे कहना होगा, बहुत सफलतापूर्वक। इस की संपत्ति पर सही त्रिकोणऔर पाइथागोरस प्रमेय की स्थापना की।"
(ए। ओकुनेव की पुस्तक "पाठ के लिए धन्यवाद, बच्चों") से।
प्रमेय का एक चंचल सूत्रीकरण:
यदि हमें एक त्रिभुज दिया गया है
और, इसके अलावा, एक समकोण के साथ,
वह कर्ण का वर्ग है
हम हमेशा आसानी से पा सकते हैं:
हम पैरों को एक वर्ग में बनाते हैं,
हम डिग्रियों का योग ज्ञात करते हैं -
और इतने आसान तरीके से
हम परिणाम पर आएंगे।
दसवीं कक्षा में बीजगणित और विश्लेषण और ज्यामिति की शुरुआत का अध्ययन करते हुए, मुझे विश्वास हो गया कि आठवीं कक्षा में पायथागॉरियन प्रमेय को सिद्ध करने की विधि के अलावा, इसे साबित करने के अन्य तरीके भी हैं। मैं उन्हें आपके विचार के लिए प्रस्तुत करता हूं।
2. मुख्य भाग।
प्रमेय। एक समकोण त्रिभुज में वर्ग
कर्ण योग के बराबर हैपैरों का वर्ग।
1 रास्ता।
बहुभुजों के क्षेत्रों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पादों के बीच एक उल्लेखनीय संबंध स्थापित करते हैं।
सबूत।
ए, मेंऔर कर्ण साथ(चित्र 1, ए)।
आइए इसे साबित करें सी² = ए² + बी².
सबूत।
हम त्रिकोण को एक भुजा के साथ एक वर्ग में पूरा करते हैं ए + बीजैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1बी। इस वर्ग का क्षेत्रफल S (a + b)² है। दूसरी ओर, यह वर्ग चार समान समकोण त्रिभुजों से बना है, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल ½ है। ए वी, और एक भुजा के साथ एक वर्ग साथ,तो एस = 4 * ½ ए वी + एस² = 2ए वी + एस².
इस प्रकार,
(ए + बी)² = 2 ए वी + एस²,
सी² = ए² + बी².
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
2 रास्ते।
"समान त्रिभुज" विषय का अध्ययन करने के बाद, मुझे पता चला कि आप पायथागॉरियन प्रमेय के प्रमाण के लिए त्रिभुजों की समानता को लागू कर सकते हैं। अर्थात्, मैंने इस कथन का उपयोग किया कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के लिए समानुपाती होता है और पैर के बीच संलग्न कर्ण का खंड और समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई होती है।
समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें, CD ऊँचाई है (चित्र 2)। आइए इसे साबित करें एसी² + दप² = एबी²
.
सबूत।
एक समकोण त्रिभुज की पाद के बारे में कथन के आधार पर:
एसी =, सीबी =।
हम परिणामी समानता को वर्गाकार और जोड़ते हैं:
एसी² = एबी * एडी, सीबी² = एबी * डीबी;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), जहाँ AD + DB = AB, तब
एसी² + सीबी² = एबी * एबी,
एसी² + सीबी² = एबी²।
प्रमाण पूर्ण है।
3 रास्ता।
पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए समकोण त्रिभुज के एक तीव्र कोण की कोसाइन की परिभाषा को लागू किया जा सकता है। चित्र पर विचार करें। 3.
सबूत:
मान लीजिए ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है। समकोण C के शीर्ष से एक ऊँचाई CD खींचिए।
कोण के कोसाइन की परिभाषा के अनुसार:
cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB। अतः AB * AD = AC²
वैसे ही,
cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB।
इसलिए एबी * बीडी \u003d बीसी²।
परिणामी समानता शब्द को शब्द से जोड़ना और यह देखते हुए कि AD + DВ = AB, हम प्राप्त करते हैं:
एसी² + सूरज² \u003d एबी (एडी + डीबी) \u003d अब²
प्रमाण पूर्ण है।
4 तरफा।
"एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच अनुपात" विषय का अध्ययन करने के बाद, मुझे लगता है कि पाइथागोरस प्रमेय को दूसरे तरीके से सिद्ध किया जा सकता है।
पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें ए, मेंऔर कर्ण साथ. (चित्र 4)।
आइए इसे साबित करें सी² = ए² + बी²।
सबूत।
पाप बी =एसी ; ओल बी =जैसा , फिर, परिणामी समानता को चुकता करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
पाप² बी = in²/s²; cos² में\u003d a² / s²।
उन्हें जोड़कर, हम प्राप्त करते हैं:
पाप² में+ कोस² बी = v² / s² + a² / s², जहां sin² में+ कोस² बी = 1,
1 \u003d (v² + a²) / s², इसलिए,
सी² = ए² + बी²।
प्रमाण पूर्ण है।
5 तरीका।
यह प्रमाण पादों (चित्र 5) पर बने वर्गों को काटकर कर्ण पर बने वर्ग पर परिणामी भागों को ढेर करने पर आधारित है।
6 रास्ता।
कैथेट पर सबूत के लिए रविइमारत बीसीडी एबीसी(चित्र 6)। हम जानते हैं कि समान आकृतियों के क्षेत्रफल उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं:
पहली समता में से दूसरी को घटाने पर, हम पाते हैं
सी2 = ए2 + बी 2।
प्रमाण पूर्ण है।
7 तरीका।
दिया गया(चित्र 7):
एबीएस,= 90 डिग्री , रवि= ए, एसी =बी, एबी = सी।
सिद्ध करना:सी2 = ए2 +बी 2.
सबूत।
पैर चलो बी एक।आइए खंड जारी रखें दपप्रति बिंदु मेंऔर एक त्रिभुज बनाएँ बीएमडीताकि अंक एमऔर एएक सीधी रेखा के एक तरफ लेट जाओ सीडीके अतिरिक्त, बी.डी.=बी, बीडीएम= 90°, डीएम= ए, फिर बीएमडी= एबीसीदो पक्षों पर और उनके बीच का कोण। अंक ए और एमखंडों द्वारा कनेक्ट करें पूर्वाह्न।अपने पास एमडी सीडीऔर एसी सीडी,मतलब सीधा एसीएक सीधी रेखा के समानांतर एमडी।क्योंकि एमडी< АС, फिर सीधे सीडीऔर पूर्वाह्नसमानांतर नहीं हैं। इसलिए, एएमडीसी-आयताकार चतुर्भुज।
समकोण त्रिभुज ABC और में बीएमडी 1 + 2 = 90° और 3 + 4 = 90°, लेकिन चूंकि = =, तो 3 + 2 = 90°; तब एवीएम=180° - 90° = 90°. यह पता चला कि ट्रेपेज़ॉइड एएमडीसीतीन गैर-अतिव्यापी समकोण त्रिभुजों में विभाजित, फिर क्षेत्र स्वयंसिद्धों द्वारा
(ए+बी)(ए+बी)
असमानता के सभी पदों को से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
एबी + सी 2 + एबी = (ए +बी) , 2 अब+ सी2 = a2+ 2अबी+ बी 2,
सी2 = ए2 + बी 2।
प्रमाण पूर्ण है।
8 रास्ता।
यह विधि समकोण त्रिभुज के कर्ण और पादों पर आधारित है एबीसी।वह संगत वर्गों का निर्माण करता है और सिद्ध करता है कि कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है (चित्र 8)।
सबूत।
1) डीबीसी= एफ बी ए= 90°;
डीबीसी+ एबीसी= एफबीए+ एबीसी,साधन, एफबीसी = डीबीए।
इस प्रकार, एफबीसी=अब्द(दो पक्षों पर और उनके बीच का कोण)।
2) 
,
जहाँ AL DE है, क्योंकि BD है सार्वजनिक भूक्षेत्र, डीएलसमग्र ऊंचाई।
3) 
, चूँकि FB एक आधार है, अब- कुल ऊंचाई।
4) 
5) इसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है 
6) पदों के पदों को जोड़ने पर, हम पाते हैं:
, BC2
= एबी2 + एसी2
.
प्रमाण पूर्ण है।
9 तरीका।
सबूत।
1) चलो एबीडीई- एक वर्ग (चित्र। 9), जिसकी भुजा एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के बराबर है एबीसी (एबी= सी, बीसी = ए, एसी =बी)।
2) चलो डीके ईसा पूर्वऔर डीके = सूरज,चूँकि 1 + 2 = 90° (एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण के रूप में), 3 + 2 = 90° (एक वर्ग के कोण के रूप में), अब= बी.डी(वर्ग की भुजाएँ)।
साधन, एबीसी= भडक(कर्ण और तीव्र कोण द्वारा)।
3) चलो ईएल डीसी, एएम ईएल।यह आसानी से सिद्ध किया जा सकता है कि ABC = BDK = DEL = EAM (पैरों के साथ एऔर बी)।तब केएस= सेमी= एमएल= लालकृष्ण= ए -बी।
4) एसकेबी = 4एस+एसकेएलएमसी= 2ab+ (ए-बी),साथ2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,सी2 = ए2 + बी2.
प्रमाण पूर्ण है।
10 रास्ता।
सबूत एक आकृति पर किया जा सकता है, जिसे मजाक में "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता है (चित्र 10)। इसका विचार पैरों पर बने वर्गों को समान त्रिभुजों में बदलना है, जो एक साथ कर्ण का वर्ग बनाते हैं।
एबीसीशिफ्ट, जैसा कि तीर द्वारा दिखाया गया है, और यह स्थिति लेता है केडीएन।बाकी आंकड़ा एकेडीसीबीएक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर AKDC-यह एक समांतर चतुर्भुज है एकेएनबी।
समांतर चतुर्भुज मॉडल बनाया एकेएनबी. हम समांतर चतुर्भुज को कार्य की सामग्री में स्केच के रूप में स्थानांतरित करते हैं। समांतर चतुर्भुज का एक समान त्रिभुज में रूपांतरण दिखाने के लिए, छात्रों के सामने, हम मॉडल पर एक त्रिभुज को काटते हैं और उसे नीचे की ओर खिसकाते हैं। तो वर्ग का क्षेत्रफल एकेडीसीआयत के क्षेत्रफल के बराबर है। इसी तरह, हम एक वर्ग के क्षेत्रफल को एक आयत के क्षेत्रफल में परिवर्तित करते हैं।
आइए एक पैर पर बने वर्ग के लिए एक परिवर्तन करें ए(चित्र 11, ए):
a) वर्ग एक समान आकार के समांतर चतुर्भुज में रूपांतरित हो जाता है (चित्र 11.6):
बी) समांतर चतुर्भुज एक चौथाई मोड़ को घुमाता है (चित्र 12):
ग) समांतर चतुर्भुज एक समान आकार के आयत में बदल जाता है (चित्र 13): 11 रास्ता।
सबूत:
पीसीएल-सीधा (चित्र 14);
क्लोआ= एसीपीएफ= एसीईडी= ए2;
एलजीबीओ= सीवीएमआर =सीबीएनक्यू= ख 2;
एकेजीबी= एक्लो +एलजीबीओ= सी 2;
सी2 = ए2 + बी 2।
सबूत खत्म .
12 रास्ता।
चावल। 15 पायथागॉरियन प्रमेय का एक और मूल प्रमाण दिखाता है।
यहाँ: समकोण C के साथ त्रिभुज ABC; रेखा खंड BF केसीधा दपऔर इसके बराबर, खंड होनासीधा अबऔर इसके बराबर, खंड विज्ञापनसीधा एसीऔर उसके बराबर; अंक एफ, सी,डीएक सीधी रेखा से संबंधित; चतुर्भुजों एडीएफबीऔर एसीबीईबराबर हैं क्योंकि एबीएफ = ईसीबी;त्रिभुज एडीएफऔर ऐसबराबर हैं; हम दोनों समान चतुर्भुजों में से उनके लिए एक उभयनिष्ठ त्रिभुज घटाते हैं एबीसी,हम पाते हैं
, सी2 = ए2 +
बी 2।
प्रमाण पूर्ण है।
13 रास्ता।
इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, एक ओर, के बराबर है ,
दूसरे के साथ, ,
3. निष्कर्ष
खोज गतिविधि के परिणामस्वरूप, कार्य का लक्ष्य प्राप्त किया गया था, जो कि पायथागॉरियन प्रमेय के प्रमाण पर ज्ञान को फिर से भरना और सामान्य बनाना है। इसे साबित करने के विभिन्न तरीकों को खोजना और उन पर विचार करना और स्कूल की पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे जाकर विषय पर ज्ञान को गहरा करना संभव था।
मैंने जो सामग्री एकत्र की है वह और भी अधिक आश्वस्त करने वाली है कि पायथागॉरियन प्रमेय ज्यामिति का महान प्रमेय है और महान सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व का है। अंत में, मैं कहना चाहूंगा: त्रिगुण के पाइथागोरस प्रमेय की लोकप्रियता का कारण सुंदरता, सरलता और महत्व है!
4. प्रयुक्त साहित्य।
1. मनोरंजक बीजगणित। . मास्को "नौका", 1978।
2. समाचार पत्र "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", 24/2001 के लिए साप्ताहिक शैक्षिक और पद्धतिपरक पूरक।
3. ज्यामिति 7-9। और आदि।
4. ज्यामिति 7-9। और आदि।
पाइथागोरस प्रमेय
इसी प्रकार, त्रिभुज CBH, ABC के समरूप है। अंकन का परिचय 
1. आकृति में दर्शाए अनुसार चार समान समकोण त्रिभुजों को व्यवस्थित करें। 
यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि कर्ण पर निर्मित वर्ग का आधा क्षेत्रफल पादों पर निर्मित वर्ग के आधे क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है, और फिर बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं। बाईं ओर आरेखण पर विचार करें। हमने उस पर एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर वर्ग बनाए और समकोण C के शीर्ष से कर्ण AB के लम्बवत् एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों - BHJI और HAKJ में काटती है। , क्रमश। यह पता चला है कि इन आयतों के क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हैं। आइए यह साबित करने की कोशिश करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करते हैं: दिए गए समान ऊंचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल आयत दिए गए आयत के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। यह त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊंचाई के आधे उत्पाद के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह पता चलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK (दिखाया नहीं गया) के क्षेत्रफल के बराबर है, जो बदले में आयत AHJK के आधे क्षेत्र के बराबर है। आइए अब सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। इसके लिए केवल एक चीज की जरूरत है कि त्रिभुज ACK और BDA की समानता को सिद्ध किया जाए (चूंकि त्रिभुज BDA का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति द्वारा वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है, त्रिभुज दो भुजाओं और उनके बीच के कोण में बराबर होते हैं। अर्थात् - AB=AK,AD=AC - गति विधि द्वारा CAK और BAD कोणों की समानता को सिद्ध करना आसान है: आइए त्रिभुज CAK को 90 ° वामावर्त घुमाएँ, तो यह स्पष्ट है कि विचाराधीन दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ होंगी संपाती (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)। वर्ग BCFG और आयत BHJI के क्षेत्रफलों की समानता के बारे में तर्क पूरी तरह से समरूप है। इस प्रकार हमने सिद्ध किया है कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पादों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। 
ड्राइंग पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड CI वर्ग ABHJ को दो समान भागों में काटता है (चूंकि त्रिभुज ABC और JHI निर्माण में समान हैं)। 90 डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करते हुए, हम छायांकित आंकड़ों CAJI और GDAB की समानता देखते हैं। अब यह स्पष्ट है कि हमारे द्वारा छायांकित आकृति का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है, साथ ही मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल भी। प्रत्येक छात्र जानता है कि कर्ण का वर्ग हमेशा पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक का वर्ग होता है। इस कथन को पायथागॉरियन प्रमेय कहा जाता है। यह सामान्य रूप से त्रिकोणमिति और गणित में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है। आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें।
एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा
पायथागॉरियन प्रमेय पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, जिसमें कर्ण का वर्ग पैरों के वर्ग के योग के बराबर होता है, हमें एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा और गुणों पर विचार करना चाहिए, जिसके लिए प्रमेय मान्य है।
एक त्रिभुज एक सपाट आकृति है जिसमें तीन कोण और तीन भुजाएँ होती हैं। एक समकोण त्रिभुज, जैसा कि इसके नाम से ही स्पष्ट है, इसका एक समकोण होता है, अर्थात यह कोण 90 o होता है।
से सामान्य गुणसभी त्रिभुजों के लिए यह ज्ञात है कि इस आकृति के सभी तीन कोणों का योग 180 o है, जिसका अर्थ है कि एक समकोण त्रिभुज के लिए दो कोणों का योग जो समकोण नहीं हैं, 180 o - 90 o = 90 o है। बाद वाले तथ्य का अर्थ है कि समकोण त्रिभुज में कोई भी कोण जो समकोण नहीं है, हमेशा 90° से कम होगा।
समकोण के सम्मुख वाली भुजा कर्ण कहलाती है। अन्य दो भुजाएँ त्रिभुज के पैर हैं, वे एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं, या वे भिन्न हो सकते हैं। त्रिकोणमिति से ज्ञात होता है कि त्रिभुज में भुजा जितनी बड़ी होती है, कोण उतना ही बड़ा होता है अधिक लंबाईयह किनारा। इसका अर्थ है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (90° कोण के विपरीत स्थित) हमेशा किसी भी पाद (कोण के विपरीत स्थित) से बड़ा होगा।< 90 o).
पायथागॉरियन प्रमेय का गणितीय अंकन
इस प्रमेय में कहा गया है कि कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक पहले चुकता है। इस सूत्रीकरण को गणितीय रूप से लिखने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसमें भुजाएँ a, b, और c क्रमशः दो पैर और कर्ण हैं। इस मामले में, प्रमेय, जिसे कर्ण के वर्ग के रूप में तैयार किया गया है, पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, को निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है: c 2 \u003d a 2 + b 2। यहाँ से, अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण अन्य सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) और c \u003d √ (a 2 + b 2)।
ध्यान दें कि एक समकोण समबाहु त्रिभुज के मामले में, अर्थात, a \u003d b, शब्दांकन: कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक को चुकता किया जाता है, गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जाता है: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, जिससे समानता इस प्रकार है: c = a√2।
ऐतिहासिक संदर्भ
पायथागॉरियन प्रमेय, जो कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक वर्ग है, प्रसिद्ध से बहुत पहले जाना जाता था यूनानी दार्शनिक. अनेक पपाइरी प्राचीन मिस्र, साथ ही बेबीलोनियों की मिट्टी की गोलियाँ इस बात की पुष्टि करती हैं कि ये लोग एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की विख्यात संपत्ति का उपयोग करते थे। उदाहरण के लिए, पहले में से एक मिस्र के पिरामिडखाफरे पिरामिड, जिसका निर्माण 26वीं शताब्दी ईसा पूर्व (पाइथागोरस के जीवन से 2000 वर्ष पहले) का है, एक 3x4x5 समकोण त्रिभुज में पहलू अनुपात के ज्ञान के आधार पर बनाया गया था।
तो फिर प्रमेय को अब ग्रीक का नाम क्यों दिया गया है? उत्तर सरल है: पाइथागोरस इस प्रमेय को गणितीय रूप से सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति हैं। बचे हुए बेबीलोनियन और मिस्र के लिखित स्रोत केवल इसके उपयोग की बात करते हैं, लेकिन कोई गणितीय प्रमाण प्रदान नहीं करते हैं।
ऐसा माना जाता है कि पाइथागोरस ने विचाराधीन प्रमेय को समान त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया था, जिसे उन्होंने एक समकोण त्रिभुज में कर्ण से 90 o के कोण से ऊँचाई खींचकर प्राप्त किया था।
पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करने का एक उदाहरण
विचार करना एक साधारण कार्य: झुकी हुई सीढ़ी L की लंबाई निर्धारित करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि इसकी ऊँचाई H \u003d 3 मीटर है, और दीवार से दूरी जिसके विरुद्ध सीढ़ी इसके पैर तक टिकी हुई है, P \u003d 2.5 मीटर है।
इस स्थिति में, H और P पैर हैं, और L कर्ण है। चूँकि कर्ण की लंबाई पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं: L 2 \u003d H 2 + P 2, जहाँ से L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 मीटर या 3 मीटर और 90, 5 सेमी
जब आपने पहली बार वर्गमूल के बारे में सीखना शुरू किया और अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए (जड़ चिह्न के तहत अज्ञात वाली समानताएं), तो आपको शायद उनके बारे में पहला विचार मिला। प्रायोगिक उपयोग. निकालने की क्षमता वर्गमूलपाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग पर समस्याओं को हल करने के लिए संख्याएँ भी आवश्यक हैं। यह प्रमेय किसी भी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से संबंधित है।
एक समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई (वे दो भुजाएँ जो एक समकोण पर अभिसरण करती हैं) को अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है और , और कर्ण की लंबाई (समकोण के विपरीत स्थित त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा) को निरूपित किया जाएगा पत्र द्वारा। तब संगत लंबाइयाँ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित होती हैं:
यह समीकरण आपको उस स्थिति में समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है जब इसकी अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। इसके अलावा, यह आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि माना गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, बशर्ते कि सभी की लंबाई हो तीन पक्षपहले से जाना जाता है।
पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं को हल करना
सामग्री को समेकित करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग के लिए निम्नलिखित समस्याओं को हल करेंगे।
तो दिया:
- एक पैर की लंबाई 48 है, कर्ण 80 है।
- पैर की लंबाई 84 है, कर्ण 91 है।
आइए जानते हैं समाधान के बारे में:
a) उपरोक्त समीकरण में डेटा को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:
48 2 + बी 2 = 80 2
2304 + बी 2 = 6400
बी 2 = 4096
बी= 64 या बी = -64
चूँकि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई को व्यक्त नहीं किया जा सकता है ऋणात्मक संख्या, दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से खारिज कर दिया जाता है।
पहली तस्वीर का जवाब: बी = 64.
बी) दूसरे त्रिकोण के पैर की लंबाई उसी तरह पाई जाती है:
84 2 + बी 2 = 91 2
7056 + बी 2 = 8281
बी 2 = 1225
बी= 35 या बी = -35
जैसा कि पिछले मामले में, नकारात्मक समाधान खारिज कर दिया गया है।
दूसरी तस्वीर का जवाब: बी = 35
हम दे रहे हैं:
- त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 45 और 55 है, और बड़ी भुजाओं की लंबाई 75 है।
- त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 28 और 45 है, और बड़ी भुजाओं की लंबाई 53 है।
हम समस्या का समाधान करते हैं:
ए) यह जांचना जरूरी है कि किसी दिए गए त्रिभुज के छोटे पक्षों की लंबाई के वर्गों का योग बड़े की लंबाई के वर्ग के बराबर है या नहीं:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
इसलिए, पहला त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।
बी) एक ही ऑपरेशन किया जाता है:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
इसलिए, दूसरा त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
सबसे पहले, निर्देशांक (-2, -3) और (5, -2) वाले बिंदुओं द्वारा गठित सबसे बड़े खंड की लंबाई का पता लगाएं। इसके लिए हम प्रयोग करते हैं ज्ञात सूत्रएक आयताकार समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए:
इसी तरह, हम निर्देशांक (-2, -3) और (2, 1) वाले बिंदुओं के बीच संलग्न खंड की लंबाई पाते हैं:
अंत में, हम निर्देशांक (2, 1) और (5, -2) वाले बिंदुओं के बीच खंड की लंबाई निर्धारित करते हैं:
चूंकि समानता है:
तो संगत त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
इस प्रकार, हम समस्या का उत्तर तैयार कर सकते हैं: चूंकि सबसे छोटी लंबाई वाले पक्षों के वर्गों का योग भुजा के वर्ग के बराबर होता है सबसे बड़ी लंबाई, बिंदु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
आधार (सख्ती से क्षैतिज रूप से स्थित), जंब (सख्ती से लंबवत स्थित) और केबल (तिरछे फैला हुआ) क्रमशः एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, केबल की लंबाई का पता लगाने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है:
इस प्रकार, केबल की लंबाई लगभग 3.6 मीटर होगी।
दिया गया है: बिंदु R से बिंदु P (त्रिकोण का पैर) की दूरी 24 है, बिंदु R से बिंदु Q (कर्ण) - 26 है।
तो, हम आदित्य को समस्या को हल करने में मदद करते हैं। चूंकि आकृति में दिखाए गए त्रिभुज की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं, आप तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:
अत: तालाब की चौड़ाई 10 मीटर है।
सर्गेई वेलेरिविच
उन लोगों के लिए जो पाइथागोरस प्रमेय के इतिहास में रुचि रखते हैं, जिसका अध्ययन किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रम, 1940 में इस प्रतीत होने वाले सरल प्रमेय के तीन सौ सत्तर प्रमाणों वाली पुस्तक का प्रकाशन भी दिलचस्प होगा। लेकिन इसने विभिन्न युगों के कई गणितज्ञों और दार्शनिकों के मन को चकित कर दिया। गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में, यह एक प्रमेय के रूप में अधिकतम प्रमाणों के साथ दर्ज किया गया है।
पायथागॉरियन प्रमेय का इतिहास
पाइथागोरस के नाम से जुड़ा प्रमेय महान दार्शनिक के जन्म से बहुत पहले से जाना जाता था। तो, मिस्र में, संरचनाओं के निर्माण के दौरान, समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात को पाँच हज़ार साल पहले ध्यान में रखा गया था। बेबीलोनियन ग्रंथों में पाइथागोरस के जन्म से 1200 साल पहले एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के समान अनुपात का उल्लेख है।
प्रश्न उठता है कि फिर कहानी क्यों कहती है - पायथागॉरियन प्रमेय का उद्भव उन्हीं का है? केवल एक ही उत्तर हो सकता है - उन्होंने त्रिभुज में भुजाओं के अनुपात को सिद्ध किया। उन्होंने वह किया जो अनुभव द्वारा स्थापित पहलू अनुपात और कर्ण का उपयोग करने वालों ने सदियों पहले नहीं किया था।
पाइथागोरस के जीवन से
भविष्य के महान वैज्ञानिक, गणितज्ञ, दार्शनिक का जन्म 570 ईसा पूर्व समोस द्वीप पर हुआ था। ऐतिहासिक दस्तावेजों में पाइथागोरस के पिता के बारे में जानकारी संरक्षित है, जो एक कार्वर थे कीमती पत्थरलेकिन मां के बारे में कोई जानकारी नहीं है। उन्होंने पैदा हुए लड़के के बारे में कहा कि यह एक उत्कृष्ट बच्चा था जिसने दिखाया बचपनसंगीत और कविता के लिए जुनून। इतिहासकार युवा पाइथागोरस के शिक्षकों के लिए सिरोस के हेर्मोडामंत और फेरेकिड्स को श्रेय देते हैं। पहले ने लड़के को मूस की दुनिया में पेश किया, और दूसरा, एक दार्शनिक और इतालवी स्कूल ऑफ फिलॉसफी के संस्थापक होने के नाते, युवक की टकटकी को लोगो की ओर निर्देशित किया।
22 वर्ष (548 ईसा पूर्व) की उम्र में, पाइथागोरस मिस्रवासियों की भाषा और धर्म का अध्ययन करने के लिए नौक्रेटिस गए। इसके अलावा, उनका मार्ग मेम्फिस में पड़ा, जहां पुजारियों के लिए धन्यवाद, उनके सरल परीक्षणों से गुजरने के बाद, उन्होंने मिस्र की ज्यामिति को समझा, जिसने शायद जिज्ञासु युवक को पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के लिए प्रेरित किया। इतिहास बाद में इस नाम को प्रमेय का नाम देगा।
बाबुल के राजा द्वारा कब्जा कर लिया गया
हेलस के अपने घर के रास्ते में, पाइथागोरस को बाबुल के राजा ने पकड़ लिया। लेकिन कैद में रहने से नौसिखिए गणितज्ञ के जिज्ञासु दिमाग को फायदा हुआ, उन्हें बहुत कुछ सीखना था। दरअसल, उन वर्षों में बाबुल में गणित मिस्र की तुलना में अधिक विकसित था। उन्होंने बारह साल गणित, ज्यामिति और जादू का अध्ययन किया। और, शायद, यह बेबीलोनियन ज्यामिति थी जो त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात और प्रमेय की खोज के इतिहास के प्रमाण में शामिल थी। इसके लिए पाइथागोरस के पास पर्याप्त ज्ञान और समय था। लेकिन बाबुल में ऐसा हुआ, इसकी कोई दस्तावेजी पुष्टि या खंडन नहीं है।
530 ईसा पूर्व में पाइथागोरस कैद से अपनी मातृभूमि भाग जाता है, जहाँ वह अर्ध-दास की स्थिति में अत्याचारी पॉलीक्रेट्स के दरबार में रहता है। ऐसा जीवन पाइथागोरस को शोभा नहीं देता, और वह समोस की गुफाओं में सेवानिवृत्त हो जाता है, और फिर इटली के दक्षिण में चला जाता है, जहाँ उस समय ग्रीक उपनिवेशक्रोटन।
गुप्त मठवासी व्यवस्था
इस उपनिवेश के आधार पर, पाइथागोरस ने एक गुप्त मठ व्यवस्था का आयोजन किया, जो एक ही समय में एक धार्मिक संघ और एक वैज्ञानिक समाज था। इस समाज का अपना चार्टर था, जो जीवन के एक विशेष तरीके के पालन की बात करता था।
पाइथागोरस ने तर्क दिया कि ईश्वर को समझने के लिए, एक व्यक्ति को बीजगणित और ज्यामिति जैसे विज्ञानों को जानना चाहिए, खगोल विज्ञान को जानना चाहिए और संगीत को समझना चाहिए। शोध करनासंख्या और दर्शन के रहस्यमय पक्ष के ज्ञान को कम कर दिया गया था। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पाइथागोरस द्वारा उस समय प्रचारित सिद्धांत वर्तमान समय में अनुकरण में अर्थ रखते हैं।
पाइथागोरस के शिष्यों द्वारा की गई कई खोजों का श्रेय उन्हीं को दिया जाता है। फिर भी, संक्षेप में, उस समय के प्राचीन इतिहासकारों और जीवनीकारों द्वारा पायथागॉरियन प्रमेय के निर्माण का इतिहास सीधे इस दार्शनिक, विचारक और गणितज्ञ के नाम से जुड़ा हुआ है।
पाइथागोरस की शिक्षाएँ
शायद पाइथागोरस के नाम के साथ प्रमेय के संबंध का विचार महान ग्रीक के इतिहासकारों के कथन से प्रेरित था कि कुख्यात त्रिकोण में अपने पैरों और कर्ण के साथ हमारे जीवन की सभी घटनाएं एन्क्रिप्ट की गई हैं। और यह त्रिभुज उत्पन्न होने वाली सभी समस्याओं को हल करने की "कुंजी" है। महान दार्शनिक ने कहा कि एक त्रिभुज को देखना चाहिए, तब हम मान सकते हैं कि समस्या दो-तिहाई हल हो गई है।
पाइथागोरस ने अपने शिक्षण के बारे में केवल अपने छात्रों को मौखिक रूप से बताया, बिना कोई नोट बनाए, इसे गुप्त रखा। दुर्भाग्य से, अध्यापन सबसे बड़ा दार्शनिकआज तक नहीं बचा है। इसमें से कुछ लीक हो गया है, लेकिन यह कहना असंभव है कि जो ज्ञात हो गया है उसमें कितना सत्य है और कितना असत्य है। पाइथागोरस प्रमेय के इतिहास के साथ भी, सब कुछ निश्चित नहीं है। गणित के इतिहासकार पाइथागोरस के ग्रन्थकारिता पर संदेह करते हैं, उनकी राय में, उनके जन्म से कई शताब्दियों पहले प्रमेय का उपयोग किया गया था।
पाइथागोरस प्रमेय
यह अजीब लग सकता है, लेकिन ऐतिहासिक तथ्यस्वयं पाइथागोरस द्वारा प्रमेय का कोई प्रमाण नहीं है - न तो अभिलेखागार में, न ही किसी अन्य स्रोत में। आधुनिक संस्करण में, यह माना जाता है कि यह यूक्लिड के अलावा किसी और का नहीं है।
गणित के सबसे महान इतिहासकारों में से एक मोरिट्ज़ कैंटर का प्रमाण है, जिन्होंने बर्लिन संग्रहालय में रखे एक पपाइरस पर खोजा, जिसे मिस्रियों ने 2300 ईसा पूर्व के आसपास लिखा था। इ। समानता, जो पढ़ती है: 3² + 4² = 5²।
पाइथागोरस प्रमेय के इतिहास से संक्षेप में
यूक्लिडियन "शुरुआत" से प्रमेय का निर्माण, अनुवाद में जैसा लगता है वैसा ही लगता है आधुनिक व्याख्या. उसके पढ़ने में कुछ भी नया नहीं है: विपरीत दिशा का वर्ग समकोण, समकोण की संलग्न भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है। तथ्य यह है कि भारत और चीन की प्राचीन सभ्यताओं ने प्रमेय का इस्तेमाल किया था, इसकी पुष्टि झोउ बी सुआन जिन ग्रंथ से हुई है। इसमें मिस्र के त्रिकोण के बारे में जानकारी है, जो पहलू अनुपात को 3:4:5 के रूप में वर्णित करता है।
कोई कम दिलचस्प नहीं एक और चीनी गणितीय पुस्तक "चू-पेई" है, जिसमें पाइथागोरस त्रिकोण का भी उल्लेख है, जिसमें स्पष्टीकरण और चित्र हैं जो बसखारा के हिंदू ज्यामिति के चित्र के साथ मेल खाते हैं। पुस्तक त्रिभुज के बारे में ही कहती है कि यदि एक समकोण को उसके घटक भागों में विभाजित किया जा सकता है, तो भुजाओं के सिरों को जोड़ने वाली रेखा पाँच के बराबर होगी, यदि आधार तीन है, और ऊँचाई चार है।
भारतीय ग्रंथ "सुल्व सूत्र", लगभग 7वीं-5वीं शताब्दी ईसा पूर्व का है। ई।, मिस्र के त्रिकोण का उपयोग करके एक समकोण के निर्माण के बारे में बताता है।
प्रमेय का प्रमाण
मध्य युग में, छात्र एक प्रमेय को साबित करना बहुत कठिन मानते थे। कमजोर छात्रों ने उपपत्ति का अर्थ समझे बिना ही प्रमेयों को कंठस्थ कर लिया। इस संबंध में, उन्हें "गधा" उपनाम मिला, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय उनके लिए एक गधे के लिए एक पुल की तरह एक दुर्गम बाधा थी। मध्य युग में, छात्र इस प्रमेय के विषय पर एक चंचल छंद लेकर आए।
पाइथागोरस प्रमेय को सबसे अधिक सिद्ध करना आसान तरीका, किसी को प्रमाण में क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग किए बिना, बस उसकी भुजाओं को मापना चाहिए। समकोण के विपरीत भुजा की लंबाई c है, और a और b इसके निकट हैं, परिणामस्वरूप हमें समीकरण मिलता है: a 2 + b 2 \u003d c 2। यह कथन, जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को मापकर सत्यापित किया जाता है।
यदि हम त्रिभुज की भुजाओं पर बने आयतों के क्षेत्रफल पर विचार करके प्रमेय की उपपत्ति की शुरुआत करें तो हम संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। यह एक पक्ष (ए + बी) के साथ एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होगा, और दूसरी ओर, चार त्रिकोणों और आंतरिक वर्ग के क्षेत्रों का योग होगा।
(ए + बी) 2 = 4 एक्स एबी / 2 + सी 2;
ए 2 + 2एबी + बी 2;
c2 = a2 + b2, जिसे सिद्ध किया जाना था।
व्यावहारिक मूल्यपायथागॉरियन प्रमेय यह है कि इसका उपयोग खंडों की लंबाई को मापने के बिना उन्हें मापने के लिए किया जा सकता है। संरचनाओं के निर्माण के दौरान, दूरी, समर्थन और बीम की नियुक्ति की गणना की जाती है, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र निर्धारित किए जाते हैं। पायथागॉरियन प्रमेय लागू होता है और सभी में आधुनिक प्रौद्योगिकियां. वे 3D-6D आयामों में फिल्में बनाते समय प्रमेय के बारे में नहीं भूले, जहां सामान्य 3 मूल्यों के अलावा: ऊंचाई, लंबाई, चौड़ाई, समय, गंध और स्वाद को ध्यान में रखा जाता है। आप पूछते हैं कि प्रमेय से स्वाद और गंध कैसे संबंधित हैं? सब कुछ बहुत सरल है - एक फिल्म दिखाते समय, आपको ऑडिटोरियम में निर्देशित करने के लिए कहां और क्या गंध और स्वाद की गणना करने की आवश्यकता होती है।
अभी तो शुरुआत है। नई तकनीकों की खोज और निर्माण के लिए असीम गुंजाइश जिज्ञासु मन की प्रतीक्षा कर रही है।
