भिन्नों के साथ क्रिया सूत्र संक्षेप में दिखाएँ। सामान्य भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

यह आलेख भिन्नों पर संक्रियाओं से संबंधित है। A B के रूप के भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा, भाग या घातांक के नियम बनाए जाएंगे और उन्हें उचित ठहराया जाएगा, जहां A और B संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति हो सकते हैं। अंत में, विस्तृत विवरण वाले समाधानों के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

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सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

सामान्य रूप के संख्यात्मक भिन्नों में एक अंश और एक हर होता है, जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ या संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ होती हैं। यदि हम 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π जैसे भिन्नों पर विचार करें, 2 0 , 5 एलएन 3 , तो यह स्पष्ट है कि अंश और हर में न केवल संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि एक अलग योजना के भाव भी हो सकते हैं।

परिभाषा 1

ऐसे नियम हैं जिनके अनुसार कार्य किए जाते हैं साधारण अंश. यह सामान्य रूप के भिन्नों के लिए भी उपयुक्त है:

• समान हर वाले भिन्नों को घटाने पर, केवल अंश जोड़े जाते हैं, और हर वही रहता है, अर्थात्: a d ± c d = a ± c d, मान a, c और d ≠ 0 कुछ संख्याएँ या संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं।
• विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय, उन्हें एक सामान्य अंश में घटाना आवश्यक है, और फिर समान संकेतकों के साथ परिणामी भिन्नों को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। वस्तुतः, यह इस तरह दिखता है a b ± c d = a p ± c r s , जहां मान a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 वास्तविक संख्याएं हैं, और b p = d r = एस. जब p = d और r = b, तो a b ± c d = a d ± c d b d।
• भिन्नों को गुणा करते समय, अंशों के साथ एक क्रिया की जाती है, जिसके बाद हर के साथ, तब हमें a b c d \u003d a c b d मिलता है, जहाँ a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 वास्तविक संख्याओं के रूप में कार्य करते हैं।
• किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करते समय, हम पहले को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, अर्थात, हम अंश और हर की अदला-बदली करते हैं: a b: c d = a b d c।

नियमों का औचित्य

परिभाषा 2

निम्नलिखित गणितीय बिंदु हैं जिन पर आपको गणना करते समय भरोसा करना चाहिए:

• भिन्नात्मक बार का अर्थ है विभाजन चिह्न;
• किसी संख्या से विभाजन को उसके व्युत्क्रम से गुणा माना जाता है;
• वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं की संपत्ति का अनुप्रयोग;
• भिन्न और संख्यात्मक असमानताओं की मूल संपत्ति का अनुप्रयोग।

उनकी सहायता से, आप प्रपत्र में परिवर्तन कर सकते हैं:

ए डी ± सी डी = ए डी - 1 ± सी डी - 1 = ए ± सी डी - 1 = ए ± सी डी ; ए बी ± सी डी = ए पी बी पी ± सी आर डी आर = ए पी एस ± सी ई एस = ए पी ± सी आर एस; ए बी सी डी = ए डी बी डी बी सी बी डी = ए डी ए डी - 1 बी सी बी डी - 1 = = ए डी बी सी बी डी - 1 बी डी - 1 = ए डी बी सी बी डी बी डी - 1 = = (ए सी) (बी डी) - 1 = ए सी बी डी

उदाहरण

पिछले पैराग्राफ में भिन्नों वाली क्रियाओं के बारे में कहा गया था। इसके बाद भिन्न को सरल बनाने की आवश्यकता है। इस विषय पर भिन्नों को परिवर्तित करने वाले अनुभाग में विस्तार से चर्चा की गई थी।

सबसे पहले, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1

भिन्न 8 2 , 7 और 1 2 , 7 दिए गए हैं तो नियम के अनुसार अंश को जोड़ना और हर को फिर से लिखना आवश्यक है।

समाधान

तब हमें 8 + 1 2 , 7 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। योग करने के बाद, हमें 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। तो 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3।

उत्तर: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

हल करने का एक और तरीका है. आरंभ करने के लिए, एक साधारण भिन्न के रूप में परिवर्तन किया जाता है, जिसके बाद हम सरलीकरण करते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

उदाहरण 2

आइए हम 1 - 2 3 · लघुगणक 2 3 · लघुगणक 2 5 + 1 से 2 3 3 · लघुगणक 2 3 · लघुगणक 2 5 + 1 के भिन्नों को घटाएँ।

चूँकि समान हर दिए गए हैं, इसका मतलब है कि हम समान हर वाले भिन्न की गणना कर रहे हैं। हमें वह मिल गया

1 - 2 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1

भिन्नों की गणना के उदाहरण हैं विभिन्न भाजक. एक महत्वपूर्ण बिंदु एक सामान्य भाजक को कम करना है। इसके बिना हम भिन्नों के साथ आगे की कार्रवाई नहीं कर पाएंगे।

यह प्रक्रिया दूर से एक सामान्य भाजक में कमी की याद दिलाती है। अर्थात्, हर में सबसे कम सामान्य भाजक की खोज की जाती है, जिसके बाद लुप्त कारकों को भिन्नों में जोड़ा जाता है।

यदि जोड़े गए भिन्नों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, तो उनका गुणनफल एक हो सकता है।

उदाहरण 3

भिन्नों 2 3 5 + 1 और 1 2 को जोड़ने के उदाहरण पर विचार करें।

समाधान

इस मामले में, उभयनिष्ठ हर हरों का गुणनफल है। तब हमें वह 2 · 3 5 + 1 प्राप्त होता है। फिर, अतिरिक्त गुणनखंड निर्धारित करते समय, हमारे पास यह होता है कि पहले अंश के लिए यह 2 के बराबर है, और दूसरे के लिए 3 5 + 1 के बराबर है। गुणन के बाद भिन्नों को 4 2 3 5 + 1 के रूप में घटाया जाता है। सामान्य कलाकार 1 2 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 जैसा दिखेगा। हम परिणामी भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ते हैं और वह प्राप्त करते हैं

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

उत्तर: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

जब हम किसी सामान्य रूप के भिन्नों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो आमतौर पर सबसे छोटा सामान्य हर नहीं होता है। अंशों के गुणनफल को हर के रूप में लेना लाभहीन है। सबसे पहले आपको यह जांचना होगा कि क्या कोई ऐसी संख्या है जिसका मूल्य उनके उत्पाद से कम है।

उदाहरण 4

उदाहरण 1 6 2 1 5 और 1 4 2 3 5 पर विचार करें जब उनका गुणनफल 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 के बराबर है। फिर हम 12 · 2 3 5 को एक सामान्य हर के रूप में लेते हैं।

सामान्य रूप में भिन्नों के गुणन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 5

ऐसा करने के लिए, 2 + 1 6 और 2 · 5 3 · 2 + 1 को गुणा करना आवश्यक है।

समाधान

नियम का पालन करते हुए अंशों के गुणनफल को हर के रूप में पुनः लिखना और लिखना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1। जब भिन्न को गुणा किया जाता है, तो इसे सरल बनाने के लिए कटौती की जा सकती है। फिर 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10।

एक व्युत्क्रम द्वारा भाग से गुणा में परिवर्तन के नियम का उपयोग करते हुए, हमें दिए गए का व्युत्क्रम प्राप्त होता है। ऐसा करने के लिए, अंश और हर को उलट दिया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

उसके बाद, उन्हें गुणन करना होगा और परिणामी भिन्न को सरल बनाना होगा। यदि आवश्यक हो, तो हर में अतार्किकता से छुटकारा पाएं। हमें वह मिल गया

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

उत्तर: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

यह खंड तब लागू होता है जब संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति 1 के बराबर हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ऐसे भिन्न के साथ क्रिया को एक अलग वस्तु माना जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 1 6 7 4 - 1 3 दर्शाता है कि 3 के मूल को किसी अन्य 3 1 व्यंजक से बदला जा सकता है। तब यह प्रविष्टि 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 के रूप की दो भिन्नों के गुणन की तरह दिखाई देगी।

चर वाले भिन्नों के साथ एक क्रिया करना

पहले लेख में चर्चा किए गए नियम चर वाले भिन्नों वाले संचालन पर लागू होते हैं। जब हर समान हों तो घटाव नियम पर विचार करें।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि A , C तथा D (D) नहीं है शून्य) कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है, और समानता A D ± C D = A ± C D इसके मान्य मानों की सीमा के बराबर है।

ODZ वेरिएबल्स का एक सेट लेना आवश्यक है। फिर A, C, D को संबंधित मान a 0 , c 0 और लेना होगा d0. प्रपत्र A D ± CD के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप a 0 d 0 ± c 0 d 0 के रूप में अंतर आ जाता है, जहाँ, योग नियम के अनुसार, हमें a 0 ± c 0 d 0 के रूप का एक सूत्र प्राप्त होता है। यदि हम अभिव्यक्ति A ± C D को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें a 0 ± c 0 d 0 के रूप का वही भिन्न प्राप्त होता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि चुना गया मान जो ODZ, A ± C D और A D ± C D को संतुष्ट करता है, बराबर माना जाता है।

चरों के किसी भी मान के लिए ये व्यंजक समान होंगे, अर्थात इन्हें सर्वसम समान कहा जाता है। इसका मतलब यह है कि इस अभिव्यक्ति को A D ± C D = A ± C D रूप की सिद्ध समानता माना जाता है।

चर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब हर समान हों तो केवल अंशों को जोड़ना या घटाना आवश्यक होता है। इस अंश को सरल बनाया जा सकता है. कभी-कभी आपको उन भिन्नों के साथ काम करना पड़ता है जो समान रूप से समान होते हैं, लेकिन पहली नज़र में यह ध्यान देने योग्य नहीं है, क्योंकि कुछ परिवर्तन किए जाने चाहिए। उदाहरण के लिए, x 2 3 x 1 3 + 1 और x 1 3 + 1 2 या 1 2 पाप 2 α और पाप ए कॉस ए। अक्सर, समान हर को देखने के लिए मूल अभिव्यक्ति के सरलीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 6

गणना करें: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2), x - 1 x - 1 + एक्स एक्स + 1 .

समाधान

1. गणना करने के लिए, आपको उन भिन्नों को घटाना होगा जिनके हर समान हों। तब हम पाते हैं कि x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2। उसके बाद, आप समान पदों की कमी के साथ कोष्ठक खोल सकते हैं। हम पाते हैं कि x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. चूँकि हर समान हैं, इसलिए हर को छोड़कर अंशों को जोड़ना बाकी है: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   जोड़ने का काम पूरा हो चुका है. यह देखा जा सकता है कि अंश को कम किया जा सकता है। इसके अंश को योग वर्ग सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है, तो हमें (l g x + 2) 2 मिलता है संक्षिप्त गुणन सूत्रों से. तब हमें वह मिलता है
   एल जी 2 एक्स + 4 + 2 एल जी एक्स एक्स (एल जी एक्स + 2) = (एल जी एक्स + 2) 2 एक्स (एल जी एक्स + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स
3. विभिन्न हरों के साथ x - 1 x - 1 + x x + 1 के रूप में भिन्न दिए गए हैं। परिवर्तन के बाद, आप जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

आइए दोतरफा समाधान पर विचार करें।

पहली विधि यह है कि पहले अंश के हर को वर्गों का उपयोग करके गुणनखंडन के अधीन किया जाता है, और इसके बाद इसकी कमी की जाती है। हमें फॉर्म का एक अंश मिलता है

एक्स - 1 एक्स - 1 = एक्स - 1 (एक्स - 1) एक्स + 1 = 1 एक्स + 1

तो x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1।

इस मामले में, हर में अतार्किकता से छुटकारा पाना आवश्यक है।

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

दूसरा तरीका यह है कि दूसरे भिन्न के अंश और हर को x - 1 से गुणा करें। इस प्रकार, हम अतार्किकता से छुटकारा पा लेते हैं और समान हर वाले भिन्न को जोड़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। तब

एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स - 1 = = एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स - 1 = एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स - 1

उत्तर: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स, 3) एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स - 1।

पिछले उदाहरण में, हमने पाया कि एक सामान्य हर में कमी अपरिहार्य है। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों को सरल बनाना होगा। जोड़ने या घटाने के लिए हमेशा खोजें आम विभाजक, जो अंशों में अतिरिक्त गुणनखंडों को जोड़ने पर हरों के गुणनफल जैसा दिखता है।

उदाहरण 7

भिन्नों के मानों की गणना करें: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - पाप x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

समाधान

1. हर को किसी भी जटिल गणना की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आपको फॉर्म 3 x 7 + 2 2 के उनके उत्पाद को चुनने की आवश्यकता है, फिर पहले अंश के लिए x 7 + 2 2 को एक अतिरिक्त कारक के रूप में चुना जाता है, और 3 को दूसरे के लिए चुना जाता है। गुणा करने पर, हमें x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = = x x 7 + 2 2 + 3 3 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. यह देखा जा सकता है कि हरों को एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अतिरिक्त परिवर्तन अनावश्यक हैं। उभयनिष्ठ हर x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 के रूप का गुणनफल होगा। यहाँ से x 4 पहले भिन्न का एक अतिरिक्त गुणनखंड है, और ln (x + 1) दूसरे को. फिर हम घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - पाप x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - पाप x एलएन एक्स + 1 एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4) = = एक्स + 1 एक्स 4 - पाप एक्स एलएन (एक्स + 1) एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4) = x x 4 + x 4 - पाप x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4 )
3. भिन्नों के हर के साथ काम करते समय यह उदाहरण समझ में आता है। वर्गों के अंतर और योग के वर्ग के सूत्रों को लागू करना आवश्यक है, क्योंकि वे 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) के रूप की अभिव्यक्ति को पारित करना संभव बना देंगे। ) 2 . यह देखा जा सकता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया गया है। हम पाते हैं कि cos x - x cos x + x 2।

तब हमें वह मिलता है

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos + कॉस x - x कॉस x - x कॉस x + x 2 = = कॉस x + x + कॉस x - x कॉस x - x कॉस x + x 2 = 2 कॉस x कॉस

उत्तर:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - पाप x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - पाप x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2।

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा किया जाता है। फिर आप कमी संपत्ति लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 8

भिन्नों x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 syn 2 x - x को गुणा करें।

समाधान

आपको गुणा करना होगा. हमें वह मिल गया

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)

गणना की सुविधा के लिए संख्या 3 को पहले स्थान पर स्थानांतरित किया जाता है, और आप अंश को x 2 से कम कर सकते हैं, फिर हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 पाप (2 x - x)

उत्तर: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 पाप (2 एक्स - एक्स) .

विभाजन

भिन्नों का विभाजन गुणन के समान है, क्योंकि पहले भिन्न को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम भिन्न x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 लें और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 syn 2 x - x से विभाजित करें, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x), फिर x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + के रूप के गुणनफल से प्रतिस्थापित करें 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x)

घातांक

आइए घातांक के साथ सामान्य रूप के भिन्नों के साथ क्रिया पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। यदि प्राकृतिक घातांक के साथ कोई डिग्री है, तो क्रिया को समान भिन्नों का गुणन माना जाता है। लेकिन डिग्री के गुणों के आधार पर एक सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। कोई भी अभिव्यक्ति ए और सी, जहां सी बिल्कुल शून्य के बराबर नहीं है, और फॉर्म ए सी आर की अभिव्यक्ति के लिए ओडीजेड पर कोई वास्तविक आर, समानता ए सी आर = ए आर सी आर सच है। परिणाम एक घात तक बढ़ा हुआ अंश है। उदाहरण के लिए, विचार करें:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

भिन्नों के साथ संक्रियाओं का क्रम

भिन्नों पर संचालन इसके अनुसार किया जाता है निश्चित नियम. व्यवहार में, हम देखते हैं कि अभिव्यक्ति में कई भिन्न हो सकते हैं या भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ. फिर सभी क्रियाओं को एक सख्त क्रम में करना आवश्यक है: एक घात तक बढ़ाना, गुणा करना, विभाजित करना, फिर जोड़ना और घटाना। यदि कोष्ठक हैं, तो पहली क्रिया उनमें की जाती है।

उदाहरण 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x की गणना करें।

समाधान

चूँकि हमारे पास एक ही भाजक है, तो 1 - x cos x और 1 c o s x, लेकिन नियम के अनुसार घटाना असंभव है, पहले कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं, फिर गुणा, और फिर जोड़। फिर, गणना करते समय, हमें वह मिलता है

1 + 1 एक्स = 1 1 + 1 एक्स = एक्स एक्स + 1 एक्स = एक्स + 1 एक्स

व्यंजक को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x। भिन्नों को गुणा करने पर, हमें मिलता है: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x। सभी प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें 1 - x cos x - x + 1 cos x · x प्राप्त होता है। अब आपको उन भिन्नों के साथ काम करने की ज़रूरत है जिनके हर अलग-अलग हैं। हम पाते हैं:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x

उत्तर: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x।

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अंश, और जिससे इसे विभाजित किया जाता है वह हर है।

भिन्न लिखने के लिए सबसे पहले उसका अंश लिखें, फिर इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचें और रेखा के नीचे हर लिखें। अंश और हर को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा को भिन्नात्मक पट्टी कहा जाता है। कभी-कभी इसे तिरछे "/" या "∕" के रूप में दर्शाया जाता है। इस मामले में, अंश को पंक्ति के बाईं ओर और हर को दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न "दो-तिहाई" को 2/3 के रूप में लिखा जाएगा। स्पष्टता के लिए, अंश आमतौर पर पंक्ति के शीर्ष पर लिखा जाता है, और हर नीचे, यानी 2/3 के बजाय, आप पा सकते हैं: ⅔।

भिन्नों का गुणनफल निकालने के लिए सबसे पहले एक के अंश को गुणा करें अंशोंदूसरे अंश को. परिणाम को नये के अंश में लिखें अंशों. फिर हरों को भी गुणा करें। नए में अंतिम मान निर्दिष्ट करें अंशों. उदाहरण के लिए, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)।

एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, पहले पहले के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। दूसरे भिन्न (भाजक) के साथ भी ऐसा ही करें। या, सभी चरणों को करने से पहले, यदि यह आपके लिए अधिक सुविधाजनक है, तो पहले भाजक को "फ्लिप" करें: अंश के स्थान पर हर होना चाहिए। फिर लाभांश के हर को भाजक के नए हर से गुणा करें और अंशों को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)।

स्रोत:

• भिन्नों के लिए बुनियादी कार्य

भिन्नात्मक संख्याएँ आपको व्यक्त करने की अनुमति देती हैं अलग रूपमात्रा का सटीक मूल्य. भिन्नों के साथ, आप पूर्णांकों के समान ही गणितीय कार्य कर सकते हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। निर्णय लेना सीखें अंशों, उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना आवश्यक है। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य हर। कुछ अंकगणितीय आपरेशनसनिष्पादन के बाद, उन्हें परिणाम के आंशिक भाग में कमी की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

अनुदेश

संख्याओं को ध्यान से देखें. यदि भिन्नों के बीच दशमलव और अनियमितताएं हैं, तो कभी-कभी पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में परिवर्तित करना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या तुम अनुवाद कर सकते हो अंशोंइस रूप में प्रारंभ में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिखना और हर में 10 लगाना। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक विभाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। जिसमें भिन्न भिन्न दिखाई देते हैं संपूर्ण भाग, इसे हर से गुणा करके और परिणाम में अंश जोड़कर गलत रूप में लाएं। दिए गए माननया अंश बन जाएगा अंशों. प्रारंभ में ग़लत से पूरा भाग निकालने के लिए अंशों, अंश को हर से विभाजित करें। से पूरा परिणाम लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, हर बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है. पूर्णांक भाग वाले भिन्नों के लिए, अलग-अलग क्रियाएं करना संभव है, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 ¾ के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को ग़लत रूप में परिवर्तित करना:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- पदों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग योग:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

उन्हें विभाजक ":" के माध्यम से फिर से लिखें और सामान्य विभाजन जारी रखें।

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो इस मामले में सबसे बड़ा संभव है। इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।

टिप्पणी

भिन्न-भिन्न हर वाले भिन्नों के साथ अंकगणित न करें। ऐसी संख्या चुनें कि जब प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उससे गुणा किया जाए, तो परिणामस्वरुप दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

मददगार सलाह

रिकॉर्डिंग करते समय भिन्नात्मक संख्याएँलाभांश रेखा के ऊपर लिखा होता है। इस मात्रा को भिन्न का अंश कहा जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलोग्राम चावल को अंश के रूप में लिखा जाएगा इस अनुसार: 1 ½ किलो चावल. यदि किसी भिन्न का हर 10 है, तो उसे दशमलव भिन्न कहा जाता है। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम से अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, ऐसे अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और हर के मानों को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। में यह उदाहरण 2 से विभाजित करना संभव है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू होगा। सुनिश्चित करें कि जिन संख्याओं से आप अंकगणित करने जा रहे हैं वे एक ही रूप में हों।

आइए सहमत हों कि हमारे पाठ में "भिन्नों वाली क्रियाएँ" को साधारण भिन्नों वाली क्रियाओं के रूप में समझा जाएगा। भिन्न वह भिन्न है जिसमें अंश, भिन्नात्मक बार और हर जैसे गुण होते हैं। यह एक साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न से अलग करता है, जो हर को 10 के गुणज में घटाकर एक साधारण भिन्न से प्राप्त किया जाता है। एक दशमलव भिन्न को पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने वाले अल्पविराम के साथ लिखा जाता है। हम साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाओं के बारे में बात करेंगे, क्योंकि वे ही हैं जो उन छात्रों के लिए सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं जो स्कूली गणित पाठ्यक्रम के पहले भाग में शामिल इस विषय की मूल बातें भूल गए हैं। साथ ही, उच्च गणित में अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, मुख्य रूप से साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है। भिन्नों के कुछ संक्षिप्त रूप कुछ मूल्यवान हैं! दशमलव भिन्नों से अधिक कठिनाई नहीं होती। तो आगे बढ़ो!

दो भिन्न और समान कहलाते हैं यदि .

उदाहरण के लिए, क्योंकि

भिन्न और (चूंकि ), और (चूंकि ) भी बराबर हैं।

जाहिर है, दोनों भिन्न और बराबर हैं। इसका मतलब यह है कि यदि किसी दिए गए अंश के अंश और हर को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो दिए गए अंश के बराबर एक अंश प्राप्त होगा:।

इस गुण को भिन्न का मूल गुण कहा जाता है।

भिन्न के मूल गुण का उपयोग भिन्न के अंश और हर के चिह्नों को बदलने के लिए किया जा सकता है। यदि भिन्न के अंश और हर को -1 से गुणा किया जाए, तो हमें प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि यदि अंश और हर के चिह्न एक ही समय में बदल दिए जाएं तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। यदि आप केवल अंश या केवल हर का चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न अपना चिह्न बदल देगा:

अंश में कमी

किसी भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके, आप दिए गए भिन्न को दिए गए भिन्न के बराबर दूसरे भिन्न से बदल सकते हैं, लेकिन छोटे अंश और हर के साथ। इस प्रतिस्थापन को अंश न्यूनीकरण कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, एक भिन्न दिया जाए। संख्या 36 और 48 सबसे अधिक है सामान्य भाजक 12. फिर

.

सामान्य स्थिति में, अंश में कमी हमेशा संभव होती है यदि अंश और हर सहअभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। यदि अंश और हर परस्पर हैं प्रमुख संख्या, तो भिन्न को इरेड्यूसिबल कहा जाता है।

तो, किसी भिन्न को कम करने का अर्थ है किसी भिन्न के अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित करना। उपरोक्त सभी बातें चर वाले भिन्नात्मक व्यंजकों पर लागू होती हैं।

उदाहरण 1अंश कम करें

समाधान। अंश को गुणनखंडों में गुणनखंडित करने के लिए, पहले एकपदी - 5 प्रस्तुत किया था xyयोग के रूप में - 2 xy - 3xy, हम पाते हैं

हर का गुणनखंड करने के लिए, हम वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करते हैं:

नतीजतन

.

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

मान लीजिए दो भिन्न और दिए गए हैं। उनके अलग-अलग हर हैं: 5 और 7. किसी भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके, आप इन भिन्नों को उनके बराबर अन्य भिन्नों से बदल सकते हैं, और इस तरह कि परिणामी भिन्नों के हर समान होंगे। अंश और हर को 7 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

अंश और हर को 5 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

तो, भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है:

.

लेकिन यह समस्या का एकमात्र समाधान नहीं है: उदाहरण के लिए, इन भिन्नों को 70 के सामान्य हर में भी घटाया जा सकता है:

,

और सामान्यतः 5 और 7 दोनों से विभाज्य किसी भी हर के लिए।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें: आइए भिन्न और एक सामान्य हर को कम करें। पिछले उदाहरण की तरह तर्क करने पर, हमें मिलता है

,

.

लेकिन इस मामले में, आप इन भिन्नों के हर के गुणनफल से कम भिन्नों को एक सामान्य हर में ला सकते हैं। 24 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए: LCM(24, 30) = 120।

चूँकि 120:4=5, 120 के हर के साथ एक भिन्न लिखने के लिए, अंश और हर दोनों को 5 से गुणा करना होगा, इस संख्या को एक अतिरिक्त कारक कहा जाता है। मतलब .

इसके अलावा, हमें 120:30=4 मिलता है। भिन्न के अंश और हर को 4 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है .

इसलिए, ये भिन्न एक सामान्य हर में बदल जाते हैं।

इन भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक सबसे छोटा संभावित उभयनिष्ठ हर होता है।

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के लिए जिनमें चर शामिल हैं, सामान्य हर एक बहुपद है जो प्रत्येक भिन्न के हर से विभाज्य होता है।

उदाहरण 2भिन्नों और का उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

समाधान। इन भिन्नों का उभयनिष्ठ हर एक बहुपद है, क्योंकि यह दोनों और से विभाज्य है। हालाँकि, यह बहुपद एकमात्र ऐसा बहुपद नहीं है जो इन भिन्नों का सामान्य हर हो सकता है। यह एक बहुपद भी हो सकता है , और बहुपद , और बहुपद वगैरह। आमतौर पर वे ऐसा सामान्य हर लेते हैं कि कोई भी अन्य सामान्य हर चुने हुए भाजक से बिना किसी शेषफल के विभाज्य हो जाता है। ऐसे हर को लघुत्तम समापवर्त्य कहा जाता है।

हमारे उदाहरण में, सबसे छोटा सामान्य भाजक है। प्राप्त:

;

.

हम भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक लाने में कामयाब रहे। ऐसा पहली भिन्न के अंश और हर को और दूसरी भिन्न के अंश और हर को गुणा करने से हुआ। बहुपद और क्रमशः पहले और दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड कहलाते हैं।

भिन्नों का जोड़ और घटाव

भिन्नों का योग इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

.

उदाहरण के लिए,

.

अगर बी = डी, वह

.

इसका मतलब यह है कि समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, अंशों को जोड़ना और हर को वही छोड़ देना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए,

.

यदि अलग-अलग हर वाली भिन्नों को जोड़ा जाता है, तो भिन्नों को आमतौर पर सबसे कम सामान्य हर तक घटा दिया जाता है, और फिर अंशों को जोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए,

.

अब चरों के साथ भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 3व्यंजक को एक भिन्न में बदलें

.

समाधान। आइए सबसे छोटा सामान्य भाजक खोजें। ऐसा करने के लिए, हम पहले हरों का गुणनखंड करते हैं।

गणित में विभिन्न प्रकार केइसकी शुरुआत से ही संख्याओं का अध्ययन किया गया है। मौजूद एक बड़ी संख्या कीसंख्याओं का समुच्चय और उपसमुच्चय। इनमें पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, प्राकृतिक, सम, विषम, जटिल और भिन्नात्मक हैं। आज हम अंतिम सेट - भिन्नात्मक संख्याओं के बारे में जानकारी का विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों की परिभाषा

भिन्न वे संख्याएँ हैं जिनमें एक इकाई का पूरा भाग और भिन्न शामिल होते हैं। पूर्णांकों की तरह, दो पूर्णांकों के बीच भिन्नात्मक संख्याओं की अनंत संख्या होती है। गणित में, भिन्नों के साथ संक्रियाएँ की जाती हैं, चूँकि पूर्णांकों के साथ और प्राकृतिक संख्या. यह काफी सरल है और इसे कुछ पाठों में सीखा जा सकता है।

लेख दो प्रकार प्रस्तुत करता है

सामान्य भिन्न

साधारण भिन्न पूर्णांक भाग a और भिन्नात्मक पट्टी b/c के माध्यम से लिखी गई दो संख्याएँ हैं। यदि भिन्नात्मक भाग को तर्कसंगत दशमलव रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है तो सामान्य भिन्न अत्यंत उपयोगी हो सकते हैं। इसके अलावा, भिन्नात्मक रेखा के माध्यम से अंकगणितीय परिचालन करना अधिक सुविधाजनक है। सबसे ऊपर का हिस्साअंश कहा जाता है, नीचे - हर।

साधारण भिन्नों के साथ क्रियाएँ: उदाहरण

भिन्न का मूल गुण. परअंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर जो शून्य नहीं है, परिणाम दी गई संख्या के बराबर है। भिन्न का यह गुण जोड़ के लिए हर लाने में मदद करता है (इस पर नीचे चर्चा की जाएगी) या भिन्न को कम करने में मदद करता है, जिससे गिनती करना अधिक सुविधाजनक हो जाता है। ए/बी = ए*सी/बी*सी. उदाहरण के लिए, 36/24 = 6/4 या 9/13 = 18/26

एक सामान्य भाजक में कमी.किसी भिन्न का हर लाने के लिए, आपको हर को गुणनखंडों के रूप में निरूपित करना होगा, और फिर लुप्त संख्याओं से गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए, 7/15 और 12/30; 7/5*3 और 12/5*3*2. हम देखते हैं कि हर में दो का अंतर है, इसलिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमें मिलता है: 14/30 और 12/30।

यौगिक भिन्न- हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ साधारण भिन्न। (ए बी/सी) एक मिश्रित भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, भिन्न के सामने की संख्या को हर से गुणा करें और फिर इसे अंश में जोड़ें: (ए*सी + बी)/सी।

भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ

केवल भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय सुप्रसिद्ध अंकगणितीय संक्रियाओं पर विचार करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

जोड़ना और घटाना।भिन्नों को जोड़ना और घटाना पूर्ण संख्याओं जितना ही आसान है, एक कठिनाई को छोड़कर - भिन्नात्मक बार की उपस्थिति। समान हर वाली भिन्नों को जोड़ते समय केवल दोनों भिन्नों के अंशों को जोड़ना आवश्यक है, हर अपरिवर्तित रहते हैं। उदाहरण के लिए: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

यदि दो भिन्नों के हर हैं अलग-अलग नंबरसबसे पहले आपको उन्हें एक सामान्य स्थिति में लाना होगा (यह कैसे करें इसकी चर्चा ऊपर की गई थी)। 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8। घटाव बिल्कुल उसी सिद्धांत के अनुसार होता है: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9।

गुणन और भाग। कार्रवाईभिन्नों के साथ गुणन द्वारा घटित होते हैं निम्नलिखित सिद्धांत: अंश और हर को अलग-अलग गुणा किया जाता है। में सामान्य रूप से देखेंगुणन सूत्र इस तरह दिखता है: a/b *c/d = a*c/b*d. इसके अलावा, जैसे-जैसे आप गुणा करते हैं, आप अंश और हर से समान कारकों को हटाकर भिन्न को कम कर सकते हैं। दूसरी भाषा में, अंश और हर एक ही संख्या से विभाज्य होते हैं: 4/16 = 4/4*4 = 1/4।

एक साधारण भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के अंश और हर को बदलना होगा और पहले चर्चा किए गए सिद्धांत के अनुसार, दो भिन्नों का गुणन करना होगा: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

दशमलव

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का अधिक लोकप्रिय और आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला संस्करण है। इन्हें एक पंक्ति में लिखना या कंप्यूटर पर प्रस्तुत करना आसान होता है। दशमलव अंश की संरचना इस प्रकार है: पहले पूर्ण संख्या लिखी जाती है, और फिर, दशमलव बिंदु के बाद, भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है। मूलतः दशमलव- ये मिश्रित साधारण भिन्न हैं, तथापि, इनके भिन्नात्मक भाग को 10 के गुणज से विभाजित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए इनका नाम आया। दशमलव भिन्नों के साथ संक्रियाएँ पूर्णांकों के साथ संक्रियाओं के समान हैं, क्योंकि वे भी दशमलव संख्या प्रणाली में लिखी जाती हैं। साथ ही, सामान्य भिन्नों के विपरीत, दशमलव अपरिमेय हो सकते हैं। इसका मतलब यह है कि वे अनंत हो सकते हैं। इन्हें 7,(3) के रूप में लिखा जाता है। निम्नलिखित प्रविष्टि पढ़ी जाती है: अवधि में सात पूरे, तीन दसवें।

दशमलव संख्याओं के साथ बुनियादी संचालन

दशमलव भिन्नों का जोड़ और घटाव।भिन्नों के साथ क्रिया करना पूर्ण प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक कठिन नहीं है। नियम बिल्कुल वैसे ही हैं जैसे प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय उपयोग किए जाते हैं। इन्हें भी इसी तरह एक कॉलम माना जा सकता है, लेकिन यदि आवश्यक हो तो लुप्त स्थानों को शून्य से बदल दें। उदाहरण के लिए: 5.5697 - 1.12. कॉलम घटाव करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं की संख्या को बराबर करने की आवश्यकता है: (5.5697 - 1.1200)। इसलिए, अंकीय मूल्यपरिवर्तन नहीं होगा तथा एक कॉलम में गिनती करना संभव होगा।

यदि उनमें से एक का रूप अपरिमेय है तो दशमलव भिन्नों के साथ संक्रियाएँ नहीं की जा सकतीं। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं को साधारण भिन्नों में बदलना होगा, और फिर पहले वर्णित तकनीकों का उपयोग करना होगा।

गुणन और भाग।दशमलव को गुणा करना प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान है। उन्हें केवल अल्पविराम को अनदेखा करके एक कॉलम से गुणा किया जा सकता है, और फिर अंतिम मान में अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है, दशमलव बिंदु के बाद दो दशमलव अंशों के योग के समान अंकों की संख्या। उदाहरण के लिए, 1.5 * 2.23 = 3.345. सब कुछ बहुत सरल है, और यदि आप पहले से ही प्राकृतिक संख्याओं के गुणन में महारत हासिल कर चुके हैं तो इससे कठिनाई नहीं होनी चाहिए।

विभाजन भी प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के समान है, लेकिन साथ में एक छोटा सा विषयांतर. में विभाजित करना दशमलव संख्याकॉलम में, आपको भाजक में अल्पविराम को हटाना होगा, और भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या से लाभांश को गुणा करना होगा। फिर प्राकृतिक संख्याओं की तरह विभाजन करें। अपूर्ण विभाजन के साथ, आप दाहिनी ओर लाभांश में शून्य जोड़ सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य भी जोड़ सकते हैं।

दशमलव भिन्नों के साथ क्रियाओं के उदाहरण.अंकगणितीय गणना के लिए दशमलव एक बहुत उपयोगी उपकरण है। वे प्राकृतिक, पूर्ण संख्याओं की सुविधा और सामान्य भिन्नों की सटीकता को जोड़ते हैं। इसके अलावा, एक भिन्न को दूसरे भिन्न में बदलना काफी सरल है। भिन्नों वाली संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं वाली संक्रियाओं से भिन्न नहीं हैं।

1. जोड़: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. घटाव: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. गुणन: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. प्रभाग: 3.6: 0.6 = 6

इसके अलावा, दशमलव प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयुक्त हैं। तो, 100% = 1; 60% = 0.6; और इसके विपरीत: 0.659 = 65.9%।

भिन्नों के बारे में आपको बस इतना ही जानना चाहिए। लेख में दो प्रकार के भिन्नों पर विचार किया गया - साधारण और दशमलव। दोनों की गणना करना काफी आसान है, और यदि आपके पास प्राकृतिक संख्याओं और उनके साथ संचालन की पूरी महारत है, तो आप सुरक्षित रूप से भिन्नात्मक संख्याओं को सीखना शुरू कर सकते हैं।

भिन्न कैलकुलेटरभिन्नों के साथ संचालन की त्वरित गणना के लिए डिज़ाइन किया गया, यह आपको भिन्नों को आसानी से जोड़ने, गुणा करने, विभाजित करने या घटाने में मदद करेगा।

आधुनिक स्कूली बच्चे 5वीं कक्षा से ही भिन्नों का अध्ययन करना शुरू कर देते हैं, हर साल उनके साथ अभ्यास अधिक जटिल हो जाता है। गणितीय नियम और मात्राएँ जो हम स्कूल में सीखते हैं, वयस्कता में हमारे लिए शायद ही कभी उपयोगी होते हैं। हालाँकि, लघुगणक और डिग्री के विपरीत भिन्न, रोजमर्रा की जिंदगी (दूरी मापना, सामान तौलना आदि) में काफी आम हैं। हमारा कैलकुलेटर भिन्नों के साथ त्वरित संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया है।

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि भिन्न क्या हैं और वे क्या हैं। भिन्न एक संख्या से दूसरी संख्या का अनुपात है; यह एक संख्या है जिसमें एक इकाई के भिन्नों की पूरी संख्या शामिल होती है।

भिन्न प्रकार:

• साधारण
• दशमलव
• मिश्रित

उदाहरण साधारण भिन्न:

शीर्ष मान अंश है, निचला मान हर है। डैश हमें दिखाता है कि शीर्ष संख्या निचली संख्या से विभाज्य है। समान लेखन प्रारूप के बजाय, जब डैश क्षैतिज होता है, तो आप अलग-अलग तरीके से लिख सकते हैं। आप एक तिरछी रेखा डाल सकते हैं, उदाहरण के लिए:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

दशमलवभिन्नों के सबसे लोकप्रिय प्रकार हैं। उनमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है, जो अल्पविराम से अलग होता है।

दशमलव उदाहरण:

0.2 या 6.71 या 0.125

इसमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। इस भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए आपको पूर्ण संख्या और भिन्न को जोड़ना होगा।

मिश्रित भिन्नों का उदाहरण:

हमारी वेबसाइट पर भिन्न कैलकुलेटर ऑनलाइन भिन्नों के साथ किसी भी गणितीय कार्य को शीघ्रता से करने में सक्षम है:

• जोड़ना
• घटाव
• गुणा
• विभाजन

गणना करने के लिए, आपको फ़ील्ड में संख्याएँ दर्ज करनी होंगी और क्रिया का चयन करना होगा। भिन्नों के लिए, आपको अंश और हर भरना होगा, पूर्णांक नहीं लिखा जा सकता (यदि भिन्न साधारण है)। "बराबर" बटन पर क्लिक करना न भूलें।

यह सुविधाजनक है कि कैलकुलेटर तुरंत भिन्नों के साथ एक उदाहरण को हल करने की प्रक्रिया प्रदान करता है, न कि केवल एक तैयार उत्तर। यह विस्तारित समाधान के लिए धन्यवाद है कि आप हल करते समय इस सामग्री का उपयोग कर सकते हैं स्कूल के कार्यऔर कवर की गई सामग्री में बेहतर महारत हासिल करने के लिए।

आपको उदाहरण की गणना करने की आवश्यकता है:

प्रपत्र फ़ील्ड में संकेतक दर्ज करने के बाद, हमें मिलता है:

स्वतंत्र गणना करने के लिए, फॉर्म में डेटा दर्ज करें।

भिन्न कैलकुलेटर

दो भिन्न दर्ज करें:

		+ - * :

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