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Kyu का घातीय सूत्र कैसे ज्ञात करें। उदाहरणों द्वारा ज्यामितीय प्रगति

अनुदेश

10, 30, 90, 270...

ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात करना आवश्यक है।
समाधान:

1 विकल्प. आइए प्रगति का एक मनमाना सदस्य लें (उदाहरण के लिए, 90) और इसे पिछले वाले (30) से विभाजित करें: 90/30=3।

यदि एक ज्यामितीय प्रगति के कई सदस्यों का योग या घटती ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों का योग ज्ञात है, तो प्रगति के हर को खोजने के लिए, उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करें:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), जहां Sn ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योग है और
एस = बी1/(1-क्यू), जहां एस एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है (एक से कम हर के साथ प्रगति के सभी सदस्यों का योग)।
उदाहरण।

घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का पहला पद एक के बराबर है, और इसके सभी पदों का योग दो के बराबर है।

इस प्रगति के हर को निर्धारित करना आवश्यक है।
समाधान:

कार्य के डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें। पाना:
2=1/(1-q), जहां से – q=1/2.

प्रगति संख्याओं का एक क्रम है। एक ज्यामितीय प्रगति में, प्रत्येक आगामी पद को पिछले पद को एक निश्चित संख्या q से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, जिसे प्रगति का हर कहा जाता है।

अनुदेश

यदि ज्यामितीय b(n+1) और b(n) के दो पड़ोसी सदस्य ज्ञात हैं, तो हर प्राप्त करने के लिए, बड़ी संख्या वाली संख्या को उसके पहले वाली संख्या से विभाजित करना आवश्यक है: q=b(n) +1)/बी(एन). यह प्रगति और उसके हर की परिभाषा से अनुसरण करता है। एक महत्वपूर्ण शर्तपहले पद की असमानता शून्य और प्रगति का हर है, अन्यथा इसे अनिश्चित माना जाता है।

इस प्रकार, प्रगति के सदस्यों के बीच निम्नलिखित संबंध स्थापित होते हैं: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q। सूत्र b(n)=b1 q^(n-1) द्वारा ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य की गणना की जा सकती है, जिसमें हर q और सदस्य b1 ज्ञात हैं। साथ ही, प्रत्येक प्रगति मॉड्यूल अपने पड़ोसी सदस्यों के औसत के बराबर है: |b(n)|=√, इसलिए प्रगति को इसका प्राप्त हुआ।

ज्यामितीय प्रगति का एक एनालॉग सबसे सरल है घातांक प्रकार्य y=a^x, जहां x घातांक में है, a कुछ संख्या है। इस मामले में, प्रगति का हर पहले पद के समान है संख्या के बराबर हैएक। फ़ंक्शन y का मान इस प्रकार समझा जा सकता है नौवाँ सदस्यप्रगति यदि तर्क x के रूप में लिया जाता है प्राकृतिक संख्याएन (काउंटर)।

एक और महत्वपूर्ण संपत्तिज्यामितीय प्रगति, जिसने ज्यामितीय प्रगति दी

आइए एक शृंखला पर विचार करें.

7 28 112 448 1792...

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले वाले से ठीक चार गुना अधिक है। तो यह शृंखला एक प्रगति है।

ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम है मुख्य विशेषतावह कौन सा है अगला नंबरकिसी विशिष्ट संख्या से गुणा करके पिछले वाले से प्राप्त किया जाता है। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है।

a z +1 =a z q, जहां z चयनित तत्व की संख्या है।

तदनुसार, z ∈ N.

वह अवधि जब स्कूल में ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया जाता है वह कक्षा 9 है। उदाहरण आपको अवधारणा को समझने में मदद करेंगे:

0.25 0.125 0.0625...

इस सूत्र के आधार पर, प्रगति का हर इस प्रकार पाया जा सकता है:

न तो q और न ही bz शून्य हो सकते हैं। साथ ही, प्रगति का प्रत्येक तत्व शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।

तदनुसार, श्रृंखला में अगली संख्या जानने के लिए, आपको अंतिम संख्या को q से गुणा करना होगा।

इस प्रगति को निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और हर निर्दिष्ट करना होगा। उसके बाद, बाद के किसी भी पद और उनका योग ज्ञात करना संभव है।

किस्मों

Q और a 1 के आधार पर, इस प्रगति को कई प्रकारों में विभाजित किया गया है:

यदि 1 और q दोनों एक से अधिक हैं, तो ऐसा क्रम एक ज्यामितीय प्रगति है जो प्रत्येक अगले तत्व के साथ बढ़ता है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =3, q=2 - दोनों पैरामीटर एक से बड़े हैं।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 6 12 24 48 ...

यदि |q| एक से कम, अर्थात उससे गुणा भाग के बराबर है, तो समान स्थितियों वाली प्रगति घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =6, q=1/3 - a 1 एक से बड़ा है, q कम है।

तब संख्या क्रमइस प्रकार लिखा जा सकता है:

6 2 2/3 ... - कोई भी तत्व उसके बाद वाले तत्व से 3 गुना बड़ा होता है।

चिह्न-चर। यदि प्र<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: a 1 = -3 , q = -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।

फिर अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3, 6, -12, 24,...

सूत्रों

ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए, कई सूत्र हैं:

z-वें सदस्य का सूत्र. आपको पिछली संख्याओं की गणना किए बिना किसी विशिष्ट संख्या के अंतर्गत तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:क्यू = 3, ए 1 = 4. प्रगति के चौथे तत्व की गणना करना आवश्यक है।

समाधान:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

प्रथम तत्वों का योग जिनकी संख्या है जेड. आपको अनुक्रम के सभी तत्वों के योग की गणना करने की अनुमति देता हैएक zसहित।

चूंकि (1-क्यू) हर में है, तो (1 - क्यू)≠ 0, इसलिए q, 1 के बराबर नहीं है।

ध्यान दें: यदि q=1, तो प्रगति एक अनंत रूप से दोहराई जाने वाली संख्या की एक श्रृंखला होगी।

ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:ए 1 = 2, क्यू= -2. एस 5 की गणना करें।

समाधान:एस 5 = 22 - सूत्र द्वारा गणना।

राशि यदि |क्यू| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरण:ए 1 = 2 , क्यू= 0.5. राशि ज्ञात कीजिये.

समाधान:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

कुछ गुण:

विशेषता संपत्ति. यदि निम्न शर्त किसी के लिए प्रदर्शन कियाजेड, तो दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:

एक z 2 = एक z -1 · एz+1

साथ ही, ज्यामितीय अनुक्रम की किसी भी संख्या का वर्ग किसी दी गई श्रृंखला में किन्हीं अन्य दो संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान दूरी पर हों।

एक z 2 = एक z - टी 2 + एक z + टी 2 , कहाँटीइन संख्याओं के बीच की दूरी है.

तत्वोंक्यू में अंतरएक बार।
प्रगति तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति बनाते हैं, लेकिन पहले से ही अंकगणितीय, यानी, उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से अधिक है।

कुछ शास्त्रीय समस्याओं के उदाहरण

बेहतर ढंग से समझने के लिए कि ज्यामितीय प्रगति क्या है, ग्रेड 9 के समाधान वाले उदाहरण मदद कर सकते हैं।

स्थितियाँ:ए 1 = 3, ए 3 = 48. खोजेंक्यू.

समाधान: प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से बड़ा हैक्यू एक बार।हर का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है।

इस तरह,ए 3 = क्यू 2 · ए 1

प्रतिस्थापित करते समयक्यू= 4

स्थितियाँ:ए 2 = 6, ए 3 = 12. एस 6 की गणना करें।

समाधान:ऐसा करने के लिए, पहला तत्व q ढूंढना और उसे सूत्र में प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है।

ए 3 = क्यू· ए 2 , इस तरह,क्यू= 2

ए 2 = क्यू एक 1 ,इसीलिए ए 1= 3

एस 6 = 189

· ए 1 = 10, क्यू= -2. प्रगति का चौथा तत्व ज्ञात कीजिए।

समाधान: ऐसा करने के लिए, चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करना पर्याप्त है।

ए 4 = क्यू 3· ए 1 = -80

आवेदन उदाहरण:

बैंक के ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि जमा की, जिसकी शर्तों के तहत ग्राहक हर साल मूल राशि में इसका 6% जोड़ देगा। 4 साल बाद खाते में कितने पैसे होंगे?

समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। तो, निवेश के एक साल बाद, खाते में 10,000 + 10,000 के बराबर राशि होगी · 0.06 = 10000 1.06

तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि इस प्रकार व्यक्त की जाएगी:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

यानी हर साल रकम 1.06 गुना बढ़ जाती है. इसका मतलब यह है कि 4 वर्षों के बाद खाते में धनराशि का पता लगाने के लिए, प्रगति के चौथे तत्व को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो कि 10 हजार के बराबर पहला तत्व और 1.06 के बराबर हर द्वारा दिया गया है।

एस = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

योग की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण:

विभिन्न समस्याओं में, ज्यामितीय प्रगति का उपयोग किया जाता है। योग ज्ञात करने का एक उदाहरण इस प्रकार दिया जा सकता है:

ए 1 = 4, क्यू= 2, गणना करेंS5.

समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

एस 5 = 124

ए 2 = 6, ए 3 = 18. पहले छह तत्वों का योग ज्ञात करें।

समाधान:

जिओम. प्रगति, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से q गुना बड़ा है, अर्थात, योग की गणना करने के लिए, आपको तत्व को जानना होगाए 1 और हरक्यू.

ए 2 · क्यू = ए 3

क्यू = 3

इसी प्रकार, हमें खोजने की जरूरत हैए 1 , जाननाए 2 औरक्यू.

ए 1 · क्यू = ए 2

ए 1=2

एस 6 = 728.

ज्यामितीय अनुक्रमअंकगणित के साथ-साथ, एक महत्वपूर्ण संख्या श्रृंखला है जिसका अध्ययन कक्षा 9 में स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। इस लेख में, हम एक ज्यामितीय प्रगति के हर पर विचार करेंगे, और इसका मूल्य इसके गुणों को कैसे प्रभावित करता है।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा

आरंभ करने के लिए, हम इस संख्या श्रृंखला की परिभाषा देते हैं। ज्यामितीय प्रगति तर्कसंगत संख्याओं की एक श्रृंखला है जो इसके पहले तत्व को हर नामक एक स्थिर संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करने पर बनती है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला 3, 6, 12, 24, ... में संख्याएँ एक ज्यामितीय प्रगति हैं, क्योंकि यदि हम 3 (पहला तत्व) को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें 6 मिलता है। यदि हम 6 को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें मिलता है 12, इत्यादि.

विचाराधीन अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर प्रतीक ai द्वारा दर्शाया जाता है, जहां i एक पूर्णांक है जो श्रृंखला में तत्व की संख्या को दर्शाता है।

प्रगति की उपरोक्त परिभाषा गणित की भाषा में इस प्रकार लिखी जा सकती है: an = bn-1 * a1, जहां b हर है। इस सूत्र को जांचना आसान है: यदि n = 1, तो b1-1 = 1, और हमें a1 = a1 मिलता है। यदि n = 2, तो an = b * a1, और हम फिर से विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला की परिभाषा पर आते हैं। n के बड़े मानों के लिए भी इसी तरह का तर्क जारी रखा जा सकता है।

ज्यामितीय प्रगति का हर

संख्या b पूरी तरह से निर्धारित करती है कि संपूर्ण संख्या श्रृंखला में कौन सा वर्ण होगा। हर बी धनात्मक, ऋणात्मक हो सकता है और इसका मान एक से अधिक या कम भी हो सकता है। उपरोक्त सभी विकल्प अलग-अलग अनुक्रमों की ओर ले जाते हैं:

b > 1. परिमेय संख्याओं की बढ़ती हुई श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, 1, 2, 4, 8, ... यदि तत्व a1 ऋणात्मक है, तो संपूर्ण अनुक्रम केवल मॉड्यूलो में बढ़ेगा, लेकिन संख्याओं के चिह्न को ध्यान में रखते हुए घट जाएगा।
बी = 1. अक्सर ऐसे मामले को प्रगति नहीं कहा जाता है, क्योंकि इसमें समान तर्कसंगत संख्याओं की एक सामान्य श्रृंखला होती है। उदाहरण के लिए, -4, -4, -4.

योग के लिए सूत्र

विचाराधीन प्रगति के प्रकार के हर का उपयोग करके विशिष्ट समस्याओं पर विचार करने से पहले, इसके पहले एन तत्वों के योग के लिए एक महत्वपूर्ण सूत्र दिया जाना चाहिए। सूत्र है: एसएन = (बीएन - 1) * ए1 / (बी - 1)।

यदि आप प्रगति के सदस्यों के पुनरावर्ती अनुक्रम पर विचार करते हैं तो आप यह अभिव्यक्ति स्वयं प्राप्त कर सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र में, पदों की मनमानी संख्या का योग ज्ञात करने के लिए केवल पहला तत्व और हर जानना पर्याप्त है।

अनन्त रूप से घटता हुआ क्रम

ऊपर यह बताया गया था कि यह क्या है। अब, Sn का सूत्र जानकर, आइए इसे इस संख्या श्रृंखला पर लागू करें। चूंकि कोई भी संख्या जिसका मापांक 1 से अधिक नहीं होता है, जब उसे बढ़ाया जाता है महान डिग्रियाँशून्य की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात b∞ => 0 यदि -1

चूंकि अंतर (1 - बी) हमेशा सकारात्मक होगा, हर के मूल्य की परवाह किए बिना, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति S∞ के योग का चिह्न विशिष्ट रूप से इसके पहले तत्व a1 के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अब हम कई समस्याओं पर विचार करेंगे, जहां हम दिखाएंगे कि अर्जित ज्ञान को विशिष्ट संख्याओं पर कैसे लागू किया जाए।

कार्य संख्या 1। प्रगति और योग के अज्ञात तत्वों की गणना

एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए, प्रगति का हर 2 है, और इसका पहला तत्व 3 है। इसके 7वें और 10वें पद क्या होंगे, और इसके सात प्रारंभिक तत्वों का योग क्या है?

समस्या की स्थिति काफी सरल है और इसमें उपरोक्त सूत्रों का प्रत्यक्ष उपयोग शामिल है। इसलिए, संख्या n वाले तत्व की गणना करने के लिए, हम अभिव्यक्ति a = bn-1 * a1 का उपयोग करते हैं। 7वें तत्व के लिए हमारे पास है: a7 = b6 * a1, ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: a7 = 26 * 3 = 192। हम 10वें सदस्य के लिए भी ऐसा ही करते हैं: a10 = 29 * 3 = 1536।

हम योग के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं और श्रृंखला के पहले 7 तत्वों के लिए यह मान निर्धारित करते हैं। हमारे पास है: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381।

कार्य संख्या 2। प्रगति के मनमाने तत्वों का योग निर्धारित करना

मान लीजिए -2 घातांकीय प्रगति bn-1 * 4 का हर है, जहां n एक पूर्णांक है। इस श्रृंखला के 5वें से 10वें तत्व तक का योग ज्ञात करना आवश्यक है।

मौजूदा समस्या को सीधे प्रयोग से हल नहीं किया जा सकता ज्ञात सूत्र. आप इसे 2 से हल कर सकते हैं विभिन्न तरीके. संपूर्णता के लिए, हम दोनों प्रस्तुत करते हैं।

विधि 1. इसका विचार सरल है: आपको पहले पदों के दो संगत योगों की गणना करनी होगी, और फिर एक से दूसरे को घटाना होगा। छोटी राशि की गणना करें: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364। अब हम हिसाब लगाते हैं बड़ी रकम: एस4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20। ध्यान दें कि अंतिम अभिव्यक्ति में, केवल 4 शब्दों का सारांश दिया गया था, क्योंकि 5वाँ पहले से ही उस योग में शामिल है जिसे समस्या की स्थिति के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। अंत में, हम अंतर लेते हैं: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344।

विधि 2. संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और गिनने से पहले, आप प्रश्नाधीन श्रृंखला के पदों m और n के बीच के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। हम बिल्कुल उसी तरह से कार्य करते हैं जैसे विधि 1 में, केवल हम पहले योग के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ काम करते हैं। हमारे पास है: एसएनएम = (बीएन - 1) * ए1 / (बी - 1) - (बीएम-1 - 1) * ए1 / (बी - 1) = ए1 * (बीएन - बीएम-1) / (बी - 1) . आप ज्ञात संख्याओं को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम परिणाम की गणना कर सकते हैं: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344।

टास्क नंबर 3. हर क्या है?

मान लीजिए a1 = 2, ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि इसका अनंत योग 3 हो, और यह ज्ञात हो कि यह संख्याओं की घटती हुई श्रृंखला है।

समस्या की स्थिति के अनुसार यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि उसे हल करने के लिए किस सूत्र का प्रयोग किया जाना चाहिए। निस्संदेह, अनंत रूप से घटती प्रगति के योग के लिए। हमारे पास है: S∞ = a1 / (1 - b)। जहां से हम हर को व्यक्त करते हैं: b = 1 - a1 / S∞. यह स्थानापन्न करना बाकी है ज्ञात मूल्यऔर आवश्यक संख्या प्राप्त करें: b = 1 - 2/3 = -1/3 या -0.333(3)। हम इस परिणाम को गुणात्मक रूप से जांच सकते हैं यदि हमें याद है कि इस प्रकार के अनुक्रम के लिए, मापांक बी को 1 से आगे नहीं जाना चाहिए। जैसा कि आप देख सकते हैं, |-1 / 3|

कार्य संख्या 4. संख्याओं की एक श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना

मान लीजिए किसी संख्या श्रृंखला के 2 तत्व दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, 5वां 30 के बराबर है और 10वां 60 के बराबर है। इन आंकड़ों से पूरी श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि यह एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों को संतुष्ट करता है।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक ज्ञात सदस्य के लिए संबंधित अभिव्यक्ति लिखनी होगी। हमारे पास है: a5 = b4 * a1 और a10 = b9 * a1। अब हम दूसरे व्यंजक को पहले से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5। यहां से हम समस्या की स्थिति से ज्ञात सदस्यों के अनुपात की पांचवीं डिग्री की जड़, बी = 1.148698 लेकर हर का निर्धारण करते हैं। हम परिणामी संख्या को ज्ञात तत्व के किसी एक भाव में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966।

इस प्रकार, हमने पाया है कि प्रगति bn का हर क्या है, और ज्यामितीय प्रगति bn-1 * 17.2304966 = an, जहां b = 1.148698 है।

ज्यामितीय प्रगति का उपयोग कहाँ किया जाता है?

यदि व्यवहार में इस संख्यात्मक श्रृंखला का कोई अनुप्रयोग नहीं होता, तो इसका अध्ययन विशुद्ध सैद्धांतिक रुचि तक ही सीमित रह जाता। लेकिन एक ऐसी एप्लीकेशन है.

3 सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नीचे सूचीबद्ध हैं:

ज़ेनो का विरोधाभास, जिसमें फुर्तीला अकिलिस धीमे कछुए को नहीं पकड़ सकता है, को संख्याओं के अनंत रूप से घटते अनुक्रम की अवधारणा का उपयोग करके हल किया जाता है।
यदि शतरंज की बिसात की प्रत्येक कोशिका पर गेहूं के दाने इस प्रकार रखे जाएं कि पहली कोशिका पर 1 दाना, दूसरी पर 2, तीसरी पर 3, और इसी प्रकार आगे भी रखा जाए, तो सभी कोशिकाओं को भरने के लिए 18446744073709551615 अनाज की आवश्यकता होगी। बोर्ड!
गेम "टॉवर ऑफ़ हनोई" में, डिस्क को एक रॉड से दूसरे रॉड में पुनर्व्यवस्थित करने के लिए, 2n - 1 ऑपरेशन करना आवश्यक है, अर्थात, उपयोग की गई डिस्क n की संख्या से उनकी संख्या तेजी से बढ़ती है।

ज्यामितीय अनुक्रमगणित में अंकगणित से कम महत्वपूर्ण नहीं। ज्यामितीय प्रगति संख्याओं b1, b2,..., b[n] का एक ऐसा क्रम है जिसका प्रत्येक अगला सदस्य पिछले एक को एक स्थिर संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। यह संख्या, जो प्रगति की वृद्धि या कमी की दर को भी दर्शाती है, कहलाती है ज्यामितीय प्रगति का हरऔर निरूपित करें

एक ज्यामितीय प्रगति के पूर्ण निर्धारण के लिए, हर के अलावा, इसके पहले पद को जानना या निर्धारित करना आवश्यक है। हर के सकारात्मक मान के लिए, प्रगति एक मोनोटोन अनुक्रम है, और यदि संख्याओं का यह क्रम एकरस रूप से घट रहा है और एकरस रूप से बढ़ रहा है। वह मामला जब हर एक के बराबर होता है तो व्यवहार में उस पर विचार नहीं किया जाता है, क्योंकि हमारे पास एक अनुक्रम है समान संख्याएँ, और उनका सारांश कोई व्यावहारिक रुचि का नहीं है

ज्यामितीय प्रगति का सामान्य शब्दसूत्र के अनुसार गणना की गई

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योगसूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है

आइए हम शास्त्रीय ज्यामितीय प्रगति समस्याओं के समाधान पर विचार करें। आइए समझने में सबसे सरल से शुरू करें।

उदाहरण 1. ज्यामितीय प्रगति का पहला पद 27 है, और इसका हर 1/3 है। ज्यामितीय प्रगति के पहले छह पद ज्ञात कीजिए।

समाधान: हम समस्या की स्थिति को फॉर्म में लिखते हैं

गणना के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं

इसके आधार पर, हम प्रगति के अज्ञात सदस्यों को ढूंढते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करना मुश्किल नहीं है। प्रगति स्वयं इस प्रकार दिखाई देगी

उदाहरण 2. ज्यामितीय प्रगति के पहले तीन सदस्य दिए गए हैं: 6; -12; 24. हर और सातवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान: हम इसकी परिभाषा के आधार पर ज्यामितीय प्रगति के हर की गणना करते हैं

हमें एक प्रत्यावर्ती ज्यामितीय अनुक्रम मिला जिसका हर -2 है। सातवें पद की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

इस पर कार्य हल हो गया है।

उदाहरण 3. एक ज्यामितीय प्रगति इसके दो सदस्यों द्वारा दी गई है . प्रगति का दसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए दिए गए मानों को सूत्रों के माध्यम से लिखें

नियमों के अनुसार, किसी को हर को ढूंढना होगा, और फिर खोजना होगा वांछित मूल्य, लेकिन हमारे पास दसवें कार्यकाल के लिए है

इनपुट डेटा के साथ सरल हेरफेर के आधार पर वही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। हम श्रृंखला के छठे पद को दूसरे से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है

यदि परिणामी मान को छठे पद से गुणा किया जाए, तो हमें दसवां पद प्राप्त होता है

इस प्रकार, ऐसी समस्याओं के लिए, सरल परिवर्तनों की सहायता से तेज़ तरीकाआप सही समाधान पा सकते हैं.

उदाहरण 4. ज्यामितीय प्रगति आवर्ती सूत्रों द्वारा दी गई है

ज्यामितीय प्रगति का हर और पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम दिए गए डेटा को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखते हैं

दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित करके हर को व्यक्त करें

पहले समीकरण से प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए

ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित पाँच पदों की गणना करें

अब अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग के प्रश्न पर विचार करें। आइए हम किसी दी गई अनंत श्रेणी के आंशिक योग को उसके प्रथम पदों का योग कहें। आंशिक योग को प्रतीक द्वारा निरूपित करें

हर अनंत प्रगति के लिए

कोई इसके आंशिक योगों का एक (अनंत भी) अनुक्रम बना सकता है

मान लीजिए कि असीमित वृद्धि वाले अनुक्रम की एक सीमा होती है

इस मामले में, संख्या S, यानी, प्रगति के आंशिक योग की सीमा को अनंत प्रगति का योग कहा जाता है। हम साबित करेंगे कि एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का हमेशा एक योग होता है, और इस योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करेंगे (हम यह भी दिखा सकते हैं कि एक अनंत प्रगति का कोई योग नहीं है, अस्तित्व में नहीं है)।

हम सूत्र (91.1) के अनुसार आंशिक योग के लिए अभिव्यक्ति को प्रगति के सदस्यों के योग के रूप में लिखते हैं और आंशिक योग की सीमा पर विचार करते हैं

मद 89 के प्रमेय से ज्ञात होता है कि घटती हुई प्रगति के लिए; इसलिए, अंतर सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं

(नियम का उपयोग यहां भी किया जाता है: स्थिर कारक को सीमा के चिह्न से हटा दिया जाता है)। अस्तित्व सिद्ध हो जाता है, और साथ ही अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र प्राप्त होता है:

समानता (92.1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

यहां यह विरोधाभासी लग सकता है कि एक अच्छी तरह से परिभाषित परिमित मान शब्दों के अनंत सेट के योग को सौंपा गया है।

इस स्थिति को स्पष्ट करने के लिए एक स्पष्ट उदाहरण दिया जा सकता है। एक वर्ग पर विचार करें जिसकी भुजा एक के बराबर हो (चित्र 72)। इस वर्ग को एक क्षैतिज रेखा द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित करें और ऊपरी हिस्साइसे नीचे की ओर लगाएं ताकि 2 और भुजाओं वाला एक आयत बन जाए। उसके बाद, हम फिर से इस आयत के दाहिने आधे हिस्से को एक क्षैतिज रेखा से आधे में विभाजित करते हैं और ऊपरी हिस्से को निचले हिस्से से जोड़ते हैं (जैसा कि चित्र 72 में दिखाया गया है)। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम लगातार 1 के बराबर क्षेत्रफल वाले मूल वर्ग को समान आकार की आकृतियों (पतले चरणों के साथ एक सीढ़ी का रूप लेते हुए) में बदल रहे हैं।

इस प्रक्रिया की अनंत निरंतरता के साथ, वर्ग का संपूर्ण क्षेत्रफल अनंत पदों में विघटित हो जाता है - 1 के बराबर आधार और ऊंचाई वाले आयतों के क्षेत्रफल। आयतों के क्षेत्रफल बस एक अनंत घटती हुई प्रगति बनाते हैं, इसका योग

यानी, जैसा कि अपेक्षित था, वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

उदाहरण। निम्नलिखित अनंत प्रगतियों का योग ज्ञात कीजिए: