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बड़ी संख्याओं की भिन्नों को कैसे जोड़ें. विभिन्न हरों के साथ सरल और मिश्रित भिन्नों का गुणन

आप भिन्नों के साथ विभिन्न क्रियाएं कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ना। भिन्नों के योग को कई प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। भिन्नों के प्रत्येक प्रकार के जोड़ के अपने नियम और क्रियाओं का एल्गोरिदम होता है। आइए प्रत्येक प्रकार के जोड़ पर करीब से नज़र डालें।

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना।

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि एक उभयनिष्ठ हर के साथ भिन्नों को कैसे जोड़ा जाए।

यात्री बिंदु A से बिंदु E तक पदयात्रा पर गए। पहले दिन, वे बिंदु A से B, या $\frac(1)(5)$ तक पूरे रास्ते चले। दूसरे दिन वे बिंदु B से D या $\frac(2)(5)$ तक पूरे रास्ते गए। यात्रा की शुरुआत से बिंदु D तक उन्होंने कितनी दूरी तय की?

बिंदु A से बिंदु D तक की दूरी ज्ञात करने के लिए, भिन्नों को $\frac(1)(5) + \frac(2)(5)$ जोड़ें।

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का मतलब है कि आपको इन भिन्नों के अंशों को जोड़ना होगा, और हर वही रहेगा।

$\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)$

शाब्दिक रूप में, समान हर वाले भिन्नों का योग इस प्रकार दिखेगा:

$\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)$

उत्तर: पर्यटकों ने पूरे रास्ते $\frac(3)(5)$ की यात्रा की।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना।

एक उदाहरण पर विचार करें:

दो भिन्नों $\frac(3)(4)$ और $\frac(2)(7)$ को जोड़ें।

भिन्नों को जोड़ने के लिए विभिन्न भाजकपहले पाया जाना चाहिए, और फिर समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए नियम का उपयोग करें।

हर 4 और 7 के लिए, उभयनिष्ठ हर 28 है। पहला भिन्न $\frac(3)(4)$ को 7 से गुणा किया जाना चाहिए। दूसरा भिन्न $\frac(2)(7)$ होना चाहिए 4 से गुणा किया गया.

$\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ गुना \रंग(लाल) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)$

शाब्दिक रूप में हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

$\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)$

मिश्रित संख्याओं या मिश्रित भिन्नों का योग।

जोड़ जोड़ के नियम के अनुसार होता है।

पर मिश्रित अंशपूर्णांक भागों को पूर्णांक भागों में और भिन्नात्मक भागों को भिन्नात्मक भागों में जोड़ें।

यदि मिश्रित संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में हर समान हों, तो अंश जोड़ें, और हर वही रहता है।

मिश्रित संख्याएँ $3\frac(6)(11)$ और $1\frac(3)(11)$ जोड़ें।

$3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\रंग(लाल) (3) + \रंग(नीला) (\frac(6)(11))) + ( \रंग(लाल) (1) + \रंग(नीला) (\frac(3)(11))) = (\रंग(लाल) (3) + \रंग(लाल) (1)) + (\रंग( नीला) (\frac(6)(11)) + \रंग(नीला) (\frac(3)(11))) = \रंग(लाल)(4) + (\रंग(नीला) (\frac(6) + 3)(11))) = \रंग(लाल)(4) + \रंग(नीला) (\frac(9)(11)) = \रंग(लाल)(4) \रंग(नीला) (\frac (9)(11))$

यदि मिश्रित संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर हों, तो हम एक उभयनिष्ठ हर पाते हैं।

आइए मिश्रित संख्याएँ $7\frac(1)(8)$ और $2\frac(1)(6)$ जोड़ें।

हर अलग है, इसलिए आपको एक सामान्य हर खोजने की जरूरत है, यह 24 के बराबर है। पहले भिन्न $7\frac(1)(8)$ को 3 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें, और दूसरे भिन्न $ 2\frac(1)(6)$ 4 पर.

$7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24) ) = 9\frac(7)(24)$

संबंधित सवाल:
भिन्नों को कैसे जोड़ें?
उत्तर: सबसे पहले आपको यह तय करना होगा कि अभिव्यक्ति किस प्रकार की है: भिन्नों के हर समान होते हैं, अलग-अलग हर होते हैं या मिश्रित भिन्न होते हैं। अभिव्यक्ति के प्रकार के आधार पर, हम समाधान एल्गोरिदम पर आगे बढ़ते हैं।

विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: आपको एक उभयनिष्ठ हर ढूंढना होगा, और फिर समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के नियम का पालन करना होगा।

मिश्रित भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: पूर्णांक भागों में पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भागों में भिन्नात्मक भाग जोड़ें।

उदाहरण 1:
क्या दो का योग उचित भिन्न में परिणित हो सकता है? ग़लत अंश? उदाहरण दो।

$\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)$

भिन्न $\frac(5)(7)$ एक उचित भिन्न है, यह दो उचित भिन्नों $\frac(2)(7)$ और $\frac(3) के योग का परिणाम है (7)$.

$\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)$

भिन्न $\frac(58)(45)$ है अनुचित अंश, यह उचित भिन्नों $\frac(2)(5)$ और $\frac(8)(9)$ के योग के परिणामस्वरूप प्राप्त हुआ था।

उत्तर: दोनों प्रश्नों का उत्तर हाँ है।

उदाहरण #2:
भिन्न जोड़ें: a) $\frac(3)(11) + \frac(5)(11)$ b) $\frac(1)(3) + \frac(2)(9)$.

a) $\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)$

बी) $\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)$

उदाहरण #3:
मिश्रित भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या और उचित भिन्न के योग के रूप में लिखें: a) $1\frac(9)(47)$ b) $5\frac(1)(3)$

a) $1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)$

बी) $5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)$

उदाहरण #4:
योग की गणना करें: a) $8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)$ b) $2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) $ सी) $7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)$

a) $8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)$

बी) $2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13)$

सी) $7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)$

कार्य 1:
रात के खाने में उन्होंने केक का $\frac(8)(11)$ खाया, और शाम के खाने में उन्होंने $\frac(3)(11)$ खाया। क्या आपको लगता है केक पूरा खाया गया या नहीं?

समाधान:
भिन्न का हर 11 है, यह दर्शाता है कि केक को कितने भागों में विभाजित किया गया था। दोपहर के भोजन में, हमने 11 में से केक के 8 टुकड़े खाये। रात के खाने में, हमने 11 में से केक के 3 टुकड़े खाये। आइए 8 + 3 = 11 जोड़ें, हमने 11 में से केक के टुकड़े खाये, यानी पूरा केक।

$\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1$

उत्तर: उन्होंने पूरा केक खा लिया।

अंश $\frac63$ पर विचार करें। इसका मान 2 है, क्योंकि $\frac63 =6:3 = 2$. यदि अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए तो क्या होगा? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. जाहिर है, भिन्न का मान नहीं बदला है, इसलिए $\frac(12)(6)$ भी y के रूप में 2 के बराबर है। अंश और हर को गुणा करें 3 से और $\frac(18)(9)$ प्राप्त करें, या 27 से और $\frac(162)(81)$ प्राप्त करें, या 101 से और $\frac(606)(303)$ प्राप्त करें। इनमें से प्रत्येक मामले में, अंश को हर से विभाजित करने पर हमें जो भिन्न का मान मिलता है वह 2 है। इसका मतलब है कि यह नहीं बदला है।

अन्य भिन्नों के मामले में भी यही पैटर्न देखा जाता है। यदि भिन्न $\frac(120)(60)$ (2 के बराबर) के अंश और हर को 2 ($\frac(60)(30)$ का परिणाम), या 3 ($\ का परिणाम) से विभाजित किया जाता है frac(40)(20) $), या 4 ($\frac(30)(15)$ का परिणाम) और इसी तरह, तो प्रत्येक मामले में भिन्न का मान अपरिवर्तित रहता है और 2 के बराबर होता है।

यह नियम उन भिन्नों पर भी लागू होता है जो समान नहीं हैं। पूरा नंबर.

यदि भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 2 से गुणा किया जाता है, तो हमें $\frac(2)(6)$ मिलता है, अर्थात भिन्न का मान नहीं बदला है। और वास्तव में, यदि आप केक को 3 भागों में विभाजित करते हैं और उनमें से एक लेते हैं, या इसे 6 भागों में विभाजित करते हैं और 2 भाग लेते हैं, तो आपको दोनों मामलों में समान मात्रा में पाई मिलेगी। इसलिए, संख्याएं $\frac(1)(3)$ और $\frac(2)(6)$ समान हैं। आइए एक सामान्य नियम बनाएं।

किसी भी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है, और भिन्न का मान नहीं बदलता है।

यह नियम बहुत उपयोगी है. उदाहरण के लिए, यह कुछ मामलों में, लेकिन हमेशा नहीं, बड़ी संख्या वाले संचालन से बचने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, हम भिन्न $\frac(126)(189)$ के अंश और हर को 63 से विभाजित कर सकते हैं और भिन्न $\frac(2)(3)$ प्राप्त कर सकते हैं जिसकी गणना करना बहुत आसान है। एक और उदाहरण. भिन्न $\frac(155)(31)$ के अंश और हर को भिन्न $\frac(5)(1)$ या 5 प्राप्त करने के लिए 31 से विभाजित किया जा सकता है, क्योंकि 5:1=5 है।

इस उदाहरण में, हमारा पहली बार सामना हुआ एक भिन्न जिसका हर 1 है. ऐसे अंश खेलते हैं महत्वपूर्ण भूमिकागणना करते समय. यह याद रखना चाहिए कि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित किया जा सकता है और उसका मान नहीं बदलेगा। अर्थात्, $\frac(273)(1)$ 273 के बराबर है; $\frac(509993)(1)$ 509993 के बराबर है इत्यादि। इसलिए, हमें संख्याओं को से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

ऐसी भिन्नों से, जिनका हर 1 के बराबर है, समान उत्पादन करना संभव है अंकगणितीय आपरेशनस, अन्य सभी भिन्नों की तरह: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

आप पूछ सकते हैं कि पूर्णांक को भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने का क्या उपयोग है, जिसमें रेखा के नीचे एक इकाई होगी, क्योंकि पूर्णांक के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है। लेकिन तथ्य यह है कि एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करने से हमें अधिक कुशलता से उत्पादन करने की अनुमति मिलती है विभिन्न गतिविधियाँजब हम एक ही समय में पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं से निपट रहे होते हैं। उदाहरण के लिए, सीखना विभिन्न हरों वाली भिन्नों को जोड़ें. मान लीजिए हमें $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(5)$ जोड़ने की जरूरत है।

हम जानते हैं कि आप केवल उन्हीं भिन्नों को जोड़ सकते हैं जिनके हर बराबर हों। इसलिए, हमें यह सीखने की ज़रूरत है कि भिन्नों को ऐसे रूप में कैसे लाया जाए जब उनके हर बराबर हों। इस मामले में, हमें फिर से इस तथ्य की आवश्यकता है कि आप भिन्न का मान बदले बिना उसके अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा कर सकते हैं।

सबसे पहले, हम भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(5)(15)$ मिलता है, भिन्न का मान नहीं बदला है। फिर हम भिन्न $\frac(1)(5)$ के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(3)(15)$ मिलता है, फिर भी भिन्न का मान नहीं बदला है। इसलिए, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

आइए अब इस प्रणाली को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों वाली संख्याओं के योग पर लागू करने का प्रयास करें।

हमें $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ जोड़ने की जरूरत है। सबसे पहले, हम सभी पदों को भिन्नों में परिवर्तित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. अब हमें सभी भिन्नों को लाने की आवश्यकता है आम विभाजक, इसके लिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 12 से गुणा करते हैं, दूसरे को 4 से और तीसरे को 3 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें $\frac(36)(12) + \frac(4)(12) मिलता है )+\frac(15 )(12)$, जो $\frac(55)(12)$ के बराबर है। अगर आप छुटकारा पाना चाहते हैं अनुचित अंश, इसे एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग से युक्त संख्या में बदला जा सकता है: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ या $4\frac( 7)(12)$.

सभी नियम जो अनुमति देते हैं भिन्नों के साथ संचालन, जिनका हमने अभी अध्ययन किया है, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में भी मान्य हैं। तो, -1: 3 को $\frac(-1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और 1: (-3) को $\frac(1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

चूँकि किसी ऋणात्मक संख्या को किसी धनात्मक संख्या से विभाजित करना और किसी धनात्मक संख्या को किसी ऋणात्मक संख्या से विभाजित करना दोनों ही ऋणात्मक संख्याओं में परिणामित होते हैं, दोनों ही स्थितियों में हमें उत्तर ऋणात्मक संख्या के रूप में मिलेगा। वह है

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ या $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. इस प्रकार लिखे जाने पर ऋण चिह्न संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि अंश या हर को अलग से।

दूसरी ओर, (-1) : (-3) को $\frac(-1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और चूँकि एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, तो $\frac (-1 )(-3)$ को $+\frac(1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी प्रकार किया जाता है जैसे धनात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है। उदाहरण के लिए, $1- 1\frac13$ क्या है? आइए दोनों संख्याओं को भिन्न के रूप में निरूपित करें और $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ प्राप्त करें। आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ और $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, यानी $\frac(3)(3)-\frac( प्राप्त करें 4) (3)$, या $-\frac(1)(3)$।

§ 87. भिन्नों का योग.

भिन्नों को जोड़ने में पूर्णांकों को जोड़ने जैसी कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक ऐसी क्रिया है जिसमें कई दी गई संख्याओं (पदों) को एक संख्या (योग) में संयोजित किया जाता है, जिसमें पदों की इकाइयों की सभी इकाइयाँ और भिन्न शामिल होते हैं।

हम बारी-बारी से तीन मामलों पर विचार करेंगे:

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग.

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1 / 5 + 2 / 5 .

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड का भाग CD होगा 2/5 एबी के बराबर होगा.

चित्र से यह देखा जा सकता है कि यदि हम खंड AD लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD बिल्कुल खंड AC और CD का योग है। तो, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन पदों और परिणामी राशि पर विचार करने पर, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

यहीं से हमें मिलता है अगला नियम: समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।

आइए भिन्नों को जोड़ें: 3/4 + 3/8 सबसे पहले उन्हें सबसे कम सामान्य विभाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

मध्यवर्ती लिंक 6/8 + 3/8 नहीं लिखा जा सका; हमने इसे अधिक स्पष्टता के लिए यहां लिखा है।

इस प्रकार, विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर पर लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें (हम संगत भिन्नों पर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग.

आइए संख्याएँ जोड़ें: 2 3 / 8 + 3 5 / 6।

आइए सबसे पहले हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाएँ और उन्हें फिर से लिखें:

अब पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रम से जोड़ें:

§ 88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों का घटाव उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे पूर्ण संख्याओं का घटाव। यह एक ऐसी क्रिया है जिसके द्वारा दो पदों और उनमें से एक का योग करने पर दूसरा पद प्राप्त होता है। आइए बारी-बारी से तीन मामलों पर विचार करें:

1. समान हर वाली भिन्नों का घटाव।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाली भिन्नों का घटाव।

एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का AC भाग AB का 1/15 होगा, और उसी खंड का AD भाग 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए 4/15 एबी के बराबर एक और खंड ईडी को अलग रखें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE बना रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया, उससे पता चलता है कि अंशों को घटाकर अंतर का अंश प्राप्त किया गया था, और हर वही रहा।

इसलिए, समान हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, आपको लघुअंत के अंश से सबट्रेंड के अंश को घटाना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे सामान्य हर तक घटाएँ:

मध्यवर्ती लिंक 6 / 8 - 5 / 8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन भविष्य में इसे छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, किसी भिन्न में से भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे छोटे उभयनिष्ठ हर पर लाना होगा, फिर लघुअंत के अंश में से उपअंश के अंश को घटाना होगा और उनके अंतर के नीचे उभयनिष्ठ हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

आइए न्यूनतम और उपट्रेंड के भिन्नात्मक भागों को निम्नतम सामान्य विभाजक पर लाएँ:

हमने पूर्ण में से पूर्ण और भिन्न में से भिन्न को घटा दिया। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब सबट्रेंड का भिन्नात्मक भाग मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग से अधिक होता है। ऐसे मामलों में, आपको घटाए गए पूर्णांक भाग से एक इकाई लेने की ज़रूरत है, इसे उन भागों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और घटाए गए भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव पिछले उदाहरण की तरह ही किया जाएगा:

§ 89. भिन्नों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. रुचि की अवधारणा.
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए इन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करना।

किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को पूर्णांक से गुणा करने का होता है। किसी भिन्न (गुणक) को पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर होता है, और पदों की संख्या गुणक के बराबर होती है।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करना है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें आसानी से परिणाम मिल गया, क्योंकि कार्रवाई को समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने तक सीमित कर दिया गया था। इस तरह,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करना इस भिन्न को उतनी बार बढ़ाने के बराबर है जितनी पूर्णांक में इकाइयाँ हैं। और चूँकि भिन्न में वृद्धि या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त की जाती है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या हर को उससे विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा और हर को वही छोड़ना होगा, या, यदि संभव हो, तो अंश को अपरिवर्तित छोड़कर, हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा।

गुणा करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनमें आपको किसी दी गई संख्या का एक भाग खोजना या गणना करना होता है। इन कार्यों और अन्य कार्यों के बीच अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक भाग खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं के उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की विधि का परिचय देंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; इस पैसे का 1/3 मैंने किताबों की खरीद पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहरों ए और बी के बीच 300 किमी के बराबर दूरी तय करनी होगी। वह पहले ही उस दूरी का 2/3 भाग तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गाँव में 400 घर हैं, उनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। वहाँ कितने ईंट के घर हैं?

यहां कुछ ऐसी कई समस्याएं दी गई हैं जिनसे हमें किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए निपटना पड़ता है। इन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्याएँ कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसलिए, पुस्तकों की लागत ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या 2 समाधान.समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी में से 2/3 किमी खोजने की आवश्यकता है। 300 के पहले 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (अर्थात 300 का 1/3)।

300 का दो-तिहाई ज्ञात करने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, अर्थात 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (अर्थात 300 का 2/3)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो 400 में से 3/4 हैं। आइए पहले 400 में से 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (अर्थात् 400 का 1/4)।

400 के तीन चौथाई की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना करना होगा, अर्थात 3 से गुणा करना होगा:

100 x 3 = 300 (अर्थात् 400 का 3/4)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या के भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।

पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20) के योग के रूप में समझा जाना चाहिए। इस पैराग्राफ (पैराग्राफ 1) में यह स्थापित किया गया था कि किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने की ओर बढ़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणन: 9 2 / 3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम ऐसे गुणन को समान संख्याएँ जोड़कर प्रतिस्थापित नहीं कर सकते।

इस कारण हमें गुणन की एक नयी परिभाषा देनी होगी अर्थात् दूसरे शब्दों में इस प्रश्न का उत्तर देना होगा कि भिन्न से गुणा करने पर क्या समझा जाना चाहिए, इस क्रिया को किस प्रकार समझा जाना चाहिए।

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: किसी पूर्णांक (गुणक) को भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक के इस अंश को ज्ञात करना।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों में से 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि अंत में हम 6 पर पहुँचेंगे।

लेकिन अब एक दिलचस्प और है महत्वपूर्ण सवाल: योग ज्ञात करने जैसी प्रतीत होने वाली भिन्न क्रियाएं क्यों समान संख्याऔर किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या को पदों के साथ कई बार दोहराना) और नई क्रिया (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों का उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (4) से गुणा करके हल किया जाता है, यानी 50 x 4 = 200 (रूबल)।

चलिए वही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 3/4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (3/4) से गुणा करके भी हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना भी इसमें संख्याओं को कई बार बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की विषय-वस्तु समान है और केवल संख्याओं में अंतर है, इसलिए इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को हम एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा किया जाता है?

आइए अंतिम समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3/4 खोजना होगा। पहले हमें 50 का 1/4, और फिर 3/4 निकालना होगा।

50 का 1/4, 50/4 है;

50 का 3/4 है।

इस तरह।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5 / 8 = ?

12 का 1/8 12/8 है,

संख्या 12 का 5/8 है।

इस तरह,

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस उत्पाद को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर पर हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

हम इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था

यह याद रखना चाहिए कि गुणा करने से पहले आपको (यदि संभव हो तो) करना चाहिए कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर होता है, अर्थात भिन्न को भिन्न से गुणा करते समय, आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणक में भिन्न ज्ञात करना होगा।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लें: 3/4 गुना 5/7। इसका मतलब है कि आपको 3/4 में से 5/7 ढूंढना होगा। पहले 3/4 का 1/7 और फिर 5/7 ज्ञात करें

3/4 में से 1/7 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

दूसरा उदाहरण: 5/8 गुणा 4/9।

5/8 का 1/9 है,

4/9 संख्याएँ 5/8 हैं।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से, निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश और दूसरे गुणनफल को गुणनफल का हर बनाना होगा।

में यही नियम है सामान्य रूप से देखेंइस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय (यदि संभव हो तो) कटौती करना आवश्यक है। उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि उन मामलों में जहां गुणक, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो उन्हें अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याओं को गुणा करें: 2 1/2 और 3 1/5। हम उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदल देते हैं और फिर हम परिणामी भिन्न को भिन्न से भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणन निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. रुचि की अवधारणा.समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणनाएँ करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान में रखना चाहिए कि कई मात्राएँ किसी भी नहीं, बल्कि उनके लिए प्राकृतिक उपविभाजनों को स्वीकार करती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां हिस्सा (1/100) ले सकते हैं, यह एक पैसा होगा, दो सौवां हिस्सा 2 कोपेक है, तीन सौवां हिस्सा 3 कोपेक है। आप रूबल का 1/10 हिस्सा ले सकते हैं, यह "10 कोपेक, या एक पैसा" होगा। आप रूबल का एक चौथाई हिस्सा ले सकते हैं, यानी 25 कोपेक, आधा रूबल, यानी 50 कोपेक (पचास कोपेक)। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से नहीं लेते हैं उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल न लें क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन माप की इकाई, यानी, किलोग्राम, मुख्य रूप से दशमलव उपविभाजन की अनुमति देती है, उदाहरण के लिए, 1/10 किलोग्राम, या 100 ग्राम। और एक किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/13 असामान्य हैं।

सामान्य तौर पर हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव उपविभाजन की अनुमति देते हैं।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में मात्राओं को उप-विभाजित करने की एक ही (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इतना उचित विभाजन "सैकड़वाँ" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12/100 कम हो गई है।

उदाहरण। किताब की पिछली कीमत 10 रूबल है. वह 1 रूबल नीचे चली गई। 20 कोप.

2. बचत बैंक वर्ष के दौरान जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। 500 रूबल कैश डेस्क में डाल दिए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक विद्यालय के स्नातकों की संख्या कुल विद्यार्थियों की संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र पढ़ते थे, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या का सौवाँ भाग प्रतिशत कहलाता है।.

"प्रतिशत" शब्द उधार लिया गया है लैटिनऔर इसके मूल "सेंट" का अर्थ है एक सौ। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से पता चलता है कि प्रारंभ में प्राचीन रोमब्याज वह धन था जो देनदार ऋणदाता को "प्रत्येक सौ के लिए" चुकाता था। शब्द "सेंट" ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (वे सेंटीमीटर कहते हैं)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान उत्पादित सभी उत्पादों का 1/100 उत्पादन किया, हम यह कहेंगे: संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान एक प्रतिशत अस्वीकृत उत्पादों का उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना से 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र ने योजना से 4 प्रतिशत अधिक उत्पाद तैयार किए।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12 फीसदी कम हो गई है.

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2 प्रतिशत प्रति वर्ष भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या स्कूल के सभी छात्रों की संख्या का 5 प्रतिशत थी।

अक्षर को छोटा करने के लिए "प्रतिशत" शब्द के स्थान पर % चिन्ह लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि % चिह्न आमतौर पर गणनाओं में नहीं लिखा जाता है, इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस आइकन के साथ पूर्णांक के बजाय 100 के हर के साथ एक भिन्न लिखना होगा।

आपको निर्दिष्ट आइकन वाले पूर्णांक को 100 के हर वाले भिन्न से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले भिन्न के बजाय संकेतित आइकन के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 घन मीटर पानी मिला। मी जलाऊ लकड़ी, जिसमें बर्च जलाऊ लकड़ी 30% है। वहां कितनी भूर्ज लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि बर्च जलाऊ लकड़ी स्कूल में पहुंचाई गई जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा थी, और इस हिस्से को 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया गया है। इसलिए, हमारे सामने किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य किसी संख्या को भिन्न से गुणा करके हल किया जाता है।)।

तो 200 का 30% 60 के बराबर है।

इस समस्या में आने वाले अंश 30/100 को 10 से कम किया जा सकता है। इस कमी को शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदलेगा.

कार्य 2.शिविर में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 वर्ष की आयु के बच्चे 21% थे, 12 वर्ष की आयु के बच्चे 61% थे और अंततः 13 वर्ष के बच्चे 18% थे। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात् क्रमिक रूप से 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात करें।

अतः यहाँ किसी संख्या का भिन्न तीन बार ज्ञात करना आवश्यक होगा। चलो यह करते हैं:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 वर्ष के कितने बच्चे थे?

3) 13 वर्ष के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, पाए गए नंबरों को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस बात पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशतों का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कुल गणनाजो बच्चे शिविर में थे उन्हें 100% माना गया।

3 ए दा चा 3.कर्मचारी को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इनमें से, उन्होंने भोजन पर 65%, अपार्टमेंट और हीटिंग पर 6%, गैस, बिजली और रेडियो पर 4%, सांस्कृतिक जरूरतों पर 10% और 15% बचाया। कार्य में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना धन व्यय किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1,200 का एक अंश 5 बार खोजना होगा। आइए इसे करें।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च होता है? कार्य कहता है कि यह व्यय सभी कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करें:

2) हीटिंग वाले एक अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा दिया गया? पिछले वाले की तरह तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुँचते हैं:

3) गैस, बिजली और रेडियो के लिए आपने कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया जाता है?

5) कर्मचारी ने कितना पैसा बचाया?

सत्यापन के लिए इन 5 प्रश्नों में मिले अंकों को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% माना जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याएं हल कर ली हैं. इस तथ्य के बावजूद कि ये कार्य अलग-अलग चीजों (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, विभिन्न उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता के खर्च) से संबंधित थे, उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी कार्यों में दी गई संख्याओं का कुछ प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. भिन्न का पूर्णांक से विभाजन
3. किसी पूर्णांक का भिन्न से विभाजन।
4. भिन्न का भिन्न से विभाजन।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.
6. किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए इन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों के खंड में संकेत दिया गया था, विभाजन वह क्रिया है जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक और कारक पाया जाता है।

एक पूर्णांक का एक पूर्णांक से विभाजन हमने पूर्णांक विभाग में माना। हमें वहां विभाजन के दो मामले मिले: शेषफल के बिना विभाजन, या "संपूर्ण रूप से" (150: 10 = 15), और शेषफल के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के दायरे में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा भाजक और पूर्णांक का उत्पाद नहीं होता है। भिन्न द्वारा गुणन की शुरूआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 का गुणा 7 होगा। यह संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7. दूसरा उदाहरण: 14: 25 = 14/25 क्योंकि 14/25 25 = 14।

इस प्रकार, किसी पूर्णांक को पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाने की आवश्यकता होती है, जिसका अंश लाभांश के बराबर होता है, और हर भाजक होता है।

2. भिन्न का पूर्णांक से विभाजन।

भिन्न 6/7 को 3 से विभाजित करें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और गुणनखंड (3) में से एक है; ऐसा दूसरा गुणनखंड खोजना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर दिया गया उत्पाद 6/7 प्राप्त हो। जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने रखा गया कार्य भिन्न 6/7 को 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि भिन्न को छोटा करना या तो उसके अंश को कम करके या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, आप लिख सकते हैं:

इस स्थिति में, अंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लें: 5/8 को 2 से विभाजित किया गया है। यहां अंश 5, 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम नियम बता सकते हैं: किसी भिन्न को पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस पूर्णांक से विभाजित करना होगा(अगर संभव हो तो), एक ही हर छोड़कर, या एक ही अंश छोड़कर भिन्न के हर को इस संख्या से गुणा करें।

3. किसी पूर्णांक का भिन्न से विभाजन।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से विभाजित करना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या खोजें, जिसे 1/2 से गुणा करने पर गुणनफल 5 आए। जाहिर है, यह संख्या 5 से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है, और किसी संख्या को उचित भिन्न से गुणा करने पर गुणनफल गुणक से कम होना चाहिए। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को लिखें इस अनुसार: 5: 1 / 2 = एक्स , तो x 1/2 = 5।

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होगा। चूँकि किसी निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना है, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 \u003d 10।

तो 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

की जाँच करें:

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है। आइए सबसे पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

कुछ इकाइयों के 6 के बराबर एक खंड AB बनाएं और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड AB में तीन-तिहाई (3/3) 6 गुना बड़ा है, अर्थात। ई. 18/3. हम छोटे कोष्ठकों की सहायता से 2 के 18 प्राप्त खंडों को जोड़ते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका मतलब यह है कि अंश 2/3 बी इकाइयों में 9 गुना समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, अंश 2/3 6 पूर्णांक इकाइयों से 9 गुना कम है। इस तरह,

केवल गणनाओं का उपयोग करके बिना किसी चित्र के यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, यानी, इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि 6 में 2/3 कितनी बार समाहित है। आइए पहले जानें: 1/3 कितनी बार है 6 में समाहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसलिए, 1/3 b इकाइयों में 18 बार समाहित है, और 2/3 b इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि आधी बार समाहित है, यानी 18: 2 = 9 .इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित कार्य किया:

यहां से हमें किसी पूर्णांक को भिन्न से विभाजित करने का नियम मिलता है। किसी पूर्णांक को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और, इस गुणनफल को अंश बनाकर, इसे दिए गए भिन्न के अंश से विभाजित करना होगा।

हम अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखते हैं:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था। ध्यान दें कि वहां भी वही सूत्र प्राप्त हुआ था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न का भिन्न से विभाजन।

मान लीजिए कि 3/4 को 3/8 से विभाजित करना आवश्यक है। विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली संख्या को क्या दर्शाया जाएगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित होता है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 20)।

खंड AB लें, इसे एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चारों प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधा-आधा विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। हम ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ते हैं, तो प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। चित्र से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर खंड में ठीक 2 बार समाहित है; अतः विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 15/16 को 3/32 से विभाजित करना आवश्यक है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या ढूंढनी होगी, जिसे 3/32 से गुणा करने पर 15/16 के बराबर गुणनफल मिलेगा। आइए गणनाएँ इस प्रकार लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15/16 बनाओ

1/32 अज्ञात नंबर एक्स है ,

32 / 32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इस तरह,

इस प्रकार, एक भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश बनाना होगा और दूसरा हर.

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित भिन्नों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी भिन्नों को विभाजन नियमों के अनुसार विभाजित किया जाना चाहिए भिन्नात्मक संख्याएँ. एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित करना होगा।

6. किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करना।

भिन्नों पर विभिन्न कार्यों में कभी-कभी ऐसे कार्य भी होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी अंश का मान दिया जाता है और इस संख्या को ज्ञात करना आवश्यक होता है। इस प्रकार की समस्या किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमकाया, जो निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या कहती है कि 50 चमकदार खिड़कियाँ घर की सभी खिड़कियों का 1/3 हिस्सा बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि कुल मिलाकर 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, यानी।

घर में 150 खिड़कियाँ थीं।

कार्य 2.दुकान ने 1,500 किलोग्राम आटा बेचा, जो दुकान में आटे के कुल स्टॉक का 3/8 है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलोग्राम आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा. इस तरह,

500 8 = 4,000 (किग्रा)।

स्टोर में आटे की शुरुआती आपूर्ति 4,000 किलोग्राम थी।

इस समस्या पर विचार करने से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है।

किसी संख्या को उसके भिन्न के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की दो समस्याएं हल कीं। ऐसी समस्याएं, जैसा कि पिछले एक से विशेष रूप से अच्छी तरह से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, जब हमने भिन्नों के विभाजन का अध्ययन किया है, तो उपरोक्त समस्याओं को एक ही क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न से विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस प्रकार एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में किसी संख्या को उसके भिन्न द्वारा ज्ञात करने की समस्या का समाधान करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानकर, एक संख्या ढूंढनी होगी।

कार्य 1।सर्वप्रथम चालू वर्षमुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक वर्ष पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा डाला? (नकद कार्यालय जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष आय का 2% देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मैंने एक निश्चित धनराशि बचत बैंक में डाल दी थी और एक वर्ष तक वहीं पड़ी रही। एक साल बाद मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा लगाए गए धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा जमा किया?

इसलिए, इस पैसे के हिस्से को दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) जानने के बाद, हमें संपूर्ण, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। निम्नलिखित कार्य विभाजन द्वारा हल किए जाते हैं:

तो, 3,000 रूबल बचत बैंक में डाल दिए गए।

कार्य 2.दो सप्ताह में, मछुआरों ने 512 टन मछली तैयार करके मासिक योजना को 64% तक पूरा किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि मछुआरों ने योजना का कुछ भाग पूरा कर लिया है। यह भाग 512 टन के बराबर है, जो योजना का 64% है। योजना के अनुसार कितने टन मछली की कटाई की आवश्यकता है, हम नहीं जानते। समस्या का समाधान इस संख्या को खोजने में शामिल होगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

तो, योजना के अनुसार, आपको 800 टन मछली तैयार करने की आवश्यकता है।

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मॉस्को तक गई. जब वह 276वां किलोमीटर पार कर गया, तो यात्रियों में से एक ने पास से गुजर रहे कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हम पूरी यात्रा का 30% हिस्सा पहले ही तय कर चुके हैं।" रीगा से मास्को की दूरी कितनी है?

समस्या की स्थिति से पता चलता है कि रीगा से मॉस्को तक की यात्रा का 30% हिस्सा 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की पूरी दूरी ज्ञात करनी होगी, यानी, इस भाग के लिए, संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी होगी:

§ 91. पारस्परिक संख्याएँ। भाग को गुणन से बदलना।

भिन्न 2/3 लें और अंश को हर के स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करें, हमें 3/2 मिलता है। हमें इसका व्युत्क्रम, एक अंश प्राप्त हुआ।

किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार, हम एक भिन्न प्राप्त कर सकते हैं जो किसी भी भिन्न का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए:

3 / 4 , उल्टा 4 / 3 ; 5/6, उलटा 6/5

दो भिन्न जिनमें यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर है और पहले का हर दूसरे का अंश है, कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

अब आइए विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। इसका व्युत्क्रम खोजने पर हमें एक पूर्णांक मिला। और यह मामला अलग-थलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी भिन्नों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, उलटा 3; 1 /5, उलटा 5

चूंकि व्युत्क्रम ज्ञात करते समय हमें पूर्णांक भी मिले, इसलिए भविष्य में हम व्युत्क्रमों के बारे में नहीं, बल्कि व्युत्क्रमों के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि किसी पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम कैसे लिखें। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जाता है: आपको अंश के स्थान पर हर लगाना होगा। उसी तरह, आप पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक का हर 1 हो सकता है। इसलिए, 7 का व्युत्क्रम 1/7 होगा, क्योंकि 7 = 7/1; संख्या 10 के लिए उलटा 1/10 है क्योंकि 10 = 10/1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: किसी दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक को दी गई संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. यह कथन न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, यदि आप एक ऐसी संख्या लिखना चाहते हैं जो भिन्न 5/9 का व्युत्क्रम है, तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, यानी।

अब आइए एक बात बताते हैं संपत्तिपरस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर व्युत्क्रम संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस गुण का उपयोग करके, हम निम्नलिखित प्रकार से व्युत्क्रम ज्ञात कर सकते हैं। आइए 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

आइए इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, अत: एक्स = 1 / 8 . आइए एक अन्य संख्या खोजें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 7/12 एक्स = 1, अत: एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों के विभाजन के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा प्रस्तुत की है।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से विभाजित करते हैं, तो हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

वेतन विशेष ध्यानअभिव्यक्ति के लिए और इसकी तुलना दिए गए अभिव्यक्ति से करें: .

यदि हम पिछले एक से संबंध के बिना, अभिव्यक्ति को अलग से लेते हैं, तो इस प्रश्न को हल करना असंभव है कि यह कहां से आया: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में परिणाम एक ही है. तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने पर भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे हम जो उदाहरण दे रहे हैं, वे इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।

टिप्पणी!अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को कम कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव उदाहरण:

एक से उचित भिन्न घटाना।

यदि इकाई में से किसी सही भिन्न को घटाना आवश्यक हो तो इकाई को अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित कर दिया जाता है, इसका हर घटाए गए भिन्न के हर के बराबर होता है।

एक से उचित भिन्न घटाने का एक उदाहरण:

घटाए जाने वाले भिन्न का हर = 7 , अर्थात्, हम इकाई को एक अनुचित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार घटाते हैं।

किसी पूर्ण संख्या में से उचित भिन्न घटाना।

भिन्न घटाने के नियम -पूर्णांक से सही करें (प्राकृतिक संख्या):

हम दी गई भिन्नों का अनुवाद, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, अनुचित भिन्नों में करते हैं। हमें सामान्य पद मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार मानते हैं;
इसके बाद, हम प्राप्त भिन्नों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें उत्तर लगभग मिल ही जाएगा;
हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित भिन्न से छुटकारा पाते हैं - हम भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करते हैं।

किसी पूर्ण संख्या में से एक उचित भिन्न घटाएँ: हम एक प्राकृतिक संख्या को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करते हैं। वे। हम एक प्राकृतिक संख्या में एक इकाई लेते हैं और इसे अनुचित भिन्न के रूप में अनुवादित करते हैं, हर घटाए गए भिन्न के समान होता है।

भिन्न घटाव उदाहरण:

उदाहरण में, हमने इकाई को अनुचित भिन्न 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिखी और भिन्नात्मक भाग से एक भिन्न घटा दिया।

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का घटाव।

या, इसे दूसरे तरीके से कहें तो, विभिन्न भिन्नों का घटाव.

विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने का नियम।विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, सबसे पहले, इन भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर (एलसीडी) पर लाना आवश्यक है, और उसके बाद ही समान हर वाली भिन्नों की तरह घटाना आवश्यक है।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (न्यूनतम सामान्य गुणक) प्राकृतिक संख्या, जो इन भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंतिम भिन्न में अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड हों, तो भिन्न को कम किया जाना चाहिए। एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सबसे अच्छा दर्शाया जाता है। जहां संभव हो, अंश को कम किए बिना घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक लगाएं;
सभी अंशों को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें;
हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी भिन्नों के अंतर्गत एक सामान्य हर पर हस्ताक्षर करते हैं;
अंतर के अंतर्गत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करके, भिन्नों के अंशों को घटाएँ।

इसी प्रकार, अंश में अक्षरों की उपस्थिति में भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

मिश्रित भिन्नों का घटाव.

पर मिश्रित भिन्नों (संख्याओं) का घटावअलग से, पूर्णांक भाग को पूर्णांक भाग से घटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटा दिया जाता है।

पहला विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

यदि भिन्नात्मक भाग जो उसीलघुअंत के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (हम इसे घटाते हैं) ≥ उपट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश (हम इसे घटाते हैं)।

उदाहरण के लिए:

दूसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

जब भिन्नात्मक भाग अलगहर आरंभ करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, और फिर हम पूर्णांक से पूर्णांक भाग को घटाते हैं, और भिन्नात्मक को भिन्नात्मक से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

तीसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

मीनूएंड का भिन्नात्मक भाग सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग से कम होता है।

उदाहरण:

क्योंकि भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले देते हैं सामान्य भिन्नएक सामान्य भाजक के लिए.

मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग का अंश, सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. तो, हम पूर्णांक भाग से एक इकाई लेते हैं और इस इकाई को समान हर और अंश के साथ एक अनुचित भिन्न के रूप में लाते हैं। = 18.

अंश में दायीं ओर से हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम दायीं ओर से अंश में कोष्ठक खोलते हैं, यानी हम सभी को गुणा करते हैं और समान देते हैं। हम हर में कोष्ठक नहीं खोलते। उत्पाद को हर में छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं:

समान हर वाले भिन्नों का घटाव उदाहरण:

एक से उचित भिन्न घटाना।

एक से उचित भिन्न घटाने का एक उदाहरण:

किसी पूर्ण संख्या में से उचित भिन्न घटाना।

भिन्न घटाने के नियम -पूर्णांक से सही करें (प्राकृतिक संख्या):

हम दी गई भिन्नों का अनुवाद, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, अनुचित भिन्नों में करते हैं। हमें सामान्य पद मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार मानते हैं;
इसके बाद, हम प्राप्त भिन्नों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें उत्तर लगभग मिल ही जाएगा;
हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित भिन्न से छुटकारा पाते हैं - हम भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करते हैं।

भिन्न घटाव उदाहरण:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का घटाव।

या, इसे दूसरे तरीके से कहें तो, विभिन्न भिन्नों का घटाव.

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (न्यूनतम सामान्य गुणक)प्राकृत संख्याएँ जो दी गई भिन्नों के हर हैं।

विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक लगाएं;
सभी अंशों को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें;
हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी भिन्नों के अंतर्गत एक सामान्य हर पर हस्ताक्षर करते हैं;
अंतर के अंतर्गत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करके, भिन्नों के अंशों को घटाएँ।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण: