पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके एक पक्ष ढूँढना। पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीके: उदाहरण, विवरण और समीक्षाएं

अनुदेश

यदि आपको पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है, तो निम्न एल्गोरिथम का उपयोग करें: - त्रिभुज में निर्धारित करें कि कौन सी भुजाएं पैर हैं, और कौन सी कर्ण हैं। नब्बे डिग्री का कोण बनाने वाली दो भुजाएँ पैर हैं, शेष तीसरा कर्ण है। (सेमी) - इस त्रिभुज के प्रत्येक पैर को दूसरी शक्ति तक उठाएँ, अर्थात अपने आप से गुणा करें। उदाहरण 1. यदि त्रिभुज में एक पाद 12 सेमी और दूसरा 5 सेमी है तो कर्ण की गणना करना आवश्यक है। सबसे पहले, पादों के वर्ग हैं: 12 * 12 = 144 सेमी और 5 * 5 = 25 सेमी। - अगला, वर्ग पैरों का योग निर्धारित करें। एक निश्चित संख्या है कर्ण, आपको खोजने के लिए संख्या की दूसरी शक्ति से छुटकारा पाने की आवश्यकता है लंबाईत्रिकोण के इस तरफ। ऐसा करने के लिए, वर्गमूल के नीचे से पैरों के वर्गों के योग का मान निकालें। उदाहरण 1. 144+25=169। 169 का वर्गमूल 13 होगा। इसलिए इसकी लंबाई कर्ण 13 सेंटीमीटर के बराबर

लंबाई की गणना करने का दूसरा तरीका कर्णएक त्रिकोण में साइन और कोण की शब्दावली में निहित है। परिभाषा के अनुसार: कर्ण के विपरीत पैर के कोण अल्फा की साइन। अर्थात्, आकृति को देखते हुए, sin a \u003d CB / AB। इसलिए, कर्ण AB \u003d CB / sin a। उदाहरण 2. कोण को 30 डिग्री और विपरीत पैर - 4 सेमी होने दें। आपको कर्ण खोजने की आवश्यकता है। हल: AB \u003d 4 सेमी / पाप 30 \u003d 4 सेमी / 0.5 \u003d 8 सेमी। उत्तर: लंबाई कर्ण 8 सेमी के बराबर

खोजने का एक समान तरीका कर्णएक कोण के कोसाइन की परिभाषा से। एक कोण का कोसाइन उसके समीप के पैर का अनुपात है और कर्ण. अर्थात्, cos a \u003d AC / AB, इसलिए AB \u003d AC / cos a। उदाहरण 3. त्रिभुज ABC में, AB कर्ण है, कोण BAC 60 डिग्री है, पाद AC 2 सेमी है। AB ज्ञात कीजिए।
हल: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0.5 \u003d 4 सेमी उत्तर: कर्ण की लंबाई 4 सेमी है।

मददगार सलाह

किसी कोण की ज्या या कोज्या का मान ज्ञात करते समय या तो ज्या और कोसाइन की तालिका या ब्रैडिस तालिका का उपयोग करें।

टिप 2: कर्ण की लंबाई का पता कैसे लगाएं सही त्रिकोण

समकोण त्रिभुज में कर्ण को भुजाओं में सबसे लंबा कहा जाता है, इसलिए इसमें कोई आश्चर्य की बात नहीं है यूनानीइस शब्द का अनुवाद "स्ट्रेच्ड" के रूप में किया गया है। यह भुजा हमेशा 90° के कोण के विपरीत स्थित होती है, और इस कोण को बनाने वाली भुजाओं को पाद कहा जाता है। इन पक्षों की लंबाई और इन मूल्यों के विभिन्न संयोजनों में तीव्र कोणों के परिमाण को जानने के बाद, कर्ण की लंबाई की गणना भी की जा सकती है।

अनुदेश

यदि दोनों त्रिकोणों (ए और बी) की लंबाई ज्ञात है, तो कर्ण (सी) की लंबाई का उपयोग करें, शायद सबसे प्रसिद्ध गणितीय अवधारणा - पाइथागोरस प्रमेय। यह कहता है कि कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों का योग है, जिससे यह पता चलता है कि आपको दो पक्षों की वर्ग लंबाई के योग की जड़ की गणना करनी चाहिए: C \u003d √ (ए² + बी²)। उदाहरण के लिए, यदि एक पैर की लंबाई 15 और - 10 सेंटीमीटर है, तो कर्ण की लंबाई लगभग 18.0277564 सेंटीमीटर होगी, क्योंकि √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d √ 325 ≈ 18.0277564 .

यदि एक समकोण त्रिभुज में केवल एक पाद (A) की लंबाई ज्ञात हो, साथ ही इसके विपरीत कोण (α) का मान ज्ञात हो, तो कर्ण (C) की लंबाई किसी एक त्रिकोणमितीय का उपयोग करके की जा सकती है कार्य - साइन। ऐसा करने के लिए, लंबाई विभाजित करें ज्ञात पार्टीज्ञात कोण की ज्या के लिए: С=А/sin(α). उदाहरण के लिए, यदि किसी एक पैर की लंबाई 15 सेंटीमीटर है, और त्रिकोण के विपरीत शीर्ष पर कोण 30 ° है, तो कर्ण की लंबाई 30 सेंटीमीटर होगी, क्योंकि 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0.5 \u003d 30।

यदि एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (α) और उससे सटे पैर की लंबाई (B) का मान ज्ञात है, तो एक अन्य त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन, कोसाइन, का उपयोग कर्ण की लंबाई (C) की गणना के लिए किया जा सकता है। ). आपको लंबाई विभाजित करनी चाहिए प्रसिद्ध पैरज्ञात कोण के कोसाइन द्वारा: С=В/ cos(α)। उदाहरण के लिए, यदि इस पैर की लंबाई 15 सेंटीमीटर और मान है तीव्र कोण, इसके समीप, 30° है, तो कर्ण की लंबाई लगभग 17.3205081 सेंटीमीटर होगी, क्योंकि 15/cos(30°)=15/(0.5*√3)=30/√3≈17.3205081।

लंबाई एक रेखा खंड पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। यह एक सीधी, टूटी या बंद रेखा हो सकती है। यदि आप खंड के कुछ अन्य संकेतकों को जानते हैं, तो आप काफी सरल तरीके से लंबाई की गणना कर सकते हैं।

अनुदेश

यदि आपको एक वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो यह नहीं होगा यदि आप इसका क्षेत्रफल S जानते हैं। इस तथ्य के कारण कि वर्ग की सभी भुजाएँ हैं

पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति का सबसे महत्वपूर्ण कथन है। प्रमेय निम्नानुसार तैयार किया गया है: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल उसके पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर इस कथन की खोज का श्रेय दिया जाता है प्राचीन यूनानी दार्शनिकऔर गणितज्ञ पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व)। लेकिन बेबीलोनियन क्यूनिफ़ॉर्म गोलियों और प्राचीन चीनी पांडुलिपियों (यहां तक ​​कि पुरानी पांडुलिपियों की प्रतियां) के एक अध्ययन से पता चला है कि यह कथन पाइथागोरस से बहुत पहले से जाना जाता था, शायद उससे एक सहस्राब्दी पहले। पाइथागोरस की योग्यता यह थी कि उन्होंने इस प्रमेय के प्रमाण की खोज की।

संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय में वर्णित तथ्य सर्वप्रथम समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों के लिए स्थापित किया गया था। यह अंजीर में दिखाए गए काले और हल्के त्रिकोणों के मोज़ेक को देखने के लिए पर्याप्त है। 1 त्रिकोण प्रमेय की वैधता को सत्यापित करने के लिए: कर्ण पर निर्मित एक वर्ग में 4 त्रिभुज होते हैं, और प्रत्येक पैर पर 2 त्रिभुजों वाला एक वर्ग बनाया जाता है। में सामान्य मामले को साबित करने के लिए प्राचीन भारतदो तरह से व्यवस्थित: एक वर्ग में एक तरफ, लंबाई के पैरों के साथ चार समकोण त्रिभुज और चित्रित किए गए (चित्र 2, ए और 2, बी), जिसके बाद उन्होंने एक शब्द "देखो!" लिखा। और वास्तव में, इन आंकड़ों को देखते हुए, हम देखते हैं कि बाईं ओर त्रिभुजों से मुक्त एक आकृति है, जिसमें पक्षों के साथ दो वर्ग होते हैं और क्रमशः इसका क्षेत्रफल बराबर होता है, और दाईं ओर - एक भुजा वाला एक वर्ग - इसका क्षेत्रफल होता है बराबर। अतः, जो पाइथागोरस प्रमेय का कथन है।

हालाँकि, दो सहस्राब्दी के लिए, यह दृश्य प्रमाण नहीं था जिसका उपयोग किया गया था, लेकिन यूक्लिड द्वारा आविष्कार किया गया एक अधिक जटिल प्रमाण, जिसे उनकी प्रसिद्ध पुस्तक "बिगिनिंग्स" (यूक्लिड और उनकी "बिगिनिंग्स" देखें) में रखा गया है, यूक्लिड ने ऊँचाई को कम किया शीर्ष समकोणकर्ण पर और यह साबित हुआ कि इसकी निरंतरता कर्ण पर बने वर्ग को दो आयतों में विभाजित करती है, जिनमें से क्षेत्र पैरों पर बने संबंधित वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर होते हैं (चित्र 3)। इस प्रमेय के प्रमाण में प्रयुक्त चित्र को मजाक में "पाइथागोरस पैंट" कहा जाता है। लंबे समय तक उन्हें गणितीय विज्ञान के प्रतीकों में से एक माना जाता था।

आज कई दर्जन हैं विभिन्न साक्ष्यपाइथागोरस प्रमेय। उनमें से कुछ वर्गों के विभाजन पर आधारित हैं, जिसमें कर्ण पर बने वर्ग में पैरों पर निर्मित वर्गों के विभाजन में शामिल भाग होते हैं; अन्य - इसके अलावा समान आंकड़े; तीसरा - इस तथ्य पर कि समकोण के शीर्ष से कर्ण तक की ऊँचाई, समकोण त्रिभुज को उसके समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

पायथागॉरियन प्रमेय अधिकांश ज्यामितीय गणनाओं को रेखांकित करता है। प्राचीन बाबुल में भी, इसका उपयोग एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई की गणना आधार और भुजा की लंबाई से, खंड के तीर को वृत्त के व्यास और जीवा की लंबाई से करने और संबंध स्थापित करने के लिए किया जाता था कुछ नियमित बहुभुजों के तत्वों के बीच। पाइथागोरस प्रमेय की मदद से, इसका सामान्यीकरण सिद्ध होता है, जो एक तीव्र या अधिक कोण के विपरीत स्थित पक्ष की लंबाई की गणना करना संभव बनाता है:

इस सामान्यीकरण से यह पता चलता है कि समकोण की उपस्थिति न केवल पर्याप्त है, बल्कि समानता की पूर्ति के लिए एक आवश्यक शर्त भी है। सूत्र (1) का तात्पर्य संबंध से है एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और भुजाओं की लंबाई के बीच, जिसके साथ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से माध्यिका की लंबाई का पता लगाना आसान होता है।

पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, एक सूत्र भी निकाला गया है जो किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल को उसकी भुजाओं की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त करता है (हेरोन का सूत्र देखें)। बेशक, विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का भी उपयोग किया गया था।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर वर्गों के बजाय, आप एक दूसरे के समान कोई भी आकृति बना सकते हैं (समबाहु त्रिभुज, अर्धवृत्त, आदि)। इस स्थिति में कर्ण पर बनी आकृति का क्षेत्रफल पादों पर बनी आकृतियों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। एक अन्य सामान्यीकरण विमान से अंतरिक्ष में संक्रमण से जुड़ा है। इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई का वर्ग योग के बराबर हैइसके माप के वर्ग (लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई)। एक समान प्रमेय बहुआयामी और अनंत-आयामी मामलों में भी सत्य है।

पायथागॉरियन प्रमेय केवल यूक्लिडियन ज्यामिति में मौजूद है। यह या तो लोबचेव्स्की की ज्यामिति में या अन्य गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में नहीं होता है। गोले पर पायथागॉरियन प्रमेय का कोई एनालॉग भी नहीं है। 90° का कोण बनाने वाली दो याम्योत्तर और भूमध्य रेखा गोले पर एक समबाहु गोलाकार त्रिभुज को बांधती हैं, जिनमें से तीन समकोण हैं। उसके लिए, विमान पर नहीं।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, बिंदुओं और समन्वय तल के बीच की दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

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पाइथागोरस प्रमेय की खोज के बाद, यह सवाल उठा कि प्राकृतिक संख्याओं के सभी त्रिगुणों को कैसे खोजा जाए जो कि समकोण त्रिभुजों की भुजाएँ हो सकती हैं (फर्मेट की महान प्रमेय देखें)। वे पाइथागोरस द्वारा खोजे गए थे, लेकिन संख्याओं के ऐसे त्रिगुणों को खोजने के लिए कुछ सामान्य तरीके बेबीलोनियों को भी ज्ञात थे। कीलाकार गोलियों में से एक में 15 त्रिक होते हैं। उनमें से ट्रिपल भी शामिल हैं बड़ी संख्याचयन द्वारा उन्हें खोजने का कोई सवाल ही नहीं हो सकता है।

हिप्पोक्रेट नरक

हिप्पोक्रेटिक चन्द्रमा दो वृत्तों के चापों से घिरे हुए आंकड़े हैं, और, इसके अलावा, इन वृत्तों की सामान्य जीवा की त्रिज्या और लंबाई का उपयोग करके, एक कम्पास और एक शासक का उपयोग करके, आप उनके समान आकार के वर्गों का निर्माण कर सकते हैं।

पायथागॉरियन प्रमेय के सामान्यीकरण से लेकर अर्धवृत्त तक, यह इस प्रकार है कि बाईं ओर की आकृति में दिखाए गए गुलाबी छिद्रों के क्षेत्रों का योग नीले त्रिकोण के क्षेत्रफल के बराबर है। इसलिए, यदि हम एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज लेते हैं, तो हमें दो छिद्र मिलते हैं, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल त्रिभुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर होगा। एक वृत्त को चौकोर करने की समस्या को हल करने की कोशिश करते हुए (पुरातनता की शास्त्रीय समस्याएं देखें), प्राचीन यूनानी गणितज्ञ हिप्पोक्रेट्स (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने कई और छेद पाए, जिनमें से क्षेत्रों को आयताकार आकृतियों के क्षेत्रों के रूप में व्यक्त किया गया है।

हिप्पोमार्जिनल छिद्रों की पूरी सूची केवल 19वीं-20वीं शताब्दी में प्राप्त हुई थी। गैलोज़ सिद्धांत विधियों के उपयोग के माध्यम से।

सुनिश्चित करें कि आपको दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, क्योंकि पायथागॉरियन प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है। समकोण त्रिभुज में, तीन कोणों में से एक हमेशा 90 डिग्री का होता है।

• समकोण त्रिभुज में एक समकोण वक्र के बजाय एक वर्ग द्वारा इंगित किया जाता है, जो गैर-समकोण का प्रतिनिधित्व करता है।

त्रिभुज की भुजाओं को नामांकित कीजिए।पैरों को "ए" और "बी" के रूप में नामित करें (पैर समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली भुजाएँ हैं), और कर्ण को "सी" के रूप में नामित करें (कर्ण सबसे अधिक है बड़ा कार्यक्रमसमकोण के विपरीत समकोण त्रिभुज)।

निर्धारित करें कि आप त्रिभुज की किस भुजा को खोजना चाहते हैं।पायथागॉरियन प्रमेय आपको एक समकोण त्रिभुज की कोई भी भुजा खोजने की अनुमति देता है (यदि अन्य दो भुजाएँ ज्ञात हैं)। निर्धारित करें कि किस पक्ष (ए, बी, सी) को खोजने की जरूरत है।

• उदाहरण के लिए, एक कर्ण 5 के बराबर दिया गया है, और एक पैर 3 के बराबर दिया गया है। इस मामले में, आपको दूसरा पैर खोजने की आवश्यकता है। हम इस उदाहरण पर बाद में लौटेंगे।
• यदि अन्य दो पक्ष अज्ञात हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने में सक्षम होने के लिए अज्ञात पक्षों में से एक की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल का उपयोग करें त्रिकोणमितीय कार्य(यदि आपको गैर-समकोणों में से एक का मान दिया गया है)।

सूत्र में स्थानापन्न करें a 2 + b 2 \u003d c 2 आपको दिए गए मान (या आपके द्वारा पाए गए मान)।याद रखें कि ए और बी पैर हैं, और सी कर्ण है।

• हमारे उदाहरण में, लिखें: 3² + b² = 5²।

प्रत्येक ज्ञात पक्ष को स्क्वायर करें।या डिग्रियों को छोड़ दें - आप बाद में संख्याओं का वर्ग कर सकते हैं।

• हमारे उदाहरण में, लिखिए: 9 + b² = 25।

अज्ञात पक्ष को समीकरण के एक पक्ष से अलग करें।ऐसा करने के लिए, ले जाएँ ज्ञात मूल्यसमीकरण के दूसरी तरफ। यदि आप कर्ण पाते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय में यह समीकरण के एक तरफ पहले से ही अलग है (इसलिए कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है)।

• हमारे उदाहरण में, 9 को यहाँ ले जाएँ दाईं ओरअज्ञात b² को अलग करने के लिए समीकरण। आपको b² = 16 मिलेगा।

निकालना वर्गमूलसमीकरण के दोनों ओर से अज्ञात (वर्ग) समीकरण के एक तरफ मौजूद होने के बाद, और दूसरी तरफ फ्री टर्म (संख्या) मौजूद है।

• हमारे उदाहरण में, b² = 16। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें और b = 4 प्राप्त करें। तो दूसरा चरण 4 है।

में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें रोजमर्रा की जिंदगी, क्योंकि इसका उपयोग किया जा सकता है बड़ी संख्याव्यावहारिक स्थितियां। ऐसा करने के लिए, रोजमर्रा की जिंदगी में समकोण त्रिभुजों को पहचानना सीखें - किसी भी स्थिति में जिसमें दो वस्तुएं (या रेखाएँ) समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, और एक तीसरी वस्तु (या रेखा) पहले दो वस्तुओं के शीर्षों (या तिरछे) को जोड़ती है (या रेखाएँ), आप पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग अज्ञात पक्ष को खोजने के लिए कर सकते हैं (यदि अन्य दो पक्ष ज्ञात हैं)।

• उदाहरण: एक इमारत के खिलाफ झुकी हुई सीढ़ी को देखते हुए। सीढ़ियों का निचला भाग दीवार के आधार से 5 मीटर की दूरी पर है। सबसे ऊपर का हिस्सासीढ़ियाँ जमीन से (दीवार के ऊपर) 20 मीटर की दूरी पर स्थित हैं। सीढ़ी की लंबाई कितनी है?
  • "दीवार के आधार से 5 मीटर" का अर्थ है कि a = 5; "जमीन से 20 मीटर की दूरी पर है" का अर्थ है कि b = 20 (अर्थात, आपको एक समकोण त्रिभुज के दो पैर दिए गए हैं, क्योंकि भवन की दीवार और पृथ्वी की सतह समकोण पर प्रतिच्छेद करती है)। सीढ़ी की लंबाई कर्ण की लंबाई है, जो अज्ञात है।
    • ए² + बी² = सी²
    • (5)² + (20)² = सी²
    • 25 + 400 = सी²
    • 425 = सी²
    • सी = √425
    • सी = 20.6। इस प्रकार, सीढ़ियों की अनुमानित लंबाई 20.6 मीटर है।

जब आपने पहली बार वर्गमूल के बारे में सीखना शुरू किया और अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए (जड़ चिह्न के तहत अज्ञात वाली समानताएं), तो आपको शायद उनके बारे में पहला विचार मिला। प्रायोगिक उपयोग. पायथागॉरियन प्रमेय के आवेदन पर समस्याओं को हल करने के लिए संख्याओं का वर्गमूल निकालने की क्षमता भी आवश्यक है। यह प्रमेय किसी भी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से संबंधित है।

एक समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई (वे दो भुजाएँ जो एक समकोण पर अभिसरित होती हैं) को अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है और , और कर्ण की लंबाई (समकोण के विपरीत स्थित त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा) को निरूपित किया जाएगा पत्र द्वारा। तब संगत लंबाइयाँ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित होती हैं:

यह समीकरण आपको उस स्थिति में समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है जब इसकी अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। इसके अलावा, यह आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि माना गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, बशर्ते कि सभी की लंबाई हो तीन पक्षपहले से जाना जाता है।

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं को हल करना

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग के लिए निम्नलिखित समस्याओं को हल करेंगे।

तो दिया:

1. एक पैर की लंबाई 48 है, कर्ण 80 है।
2. पैर की लंबाई 84 है, कर्ण 91 है।

आइए जानते हैं समाधान के बारे में:

a) उपरोक्त समीकरण में डेटा को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

48 2 + बी 2 = 80 2

2304 + बी 2 = 6400

बी 2 = 4096

बी= 64 या बी = -64

चूँकि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई को व्यक्त नहीं किया जा सकता है ऋणात्मक संख्या, दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से खारिज कर दिया जाता है।

पहली तस्वीर का जवाब: बी = 64.

बी) दूसरे त्रिकोण के पैर की लंबाई उसी तरह पाई जाती है:

84 2 + बी 2 = 91 2

7056 + बी 2 = 8281

बी 2 = 1225

बी= 35 या बी = -35

जैसा कि पिछले मामले में, नकारात्मक समाधान खारिज कर दिया गया है।

दूसरी तस्वीर का जवाब: बी = 35

हम दे रहे हैं:

1. त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 45 और 55 है, और बड़ी भुजाओं की लंबाई 75 है।
2. त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 28 और 45 है, और बड़ी भुजाओं की लंबाई 53 है।

हम समस्या का समाधान करते हैं:

ए) यह जांचना जरूरी है कि किसी दिए गए त्रिभुज के छोटे पक्षों की लंबाई के वर्गों का योग बड़े की लंबाई के वर्ग के बराबर है या नहीं:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

इसलिए, पहला त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

बी) एक ही ऑपरेशन किया जाता है:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

इसलिए, दूसरा त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

सबसे पहले, निर्देशांक (-2, -3) और (5, -2) वाले बिंदुओं द्वारा गठित सबसे बड़े खंड की लंबाई का पता लगाएं। इसके लिए हम प्रयोग करते हैं ज्ञात सूत्रएक आयताकार समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए:

इसी तरह, हम निर्देशांक (-2, -3) और (2, 1) वाले बिंदुओं के बीच संलग्न खंड की लंबाई पाते हैं:

अंत में, हम निर्देशांक (2, 1) और (5, -2) वाले बिंदुओं के बीच खंड की लंबाई निर्धारित करते हैं:

चूंकि समानता है:

तो संगत त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

इस प्रकार, हम समस्या का उत्तर तैयार कर सकते हैं: चूंकि सबसे छोटी लंबाई वाले पक्षों के वर्गों का योग भुजा के वर्ग के बराबर होता है सबसे बड़ी लंबाई, बिंदु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

आधार (सख्ती से क्षैतिज रूप से स्थित), जंब (सख्ती से लंबवत स्थित) और केबल (तिरछे फैला हुआ) क्रमशः एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, केबल की लंबाई का पता लगाने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है:

इस प्रकार, केबल की लंबाई लगभग 3.6 मीटर होगी।

दिया गया है: बिंदु R से बिंदु P (त्रिकोण का पैर) की दूरी 24 है, बिंदु R से बिंदु Q (कर्ण) - 26 है।

तो, हम आदित्य को समस्या को हल करने में मदद करते हैं। चूंकि आकृति में दिखाए गए त्रिभुज की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं, आप तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:

अत: तालाब की चौड़ाई 10 मीटर है।

सर्गेई वेलेरिविच

प्रत्येक छात्र जानता है कि कर्ण का वर्ग हमेशा पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक का वर्ग होता है। इस कथन को पायथागॉरियन प्रमेय कहा जाता है। यह सामान्य रूप से त्रिकोणमिति और गणित में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है। आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें।

एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा

पायथागॉरियन प्रमेय पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, जिसमें कर्ण का वर्ग पैरों के वर्ग के योग के बराबर होता है, हमें एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा और गुणों पर विचार करना चाहिए, जिसके लिए प्रमेय मान्य है।

एक त्रिभुज एक सपाट आकृति है जिसमें तीन कोण और तीन भुजाएँ होती हैं। एक समकोण त्रिभुज, जैसा कि इसके नाम से ही स्पष्ट है, इसका एक समकोण होता है, अर्थात यह कोण 90 o होता है।

से सामान्य गुणसभी त्रिभुजों के लिए यह ज्ञात है कि इस आकृति के सभी तीन कोणों का योग 180 o है, जिसका अर्थ है कि एक समकोण त्रिभुज के लिए दो कोणों का योग जो समकोण नहीं हैं, 180 o - 90 o = 90 o है। बाद वाले तथ्य का अर्थ है कि समकोण त्रिभुज में कोई भी कोण जो समकोण नहीं है, हमेशा 90° से कम होगा।

समकोण के सम्मुख वाली भुजा कर्ण कहलाती है। अन्य दो भुजाएँ त्रिभुज के पैर हैं, वे एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं, या वे भिन्न हो सकते हैं। त्रिकोणमिति से ज्ञात होता है कि त्रिभुज में भुजा जितनी बड़ी होती है, कोण उतना ही बड़ा होता है अधिक लंबाईयह किनारा। इसका अर्थ है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (90° कोण के विपरीत स्थित) हमेशा किसी भी पाद (कोण के विपरीत स्थित) से बड़ा होगा।< 90 o).

पायथागॉरियन प्रमेय का गणितीय अंकन

इस प्रमेय में कहा गया है कि कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक पहले चुकता है। इस सूत्रीकरण को गणितीय रूप से लिखने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसमें भुजाएँ a, b, और c क्रमशः दो पैर और कर्ण हैं। इस मामले में, प्रमेय, जिसे कर्ण के वर्ग के रूप में तैयार किया गया है, पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, को निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है: c 2 \u003d a 2 + b 2। यहाँ से, अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण अन्य सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) और c \u003d √ (a 2 + b 2)।

ध्यान दें कि एक समकोण समबाहु त्रिभुज के मामले में, अर्थात, a \u003d b, शब्दांकन: कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक को चुकता किया जाता है, गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जाता है: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, जिससे समानता इस प्रकार है: c = a√2।

ऐतिहासिक संदर्भ

पायथागॉरियन प्रमेय, जो कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक वर्ग है, प्रसिद्ध से बहुत पहले जाना जाता था यूनानी दार्शनिक. अनेक पपाइरी प्राचीन मिस्र, साथ ही बेबीलोनियों की मिट्टी की गोलियाँ इस बात की पुष्टि करती हैं कि ये लोग एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की विख्यात संपत्ति का उपयोग करते थे। उदाहरण के लिए, पहले में से एक मिस्र के पिरामिडखाफरे पिरामिड, जिसका निर्माण 26वीं शताब्दी ईसा पूर्व (पाइथागोरस के जीवन से 2000 वर्ष पहले) का है, एक 3x4x5 समकोण त्रिभुज में पहलू अनुपात के ज्ञान के आधार पर बनाया गया था।

तो फिर प्रमेय को अब ग्रीक का नाम क्यों दिया गया है? उत्तर सरल है: पाइथागोरस इस प्रमेय को गणितीय रूप से सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति हैं। बचे हुए बेबीलोनियन और मिस्र के लिखित स्रोत केवल इसके उपयोग की बात करते हैं, लेकिन कोई गणितीय प्रमाण प्रदान नहीं करते हैं।

ऐसा माना जाता है कि पाइथागोरस ने विचाराधीन प्रमेय को समान त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया था, जिसे उन्होंने एक समकोण त्रिभुज में कर्ण से 90 o के कोण से ऊँचाई खींचकर प्राप्त किया था।

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करने का एक उदाहरण

विचार करना एक साधारण कार्य: झुकी हुई सीढ़ी L की लंबाई निर्धारित करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि इसकी ऊँचाई H \u003d 3 मीटर है, और दीवार से दूरी जिसके विरुद्ध सीढ़ी इसके पैर तक टिकी हुई है, P \u003d 2.5 मीटर है।

इस स्थिति में, H और P पैर हैं, और L कर्ण है। चूँकि कर्ण की लंबाई पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं: L 2 \u003d H 2 + P 2, जहाँ से L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 मीटर या 3 मीटर और 90, 5 सेमी