संभाव्यता सिद्धांत का अध्ययन क्या है? संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करती है: यादृच्छिक घटनाएं, यादृच्छिक चर, उनके गुण और उन पर संचालन।

कब कासंभाव्यता के सिद्धांत की कोई स्पष्ट परिभाषा नहीं थी। इसे 1929 में ही तैयार किया गया था। एक विज्ञान के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के उद्भव का श्रेय मध्य युग और गणितीय विश्लेषण के पहले प्रयासों को दिया जाता है जुआ(टॉस, पासा, रूलेट)। 17वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल और पियरे डी फ़र्मेट ने जुए में जीत की भविष्यवाणी का अध्ययन करते समय पासा फेंकने पर उत्पन्न होने वाले पहले संभाव्य पैटर्न की खोज की।

संभाव्यता का सिद्धांत एक विज्ञान के रूप में इस विश्वास से उत्पन्न हुआ कि कुछ नियमितताएँ बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं का आधार होती हैं। संभाव्यता सिद्धांत इन पैटर्न का अध्ययन करता है।

संभाव्यता सिद्धांत उन घटनाओं के अध्ययन से संबंधित है, जिनकी घटना निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है। यह आपको दूसरों की तुलना में कुछ घटनाओं के घटित होने की संभावना की डिग्री का न्याय करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए: एक सिक्के को उछालने के परिणामस्वरूप "हेड्स" या "टेल्स" के नुकसान के परिणाम को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना असंभव है, लेकिन बार-बार उछालने पर, लगभग वही संख्याहेड और टेल, जिसका मतलब है कि हेड या टेल आने की 50% संभावना है।

परीक्षाइस मामले में, शर्तों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन को कहा जाता है, अर्थात, इस मामले में, एक सिक्का उछालना। चुनौती को असीमित बार खेला जा सकता है। इस मामले में, स्थितियों के परिसर में यादृच्छिक कारक शामिल हैं।

परीक्षा परिणाम है आयोजन. घटना घटित होती है:

1. विश्वसनीय (हमेशा परीक्षण के परिणामस्वरूप होता है)।
2. असंभव (कभी नहीं होता)।
3. यादृच्छिक (परीक्षण के परिणामस्वरूप घटित हो भी सकता है और नहीं भी)।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालते समय, एक असंभव घटना - सिक्का किनारे पर समाप्त हो जाएगा, एक यादृच्छिक घटना - "चित" या "पूंछ" का नुकसान। विशिष्ट परीक्षण परिणाम कहा जाता है प्राथमिक घटना. परीक्षण के परिणामस्वरूप, केवल प्रारंभिक घटनाएँ घटित होती हैं। सभी संभावित, भिन्न, विशिष्ट परीक्षण परिणामों की समग्रता को कहा जाता है प्राथमिक घटना स्थान.

सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

संभावना- घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री। जब किसी संभावित घटना के वास्तव में घटित होने के कारण विपरीत कारणों पर भारी पड़ जाते हैं, तो इस घटना को संभावित कहा जाता है अन्यथा-असंभाव्य या असंभाव्य।

यादृच्छिक मूल्य- यह एक ऐसा मान है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक या दूसरा मान ले सकता है, और यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा है। उदाहरण के लिए: प्रति दिन फायर स्टेशनों की संख्या, 10 शॉट्स के साथ हिट की संख्या, आदि।

यादृच्छिक चर को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

1. असतत यादृच्छिक चरऐसी मात्रा कहलाती है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप एक निश्चित संभावना के साथ कुछ मान ले सकती है, जिससे एक गणनीय सेट (एक सेट जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है) बनता है। यह समुच्चय या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है, क्योंकि यह मान अनंत, यद्यपि गणनीय, मानों की संख्या ले सकता है।
2. निरंतर यादृच्छिक चरवह मात्रा है जो किसी परिमित या अनंत अंतराल से कोई भी मान ले सकती है। जाहिर है, एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है।

संभाव्यता स्थान- ए.एन. द्वारा प्रस्तुत अवधारणा। कोलमोगोरोव ने 1930 के दशक में संभाव्यता की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया, जिसने एक कठोर गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के तेजी से विकास को जन्म दिया।

संभाव्यता स्थान एक ट्रिपल है (कभी-कभी कोण कोष्ठक में फंसाया जाता है:, जहां

यह एक मनमाना समुच्चय है, जिसके तत्वों को प्राथमिक घटनाएँ, परिणाम या बिंदु कहा जाता है;
- उपसमुच्चय का सिग्मा-बीजगणित जिसे (यादृच्छिक) घटनाएँ कहा जाता है;
- संभाव्य माप या संभाव्यता, अर्थात्। सिग्मा-योगात्मक परिमित माप इस प्रकार है।

डी मोइवरे-लाप्लास प्रमेय- 1812 में लाप्लास द्वारा स्थापित संभाव्यता सिद्धांत के सीमित प्रमेयों में से एक। वह बताती हैं कि दो संभावित परिणामों के साथ एक ही यादृच्छिक प्रयोग को दोहराने में सफलताओं की संख्या लगभग सामान्य रूप से वितरित होती है। यह आपको संभाव्यता का अनुमानित मान ज्ञात करने की अनुमति देता है।

यदि, प्रत्येक स्वतंत्र परीक्षण के लिए, किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना () के बराबर है और उन परीक्षणों की संख्या है जिनमें यह वास्तव में घटित होती है, तो असमानता की वैधता की संभावना (बड़े के लिए) के करीब है लाप्लास इंटीग्रल का मूल्य.

संभाव्यता सिद्धांत में वितरण कार्य- एक यादृच्छिक चर या यादृच्छिक वेक्टर के वितरण को दर्शाने वाला एक फ़ंक्शन; संभावना है कि एक यादृच्छिक चर X, x से कम या उसके बराबर मान लेगा, जहां x एक मनमाना वास्तविक संख्या है। कुछ शर्तों के तहत, यह पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर निर्धारित करता है।

अपेक्षित मूल्य- एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य (यह एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है)। अंग्रेजी साहित्य में, इसे रूसी में - द्वारा दर्शाया जाता है। सांख्यिकी में, अंकन का प्रयोग अक्सर किया जाता है।

मान लीजिए कि एक संभाव्यता स्थान और उस पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर दिया गया है। परिभाषा के अनुसार, यह एक मापने योग्य कार्य है। फिर, यदि अंतरिक्ष के ऊपर कोई लेबेस्ग इंटीग्रल है, तो इसे गणितीय अपेक्षा, या माध्य मान कहा जाता है, और इसे द्वारा दर्शाया जाता है।

एक यादृच्छिक चर का प्रसरण- किसी दिए गए यादृच्छिक चर के प्रसार का माप, यानी गणितीय अपेक्षा से इसका विचलन। रूसी साहित्य और विदेशी में नामित। सांख्यिकी में, पदनाम या का प्रयोग अक्सर किया जाता है। वर्गमूलविचरण को मानक विचलन, मानक विचलन या मानक प्रसार कहा जाता है।

मान लीजिए कि कुछ संभाव्यता स्थान पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर है। तब

जहां प्रतीक का अर्थ है अपेक्षित मूल्य.

संभाव्यता सिद्धांत में दो यादृच्छिक घटनाओं को कहा जाता है स्वतंत्रयदि उनमें से एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की संभावना नहीं बदलती है। इसी प्रकार, दो यादृच्छिक चर कहलाते हैं आश्रितयदि उनमें से एक का मूल्य दूसरे के मूल्यों की संभावना को प्रभावित करता है।

कानून का सबसे सरल रूप बड़ी संख्या- यह बर्नौली का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि यदि किसी घटना की संभावना सभी परीक्षणों में समान है, तो परीक्षणों की संख्या में वृद्धि के साथ, घटना की आवृत्ति घटना की संभावना की ओर बढ़ जाती है और यादृच्छिक होना बंद हो जाती है।

संभाव्यता सिद्धांत में बड़ी संख्या का नियम बताता है कि एक निश्चित वितरण से एक परिमित नमूने का अंकगणितीय माध्य उस वितरण की सैद्धांतिक माध्य अपेक्षा के करीब है। अभिसरण के प्रकार के आधार पर, बड़ी संख्या के एक कमजोर कानून को प्रतिष्ठित किया जाता है, जब संभाव्यता में अभिसरण होता है, और बड़ी संख्या के एक मजबूत कानून को, जब अभिसरण लगभग निश्चित रूप से होता है।

बड़ी संख्या के नियम का सामान्य अर्थ - संयुक्त क्रिया एक लंबी संख्यासमान और स्वतंत्र यादृच्छिक कारक ऐसे परिणाम की ओर ले जाते हैं जो सीमा में मामले पर निर्भर नहीं करता है।

किसी परिमित नमूने के विश्लेषण के आधार पर संभाव्यता का आकलन करने की विधियाँ इसी गुण पर आधारित हैं। मतदाताओं के नमूने के सर्वेक्षण के आधार पर चुनाव परिणामों की भविष्यवाणी एक अच्छा उदाहरण है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय- संभाव्यता सिद्धांत में प्रमेयों का एक वर्ग जिसमें कहा गया है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में कमजोर रूप से निर्भर यादृच्छिक चर का योग, जिसका पैमाना लगभग समान है (कोई भी शब्द हावी नहीं होता है, योग में निर्णायक योगदान नहीं देता है) का वितरण करीब होता है सामान्य।

चूँकि अनुप्रयोगों में कई यादृच्छिक चर कई कमजोर निर्भर यादृच्छिक कारकों के प्रभाव में बनते हैं, इसलिए उनका वितरण सामान्य माना जाता है। इस मामले में शर्त यह देखनी होगी कि कोई भी कारक प्रभावी न हो। इन मामलों में केंद्रीय सीमा प्रमेय सामान्य वितरण के अनुप्रयोग को उचित ठहराते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत का उद्भव संदर्भित करता है मध्य सत्रहवाँशताब्दी, जब गणितज्ञों को जुआरियों द्वारा उत्पन्न समस्याओं में रुचि हो गई और अभी भी गणित का अध्ययन नहीं किया गया। इन समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, संभाव्यता और गणितीय अपेक्षा जैसी अवधारणाएँ स्पष्ट हो गईं। उसी समय, उस समय के वैज्ञानिक - ह्यूजेंस (1629-1695), पास्कल (1623-1662), फ़र्मेट (1601-1665) और बर्नौली (1654-1705) आश्वस्त थे कि बड़े पैमाने पर यादृच्छिक के आधार पर स्पष्ट पैटर्न उत्पन्न हो सकते हैं आयोजन। और केवल प्राकृतिक विज्ञान की स्थिति ने इस तथ्य को जन्म दिया कि जुआ लंबे समय तक लगभग एकमात्र ठोस सामग्री बनी रही जिसके आधार पर संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाओं और तरीकों का निर्माण किया गया। इस परिस्थिति ने औपचारिक गणितीय तंत्र पर भी छाप छोड़ी जिसके द्वारा संभाव्यता सिद्धांत में उत्पन्न होने वाली समस्याओं को हल किया गया था: इसे विशेष रूप से प्राथमिक अंकगणित और संयोजक तरीकों तक सीमित कर दिया गया था।

प्राकृतिक विज्ञान और सामाजिक अभ्यास (अवलोकन संबंधी त्रुटियों का सिद्धांत, शूटिंग के सिद्धांत की समस्याएं, सांख्यिकी की समस्याएं, मुख्य रूप से जनसंख्या सांख्यिकी) की गंभीर मांगों ने संभाव्यता सिद्धांत के और विकास और अधिक विकसित विश्लेषणात्मक तंत्र की भागीदारी की आवश्यकता को जन्म दिया। संभाव्यता सिद्धांत के विश्लेषणात्मक तरीकों के विकास में मोइवर (1667-1754), लाप्लास (1749-1827), गॉस (1777-1855), पॉइसन (1781-1840) ने विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। औपचारिक विश्लेषणात्मक पक्ष से, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के निर्माता लोबचेव्स्की (1792-1856) का काम इस दिशा से जुड़ा है, जो एक गोले पर माप में त्रुटियों के सिद्धांत के लिए समर्पित है और एक ज्यामितीय प्रणाली स्थापित करने के उद्देश्य से किया गया है जो हावी है जगत।

संभाव्यता सिद्धांत, गणित की अन्य शाखाओं की तरह, अभ्यास की जरूरतों से विकसित हुआ है: एक अमूर्त रूप में, यह सामूहिक प्रकृति की यादृच्छिक घटनाओं में निहित पैटर्न को दर्शाता है। ये पैटर्न विशेष रूप से चलते हैं महत्वपूर्ण भूमिकाभौतिकी और प्राकृतिक विज्ञान के अन्य क्षेत्रों, विभिन्न तकनीकी विषयों, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र और जीव विज्ञान में। बड़े पैमाने पर उत्पाद बनाने वाले उद्यमों के व्यापक विकास के संबंध में, संभाव्यता के सिद्धांत के परिणामों का उपयोग न केवल पहले से निर्मित उत्पादों की अस्वीकृति के लिए किया जाने लगा, बल्कि उत्पादन प्रक्रिया को व्यवस्थित करने (उत्पादन में सांख्यिकीय नियंत्रण) के लिए भी किया जाने लगा।

संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

संभाव्यता सिद्धांत उन विभिन्न पैटर्नों की व्याख्या और अन्वेषण करता है जिनके अधीन यादृच्छिक घटनाएं और यादृच्छिक चर होते हैं। आयोजनवह कोई भी तथ्य है जिसे अवलोकन या अनुभव द्वारा सुनिश्चित किया जा सकता है। अवलोकन या अनुभव कुछ शर्तों का एहसास है जिसके तहत कोई घटना घटित हो सकती है।

अनुभव का अर्थ है कि उपरोक्त परिस्थितियों का जटिल निर्माण सचेतन रूप से किया गया है। अवलोकन के दौरान, अवलोकन परिसर स्वयं इन स्थितियों का निर्माण नहीं करता है और इसे प्रभावित नहीं करता है। इसका निर्माण या तो प्रकृति की शक्तियों द्वारा या अन्य लोगों द्वारा किया गया है।

घटनाओं की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए आपको क्या जानना आवश्यक है

वे सभी घटनाएँ जिन्हें लोग स्वयं देखते हैं या बनाते हैं, उन्हें निम्न में विभाजित किया गया है:

• विश्वसनीय घटनाएँ;
• असंभव घटनाएँ;
• यादृच्छिक घटनाएँ.

विश्वसनीय घटनाएँहमेशा तब आते हैं जब परिस्थितियों का एक निश्चित समूह निर्मित होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम काम करते हैं, तो हमें इसके लिए पारिश्रमिक मिलता है, यदि हमने परीक्षा उत्तीर्ण की और प्रतियोगिता उत्तीर्ण की, तो हम विश्वसनीय रूप से छात्रों की संख्या में शामिल होने पर भरोसा कर सकते हैं। विश्वसनीय घटनाएँ भौतिकी और रसायन विज्ञान में देखी जा सकती हैं। अर्थशास्त्र में, कुछ घटनाएँ मौजूदा सामाजिक संरचना और कानून से जुड़ी होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमने किसी जमा राशि के लिए बैंक में पैसा निवेश किया है और एक निश्चित अवधि के भीतर इसे प्राप्त करने की इच्छा व्यक्त की है, तो हमें पैसा प्राप्त होगा। इसे एक विश्वसनीय घटना के रूप में गिना जा सकता है।

असंभव घटनाएँ यदि स्थितियों का एक निश्चित समूह बनाया गया है तो निश्चित रूप से ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, तापमान प्लस 15 डिग्री सेल्सियस होने पर पानी नहीं जमता, बिजली के बिना उत्पादन नहीं होता।

यादृच्छिक घटनाएँ जब स्थितियों का एक निश्चित समूह साकार हो जाता है, तो वे घटित हो भी सकते हैं और नहीं भी। उदाहरण के लिए, यदि हम एक बार सिक्का उछालते हैं, तो राज्य-चिह्न गिर भी सकता है और नहीं भी लॉटरी टिकटआप जीत सकते हैं, या आप जीत नहीं सकते, निर्मित उत्पाद उपयुक्त हो सकता है, या यह दोषपूर्ण हो सकता है। दोषपूर्ण उत्पाद का दिखना एक यादृच्छिक घटना है, जो अच्छे उत्पादों के उत्पादन से भी अधिक दुर्लभ है।

यादृच्छिक घटनाओं के घटित होने की अपेक्षित आवृत्ति संभाव्यता की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। संभाव्यता के सिद्धांत द्वारा यादृच्छिक घटनाओं के घटित होने और न होने के पैटर्न का अध्ययन किया जाता है।

यदि जटिल आवश्यक शर्तेंइसे केवल एक बार लागू किया जाता है, तो हमें किसी यादृच्छिक घटना के बारे में अपर्याप्त जानकारी मिलती है, क्योंकि यह घटित हो भी सकती है और नहीं भी। यदि शर्तों का एक सेट कई बार लागू किया जाता है, तो कुछ नियमितताएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए, यह जानना कभी संभव नहीं है कि स्टोर में किस कॉफ़ी मशीन की अगले ग्राहक को आवश्यकता होगी, लेकिन यदि लंबे समय से सबसे अधिक मांग वाले ब्रांड ज्ञात हों कॉफ़ी मशीनें, तो इस डेटा के आधार पर मांग को पूरा करने के लिए उत्पादन या आपूर्ति को व्यवस्थित करना संभव है।

सामूहिक यादृच्छिक घटनाओं को नियंत्रित करने वाले पैटर्न को जानने से यह अनुमान लगाना संभव हो जाता है कि ये घटनाएँ कब घटित होंगी। उदाहरण के लिए, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक सिक्का उछालने के परिणाम का पहले से अनुमान लगाना असंभव है, लेकिन यदि एक सिक्का कई बार उछाला जाता है, तो हथियारों के कोट के नुकसान का पूर्वानुमान लगाना संभव है। त्रुटि छोटी हो सकती है.

संभाव्यता सिद्धांत विधियों का व्यापक रूप से प्राकृतिक विज्ञान, सैद्धांतिक भौतिकी, भूगणित, खगोल विज्ञान, स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, त्रुटि अवलोकन सिद्धांत और कई अन्य सैद्धांतिक और व्यावहारिक विज्ञानों की विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत का व्यापक रूप से उत्पादन की योजना और संगठन, उत्पाद की गुणवत्ता के विश्लेषण, विश्लेषण में उपयोग किया जाता है तकनीकी प्रक्रियाएं, बीमा, जनसंख्या सांख्यिकी, जीव विज्ञान, बैलिस्टिक और अन्य उद्योग।

यादृच्छिक घटनाओं को आमतौर पर बड़े अक्षरों में दर्शाया जाता है। लैटिन वर्णमालाए, बी, सी, आदि।

यादृच्छिक घटनाएँ हो सकती हैं:

• असंगत;
• संयुक्त।

घटनाएँ A, B, C... कहलाती हैं असंगत यदि, एक परीक्षण के परिणामस्वरूप, इनमें से एक घटना घटित हो सकती है, लेकिन दो या दो से अधिक घटनाओं का घटित होना असंभव है।

यदि एक यादृच्छिक घटना का घटित होना किसी अन्य घटना के घटित होने को बाहर नहीं करता है, तो ऐसी घटनाओं को कहा जाता है संयुक्त . उदाहरण के लिए, यदि कन्वेयर बेल्ट से एक और भाग हटा दिया जाता है और घटना ए का अर्थ है "भाग मानक को पूरा करता है", और घटना बी का अर्थ है "भाग मानक को पूरा नहीं करता है", तो ए और बी असंगत घटनाएं हैं। यदि ईवेंट सी का अर्थ "ग्रेड II भाग लिया गया" है, तो यह ईवेंट ईवेंट ए के साथ है, लेकिन ईवेंट बी के साथ नहीं है।

यदि प्रत्येक अवलोकन (परीक्षण) में असंगत यादृच्छिक घटनाओं में से एक और केवल एक घटित होनी चाहिए, तो ये घटनाएँ हैं घटनाओं का पूरा सेट (सिस्टम)। .

एक निश्चित घटना घटनाओं के संपूर्ण सेट में से कम से कम एक घटना का घटित होना है।

यदि घटनाएँ घटनाओं का पूरा सेट बनाती हैं जोड़ीवार असंगत , तो अवलोकन के परिणामस्वरूप इनमें से केवल एक घटना घटित हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक छात्र को दो परीक्षाएँ हल करनी होती हैं। निम्नलिखित में से एक और केवल एक घटना निश्चित रूप से घटित होगी:

• पहला कार्य हल हो जाएगा और दूसरा कार्य हल नहीं होगा;
• दूसरा कार्य हल हो जाएगा और पहला कार्य हल नहीं होगा;
• दोनों कार्य हल हो जायेंगे;
• किसी भी समस्या का समाधान नहीं होगा.

ये घटनाएँ बनती हैं असंगत घटनाओं का पूरा सेट .

यदि घटनाओं के पूरे सेट में केवल दो असंगत घटनाएँ शामिल हैं, तो उन्हें बुलाया जाता है परस्पर विपरीत या विकल्प आयोजन।

घटना के विपरीत घटना को द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्के को एक बार उछालने की स्थिति में, एक मूल्यवर्ग () या हथियारों का एक कोट () गिर सकता है।

घटनाएँ कहलाती हैं समान रूप से संभव यदि उनमें से किसी को भी वस्तुनिष्ठ लाभ नहीं है। ऐसी घटनाएँ भी घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं। इसका मतलब यह है कि अवलोकन या परीक्षण के परिणामस्वरूप समान रूप से संभावित घटनाओं में से कम से कम एक निश्चित रूप से घटित होनी चाहिए।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने के दौरान मूल्यवर्ग और हथियारों के कोट के नुकसान, पाठ के एक मुद्रित पृष्ठ पर 0, 1, 2, 3 और 3 से अधिक त्रुटियों की उपस्थिति से घटनाओं का एक पूरा समूह बनता है।

संभावनाओं की परिभाषाएँ और गुण

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा.अवसर या अनुकूल मामला उस मामले को कहा जाता है जब, घटना की परिस्थितियों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन में एहो रहे हैं. संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में सीधे अनुकूल मामलों या अवसरों की संख्या की गणना करना शामिल है।

शास्त्रीय और सांख्यिकीय संभावनाएँ। संभाव्यता सूत्र: शास्त्रीय और सांख्यिकीय

किसी घटना की संभावना एइस घटना के लिए अनुकूल अवसरों की संख्या और सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या का अनुपात कहा जाता है एनजो एक परीक्षण या अवलोकन के परिणामस्वरूप घटित हो सकता है। संभाव्यता सूत्र आयोजन ए:

यदि यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि किस घटना की प्रायिकता क्या है, तो प्रायिकता को एक छोटे अक्षर से दर्शाया जाता है पी, ईवेंट पदनाम निर्दिष्ट किए बिना।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार संभाव्यता की गणना करने के लिए, सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या ज्ञात करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से कितने घटना की परिभाषा के लिए अनुकूल हैं। ए.

उदाहरण 1फेंकने के परिणामस्वरूप संख्या 5 प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए पासा.

समाधान। हम जानते हैं कि सभी छह चेहरों के शीर्ष पर रहने की समान संभावना है। केवल एक तरफ 5 अंक अंकित है। सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या 6 है, जिनमें से संख्या 5 के घटित होने का केवल एक ही अनुकूल अवसर है ( एम= 1). इसका मतलब है कि संख्या 5 के ख़त्म होने की वांछित संभावना

उदाहरण 2एक डिब्बे में एक ही आकार की 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं। एक गेंद बिना देखे ले ली जाती है. लाल गेंद लिए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। वांछित संभावना

संभावनाएँ स्वयं खोजें और फिर समाधान देखें

उदाहरण 3एक पासा फेंका जाता है. आयोजन बी- एक सम संख्या छोड़ना। इस घटना की प्रायिकता की गणना करें.

उदाहरण 5एक कलश में 5 सफेद और 7 काली गेंदें हैं। 1 गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। आयोजन ए- एक सफेद गेंद निकाली जाती है. आयोजन बी- एक काली गेंद निकाली जाती है. इन घटनाओं की संभावनाओं की गणना करें।

शास्त्रीय संभाव्यता को पूर्व संभाव्यता भी कहा जाता है, क्योंकि इसकी गणना परीक्षण या अवलोकन शुरू होने से पहले की जाती है। शास्त्रीय संभाव्यता की प्राथमिक प्रकृति इसके मुख्य दोष को दर्शाती है: केवल दुर्लभ मामलों में, अवलोकन की शुरुआत से पहले भी, अनुकूल घटनाओं सहित सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की गणना करना संभव है। ऐसे अवसर आमतौर पर खेल से जुड़ी स्थितियों में पैदा होते हैं.

संयोजन.यदि घटनाओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, तो संभावित घटनाओं की संख्या की गणना संयोजनों की संख्या के रूप में की जाती है:

उदाहरण 6एक समूह में 30 छात्र हैं। तीन छात्रों को एक कंप्यूटर और एक प्रोजेक्टर लेने और लाने के लिए कंप्यूटर विज्ञान विभाग में जाना चाहिए। इस संभावना की गणना करें कि तीन विशिष्ट छात्र ऐसा करेंगे।

समाधान। संभावित घटनाओं की संख्या की गणना सूत्र (2) का उपयोग करके की जाती है:

तीन विशिष्ट छात्रों के विभाग में जाने की प्रायिकता है:

उदाहरण 7 10 बिके मोबाइल फोन. इनमें से 3 में खामियां हैं. खरीदार ने 2 फ़ोन चुने. इस संभावना की गणना करें कि दोनों चयनित फ़ोन ख़राब होंगे।

समाधान। सभी समान रूप से संभावित घटनाओं की संख्या सूत्र (2) द्वारा ज्ञात की जाती है:

उसी सूत्र का उपयोग करके, हम घटना के लिए अनुकूल अवसरों की संख्या पाते हैं:

वांछित संभावना है कि दोनों चयनित फ़ोन ख़राब होंगे।

वास्तविकता में या हमारी कल्पना में घटित होने वाली घटनाओं को 3 समूहों में विभाजित किया जा सकता है। ये कुछ ऐसी घटनाएँ हैं जिनका घटित होना निश्चित है, असंभव घटनाएँ और यादृच्छिक घटनाएँ। संभाव्यता सिद्धांत यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है, अर्थात। ऐसी घटनाएँ जो घटित हो भी सकती हैं और नहीं भी। यह लेख इसमें प्रस्तुत किया जाएगा सारांशसंभाव्यता सिद्धांत सूत्र और संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं को हल करने के उदाहरण, जो गणित में यूएसई के चौथे कार्य (प्रोफ़ाइल स्तर) में होंगे।

हमें संभाव्यता के सिद्धांत की आवश्यकता क्यों है?

ऐतिहासिक रूप से, इन समस्याओं का अध्ययन करने की आवश्यकता 17वीं शताब्दी में जुए के विकास और व्यावसायीकरण और कैसीनो के उद्भव के संबंध में उत्पन्न हुई। यह एक वास्तविक घटना थी जिसके अध्ययन और अनुसंधान की आवश्यकता थी।

ताश, पासा, रूलेट खेलने से ऐसी स्थितियाँ पैदा हुईं जहाँ समान रूप से संभावित घटनाओं की एक सीमित संख्या में से कोई भी घटना घटित हो सकती थी। किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक अनुमान देने की आवश्यकता थी।

20वीं शताब्दी में, यह स्पष्ट हो गया कि यह प्रतीत होने वाला तुच्छ विज्ञान सूक्ष्म जगत में होने वाली मूलभूत प्रक्रियाओं को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। बनाया गया था आधुनिक सिद्धांतसम्भावनाएँ

संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन का उद्देश्य घटनाएँ और उनकी संभावनाएँ हैं। यदि घटना जटिल है, तो इसे सरल घटकों में विभाजित किया जा सकता है, जिनकी संभावनाओं का पता लगाना आसान है।

घटनाओं A और B के योग को घटना C कहा जाता है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि या तो घटना A, या घटना B, या घटना A और B एक ही समय में घटित हुईं।

घटना A और B का गुणनफल घटना C है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि घटना A और घटना B दोनों घटित हुईं।

घटनाएँ A और B असंगत कहलाती हैं यदि वे एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं।

एक घटना A को असंभव कहा जाता है यदि वह घटित नहीं हो सकती। ऐसी घटना को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।

किसी घटना A को निश्चित कहा जाता है यदि वह निश्चित रूप से घटित होगी। ऐसी घटना को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।

मान लीजिए कि प्रत्येक घटना A को एक संख्या P(A) दी गई है। इस संख्या P(A) को घटना A की प्रायिकता कहा जाता है यदि निम्नलिखित शर्तें इस तरह के पत्राचार से संतुष्ट होती हैं।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला वह स्थिति है जब समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम होते हैं, और इन परिणामों में से मनमाने ढंग से घटना ए बनती है। इस मामले में, संभावना को सूत्र द्वारा पेश किया जा सकता है। इस प्रकार प्रस्तुत की गई संभाव्यता को शास्त्रीय संभाव्यता कहा जाता है। यह साबित किया जा सकता है कि इस मामले में गुण 1-4 कायम हैं।

संभाव्यता के सिद्धांत में समस्याएं, जो गणित में परीक्षा में पाई जाती हैं, मुख्य रूप से शास्त्रीय संभाव्यता से संबंधित हैं। ऐसे कार्य बहुत सरल हो सकते हैं. संभाव्यता सिद्धांत में समस्याएं विशेष रूप से सरल हैं डेमो संस्करण. अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करना आसान है, सभी परिणामों की संख्या सीधे स्थिति में लिखी जाती है।

हमें उत्तर सूत्र के अनुसार मिलता है।

संभाव्यता निर्धारित करने के लिए गणित में परीक्षा से एक कार्य का एक उदाहरण

मेज पर 20 पाई हैं - 5 गोभी के साथ, 7 सेब के साथ और 8 चावल के साथ। मरीना एक पाई लेना चाहती है. इसकी क्या प्रायिकता है कि वह चावल का केक लेगी?

समाधान।

कुल मिलाकर 20 समसंभाव्य प्रारंभिक परिणाम हैं, यानी, मरीना 20 पाई में से कोई भी ले सकती है। लेकिन हमें इस संभावना का अनुमान लगाने की आवश्यकता है कि मरीना चावल पैटी लेगी, यानी, जहां ए चावल पैटी की पसंद है। इसका मतलब है कि हमारे पास कुल 8 अनुकूल परिणाम हैं (चावल पाई चुनना)। फिर संभावना सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी:

स्वतंत्र, विपरीत और मनमानी घटनाएँ

हालाँकि, में खुला जारकार्य अधिकाधिक होने लगे कठिन कार्य. इसलिए, आइए पाठक का ध्यान संभाव्यता सिद्धांत में अध्ययन किए गए अन्य प्रश्नों की ओर आकर्षित करें।

घटनाएँ A और B स्वतंत्र कहलाती हैं यदि उनमें से प्रत्येक की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती कि दूसरी घटना घटित हुई है या नहीं।

घटना बी में यह तथ्य शामिल है कि घटना ए घटित नहीं हुई, अर्थात। घटना बी, घटना ए के विपरीत है। विपरीत घटना की संभावना प्रत्यक्ष घटना की संभावना से एक घटा के बराबर है, अर्थात। .

जोड़ और गुणन प्रमेय, सूत्र

मनमानी घटनाओं ए और बी के लिए, इन घटनाओं के योग की संभावना उनकी संयुक्त घटना की संभावना के बिना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है, यानी। .

स्वतंत्र घटनाओं ए और बी के लिए, इन घटनाओं के उत्पाद की संभावना उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, यानी। इस मामले में ।

अंतिम 2 कथनों को संभावनाओं के जोड़ और गुणन के प्रमेय कहा जाता है।

परिणामों की संख्या गिनना हमेशा इतना आसान नहीं होता। कुछ मामलों में, कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों का उपयोग करना आवश्यक है। सबसे महत्वपूर्ण बात उन घटनाओं की संख्या गिनना है जो कुछ शर्तों को पूरा करती हैं। कभी-कभी ऐसी गणनाएँ स्वतंत्र कार्य बन सकती हैं।

कितने तरीकों से 6 छात्रों को 6 पर बैठाया जा सकता है? निःशुल्क स्थान? पहला छात्र 6 स्थानों में से कोई एक स्थान लेगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र को रखने के 5 तरीकों से मेल खाता है। तीसरे छात्र के लिए 4 खाली स्थान हैं, चौथे के लिए - 3, पांचवें के लिए - 2, छठा एकमात्र शेष स्थान लेगा। सभी विकल्पों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको गुणनफल ढूँढ़ना होगा, जिसे प्रतीक 6 द्वारा दर्शाया गया है! और "छह तथ्यात्मक" पढ़ें।

सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के सूत्र द्वारा दिया गया है। हमारे मामले में,।

अब हमारे छात्रों के साथ एक और मामले पर विचार करें। 6 खाली सीटों पर 2 छात्रों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है? पहला छात्र 6 स्थानों में से कोई एक स्थान लेगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र को रखने के 5 तरीकों से मेल खाता है। सभी विकल्पों की संख्या जानने के लिए, आपको उत्पाद ढूंढना होगा।

सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर k तत्वों द्वारा n तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के सूत्र द्वारा दिया जाता है

हमारे मामले में ।

और इस शृंखला में आखिरी. 6 में से 3 छात्रों को चुनने के कितने तरीके हैं? पहले छात्र को 6 तरीकों से, दूसरे को 5 तरीकों से और तीसरे को 4 तरीकों से चुना जा सकता है। लेकिन इन विकल्पों में से वही तीन छात्र 6 बार आते हैं। सभी विकल्पों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको मान की गणना करने की आवश्यकता है:। सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर तत्वों द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या के सूत्र द्वारा दिया जाता है:

हमारे मामले में ।

संभाव्यता निर्धारित करने के लिए गणित में परीक्षा से समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1. संग्रह से, एड. यशचेंको।

एक प्लेट में 30 पाई हैं: 3 मांस के साथ, 18 गोभी के साथ और 9 चेरी के साथ। साशा बेतरतीब ढंग से एक पाई चुनती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंत में उसे एक चेरी प्राप्त होगी।

.

उत्तर: 0.3.

समस्या 2. संग्रह से, संस्करण. यशचेंको।

1000 प्रकाश बल्बों के प्रत्येक बैच में, औसतन 20 ख़राब होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक बैच से यादृच्छिक रूप से चुना गया एक प्रकाश बल्ब अच्छा है।

समाधान: उपयोगी प्रकाश बल्बों की संख्या 1000-20=980 है। तब संभावना है कि बैच से यादृच्छिक रूप से लिया गया एक प्रकाश बल्ब सेवा योग्य होगा:

उत्तर: 0.98.

छात्र यू द्वारा गणित की परीक्षा में 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करने की संभावना 0.67 है। U. द्वारा 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करने की प्रायिकता 0.73 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि U. ठीक 9 समस्याओं को सही ढंग से हल करता है।

यदि हम एक संख्या रेखा की कल्पना करें और उस पर बिंदु 8 और 9 अंकित करें, तो हम देखेंगे कि स्थिति "U"। बिल्कुल 9 समस्याओं को सही ढंग से हल करें" शर्त "यू" में शामिल है। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें", लेकिन यह शर्त "डब्ल्यू" पर लागू नहीं होती है। 9 से अधिक समस्याओं का सही समाधान करें।

हालाँकि, शर्त "यू. 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें" शर्त "यू" में निहित है। 8 से अधिक समस्याओं का सही समाधान करें। इस प्रकार, यदि हम घटनाओं को नामित करते हैं: "डब्ल्यू। बिल्कुल 9 समस्याओं को सही ढंग से हल करें" - ए के माध्यम से, "यू। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें" - बी के माध्यम से, "यू। सी के माध्यम से 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें। तब समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर: 0.06.

ज्यामिति परीक्षा में, छात्र परीक्षा प्रश्नों की सूची में से एक प्रश्न का उत्तर देता है। संभावना है कि यह एक त्रिकोणमिति प्रश्न है 0.2 है। संभावना है कि यह एक आउटर कॉर्नर प्रश्न है, 0.15 है। एक ही समय में इन दोनों विषयों से संबंधित कोई प्रश्न नहीं हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि छात्र को परीक्षा में इन दो विषयों में से किसी एक पर प्रश्न मिलेगा।

आइए सोचें कि हमारे पास कौन सी घटनाएँ हैं। हमें दो असंगत घटनाएँ दी गई हैं। यानी या तो प्रश्न "त्रिकोणमिति" विषय से संबंधित होगा, या "बाह्य कोण" विषय से संबंधित होगा। संभाव्यता प्रमेय के अनुसार, असंगत घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के योग के बराबर होती है, हमें इन घटनाओं की संभावनाओं का योग ज्ञात करना होगा, अर्थात:

उत्तर: 0.35.

कमरा तीन लैंपों वाली लालटेन से प्रकाशित होता है। एक वर्ष में एक दीपक के जलने की प्रायिकता 0.29 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक वर्ष के भीतर कम से कम एक दीपक नहीं जलेगा।

आइए संभावित घटनाओं पर विचार करें। हमारे पास तीन प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक किसी भी अन्य प्रकाश बल्ब से स्वतंत्र रूप से जल सकता है या नहीं भी जल सकता है। ये स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

फिर हम ऐसी घटनाओं के वेरिएंट का संकेत देते हैं। हम इस संकेतन को स्वीकार करते हैं: - प्रकाश बल्ब चालू है, - प्रकाश बल्ब जल गया है। और इसके तुरंत बाद हम किसी घटना की संभावना की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, एक घटना की प्रायिकता जिसमें तीन स्वतंत्र घटनाएँ "प्रकाश बल्ब जल गया", "प्रकाश बल्ब चालू", "प्रकाश बल्ब चालू" घटित हुईं:।

ध्यान दें कि केवल 7 असंगत घटनाएं हमारे लिए अनुकूल हैं। ऐसी घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के योग के बराबर है:।

उत्तर: 0.975608.

आप चित्र में एक और समस्या देख सकते हैं:

इस प्रकार, आप और मैं समझ गए कि संभाव्यता का सिद्धांत क्या है, समस्या समाधान के सूत्र और उदाहरण जिनके बारे में आप परीक्षा के संस्करण में पा सकते हैं।

माँ ने फ्रेम धोया

एक लंबी गर्मी की छुट्टी के अंत में, धीरे-धीरे उच्च गणित की ओर लौटने और एक नया अनुभाग बनाना शुरू करने के लिए एक खाली वर्ड फ़ाइल खोलने का समय आ गया है -। मैं स्वीकार करता हूं कि पहली पंक्तियां आसान नहीं हैं, लेकिन पहला कदम आधा रास्ता है, इसलिए मैं सभी को परिचयात्मक लेख का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने का सुझाव देता हूं, जिसके बाद विषय में महारत हासिल करना 2 गुना आसान हो जाएगा! मैं बिल्कुल भी अतिशयोक्ति नहीं कर रहा हूं. ...अगले 1 सितंबर की पूर्व संध्या पर, मुझे पहली कक्षा और प्राइमर याद है.... अक्षर शब्दांश बनाते हैं, शब्दांश शब्द बनाते हैं, शब्द छोटे वाक्य बनाते हैं - माँ ने फ्रेम धोया। टेवर और गणितीय आँकड़ों में महारत हासिल करना पढ़ना सीखने जितना आसान है! हालाँकि, इसके लिए आपको जानना ज़रूरी है महत्वपूर्ण पदों, अवधारणाएँ और अंकन, साथ ही कुछ विशिष्ट नियम, जिनके लिए यह पाठ समर्पित है।

लेकिन सबसे पहले, कृपया शुरुआत के लिए मेरी बधाई स्वीकार करें (निरंतरता, समापन, आवश्यकतानुसार नोट करें) स्कूल वर्षऔर उपहार स्वीकार करें. सबसे अच्छा उपहार एक किताब है, और इसके लिए स्वतंत्र काममैं निम्नलिखित साहित्य की अनुशंसा करता हूं:

1) गमुरमन वी.ई. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत

पौराणिक ट्यूटोरियलदस से अधिक संस्करण। यह बोधगम्यता और सामग्री की अत्यंत सरल प्रस्तुति में भिन्न है, और मेरा मानना ​​है कि पहले अध्याय पहले से ही कक्षा 6-7 के छात्रों के लिए पूरी तरह से सुलभ हैं।

2) गमुरमन वी.ई. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी में समस्या समाधान के लिए मार्गदर्शिका

विस्तृत उदाहरणों और कार्यों के साथ उसी व्लादिमीर एफिमोविच का रेशेबनिक।

अनिवार्य रूप सेदोनों पुस्तकें इंटरनेट से डाउनलोड करें या उनके मूल पेपर प्राप्त करें! 60-70 के दशक का संस्करण उपयुक्त होगा, जो नौसिखियों के लिए और भी बेहतर है। यद्यपि वाक्यांश "डमी के लिए संभावना" बल्कि हास्यास्पद लगता है, क्योंकि लगभग सब कुछ प्राथमिक तक ही सीमित है अंकगणितीय आपरेशनस. हालाँकि, वे जगह-जगह फिसल जाते हैं डेरिवेटिवऔर अभिन्न, लेकिन यह केवल स्थानों में है.

मैं प्रस्तुतिकरण की वही स्पष्टता प्राप्त करने का प्रयास करूंगा, लेकिन मैं आपको चेतावनी दे दूं कि मेरा पाठ्यक्रम किस पर केंद्रित है समस्या को सुलझानाऔर सैद्धांतिक गणनाओं को न्यूनतम रखा गया है। इस प्रकार, यदि आपको विस्तृत सिद्धांत, प्रमेयों के प्रमाण (प्रमेय-प्रमेय!) की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक देखें। खैर, कौन चाहता है समस्याओं को हल करना सीखेंसंभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में अधिकांश में कम समय , मेरे पीछे आओ!

आरंभ करने के लिए पर्याप्त =)

जैसे ही आप लेख पढ़ते हैं, यह सलाह दी जाती है कि विचार किए गए प्रकारों के अतिरिक्त कार्यों से (कम से कम संक्षेप में) परिचित हो जाएं। पेज पर उच्च गणित के लिए तैयार समाधानसमाधान के उदाहरणों के साथ प्रासंगिक पीडीएफ-की रखी जाएगी। महत्वपूर्ण सहयोग भी मिलेगा आईडीजेड 18.1 रयाबुश्को(आसान) और चुडेसेंको के संग्रह के अनुसार आईडीजेड को हल किया गया(अधिक मुश्किल)।

1) जोड़दो घटनाएँ और वह घटना कहलाती है जिसमें यह तथ्य समाहित हो याआयोजन याआयोजन यादोनों घटनाएँ एक ही समय में। घटनाओं के मामले में असंगत, अंतिम विकल्प लुप्त हो जाता है, अर्थात घटित हो सकता है याआयोजन याआयोजन ।

नियम इस पर भी लागू होता है बड़ी मात्राशब्द, उदाहरण के लिए, एक घटना वही होगा जो होगा कम से कम एकघटनाओं से , ए यदि घटनाएँ असंगत हैं – वह एक और केवल एकइस राशि से घटना: याआयोजन , याआयोजन , याआयोजन , याआयोजन , याआयोजन ।

बहुत सारे उदाहरण:

घटना (जब पासा फेंकने पर 5 अंक नहीं गिरते) वह है या 1, या 2, या 3, या 4, या 6 अंक.

इवेंट (छोड़ देगा अब और नहींदो बिंदु) वह है 1 या 2अंक.

आयोजन (अंकों की सम संख्या होगी) वह है या 2 या 4 या 6 अंक.

घटना यह है कि डेक से लाल सूट (दिल) का एक कार्ड निकाला जाएगा याडफ), और घटना - कि "चित्र" निकाला जाएगा (जैक)। यामहिला याराजा याइक्का)।

संयुक्त आयोजनों का मामला थोड़ा और दिलचस्प है:

घटना यह है कि डेक से एक क्लब निकाला जाएगा यासात याक्लबों के सात उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, कम से कम कुछ तो- या कोई क्लब या कोई सात या उनका "क्रॉसिंग" - सात क्लब। यह गणना करना आसान है कि यह घटना 12 प्रारंभिक परिणामों (9 क्लब कार्ड + 3 शेष सात) से मेल खाती है।

घटना कल दोपहर 12 बजे की है सारांशित संयुक्त आयोजनों में से कम से कम एक, अर्थात्:

- या केवल बारिश होगी / केवल गरज होगी / केवल सूरज होगा;
- या केवल कुछ जोड़ी घटनाएँ आएंगी (बारिश + आंधी / बारिश + सूरज / आंधी + सूरज);
- या तीनों घटनाएँ एक ही समय में दिखाई देंगी।

यानी, घटना में 7 संभावित परिणाम शामिल हैं।

घटनाओं के बीजगणित का दूसरा स्तंभ:

2) कामदो घटनाएँ और उस घटना को कहते हैं, जिसमें इन घटनाओं की संयुक्त उपस्थिति होती है, दूसरे शब्दों में, गुणन का अर्थ है कि कुछ परिस्थितियों में वहाँ आएगा औरआयोजन , औरआयोजन । एक समान कथन बड़ी संख्या में घटनाओं के लिए सत्य है, इसलिए, उदाहरण के लिए, उत्पाद का तात्पर्य है कि कब कुछ शर्तेंक्या होगा औरआयोजन , औरआयोजन , औरआयोजन , …, औरआयोजन ।

एक परीक्षण पर विचार करें जिसमें दो सिक्के उछाले जाते हैं और निम्नलिखित घटनाएँ:

- पहले सिक्के पर चित गिरेंगे;
- पहला सिक्का पट उतरेगा;
- दूसरा सिक्का शीर्ष पर आएगा;
- दूसरा सिक्का पूंछ के ऊपर आएगा।

तब:
और 2 तारीख को) एक उकाब बाहर गिरेगा;
- घटना इस तथ्य में समाहित है कि दोनों सिक्कों पर (पहली तारीख पर)। और 2 तारीख को) पूँछें गिर जाएँगी;
- घटना यह है कि पहला सिक्का चित आएगा औरदूसरे सिक्के की पूँछ पर;
- घटना यह है कि पहला सिक्का पीछे की ओर आएगा औरदूसरे सिक्के पर एक चील है।

घटनाओं को देखना आसान है असंगत (उदाहरण के लिए, यह एक ही समय में 2 चित और 2 पट नहीं गिरा सकता)और रूप पूरा समूह (जब से ध्यान में रखा गया है सभीदो सिक्के उछालने के संभावित परिणाम). आइए इन घटनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करें: . इस प्रविष्टि की व्याख्या कैसे करें? बहुत सरल - गुणन का अर्थ है तार्किक संबंध और, और जोड़ है या. इस प्रकार, समझने योग्य मानवीय भाषा में सारांश को पढ़ना आसान है: “दो उकाब गिरेंगे यादो पूँछ यापहले सिक्के पर चित औरदूसरी पूँछ पर यापहले सिक्के पर चित औरदूसरे सिक्के पर चील »

यह एक उदाहरण था जब एक परीक्षण मेंकई वस्तुएँ शामिल हैं, इस मामले में दो सिक्के। आमतौर पर व्यवहार में उपयोग की जाने वाली एक अन्य योजना है बार-बार परीक्षण उदाहरण के लिए, जब एक ही पासा लगातार 3 बार फेंका जाता है। एक प्रदर्शन के रूप में, निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:

- पहली थ्रो में 4 अंक गिरेंगे;
- दूसरे थ्रो में 5 अंक गिरेंगे;
- तीसरे थ्रो में 6 अंक गिरेंगे।

फिर घटना इस तथ्य में शामिल है कि पहले रोल में 4 अंक गिरेंगे औरदूसरे रोल में 5 अंक कम हो जायेंगे औरतीसरे रोल में 6 अंक गिरेंगे। जाहिर है, पासे के मामले में, यदि हम एक सिक्का उछाल रहे थे तो उससे कहीं अधिक संयोजन (परिणाम) होंगे।

...मैं समझता हूं कि, शायद, वे बहुत अच्छी तरह से नहीं समझते हैं दिलचस्प उदाहरण, लेकिन ये ऐसी चीजें हैं जिनका अक्सर कार्यों में सामना करना पड़ता है और इन्हें टाला नहीं जा सकता। एक सिक्के, एक पासे और ताश के पत्तों के अलावा, रंगीन गेंदों के साथ कलश, एक लक्ष्य पर शूटिंग करने वाले कई अज्ञात लोग, और एक अथक कार्यकर्ता जो लगातार कुछ विवरणों को पीसता है =)

घटना की संभावना

घटना की संभावना संभाव्यता सिद्धांत में एक केंद्रीय अवधारणा है। ...एक घातक तार्किक बात, लेकिन आपको कहीं न कहीं से शुरुआत करनी होगी =) इसकी परिभाषा के लिए कई दृष्टिकोण हैं:

;
संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषा ;
संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा .

इस लेख में, मैं संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा पर ध्यान केंद्रित करूंगा, जिसका शैक्षिक कार्यों में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

नोटेशन. किसी घटना की संभावना को बड़ा दर्शाया गया है लैटिन अक्षर, और घटना को एक प्रकार के तर्क के रूप में कार्य करते हुए, कोष्ठक में लिया गया है। उदाहरण के लिए:

इसके अलावा, संभाव्यता को दर्शाने के लिए एक छोटे अक्षर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, कोई घटनाओं और उनकी संभावनाओं के बोझिल पदनामों को छोड़ सकता है निम्नलिखित शैली के पक्ष में:

क्या संभावना है कि सिक्के को उछालने पर चित आएगा;
- एक पासा फेंकने पर 5 अंक गिरने की प्रायिकता;
संभावना है कि क्लब सूट का एक कार्ड डेक से निकाला जाएगा।

यह विकल्प व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में लोकप्रिय है, क्योंकि यह आपको समाधान प्रविष्टि को काफी कम करने की अनुमति देता है। पहले मामले की तरह, यहां "टॉकिंग" सबस्क्रिप्ट/सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करना सुविधाजनक है।

सभी ने लंबे समय से उन संख्याओं के बारे में अनुमान लगाया है जो मैंने अभी ऊपर लिखी हैं, और अब हम पता लगाएंगे कि वे कैसे निकले:

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा:

किसी परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता वह अनुपात है, जहाँ:

– कुल गणनासभी समान रूप से संभव, प्राथमिकइस परीक्षण के परिणाम, जो बनते हैं घटनाओं का पूरा समूह;

- मात्रा प्राथमिकपरणाम अनुकूल आयोजन ।

जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो चित या पट दोनों गिर सकते हैं - ये घटनाएँ बनती हैं पूरा समूह, इस प्रकार, परिणामों की कुल संख्या ; जबकि उनमें से प्रत्येक प्राथमिकऔर समान रूप से संभव. घटना परिणाम (प्रमुखों) द्वारा इष्ट है। संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार: .

इसी तरह, एक पासे को घुमाने के परिणामस्वरूप, प्रारंभिक समान रूप से संभव परिणाम सामने आ सकते हैं, जिससे एक पूरा समूह बनता है, और घटना को एक ही परिणाम (पांच को घुमाने) का समर्थन मिलता है। इसीलिए: .ऐसा करना स्वीकार्य नहीं है (हालाँकि आपके दिमाग में प्रतिशत का पता लगाना वर्जित नहीं है)।

किसी इकाई के भिन्नों का उपयोग करने की प्रथा है, और, जाहिर है, संभावना भीतर भिन्न हो सकती है। इसके अलावा, यदि, तो घटना है असंभव, अगर - भरोसेमंद, और यदि , तो हम बात कर रहे हैं यादृच्छिकआयोजन।

! यदि किसी समस्या को हल करने के दौरान आपको कोई अन्य संभाव्यता मान मिलता है - तो त्रुटि की तलाश करें!

संभाव्यता की परिभाषा के शास्त्रीय दृष्टिकोण में, चरम मान (शून्य और एक) बिल्कुल उसी तर्क द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। मान लीजिए 10 लाल गेंदों वाले कलश से यादृच्छिक रूप से 1 गेंद निकाली जाती है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:

एक ही परीक्षण में, कोई अप्रत्याशित घटना घटित नहीं होगी.

इसीलिए यदि इस घटना की संभावना, मान लीजिए, 0.00000001 है, तो आपको लॉटरी में जैकपॉट नहीं मिलेगा। हाँ, हाँ, यह आप ही हैं - एक विशेष प्रचलन में एकमात्र टिकट के साथ। हालाँकि, अधिक टिकट और अधिक ड्रा से आपको अधिक मदद नहीं मिलेगी। ...जब मैं दूसरों को इसके बारे में बताता हूं, तो मैं लगभग हमेशा जवाब में सुनता हूं: "लेकिन कोई जीतता है।" ठीक है, तो चलिए निम्नलिखित प्रयोग करते हैं: कृपया आज या कल कोई भी लॉटरी टिकट खरीदें (देरी न करें!)। और यदि आप जीतते हैं... ठीक है, कम से कम 10 किलो रूबल से अधिक, तो सदस्यता समाप्त करना सुनिश्चित करें - मैं समझाऊंगा कि ऐसा क्यों हुआ। प्रतिशत के लिए, निश्चित रूप से =) =)

लेकिन दुखी होने की कोई जरूरत नहीं है, क्योंकि इसका एक विपरीत सिद्धांत है: यदि किसी घटना की संभावना एकता के बहुत करीब है, तो एक ही परीक्षण में यह लगभग निश्चितक्या होगा। इसलिए, पैराशूट से कूदने से पहले, डरो मत, इसके विपरीत - मुस्कुराओ! आख़िरकार, दोनों पैराशूटों के विफल होने के लिए बिल्कुल अकल्पनीय और शानदार परिस्थितियाँ उत्पन्न होनी चाहिए।

हालाँकि यह सब कविता है, क्योंकि घटना की सामग्री के आधार पर, पहला सिद्धांत हर्षित हो सकता है, और दूसरा - दुखद; या फिर दोनों समानांतर हैं.

संभवतः अभी के लिए, कक्षा में पर्याप्त है संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के लिए कार्यहम सूत्र से अधिकतम निचोड़ लेंगे। इस लेख के अंतिम भाग में, हम एक महत्वपूर्ण प्रमेय पर विचार करते हैं:

संपूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर होता है. मोटे तौर पर कहें तो, यदि घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो 100% संभावना के साथ उनमें से एक घटित होगी। उसी में साधारण मामलाएक पूरा समूह विपरीत घटनाओं से बनता है, उदाहरण के लिए:

- एक सिक्का उछालने के परिणामस्वरूप, एक चील बाहर गिर जाएगी;
- सिक्का उछालने पर पूँछें गिर जाएँगी।

प्रमेय के अनुसार:

यह स्पष्ट है कि ये घटनाएँ समान रूप से संभावित हैं और उनकी संभावनाएँ भी समान हैं। .

सम्भावनाओं की समानता के कारण प्रायः समान सम्भावना वाली घटनाएँ कहलाती हैं समसंभाव्य . और यहाँ नशे की डिग्री निर्धारित करने के लिए टंग ट्विस्टर निकला है =)

पासा उदाहरण: घटनाएँ विपरीत हैं, इसलिए .

विचाराधीन प्रमेय इस मायने में सुविधाजनक है कि यह आपको विपरीत घटना की संभावना शीघ्रता से ज्ञात करने की अनुमति देता है। इसलिए, यदि आप पांच के गिरने की प्रायिकता जानते हैं, तो उसके न गिरने की प्रायिकता की गणना करना आसान है:

यह पांच प्रारंभिक परिणामों की संभावनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करने से कहीं अधिक आसान है। वैसे, प्रारंभिक परिणामों के लिए, यह प्रमेय भी मान्य है:
. उदाहरण के लिए, यदि संभावना यह है कि निशानेबाज निशाने पर लगेगा, तो संभावना यह भी है कि वह चूक जाएगा।

! संभाव्यता सिद्धांत में, अक्षरों का उपयोग किसी अन्य उद्देश्य के लिए करना अवांछनीय है।

ज्ञान दिवस के सम्मान में, मैं नहीं पूछूंगा गृहकार्य=), लेकिन यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दे सकें:

वहां किस प्रकार के आयोजन होते हैं?
– किसी घटना की संभावना और समान संभावना क्या है?
– आप घटनाओं की अनुकूलता/असंगतता शब्दों को कैसे समझते हैं?
– विपरीत घटनाओं का पूरा समूह क्या है?
घटनाओं के योग और गुणन का क्या अर्थ है?
– संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का सार क्या है?
- संपूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं के लिए जोड़ प्रमेय क्यों उपयोगी है?

नहीं, आपको कुछ भी रटने की जरूरत नहीं है, ये सिर्फ संभाव्यता सिद्धांत की मूल बातें हैं - एक प्रकार का प्राइमर जो आपके दिमाग में बहुत जल्दी फिट हो जाएगा। और यह यथाशीघ्र हो सके, इसके लिए मेरा सुझाव है कि आप पाठ पढ़ें

परिचय

कई चीज़ें हमारे लिए समझ से बाहर हैं, इसलिए नहीं कि हमारी अवधारणाएँ कमज़ोर हैं;
बल्कि इसलिए कि ये चीजें हमारी अवधारणाओं के दायरे में नहीं आतीं.
कोज़मा प्रुतकोव

माध्यमिक विशेष में गणित की पढ़ाई का मुख्य लक्ष्य शिक्षण संस्थानोंछात्रों को अन्य कार्यक्रम विषयों का अध्ययन करने के लिए आवश्यक गणितीय ज्ञान और कौशल का एक सेट देना है जो तार्किक सोच के गठन और विकास के लिए, व्यावहारिक गणना करने की क्षमता के लिए, कुछ हद तक गणित का उपयोग करते हैं।

इस पेपर में, कार्यक्रम और माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षिक मानकों (रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय। एम., 2002) द्वारा प्रदान किए गए गणित खंड "संभावना सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के बुनियादी सिद्धांत" की सभी बुनियादी अवधारणाएं शामिल हैं। ), लगातार पेश किए जाते हैं, मुख्य प्रमेय तैयार किए जाते हैं, जिनमें से अधिकांश सिद्ध नहीं होते हैं। व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए इन विधियों को लागू करने के लिए उनके समाधान और प्रौद्योगिकियों के मुख्य कार्यों और विधियों पर विचार किया जाता है। प्रस्तुति विस्तृत टिप्पणियों और कई उदाहरणों के साथ है।

पद्धतिगत निर्देशों का उपयोग अध्ययन की जा रही सामग्री के साथ प्रारंभिक परिचय के लिए, व्याख्यान के नोट्स लेते समय, व्यावहारिक अभ्यास की तैयारी के लिए, अर्जित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को मजबूत करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, मैनुअल स्नातक छात्रों के लिए एक संदर्भ उपकरण के रूप में उपयोगी होगा जो आपको पहले अध्ययन की गई चीज़ों को जल्दी से स्मृति में पुनर्स्थापित करने की अनुमति देता है।

कार्य के अंत में, उदाहरण और कार्य दिए गए हैं जिन्हें छात्र आत्म-नियंत्रण मोड में कर सकते हैं।

पद्धति संबंधी निर्देश पत्राचार और पूर्णकालिक शिक्षा के छात्रों के लिए हैं।

बुनियादी अवधारणाओं

संभाव्यता सिद्धांत सामूहिक यादृच्छिक घटनाओं की वस्तुनिष्ठ नियमितताओं का अध्ययन करता है। यह गणितीय आँकड़ों के लिए एक सैद्धांतिक आधार है, जो अवलोकनों के परिणामों को एकत्र करने, वर्णन करने और संसाधित करने के तरीकों के विकास से संबंधित है। अवलोकनों (परीक्षणों, प्रयोगों) के माध्यम से, अर्थात्। शब्द के व्यापक अर्थ में अनुभव, वास्तविक दुनिया की घटनाओं का ज्ञान है।

अपनी व्यावहारिक गतिविधियों में, हम अक्सर ऐसी घटनाओं का सामना करते हैं, जिनके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती, जिनका परिणाम संयोग पर निर्भर करता है।

एक यादृच्छिक घटना को उसकी घटनाओं की संख्या और परीक्षणों की संख्या के अनुपात से पहचाना जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में, सभी परीक्षणों की समान शर्तों के तहत, यह घटित हो सकता है या नहीं घटित हो सकता है।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जिसमें यादृच्छिक घटनाओं (घटनाओं) का अध्ययन किया जाता है और जब उन्हें बड़े पैमाने पर दोहराया जाता है तो नियमितताएं सामने आती हैं।

गणितीय सांख्यिकी गणित की एक शाखा है जिसका विषय वैज्ञानिक रूप से आधारित निष्कर्ष प्राप्त करने और निर्णय लेने के लिए सांख्यिकीय डेटा एकत्र करने, व्यवस्थित करने, प्रसंस्करण और उपयोग करने के तरीकों का अध्ययन है।

साथ ही, सांख्यिकीय डेटा को संख्याओं के एक सेट के रूप में समझा जाता है जो अध्ययन की गई वस्तुओं की विशेषताओं की मात्रात्मक विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करता है जो हमारे लिए रुचि रखते हैं। सांख्यिकीय डेटा विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए प्रयोगों और अवलोकनों के परिणामस्वरूप प्राप्त किए जाते हैं।

सांख्यिकीय डेटा अपने सार में कई यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है, इसलिए गणितीय आंकड़े संभाव्यता सिद्धांत से निकटता से संबंधित हैं, जो इसका सैद्धांतिक आधार है।

I. संभाव्यता। जोड़ और संभाव्यता गुणन के सिद्धांत

1.1. कॉम्बिनेटरिक्स की बुनियादी अवधारणाएँ

गणित के कॉम्बिनेटरिक्स नामक अनुभाग में, सेटों के विचार और इन सेटों के तत्वों के विभिन्न संयोजनों के संकलन से संबंधित कुछ समस्याओं का समाधान किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 10 अलग-अलग संख्याएँ 0, 1, 2, 3,:, 9 लेते हैं और उनका संयोजन बनाते हैं, तो हमें अलग-अलग संख्याएँ मिलेंगी, उदाहरण के लिए 143, 431, 5671, 1207, 43, आदि।

हम देखते हैं कि इनमें से कुछ संयोजन केवल अंकों के क्रम में भिन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 143 और 431), अन्य उनमें शामिल संख्याओं में भिन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 5671 और 1207), और अन्य भी अंकों की संख्या में भिन्न होते हैं ( उदाहरण के लिए, 143 और 43)।

इस प्रकार, प्राप्त संयोजन विभिन्न शर्तों को पूरा करते हैं।

संकलन नियमों के आधार पर, तीन प्रकार के संयोजनों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट, संयोजन.

आइए सबसे पहले अवधारणा से परिचित हों कारख़ाने का.

सभी का उत्पाद प्राकृतिक संख्या 1 से n तक समावेशी कहलाते हैं एन-फैक्टोरियल और लिखा।

गणना करें: ए) ; बी) ; वी) .

समाधान। ए) ।

बी) साथ ही , तो आप इसे कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं

फिर हमें मिलता है

वी) .

क्रमपरिवर्तन।

n तत्वों का एक संयोजन जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होता है, क्रमपरिवर्तन कहलाता है।

क्रमपरिवर्तन को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है पी एन , जहां n प्रत्येक क्रमपरिवर्तन में तत्वों की संख्या है। ( आर- फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर परिवर्तन- क्रमपरिवर्तन)।

क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

या फैक्टोरियल के साथ:

आइए इसे याद रखें 0!=1 और 1!=1.

उदाहरण 2. एक शेल्फ पर छह अलग-अलग पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान। तरीकों की वांछित संख्या 6 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।

आवास.

से प्लेसमेंट एममें तत्व एनप्रत्येक में, ऐसे यौगिकों को कहा जाता है जो या तो स्वयं तत्वों (कम से कम एक) द्वारा या स्थान से क्रम द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

स्थानों को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ एमसभी उपलब्ध तत्वों की संख्या है, एनप्रत्येक संयोजन में तत्वों की संख्या है। ( ए-फ़्रेंच शब्द का पहला अक्षर व्यवस्था, जिसका अर्थ है "स्थान, क्रम में रखना")।

साथ ही यह भी माना जा रहा है एनएम.

प्लेसमेंट की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

,

वे। से सभी संभावित प्लेसमेंट की संख्या एमतत्वों द्वारा एनउत्पाद के बराबर है एनक्रमागत पूर्णांक, जिनमें से बड़ा है एम.

हम इस सूत्र को तथ्यात्मक रूप में लिखते हैं:

उदाहरण 3. पांच आवेदकों के लिए विभिन्न प्रोफाइल के एक सेनेटोरियम में तीन वाउचर वितरित करने के लिए कितने विकल्प बनाए जा सकते हैं?

समाधान। विकल्पों की वांछित संख्या 5 तत्वों द्वारा 3 तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के बराबर है, अर्थात।

.

संयोजन.

संयोजन सभी संभव संयोजन हैं एमतत्वों द्वारा एन, जो कम से कम एक तत्व द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं (यहां)। एमऔर एन-प्राकृतिक संख्याएँ, और एन एम).

से संयोजनों की संख्या एमतत्वों द्वारा एननिरूपित हैं ( साथ- फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर संयोजन- संयोजन)।

सामान्य तौर पर, की संख्या एमतत्वों द्वारा एनप्लेसमेंट की संख्या के बराबर एमतत्वों द्वारा एनसे क्रमपरिवर्तन की संख्या से विभाजित एनतत्व:

प्लेसमेंट और क्रमपरिवर्तन संख्याओं के लिए फैक्टोरियल फ़ार्मुलों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4. 25 लोगों की एक टीम में, आपको एक निश्चित क्षेत्र में काम करने के लिए चार को आवंटित करने की आवश्यकता है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान। चूंकि चुने गए चार लोगों का क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए इसे कई तरीकों से किया जा सकता है।

हम पहले सूत्र से ज्ञात करते हैं

.

इसके अलावा, समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है जो संयोजनों के मुख्य गुणों को व्यक्त करते हैं:

(परिभाषा के अनुसार, और मान लिया गया है);

.

1.2. संयुक्त समस्याओं का समाधान

कार्य 1. संकाय में 16 विषयों का अध्ययन किया जाता है। सोमवार को आपको शेड्यूल में 3 विषय डालने होंगे. यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान। 16 में से तीन आइटमों को शेड्यूल करने के उतने ही तरीके हैं जितने प्रत्येक 3 के 16 तत्वों की प्लेसमेंट हैं।

कार्य 2. 15 वस्तुओं में से 10 वस्तुओं का चयन करना होगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

कार्य 3. प्रतियोगिता में चार टीमों ने भाग लिया। उनके बीच सीटों के बंटवारे के कितने विकल्प संभव हैं?

.

समस्या 4. यदि 80 सैनिक और 3 अधिकारी हों तो तीन सैनिकों और एक अधिकारी की गश्ती कितने प्रकार से बनाई जा सकती है?

समाधान। गश्त पर निकले सिपाही का चयन किया जा सकता है

तरीके, और अधिकारी तरीके। चूँकि कोई भी अधिकारी सैनिकों की प्रत्येक टीम के साथ जा सकता है, इसलिए केवल रास्ते ही हैं।

कार्य 5. यदि यह ज्ञात हो तो खोजें।

चूँकि, हमें मिलता है

,

,

संयोजन की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि , . वह। .

1.3. एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा. घटना के प्रकार. घटना की संभावना

किसी भी कार्रवाई, घटना, कई अलग-अलग परिणामों के साथ अवलोकन, जो दी गई शर्तों के तहत महसूस किया जाता है, कहा जाएगा परीक्षा।

इस क्रिया या अवलोकन का परिणाम कहलाता है आयोजन .

यदि दी गई शर्तों के तहत कोई घटना घटित हो सकती है या नहीं घटित हो सकती है, तो उसे कहा जाता है यादृच्छिक . यदि कोई घटना निश्चित रूप से घटित होनी चाहिए, तो उसे कहा जाता है भरोसेमंद , और उस स्थिति में जब यह निश्चित रूप से नहीं हो सकता, - असंभव.

घटनाओं को कहा जाता है असंगत यदि उनमें से केवल एक ही हर बार प्रकट हो सके।

घटनाओं को कहा जाता है संयुक्त यदि, दी गई शर्तों के तहत, इनमें से किसी एक घटना का घटित होना उसी परीक्षण में दूसरे के घटित होने को बाहर नहीं करता है।

घटनाओं को कहा जाता है विलोम , यदि परीक्षण की शर्तों के तहत, वे, इसके एकमात्र परिणाम होने के नाते, असंगत हैं।

घटनाओं को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है: ए बी सी डी, : .

घटनाओं की एक पूरी प्रणाली A 1 , A 2 , A 3 , : , A n असंगत घटनाओं का एक समूह है, जिनमें से कम से कम एक का घटित होना किसी दिए गए परीक्षण के लिए अनिवार्य है।

यदि एक पूर्ण प्रणाली में दो असंगत घटनाएँ होती हैं, तो ऐसी घटनाओं को विपरीत कहा जाता है और ए और द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण। एक डिब्बे में 30 क्रमांकित गेंदें हैं। निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएँ असंभव, निश्चित, विपरीत हैं:

एक नंबर वाली गेंद मिली (ए);

एक सम संख्या वाली गेंद बनाएं (में);

एक विषम संख्या वाली गेंद निकाली (साथ);

बिना नंबर की एक गेंद मिली (डी)।

उनमें से कौन एक पूर्ण समूह बनाता है?

समाधान . ए- निश्चित घटना; डी- असंभव घटना;

में और साथ-विपरीत घटनाएँ.

घटनाओं का पूरा समूह है एऔर डी, वीऔर साथ.

किसी घटना की संभावना को किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप के रूप में माना जाता है।

1.4. संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा

वह संख्या, जो किसी घटना के घटित होने की वस्तुगत संभावना की माप की अभिव्यक्ति है, कहलाती है संभावना इस घटना को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है पी(ए).

परिभाषा। किसी घटना की संभावना एउन परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी दी गई घटना के घटित होने के पक्ष में हैं ए, संख्या के लिए एनसभी परिणाम (असंगत, अद्वितीय और समान रूप से संभव), यानी .

इसलिए, किसी घटना की संभावना जानने के लिए, परीक्षण के विभिन्न परिणामों पर विचार करने के बाद, सभी संभावित असंगत परिणामों की गणना करना आवश्यक है। एन,उन परिणामों की संख्या चुनें जिनमें हमारी रुचि है और अनुपात की गणना करें एमको एन.

निम्नलिखित गुण इस परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

किसी भी परीक्षण की संभावना एक गैर-नकारात्मक संख्या है जो एक से अधिक नहीं होनी चाहिए।

दरअसल, वांछित घटनाओं की संख्या एम के भीतर निहित है। दोनों भागों में बाँटना एन, हम पाते हैं

2. एक निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है, क्योंकि .

3. किसी असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है क्योंकि.

समस्या 1. लॉटरी में 1000 टिकटों में से 200 विजेता हैं। एक टिकट यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इस टिकट के जीतने की क्या प्रायिकता है?

समाधान। विभिन्न परिणामों की कुल संख्या है एन=1000. जीत के पक्ष में परिणामों की संख्या m=200 है। सूत्र के अनुसार हमें प्राप्त होता है

.

कार्य 2. 18 भागों के एक बैच में, 4 दोषपूर्ण हैं। 5 टुकड़े यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं। इन 5 भागों में से दो के ख़राब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्या एन 18 से 5 तक संयोजनों की संख्या के बराबर है अर्थात

आइए उस संख्या m की गणना करें जो घटना A के पक्ष में है। 5 यादृच्छिक रूप से चयनित भागों में से 3 उच्च गुणवत्ता वाले और 2 दोषपूर्ण होने चाहिए। 4 उपलब्ध दोषपूर्ण भागों में से दो दोषपूर्ण भागों को चुनने के तरीकों की संख्या 4 से 2 तक संयोजनों की संख्या के बराबर है:

14 उपलब्ध गुणवत्ता वाले भागों में से तीन गुणवत्ता वाले भागों का चयन करने के तरीकों की संख्या बराबर है

.

गुणवत्ता वाले भागों के किसी भी समूह को दोषपूर्ण भागों के किसी भी समूह के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए संयोजनों की कुल संख्या एमहै

घटना A की वांछित संभाव्यता उन परिणामों की संख्या m के अनुपात के बराबर है जो इस घटना को सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्या n के पक्ष में रखते हैं:

.

घटनाओं की एक सीमित संख्या का योग एक ऐसी घटना है जिसमें उनमें से कम से कम एक की घटना शामिल होती है।

दो घटनाओं के योग को प्रतीक A+B और योग द्वारा दर्शाया जाता है एनघटनाएँ प्रतीक A 1 +A 2 + : +A n .

संभावनाओं के योग का प्रमेय.

दो असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

परिणाम 1. यदि घटना А 1 , А 2 , : , А n एक पूर्ण प्रणाली बनाती है, तो इन घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर है।

उपफल 2. विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग तथा एक के बराबर होता है।

.

समस्या 1. 100 लॉटरी टिकट हैं। यह ज्ञात है कि 5 टिकटों पर 20,000 रूबल, 10 - 15,000 रूबल, 15 - 10,000 रूबल, 25 - 2,000 रूबल की जीत मिलती है। और बाकी के लिए कुछ भी नहीं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदा गया टिकट कम से कम 10,000 रूबल जीतेगा।

समाधान। बता दें कि ए, बी और सी ऐसी घटनाएं हैं जिनमें यह तथ्य शामिल है कि खरीदे गए टिकट पर 20,000, 15,000 और 10,000 रूबल के बराबर का पुरस्कार मिलता है। चूँकि घटनाएँ A, B और C असंगत हैं

कार्य 2. तकनीकी स्कूल का पत्राचार विभाग शहरों से गणित में परीक्षण प्राप्त करता है ए, बीऔर साथ. शहर से नियंत्रण कार्य प्राप्त होने की संभावना एशहर से 0.6 के बराबर में- 0.1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला परीक्षाशहर से आऊंगा साथ.