जड़ कैसे निकाले. विषय पर शोध पत्र: "कैलकुलेटर के बिना बड़ी संख्याओं का वर्गमूल निकालना"

गणित में, जड़ निकालने का प्रश्न अपेक्षाकृत सरल माना जाता है। यदि हम प्राकृतिक श्रृंखला से संख्याओं का वर्ग करते हैं: 1, 2, 3, 4, 5...n, तो हमें वर्गों की निम्नलिखित श्रृंखला प्राप्त होती है: 1, 4, 9, 16...n 2। वर्गों की पंक्ति अनंत है, और यदि आप इसे ध्यान से देखेंगे, तो आप देखेंगे कि इसमें बहुत अधिक पूर्णांक नहीं हैं। ऐसा क्यों है, इसका स्पष्टीकरण थोड़ी देर बाद किया जाएगा।

किसी संख्या का मूल: गणना नियम और उदाहरण

तो, हमने संख्या 2 का वर्ग किया, यानी इसे उसी से गुणा किया और 4 प्राप्त किया। संख्या 4 का मूल कैसे निकालें? आइए तुरंत कहें कि जड़ें वर्गाकार, घन और अनंत तक किसी भी डिग्री हो सकती हैं।

मूल की घात हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होती है, अर्थात, निम्नलिखित समीकरण को हल करना असंभव है: n की घात 3.6 की जड़।

वर्गमूल

आइए इस प्रश्न पर लौटते हैं कि 4 का वर्गमूल कैसे निकाला जाए। चूँकि हमने संख्या 2 का वर्ग किया है, इसलिए हम वर्गमूल भी निकालेंगे। 4 का मूल सही ढंग से निकालने के लिए, आपको बस सही संख्या चुनने की ज़रूरत है, जिसका वर्ग करने पर संख्या 4 मिलेगी। और यह, निश्चित रूप से, 2 है। उदाहरण देखें:

• 2 2 =4
• 4 का मूल = 2

यह उदाहरण काफी सरल है. आइए 64 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें। वह कौन सी संख्या है जिसे स्वयं से गुणा करने पर 64 प्राप्त होता है? जाहिर है यह 8 है.

• 8 2 =64
• 64=8 का मूल

क्युब जड़

जैसा कि ऊपर कहा गया था, जड़ें केवल वर्गाकार नहीं होती हैं; एक उदाहरण का उपयोग करके, हम अधिक स्पष्ट रूप से समझाने की कोशिश करेंगे कि घनमूल या तीसरी डिग्री की जड़ कैसे निकाली जाए। घनमूल निकालने का सिद्धांत वर्गमूल के समान ही है, अंतर केवल इतना है कि प्रारंभ में आवश्यक संख्या को एक बार नहीं, बल्कि दो बार गुणा किया जाता है। अर्थात्, मान लीजिए कि हमने निम्नलिखित उदाहरण लिया:

• 3x3x3=27
• स्वाभाविक रूप से, 27 का घनमूल तीन है:
• 27 का मूल 3 = 3

मान लीजिए कि आपको 64 का घनमूल ज्ञात करना है। इस समीकरण को हल करने के लिए, एक संख्या ज्ञात करना पर्याप्त है, जिसे तीसरी घात तक बढ़ाने पर 64 प्राप्त होगा।

• 4 3 =64
• 64 का मूल 3 = 4

कैलकुलेटर पर किसी संख्या का मूल निकालें

बेशक, अभ्यास में वर्ग, घन और अन्य मूल निकालना सीखना सबसे अच्छा है, कई उदाहरणों को हल करके और वर्गों और घनों की तालिकाओं को याद करके बड़ी संख्या. भविष्य में, इससे समीकरणों को हल करने में लगने वाला समय काफी सुविधाजनक और कम हो जाएगा। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कभी-कभी ऐसी जड़ को निकालना आवश्यक होता है बड़ी संख्या मेंयदि संभव हो तो सही वर्ग संख्या ढूँढना बहुत कठिन होगा। वर्गमूल निकालने में एक नियमित कैलकुलेटर बचाव में आएगा। कैलकुलेटर पर रूट कैसे निकालें? बहुत ही सरलता से वह नंबर दर्ज करें जिससे आप परिणाम जानना चाहते हैं। अब कैलकुलेटर बटनों को ध्यान से देखें। उनमें से सबसे सरल में भी रूट आइकन वाली एक कुंजी होती है। इस पर क्लिक करते ही आपको तुरंत तैयार परिणाम मिल जाएगा।

प्रत्येक संख्या का पूर्ण मूल नहीं हो सकता; निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

1859 का मूल = 43.116122…

आप एक साथ कैलकुलेटर पर इस उदाहरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी संख्या पूर्णांक नहीं है; इसके अलावा, दशमलव बिंदु के बाद अंकों का सेट सीमित नहीं है। अधिक सटीक परिणामविशेष दे सकते हैं इंजीनियरिंग कैलकुलेटर, लेकिन पूरा परिणाम नियमित डिस्प्ले पर फिट नहीं बैठता है। और यदि आप वर्गों की उस श्रृंखला को जारी रखते हैं जो आपने पहले शुरू की थी, तो आपको इसमें संख्या 1859 ठीक से नहीं मिलेगी क्योंकि इसे प्राप्त करने के लिए जिस संख्या का वर्ग किया गया था वह पूर्णांक नहीं है।

यदि आपको एक साधारण कैलकुलेटर पर तीसरा रूट निकालने की आवश्यकता है, तो आपको रूट चिह्न वाले बटन पर डबल-क्लिक करना होगा। उदाहरण के लिए, ऊपर प्रयुक्त संख्या 1859 लें और उससे घनमूल निकालें:

1859 का मूल 3 = 6.5662867…

अर्थात्, यदि संख्या 6.5662867... को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाए, तो हमें लगभग 1859 प्राप्त होता है। इस प्रकार, संख्याओं से मूल निकालना मुश्किल नहीं है, आपको बस उपरोक्त एल्गोरिदम को याद रखने की आवश्यकता है।

अपने पहले संस्करण, "इन द किंगडम ऑफ इनजेनुइटी" (1908) की प्रस्तावना में, ई. आई. इग्नाटिव लिखते हैं: "...बौद्धिक पहल, त्वरित बुद्धि और "सरलता" को किसी के दिमाग में "ढोया" या "डाला" नहीं जा सकता है। परिणाम तभी विश्वसनीय होते हैं जब गणितीय ज्ञान के क्षेत्र का परिचय आसान और सुखद तरीके से किया जाता है, सामान्य और रोजमर्रा की स्थितियों से वस्तुओं और उदाहरणों का उपयोग करके, उचित बुद्धि और मनोरंजन के साथ चुना जाता है।

1911 संस्करण "गणित में स्मृति की भूमिका" की प्रस्तावना में ई.आई. इग्नाटिव लिखते हैं, "...गणित में सूत्रों को याद नहीं रखना चाहिए, बल्कि सोचने की प्रक्रिया को याद रखना चाहिए।"

वर्गमूल निकालने के लिए, दो अंकों की संख्याओं के लिए वर्गों की तालिकाएँ हैं; आप संख्या को इसमें विघटित कर सकते हैं प्रधान कारणऔर उत्पाद का वर्गमूल लें। वर्गों की एक तालिका कभी-कभी पर्याप्त नहीं होती है; गुणनखंड द्वारा मूल निकालना एक समय लेने वाला कार्य है, जिससे हमेशा वांछित परिणाम भी नहीं मिलता है। 209764 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें? अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करने पर उत्पाद 2*2*52441 प्राप्त होता है। परीक्षण और त्रुटि द्वारा, चयन - यह, निश्चित रूप से, किया जा सकता है यदि आप सुनिश्चित हैं कि यह एक पूर्णांक है। मैं जो विधि प्रस्तावित करना चाहता हूं वह आपको किसी भी स्थिति में वर्गमूल निकालने की अनुमति देती है।

एक बार संस्थान (पर्म स्टेट पेडागोगिकल इंस्टीट्यूट) में हमें इस पद्धति से परिचित कराया गया था, जिसके बारे में अब मैं बात करना चाहता हूं। मैंने कभी नहीं सोचा कि इस पद्धति का कोई प्रमाण है या नहीं, इसलिए अब मुझे स्वयं ही कुछ प्रमाण निकालना पड़ा।

इस विधि का आधार संख्या का संघटन है =.

=&, यानी और 2 =596334.

1. संख्या (5963364) को दाएं से बाएं जोड़े में विभाजित करें (5`96`33`64)

2. बाईं ओर के पहले समूह का वर्गमूल निकालें (-संख्या 2)। इस प्रकार हमें & का पहला अंक प्राप्त होता है।

3. पहले अंक (2 2 =4) का वर्ग ज्ञात करें।

4. पहले समूह और पहले अंक के वर्ग (5-4=1) के बीच अंतर ज्ञात करें।

5. हम अगले दो अंक हटा देते हैं (हमें संख्या 196 मिलती है)।

6. हमें मिले पहले अंक को दोगुना करें और इसे बाईं ओर पंक्ति (2*2=4) के पीछे लिखें।

7. अब हमें संख्या का दूसरा अंक ढूंढना होगा और: जो पहला अंक हमें मिला उसे दोगुना करने पर वह संख्या का दहाई अंक बन जाता है, जिसे इकाइयों की संख्या से गुणा करने पर आपको 196 से कम संख्या प्राप्त करनी होगी (यह है) संख्या 4, 44*4=176). 4 & का दूसरा अंक है.

8. अंतर ज्ञात कीजिए (196-176=20)।

9. हम अगले समूह को ध्वस्त करते हैं (हमें संख्या 2033 मिलती है)।

10. संख्या 24 को दोगुना करने पर हमें 48 प्राप्त होता है।

एक संख्या में 11.48 दहाई हैं, इकाई की संख्या से गुणा करने पर हमें 2033 (484*4=1936) से कम संख्या प्राप्त होनी चाहिए। हमें जो इकाई का अंक मिला (4) वह संख्या & का तीसरा अंक है।

मैंने निम्नलिखित मामलों के लिए प्रमाण दिया है:

1. तीन अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना;

2. चार अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना।

वर्गमूल निकालने की अनुमानित विधियाँ (कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना)।

1. प्राचीन बेबीलोनवासी अपनी संख्या x के वर्गमूल का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि का उपयोग करते थे। उन्होंने संख्या x को a 2 + b के योग के रूप में दर्शाया, जहां a 2 प्राकृतिक संख्या a (a 2 ? x) का सटीक वर्ग है जो संख्या x के सबसे करीब है, और सूत्र का उपयोग किया . (1)

सूत्र (1) का उपयोग करके, हम वर्गमूल निकालते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 28 से:

एमके का उपयोग करके 28 की जड़ निकालने का परिणाम 5.2915026 है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बेबीलोनियन विधि जड़ के सटीक मूल्य का एक अच्छा अनुमान देती है।

2. आइजैक न्यूटन ने वर्गमूल निकालने की एक विधि विकसित की जो अलेक्जेंड्रिया के हेरोन (लगभग 100 ईस्वी) के समय की है। यह विधि (न्यूटन की विधि के नाम से जानी जाती है) इस प्रकार है।

होने देना एक 1- किसी संख्या का पहला सन्निकटन (1 के रूप में आप किसी प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल का मान ले सकते हैं - एक सटीक वर्ग जो इससे अधिक न हो) एक्स) ।

अगला, अधिक सटीक अनुमान एक 2नंबर सूत्र द्वारा पाया गया .

मूल सूत्र. वर्गमूलों के गुण.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

पिछले पाठ में हमने जाना कि वर्गमूल क्या है। यह पता लगाने का समय आ गया है कि कौन से अस्तित्व में हैं जड़ों के लिए सूत्रक्या हैं जड़ों के गुण, और इस सबके साथ क्या किया जा सकता है।

जड़ों के सूत्र, जड़ों के गुण और जड़ों के साथ काम करने के नियम- यह मूलतः वही बात है. के लिए सूत्र वर्गमूलआश्चर्यजनक रूप से बहुत कम. जो निश्चित रूप से मुझे खुश करता है! या यूँ कहें कि, आप कई अलग-अलग सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन जड़ों के साथ व्यावहारिक और आत्मविश्वास से काम करने के लिए, केवल तीन ही पर्याप्त हैं। बाकी सब कुछ इन तीनों से प्रवाहित होता है। हालाँकि बहुत से लोग तीन मूल सूत्रों में भ्रमित हो जाते हैं, हाँ...

आइए सबसे सरल से शुरुआत करें। ये रही वो:

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आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

जड़ एन-किसी प्राकृतिक संख्या की घात एइस नंबर पर कॉल किया जाता है एनजिसकी वां डिग्री बराबर है ए. जड़ को इस प्रकार निर्दिष्ट किया गया है: . प्रतीक √ को कहा जाता है मूल चिन्हया कट्टरपंथी संकेत, संख्या ए - मूल संख्या, एन - मूल प्रतिपादक.

वह क्रिया जिसके द्वारा किसी दिए गए अंश का मूल ज्ञात किया जाता है, कहलाती है जड़ निष्कर्षण.

चूँकि, जड़ की अवधारणा की परिभाषा के अनुसार एनवें डिग्री

वह जड़ निष्कर्षण- किसी शक्ति को ऊपर उठाने के विपरीत एक क्रिया, जिसकी सहायता से, एक निश्चित डिग्री द्वारा और द्वारा यह सूचकडिग्री डिग्री का आधार ढूंढती है।

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल एवह संख्या है जिसका वर्ग बराबर है ए.

वह क्रिया जिसके द्वारा वर्गमूल की गणना की जाती है, वर्गमूलन कहलाती है।

वर्गमूल- वर्ग करने की विपरीत क्रिया (या किसी संख्या को दूसरी घात तक बढ़ाना)। किसी संख्या का वर्ग करते समय, आपको उसका वर्ग ज्ञात करना होगा। वर्गमूल निकालते समय, संख्या का वर्ग ज्ञात हो जाता है; आपको संख्या ज्ञात करने के लिए इसका उपयोग करना होगा।

इसलिए, कार्रवाई की शुद्धता की जांच करने के लिए, आप पाए गए रूट को दूसरी शक्ति तक बढ़ा सकते हैं और, यदि डिग्री मूल संख्या के बराबर है, तो रूट सही पाया गया था।

आइए वर्गमूल निकालने और एक उदाहरण का उपयोग करके इसकी जाँच करने पर गौर करें। आइए गणना करें या (2 के मान वाला मूल घातांक आमतौर पर नहीं लिखा जाता है, क्योंकि 2 सबसे छोटा घातांक है और यह याद रखना चाहिए कि यदि मूल चिह्न के ऊपर कोई घातांक नहीं है, तो घातांक 2 निहित है), इसके लिए हम संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, जब इसे दूसरे तक बढ़ाया जाता है तो डिग्री 49 होगी। जाहिर है, ऐसी संख्या 7 है, क्योंकि

7 7 = 7 2 = 49.

वर्गमूल की गणना

यदि कोई दी गई संख्या 100 या उससे कम है, तो उसके वर्गमूल की गणना गुणन तालिका का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 25 का वर्गमूल 5 है, क्योंकि 5 5 = 25.

आइए अब कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना किसी भी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने का तरीका देखें। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 4489 लें और चरण दर चरण इसकी गणना शुरू करें।

1. आइए निर्धारित करें कि आवश्यक रूट में कौन से अंक शामिल होने चाहिए। चूँकि 10 2 = 10 · 10 = 100, और 100 2 = 100 · 100 = 10000, यह स्पष्ट हो जाता है कि वांछित रूट 10 से अधिक और 100 से कम होना चाहिए, अर्थात। दहाई और इकाइयों से मिलकर बनता है।
2. मूल की दहाई की संख्या ज्ञात कीजिए। दहाई को गुणा करने पर सैकड़ों प्राप्त होते हैं, और हमारी संख्या में उनमें से 44 हैं, इसलिए मूल में इतनी दहाई होनी चाहिए कि दहाई का वर्ग लगभग 44 सैकड़ों प्राप्त करे। इसलिए, मूल में 6 दहाई होनी चाहिए, क्योंकि 60 2 = 3600, और 70 2 = 4900 (यह बहुत अधिक है)। इस प्रकार, हमें पता चला कि हमारी जड़ में 6 दहाई और अनेक इकाई हैं, क्योंकि यह 60 से 70 के बीच है।
3. गुणन तालिका आपको मूल में इकाइयों की संख्या निर्धारित करने में मदद करेगी। संख्या 4489 को देखने पर हम देखते हैं कि इसमें अंतिम अंक 9 है। अब हम गुणन तालिका को देखते हैं और देखते हैं कि 9 इकाइयाँ केवल संख्या 3 और 7 का वर्ग करके प्राप्त की जा सकती हैं। इसका मतलब है कि संख्या का मूल होगा 63 या 67 के बराबर.
4. हम प्राप्त संख्याओं 63 और 67 को वर्ग करके जाँचते हैं: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489।

वर्गमूल की गणना (या निकालना) कई तरीकों से की जा सकती है, लेकिन वे सभी बहुत सरल नहीं हैं। निस्संदेह, कैलकुलेटर का उपयोग करना आसान है। लेकिन यदि यह संभव नहीं है (या आप वर्गमूल के सार को समझना चाहते हैं), तो मैं आपको निम्नलिखित तरीके से जाने की सलाह दे सकता हूं, इसका एल्गोरिदम इस प्रकार है:

यदि आपके पास इतनी लंबी गणनाओं के लिए ताकत, इच्छा या धैर्य नहीं है, तो आप रफ चयन का सहारा ले सकते हैं; इसका लाभ यह है कि यह अविश्वसनीय रूप से तेज़ है और, उचित सरलता के साथ, सटीक है। उदाहरण:

जब मैं स्कूल में था (60 के दशक की शुरुआत में), हमें किसी भी संख्या का वर्गमूल निकालना सिखाया जाता था। तकनीक सरल है, बाह्य रूप से लंबे विभाजन के समान है, लेकिन इसे यहां प्रस्तुत करने के लिए आधे घंटे का समय और पाठ के 4-5 हजार अक्षरों की आवश्यकता होगी। लेकिन आपको इसकी आवश्यकता क्यों है? आपके पास फ़ोन या अन्य गैजेट है, एनएम के पास एक कैलकुलेटर है। किसी भी कंप्यूटर पर एक कैलकुलेटर होता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं इस प्रकार की गणनाएँ एक्सेल में करना पसंद करता हूँ।

अक्सर स्कूल में आपको वर्गमूल खोजने की जरूरत पड़ती है अलग-अलग नंबर. लेकिन अगर हम इसके लिए लगातार कैलकुलेटर का उपयोग करने के आदी हैं, तो परीक्षा में यह संभव नहीं होगा, इसलिए हमें कैलकुलेटर की मदद के बिना रूट की तलाश करना सीखना होगा। और सिद्धांततः ऐसा करना संभव है।

एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

सबसे पहले अपने नंबर का आखिरी अंक देखें:

उदाहरण के लिए,

अब हमें सबसे बाएं समूह के मूल के लिए लगभग मान निर्धारित करने की आवश्यकता है

उस स्थिति में जब किसी संख्या में दो से अधिक समूह हों, तो आपको मूल इस प्रकार खोजना होगा:

लेकिन अगली संख्या सबसे बड़ी होनी चाहिए, आपको इसे इस तरह चुनना होगा:

अब हमें ऊपर प्राप्त शेषफल में निम्नलिखित समूह को जोड़कर एक नई संख्या A बनाने की आवश्यकता है।

हमारे उदाहरणों में:

कॉलम ऊंचा है, और जब पंद्रह से अधिक अक्षरों की आवश्यकता होती है, तो कैलकुलेटर वाले कंप्यूटर और फोन अक्सर आराम करते हैं। यह जांचना बाकी है कि तकनीक के विवरण में 4-5 हजार अक्षर लगेंगे या नहीं।

किसी भी संख्या को छोड़कर, दशमलव बिंदु से दायें और बायें अंकों के जोड़े गिनते हैं

उदाहरण के लिए, 1234567890.098765432100

कुछ संख्याएँ इस प्रकार हैं दो अंकों की संख्या. दो अंकों का मूल एक अंक है। हम एक अंक का चयन करते हैं जिसका वर्ग अंकों की पहली जोड़ी से कम है। हमारे मामले में यह 3 है.

जैसे किसी कॉलम से विभाजित करते समय, हम इस वर्ग को पहले जोड़े के नीचे लिखते हैं और इसे पहले जोड़े से घटाते हैं। परिणाम रेखांकित है. 12 - 9 = 3. इस अंतर में संख्याओं का दूसरा जोड़ा जोड़ें (यह 334 होगा)। बर्म्स की संख्या के बाईं ओर, परिणाम के उस भाग का दोगुना मान जो पहले ही पाया जा चुका है, एक संख्या के साथ पूरक है (हमारे पास 2 * 6 = 6 है), जैसे कि जब प्राप्त संख्या से गुणा नहीं किया जाता है, तो यह होता है अंकों के दूसरे जोड़े वाली संख्या से अधिक न हो. हम पाते हैं कि पाया गया अंक पाँच है। हम फिर से अंतर (9) पाते हैं, 956 प्राप्त करने के लिए अंकों की अगली जोड़ी जोड़ते हैं, फिर से परिणाम का दोगुना भाग (70) लिखते हैं, फिर से इसे वांछित अंक के साथ पूरक करते हैं, और इसी तरह जब तक यह बंद नहीं हो जाता। या गणना की आवश्यक सटीकता के लिए.

सबसे पहले, वर्गमूल की गणना करने के लिए, आपको गुणन सारणी को अच्छी तरह से जानना होगा। सबसे सरल उदाहरण 25 (5 बटा 5 = 25) इत्यादि हैं। यदि आप अधिक सम्मिश्र संख्याएँ लेते हैं, तो आप इस तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ क्षैतिज रेखा इकाई है और ऊर्ध्वाधर रेखा दहाई है।



खाओ उत्तम विधिकैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी संख्या का मूल कैसे पता करें। ऐसा करने के लिए आपको एक रूलर और एक कम्पास की आवश्यकता होगी। मुद्दा यह है कि आप रूलर पर वह मान पाते हैं जो आपके मूल के अंतर्गत है। उदाहरण के लिए, 9 के आगे एक निशान लगाएं। आपका काम इस संख्या को समान संख्या में खंडों में विभाजित करना है, यानी प्रत्येक 4.5 सेमी की दो रेखाओं में और एक सम खंड में। यह अनुमान लगाना आसान है कि अंत में आपको 3 सेंटीमीटर के 3 खंड मिलेंगे।

यह विधि आसान नहीं है और बड़ी संख्याओं के लिए उपयुक्त नहीं है, लेकिन इसकी गणना बिना कैलकुलेटर के की जा सकती है।

में बिना कैलकुलेटर की सहायता से वर्गमूल निकालने की विधि सिखाई गई सोवियत कालस्कूल में आठवीं कक्षा में।

ऐसा करने के लिए आपको तोड़ने की जरूरत है बहु-अंकीय संख्याकिनारे पर दाएं से बाएं ओर 2 अंक हैं :

मूल का पहला अंक बाईं ओर का पूरा मूल है, इस मामले में, 5.

हम 31 में से 5 वर्ग घटाते हैं, 31-25 = 6 और अगली भुजा छह में जोड़ते हैं, हमारे पास 678 होता है।

अगला अंक x दोहरे पाँच से मेल खाता है ताकि

10x*x अधिकतम था, लेकिन 678 से कम।

x=6, चूँकि 106*6 = 636,

अब हम 678 - 636 = 42 की गणना करते हैं और अगला किनारा 92 जोड़ते हैं, हमारे पास 4292 होता है।

फिर से हम अधिकतम x की तलाश कर रहे हैं जैसे कि 112x*x lt; 4292.

उत्तर: मूल 563 है

जब तक आवश्यक हो आप इस प्रकार जारी रख सकते हैं।

कुछ मामलों में, आप मूलांक को दो या दो से अधिक वर्ग गुणनखंडों में विघटित करने का प्रयास कर सकते हैं।

तालिका (या कम से कम उसका कुछ भाग) - वर्गों को याद रखना भी उपयोगी है प्राकृतिक संख्या 10 से 99 तक.



मैं एक ऐसे संस्करण का प्रस्ताव करता हूं जिसका आविष्कार मैंने एक स्तंभ का वर्गमूल निकालने के लिए किया था। संख्याओं के चयन के अपवाद के साथ, यह आम तौर पर ज्ञात से भिन्न है। लेकिन जैसा कि मुझे बाद में पता चला, यह विधिमेरे जन्म से कई वर्ष पहले से ही अस्तित्व में था। इसका वर्णन उन्होंने अपनी पुस्तक जनरल अरिथमेटिक या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण के बारे में एक पुस्तक में किया है महान इसहाकन्यूटन. इसलिए यहां मैं न्यूटन पद्धति के एल्गोरिदम के लिए अपना दृष्टिकोण और तर्क प्रस्तुत करता हूं। एल्गोरिथम को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। यदि आवश्यक हो तो आप चित्र में दिए गए आरेख का उपयोग दृश्य सहायता के रूप में कर सकते हैं।







तालिकाओं की सहायता से आप गणना नहीं कर सकते, बल्कि तालिकाओं में मौजूद संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। न केवल वर्गमूल, बल्कि अन्य डिग्रियों की गणना करने का सबसे आसान तरीका क्रमिक सन्निकटन की विधि है। उदाहरण के लिए, हम 10739 का वर्गमूल निकालते हैं, अंतिम तीन अंकों को शून्य से प्रतिस्थापित करते हैं और 10000 का मूल निकालते हैं, हमें नुकसान के साथ 100 मिलता है, इसलिए हम संख्या 102 लेते हैं, इसका वर्ग करते हैं, हमें 10404 मिलता है, जो कम भी है दिए गए से, हम 103*103=10609 फिर से एक नुकसान के साथ लेते हैं, हम 103.5*103.5=10712.25 लेते हैं, और भी अधिक 103.6*103.6=10732 लेते हैं, 103.7*103.7=10753.69 लेते हैं, जो पहले से ही अधिक है। आप 10739 का मूल लगभग 103.6 के बराबर मान सकते हैं। अधिक सटीक रूप से 10739=103.629...। . इसी प्रकार हम घनमूल निकालते हैं, सबसे पहले 10000 से हमें लगभग 25*25*25=15625 प्राप्त होता है, जो कि अधिक है, हम 22*22*22=10.648 लेते हैं, हम 22.06*22.06*22.06=10735 से थोड़ा अधिक लेते हैं , जो दिए गए के बहुत करीब है।