उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने के नियम. प्रविष्टियाँ "न्यूनतम सामान्य विभाजक" टैग की गईं

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - कम से कम सामान्य गुणक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना, और विशेष ध्यानआइए उदाहरणों पर एक नज़र डालें। आइए पहले हम यह दिखाएं कि दो संख्याओं के एलसीएम की गणना इन संख्याओं की जीसीडी के संदर्भ में कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य खोजने पर विचार करें प्रधान कारण. उसके बाद, हम तीन और का एलसीएम खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे अधिकसंख्याएँ, और ऋणात्मक संख्याओं के LCM की गणना पर भी ध्यान दें।

पेज नेविगेशन.

जीसीडी के माध्यम से लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) की गणना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक तरीका एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की अनुमति देता है। तत्संबंधी सूत्र का स्वरूप है एलसीएम(ए, बी)=ए बी: जीसीएम(ए, बी) . उपरोक्त सूत्र के अनुसार एलसीएम खोजने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 . आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम(ए, बी)=ए बी: जीसीएम(ए, बी). यानी सबसे पहले हमें संख्या 70 और 126 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं के एलसीएम की गणना कर सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं: एलसीएम(126, 70)=126 70: जीसीएम(126, 70)= 126 70:14=630।

उत्तर:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

एलसीएम(68,34) क्या है?

समाधान।

क्योंकि 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, तो gcd(68, 34)=34। अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: एलसीएम(68, 34)=68 34: एलसीएम(68, 34)= 68 34:34=68 .

उत्तर:

एलसीएम(68, 34)=68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए एलसीएम खोजने के लिए निम्नलिखित नियम में फिट बैठता है: यदि संख्या ए, बी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक ए है।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम ज्ञात करना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का दूसरा तरीका संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का एक उत्पाद बनाते हैं, जिसके बाद हम इस उत्पाद से उन सभी सामान्य अभाज्य कारकों को बाहर कर देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर होगा।

एलसीएम ज्ञात करने का घोषित नियम समानता का अनुसरण करता है एलसीएम(ए, बी)=ए बी: जीसीएम(ए, बी). दरअसल, संख्या a और b का गुणनफल संख्या a और b के विस्तार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर है। बदले में, जीसीडी(ए, बी) उन सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है जो संख्याओं ए और बी के विस्तार में एक साथ मौजूद हैं (जिसे अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित किया गया है) ).

चलिए एक उदाहरण लेते हैं. आइए जानते हैं कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7। इन विस्तारों के सभी कारकों का उत्पाद बनाएं: 2 3 3 5 5 5 7। अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर कर देते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार दोनों में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस गुणनफल का मान संख्या 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात, एलसीएम(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण।

संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलते हैं।

आइए अब इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों का एक उत्पाद बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7। आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर कर दें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक ही कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7। इस प्रकार, एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

उत्तर:

एलसीएम(441,700)=44 100।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके एलसीएम ज्ञात करने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या b के विस्तार से लुप्त कारकों को संख्या a के विस्तार से प्राप्त कारकों में जोड़ दें, तो परिणामी उत्पाद का मान संख्या a और b के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर होगा।.

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएँ 75 और 210 लें, अभाज्य गुणनखंडों में उनका विस्तार इस प्रकार है: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7। संख्या 75 के अपघटन से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के अपघटन से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 को जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 प्राप्त होता है, जिसका मान LCM(75) है , 210) .

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम सबसे पहले संख्या 84 और 648 का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के अपघटन से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के अपघटन से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 3 7 प्राप्त होता है। जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, संख्या 84 और 648 का वांछित लघुत्तम समापवर्तक 4536 है।

उत्तर:

एलसीएम(84,648)=4 536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

दो संख्याओं का एलसीएम क्रमिक रूप से ज्ञात करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने का तरीका देता है।

प्रमेय.

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1 , a 2 , …, a k दिए गए हैं, इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140, 9, 54 और 250 का LCM ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

पहले हम ढूंढते हैं एम 2 = एलसीएम (ए 1, ए 2) = एलसीएम (140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिड एल्गोरिदम का उपयोग करके, हम gcd(140, 9) निर्धारित करते हैं, हमारे पास 140=9 15+5, 9=5 1+4, 5=4 1+1, 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , कहाँ से एलसीएम(140, 9)=140 9: एलसीएम(140, 9)= 140 9:1=1 260 . अर्थात्, म 2 =1 260 .

अब हम पाते हैं एम 3 = एलसीएम (एम 2, ए 3) = एलसीएम (1 260, 54). आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करें, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . अर्थात्, मी 3 = 3 780।

ढूंढना बाकी है एम 4 = एलसीएम (एम 3, ए 4) = एलसीएम (3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी (3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3। इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , जहां से gcd(3 780, 250)= 3 780 250:जीसीडी(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500। अर्थात्, मी 4 = 94,500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

उत्तर:

एलसीएम(140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से पाया जा सकता है। साथ ही इसका पालन भी करना चाहिए अगला नियम. कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य गुणनफल के बराबर होता है, जिसकी रचना इस प्रकार होती है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी कारकों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ा जाता है तीसरी संख्या को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, इत्यादि।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के विस्तार को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 अभाज्य गुणनखंड) और 143=11 13।

इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के विस्तार में 2 और 3 दोनों पहले से मौजूद हैं। इसके अलावा गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं, हमें गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 का एक सेट मिलता है। अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें 7 पहले से ही समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 प्राप्त होता है, जो 48 048 के बराबर है।

किसी संख्या का गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो समूह की प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। इसके अलावा, एलसीएम की गणना कई अन्य तरीकों का उपयोग करके की जा सकती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होते हैं।

कदम

अनेक गुणज

इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी गई हों, जिनमें से प्रत्येक 10 से कम हो बड़ी संख्या, किसी अन्य विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, संख्या 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

1. किसी संख्या का गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन सारणी में अनेक संख्याएँ पाई जा सकती हैं।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 5 के गुणज हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो पंक्तियों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणजों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।कुल ज्ञात करने के लिए आपको गुणजों की लंबी श्रृंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   • उदाहरण के लिए, सबसे छोटी संख्या, जो 5 और 8 के गुणजों की श्रृंखला में दिखाई देता है, वह संख्या 40 है। इसलिए, 40 संख्याओं 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं जो दोनों 10 से बड़ी होती हैं। यदि छोटी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

   2. पहली संख्या का गुणनखंड करें.यानी आपको ऐसी अभाज्य संख्याएं ढूंढनी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर एक दी गई संख्या प्राप्त हो। अभाज्य गुणनखंड ढूंढ़ने के बाद, उन्हें समानता के रूप में लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   3. दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।इसे उसी तरह से करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें जिन्हें गुणा करने पर यह संख्या प्राप्त हो।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   4. दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखिए।ऐसे कारकों को गुणन संक्रिया के रूप में लिखिए। जैसे ही आप प्रत्येक कारक को लिखते हैं, उसे दोनों अभिव्यक्तियों में काट दें (वे अभिव्यक्तियाँ जो संख्याओं के अभाज्य कारकों में अपघटन का वर्णन करती हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखें 2 × (\प्रदर्शन शैली 2\बार)और दोनों भावों में से 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखें 2 × 2 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2)और दोनों भावों में दूसरे 2 को काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंड जोड़ें।ये ऐसे कारक हैं जिन्हें दोनों अभिव्यक्तियों में नहीं काटा गया है, यानी वे कारक जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\प्रदर्शन शैली 20=2\गुना 2\गुना 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणक 5 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2\गुना 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों ड्यूस (2) को भी काट दिया गया है। गुणनखंड 7 और 3 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).

   6. लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\गुना 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   उभयनिष्ठ भाजक ढूँढना

   1. एक ग्रिड बनाएं जैसे आप टिक-टैक-टो के खेल के लिए बनाते हैं।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएं होती हैं जो दो अन्य समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इसके परिणामस्वरूप तीन पंक्तियाँ और तीन कॉलम होंगे (ग्रिड काफी हद तक # चिह्न जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहला नंबर लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरा नंबर लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में 18 लिखें, और पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में 30 लिखें।

   2. दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें। अभाज्य भाजक की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई शर्त नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका उभयनिष्ठ भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को प्रथम भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के अंतर्गत लिखें। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 18 के अंतर्गत 9 लिखें।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), इसलिए 15 को 30 के नीचे लिखें।

   4. दोनों भागफलों में उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। में अन्यथाविभाजक को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संगत भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 को 9 के नीचे लिखें।
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), इसलिए 15 के अंतर्गत 5 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएँ जब तक कि भागफल में एक उभयनिष्ठ भाजक न आ जाए।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं पर गोला बनाएं।फिर हाइलाइट की गई संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याएँ 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 3\गुना 3\गुना 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिदम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे भाग देना है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। दो संख्याओं को विभाजित करने पर जो संख्या बचती है वह शेषफल होती है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)आराम। 3:
        15 विभाज्य है
        6 भाजक है
        2 निजी है
        3 शेषफल है.

बीजगणितीय भिन्नों के अधिकांश संचालन, जैसे जोड़ और घटाव, के लिए आवश्यक है कि इन भिन्नों को पहले से ही एक ही हर में घटा दिया जाए। ऐसे हरों को अक्सर "" वाक्यांश द्वारा भी दर्शाया जाता है। आम विभाजक". इस विषय में, हम "बीजगणितीय भिन्नों के सामान्य हर" और "बीजगणितीय भिन्नों के सबसे कम सामान्य हर (एलसीडी)" की अवधारणाओं की परिभाषा पर विचार करेंगे, एक सामान्य हर को बिंदु दर बिंदु खोजने के लिए एल्गोरिदम पर विचार करेंगे और विषय पर कई समस्याओं का समाधान करेंगे। .

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बीजगणितीय भिन्नों का सामान्य हर

यदि हम साधारण भिन्नों की बात करें तो सामान्य हर वह संख्या होती है जो मूल भिन्नों के किसी भी हर से विभाज्य होती है। के लिए साधारण अंश 1 2 और 5 9 संख्या 36 एक सामान्य हर हो सकती है, क्योंकि यह बिना किसी शेषफल के 2 और 9 से विभाज्य है।

बीजगणितीय भिन्नों के सामान्य हर को इसी प्रकार परिभाषित किया जाता है, संख्याओं के बजाय केवल बहुपदों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर में होते हैं।

परिभाषा 1

बीजगणितीय भिन्न का सामान्य हरएक बहुपद है जो किसी भी भिन्न के हर से विभाज्य होता है।

बीजगणितीय भिन्नों की विशिष्टताओं के संबंध में, जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी, हम अक्सर मानक बहुपद के रूप में नहीं, बल्कि गुणनफल के रूप में दर्शाए गए सामान्य हर से निपटेंगे।

उदाहरण 1

एक बहुपद को गुणनफल के रूप में लिखा जाता है 3 x 2 (x + 1), बहुपद से मेल खाता है मानक दृश्य 3 x 3 + 3 x 2. यह बहुपद बीजीय भिन्नों 2 x, - 3 x y x 2 और y + 3 x + 1 का एक सामान्य हर हो सकता है, इस तथ्य के कारण कि यह इससे विभाज्य है एक्स, पर x2और पर एक्स+1. बहुपदों की विभाज्यता के बारे में जानकारी हमारे संसाधन के संबंधित विषय में है।

न्यूनतम सामान्य विभाजक (एलसीडी)

दिए गए बीजगणितीय भिन्नों के लिए, उभयनिष्ठ हरों की संख्या अनंत हो सकती है।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए भिन्न 1 2 x और x + 1 x 2 + 3 लें। उनका सामान्य विभाजक है 2 एक्स (एक्स 2 + 3), पसंद - 2 एक्स (एक्स 2 + 3), पसंद एक्स (एक्स 2 + 3), पसंद 6 , 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), पसंद − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, और इसी तरह।

समस्याओं को हल करते समय, आप एक सामान्य हर का उपयोग करके अपना काम आसान बना सकते हैं, जिसका हर के पूरे सेट में सबसे सरल रूप होता है। ऐसे हर को अक्सर सबसे कम सामान्य हर के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा 2

बीजगणितीय भिन्नों का न्यूनतम सामान्य विभाजकबीजगणितीय भिन्नों का सामान्य हर है, जिसका रूप सबसे सरल है।

वैसे, "न्यूनतम सामान्य भाजक" शब्द आम तौर पर स्वीकार नहीं किया जाता है, इसलिए बेहतर होगा कि आप खुद को "सामान्य हर" शब्द तक ही सीमित रखें। और यही कारण है।

इससे पहले हमने आपका ध्यान "के हर" वाक्यांश पर केंद्रित किया था अराल तरीका". इस वाक्यांश का मुख्य अर्थ इस प्रकार है: बीजीय भिन्नों की समस्या की स्थिति में डेटा के किसी भी अन्य सामान्य हर को बिना किसी शेषफल के सरलतम रूप के हर से विभाजित किया जाना चाहिए। इस मामले में, उत्पाद में, जो भिन्नों का एक सामान्य हर है, आप विभिन्न संख्यात्मक गुणांकों का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण 3

भिन्न 1 2 x और x + 1 x 2 + 3 लीजिए। हमने पहले ही पता लगा लिया है कि 2 · x · (x 2 + 3) रूप के एक सामान्य हर के साथ काम करना हमारे लिए सबसे आसान होगा। साथ ही, इन दोनों भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर हो सकता है एक्स (एक्स 2 + 3), जिसमें कोई संख्यात्मक गुणांक नहीं है। प्रश्न यह है कि इन दोनों उभयनिष्ठ हरों में से कौन सा भिन्नों का सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर है। इसका कोई स्पष्ट उत्तर नहीं है, इसलिए केवल सामान्य विभाजक के बारे में बात करना और उस विकल्प को काम में लेना अधिक सही है जिसके साथ काम करना सबसे सुविधाजनक होगा। इसलिए, हम ऐसे सामान्य हरों का उपयोग कर सकते हैं एक्स 2 (एक्स 2 + 3) (वाई + वाई 4)या − 15 x 5 (x 2 + 3) 3जिनके पास अधिक है जटिल दृश्य, लेकिन उनसे निपटना अधिक कठिन हो सकता है।

बीजगणितीय भिन्नों का एक सामान्य हर ढूँढना: क्रियाओं का एक एल्गोरिदम

मान लीजिए कि हमारे पास कई बीजगणितीय भिन्न हैं जिनके लिए हमें एक सामान्य हर खोजने की आवश्यकता है। इस समस्या को हल करने के लिए, हम क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं। सबसे पहले, हमें मूल भिन्नों के हरों का गुणनखंड करना होगा। फिर हम एक कार्य बनाते हैं, जिसमें हम क्रमिक रूप से शामिल करते हैं:

• प्रथम भिन्न के हर से घात सहित सभी गुणनखंड;
• दूसरे अंश के हर में मौजूद सभी कारक, लेकिन जो लिखित उत्पाद में नहीं हैं या उनकी डिग्री पर्याप्त नहीं है;
• तीसरी भिन्न के हर से सभी लुप्त गुणनखंड, इत्यादि।

परिणामी उत्पाद बीजगणितीय भिन्नों का सामान्य हर होगा।

उत्पाद के गुणक के रूप में, हम समस्या की स्थिति में दिए गए भिन्नों के सभी हरों को ले सकते हैं। हालाँकि, परिणामस्वरूप हमें जो गुणक प्राप्त होगा वह अर्थ में NOZ से बहुत दूर होगा और इसका उपयोग तर्कहीन होगा।

उदाहरण 4

भिन्नों 1 x 2 · y , 5 x + 1 और y - 3 x 5 · y का उभयनिष्ठ हर निर्धारित करें।

समाधान

इस मामले में, हमें मूल भिन्नों के हरों का गुणनखंड करने की आवश्यकता नहीं है। इसलिए, हम किसी उत्पाद को संकलित करके एल्गोरिदम लागू करना शुरू करेंगे।

पहले भिन्न के हर से हम गुणनखंड लेते हैं एक्स 2 वाई, दूसरे भिन्न के हर से, गुणनखंड एक्स+1. हमें उत्पाद मिलता है एक्स 2 वाई (एक्स + 1).

तीसरे भिन्न का हर हमें गुणक दे सकता है x 5 वर्षहालाँकि, जिस उत्पाद को हमने पहले संकलित किया था, उसमें पहले से ही कारक मौजूद हैं x2और य. इसलिए, हम और जोड़ते हैं एक्स 5 − 2 = एक्स 3. हमें उत्पाद मिलता है एक्स 2 वाई (एक्स + 1) एक्स 3, जिसे फॉर्म में लाया जा सकता है x 5 y (x + 1). यह बीजीय भिन्नों का हमारा NOZ होगा।

उत्तर:एक्स 5 वाई (एक्स + 1) .

अब उन समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें जहां बीजगणितीय भिन्नों के हर में पूर्णांक संख्यात्मक गुणनखंड होते हैं। ऐसे मामलों में, हम पहले पूर्णांक संख्यात्मक कारकों को अभाज्य कारकों में विघटित करके एल्गोरिदम के अनुसार भी कार्य करते हैं।

उदाहरण 5

भिन्नों 1 12 x और 1 90 x 2 का उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

समाधान

भिन्नों के हरों की संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विस्तारित करने पर, हमें 1 2 2 3 x और 1 2 3 2 5 x 2 प्राप्त होते हैं। अब हम एक सामान्य हर को संकलित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले भिन्न के हर से गुणनफल लेते हैं 2 2 3 एक्सऔर गुणनखंड 3, 5 और जोड़ें एक्सदूसरे भिन्न के हर से. हम पाते हैं 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. यह हमारा सामान्य भाजक है.

उत्तर: 180x2.

यदि आप विश्लेषण किए गए दो उदाहरणों के परिणामों को ध्यान से देखेंगे, तो आप देखेंगे कि भिन्नों के सामान्य हर में वे सभी कारक शामिल होते हैं जो हर के विस्तार में मौजूद होते हैं, और यदि कई हर में एक निश्चित कारक होता है, तो वह है उपलब्ध घातांकों में से सबसे बड़े के साथ लिया गया। और यदि हर में पूर्णांक गुणांक हैं, तो सामान्य हर में इन संख्यात्मक गुणांकों के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर एक संख्यात्मक कारक होता है।

उदाहरण 6

दोनों बीजीय भिन्नों 1 12 x और 1 90 x 2 के हर का एक गुणनखंड होता है एक्स. दूसरे मामले में, x कारक का वर्ग किया जाता है। एक सामान्य हर को संकलित करने के लिए, हमें इस कारक को ध्यान में रखना होगा अधिकांश, अर्थात। x2. चर के साथ कोई अन्य गुणक नहीं हैं। मूल भिन्नों के पूर्णांक संख्यात्मक गुणांक 12 और 90 , और उनका लघुत्तम समापवर्त्य है 180 . यह पता चला है कि वांछित सामान्य विभाजक का रूप है 180x2.

अब हम बीजगणितीय भिन्नों का उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने के लिए एक और एल्गोरिदम लिख सकते हैं। इसके लिए हम:

• सभी भिन्नों के हरों का गुणनखंडन कर सकेंगे;
• हम सभी शाब्दिक कारकों का उत्पाद बनाते हैं (यदि कई विस्तारों में एक कारक है, तो हम उच्चतम घातांक वाला विकल्प लेते हैं);
• परिणामी उत्पाद में विस्तार के संख्यात्मक गुणांक का एलसीएम जोड़ें।

उपरोक्त एल्गोरिदम समतुल्य हैं, इसलिए उनमें से किसी का उपयोग समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है। विवरणों पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है।

ऐसे मामले होते हैं जब भिन्नों के हरों में सामान्य गुणनखंड संख्यात्मक गुणांकों के पीछे अदृश्य हो सकते हैं। यहां यह समीचीन है कि सबसे पहले हर में मौजूद प्रत्येक गुणनखंड में चरों की उच्चतम घातों वाले संख्यात्मक गुणांकों को कोष्ठक से बाहर रखा जाए।

उदाहरण 7

भिन्नों 3 5 - x और 5 - x · y 2 2 · x - 10 का उभयनिष्ठ हर क्या है।

समाधान

पहले मामले में, माइनस वन को कोष्ठक से बाहर निकाला जाना चाहिए। हमें 3 - x - 5 प्राप्त होता है। हम हर में ऋण से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को - 1 से गुणा करते हैं: - 3 x - 5।

दूसरे मामले में, हम ड्यूस को ब्रैकेट से बाहर निकालते हैं। इससे हमें भिन्न 5 - x · y 2 2 · x - 5 प्राप्त होता है।

जाहिर है, इन बीजीय भिन्नों - 3 x - 5 और 5 - x y 2 2 x - 5 का उभयनिष्ठ हर है 2 (एक्स − 5).

उत्तर:2 (एक्स − 5).

भिन्न समस्या स्थिति में डेटा में भिन्नात्मक गुणांक हो सकते हैं। इन मामलों में, आपको सबसे पहले अंश और हर को किसी संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांकों से छुटकारा पाना होगा।

उदाहरण 8

बीजीय भिन्नों 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 और - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 को सरल बनाएं और फिर उनका उभयनिष्ठ हर निर्धारित करें।

समाधान

आइए पहले मामले में अंश और हर को 14 से गुणा करके, दूसरे मामले में 3 से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। हम पाते हैं:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 और - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 = - 6 2 x 2 + 4 = - 6 2 x 2 + 2।

परिवर्तनों के बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि उभयनिष्ठ विभाजक है 2 (एक्स 2 + 2).

उत्तर: 2 (एक्स 2 + 2).

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परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या जिससे संख्याएँ a और b बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं, कहलाती हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर.

आइए संख्या 24 और 35 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें।
24 की भाजक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 होंगी और 35 की भाजक संख्याएँ 1, 5, 7, 35 होंगी।
हम देखते हैं कि संख्या 24 और 35 में केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है सह अभाज्य.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्ययदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) 1 है।

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंड करने पर, हमें प्राप्त होता है:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन कारकों को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं (यानी, दो ड्यूस)।
गुणनखंड 2 * 2 * 3 रहते हैं। उनका गुणनफल 12 है। यह संख्या संख्या 48 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से उन कारकों को हटा दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर.
उदाहरण के लिए, 15, 45, 75, और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है: 45, 75, और 180।

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)

परिभाषा। लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) प्राकृतिक संख्या a और b सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। संख्या 75 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को सरल कारकों में विघटित करते हैं: 75 = 3 * 5 * 5, और 60 = 2 * 2 * 3 * 5।
हम इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखते हैं, और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से गायब कारक 2 और 2 जोड़ते हैं (अर्थात, हम कारकों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2 * 2 * 3 * 5 * 5 मिलते हैं, जिनका गुणनफल 300 है। यह संख्या संख्या 75 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात कीजिए।

को लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिएकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें अभाज्य कारकों में विघटित करें;
2) किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) शेष संख्याओं के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को उनमें जोड़ें;
4) परिणामी कारकों का उत्पाद खोजें।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, 12, 15, 20 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य 60 होगा, क्योंकि यह दी गई सभी संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के मुद्दे का अध्ययन किया। संख्या, योग के बराबरउन्होंने इसके सभी भाजक (संख्या के बिना) को पूर्ण संख्या कहा। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पाँचवाँ - 33 550 336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक वैज्ञानिकों को यह नहीं पता है कि क्या विषम पूर्ण संख्याएं होती हैं, क्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे बाकी प्राकृतिक संख्याएँ निर्मित होती हैं।
आपने शायद देखा होगा कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से होती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनकी संख्या अधिक होती है, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला में जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती जाती हैं। प्रश्न उठता है: क्या अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या मौजूद है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) ने अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, साबित किया कि अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक सम संख्या होती है। अधिक अभाज्य संख्या.
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज़ ने ऐसी विधि निकाली। उन्होंने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिख लिया और फिर इकाई को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही समग्र संख्या, फिर 2 के बाद की सभी संख्याओं को एक से काट दें (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, यानी 4, 6, 8, आदि)। 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद की सभी संख्याएँ काट दी गईं (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, यानी 6, 9, 12, आदि)। अंत में, केवल अभाज्य संख्याएँ ही बिना काट-छाँट के रह गईं।

में वास्तविक जीवनहमें साधारण भिन्नों के साथ काम करने की आवश्यकता है। हालाँकि, भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए विभिन्न भाजक, उदाहरण के लिए, 2/3 और 5/7, हमें एक उभयनिष्ठ हर खोजने की आवश्यकता है। भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाकर, हम आसानी से जोड़ या घटाव संक्रियाएँ कर सकते हैं।

परिभाषा

बुनियादी अंकगणित में भिन्न सबसे कठिन विषयों में से एक हैं, और तर्कसंगत संख्याएँ उन छात्रों के लिए डराने वाली होती हैं जो पहली बार उनका सामना करते हैं। हम दशमलव प्रारूप में लिखी संख्याओं के साथ काम करने के आदी हैं। 5/7 और 4/9 के योग की तुलना में 0.71 और 0.44 को तुरंत जोड़ना बहुत आसान है। वास्तव में, भिन्नों का योग करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए। हालाँकि, अंश अपने दशमलव समकक्षों की तुलना में मात्राओं के अर्थ को अधिक सटीक रूप से दर्शाते हैं, और गणित में, श्रृंखला या अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है। प्राथमिकता. ऐसे कार्य को "अभिव्यक्ति को बंद रूप में कम करना" कहा जाता है।

यदि भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही कारक से गुणा या विभाजित किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। यह सर्वाधिक में से एक है महत्वपूर्ण गुण भिन्नात्मक संख्याएँ. उदाहरण के लिए, भिन्न 3/4 को दशमलव रूप में 0.75 लिखा जाता है। यदि हम अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्न 9/12 मिलता है, जो बिल्कुल 0.75 के समान है। इस संपत्ति के लिए धन्यवाद, हम गुणा कर सकते हैं अलग-अलग अंशताकि उन सभी का हर एक ही हो। इसे कैसे करना है?

एक सामान्य भाजक ढूँढना

लघुत्तम समापवर्तक (LCD) किसी अभिव्यक्ति के सभी हरों का लघुत्तम समापवर्त्य है। ऐसी संख्या हम तीन प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं।

अधिकतम हर का उपयोग करना

आईसीडी खोजने के लिए यह सबसे सरल, लेकिन समय लेने वाली विधियों में से एक है। सबसे पहले, हम सभी भिन्नों के हरों में से सबसे बड़ी संख्या लिखते हैं और छोटी संख्याओं से इसकी विभाज्यता की जाँच करते हैं। यदि विभाज्य है, तो सबसे बड़ा हर NOZ है।

यदि पिछले ऑपरेशन में संख्याएँ शेषफल से विभाज्य हैं, तो आपको उनमें से सबसे बड़ी संख्या को 2 से गुणा करना होगा और विभाज्यता जाँच को दोहराना होगा। यदि इसे बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाए तो नया गुणांक NOZ बन जाता है।

यदि नहीं, तो सबसे बड़े हर को 3, 4, 5 और इसी तरह से गुणा किया जाता है, जब तक कि सभी भिन्नों के निचले भाग के लिए सबसे कम सामान्य गुणक नहीं मिल जाता। व्यवहार में ऐसा दिखता है.

मान लीजिए कि हमारे पास भिन्न 1/5, 1/8 और 1/20 हैं। हम 5 और 8 की विभाज्यता के लिए 20 की जाँच करते हैं। 20, 8 से विभाज्य नहीं है। हम 20 को 2 से गुणा करते हैं। हम 5 और 8 की विभाज्यता के लिए 40 की जाँच करते हैं। संख्याएँ शेषफल के बिना विभाज्य हैं, इसलिए NOZ (1/5, 1/) 8 और 1/20) = 40, और भिन्न 8/40, 5/40 और 2/40 में बदल जाते हैं।

गुणजों की अनुक्रमिक गणना

दूसरा तरीका गुणजों की सरल गणना करना और उनमें से सबसे छोटे को चुनना है। गुणज ज्ञात करने के लिए, हम संख्या को 2, 3, 4, इत्यादि से गुणा करते हैं, इसलिए गुणजों की संख्या अनंत हो जाती है। आप इस क्रम को एक सीमा तक सीमित कर सकते हैं, जो दी गई संख्याओं का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, संख्या 12 और 20 के लिए, एनओसी इस प्रकार है:

• वे संख्याएँ लिखें जो 12 के गुणज हों - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
• ऐसी संख्याएँ लिखें जो 20 - 40, 60, 80, 100, 120 के गुणज हों;
• सामान्य गुणज निर्धारित करें - 60, 120;
• उनमें से सबसे छोटा चुनें - 60.

इस प्रकार, 1/12 और 1/20 के लिए, उभयनिष्ठ हर 60 होगा, और भिन्नों को 5/60 और 3/60 में बदल दिया जाता है।

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

एनओसी खोजने का यह तरीका सबसे अधिक प्रासंगिक है। यह विधिइसका तात्पर्य भिन्नों के निचले भागों से सभी संख्याओं के अविभाज्य गुणनखंडों में विस्तार से है। उसके बाद, एक संख्या संकलित की जाती है जिसमें सभी हर के गुणनखंड शामिल होते हैं। व्यवहार में, यह इस तरह काम करता है। 12 और 20 की समान जोड़ी के लिए LCM ज्ञात करें:

• गुणनखंडन 12 - 2 × 2 × 3;
• लेआउट 20 - 2 × 2 × 5;
• हम गुणनखंडों को इस प्रकार जोड़ते हैं कि उनमें संख्याएँ और 12 और 20 - 2 × 2 × 3 × 5 शामिल हों;
• अविभाज्य को गुणा करें और परिणाम प्राप्त करें - 60।

तीसरे पैराग्राफ में, हम बिना दोहराव के कारकों को जोड़ते हैं, यानी, दो दो एक ट्रिपल के साथ संयोजन में 12 और पांच के साथ 20 बनाने के लिए पर्याप्त हैं।

हमारा कैलकुलेटर आपको सामान्य और दशमलव दोनों रूपों में लिखी गई भिन्नों की मनमानी संख्या के लिए NOZ निर्धारित करने की अनुमति देता है। NOZ की खोज करने के लिए, आपको बस टैब या अल्पविराम द्वारा अलग किए गए मान दर्ज करने होंगे, जिसके बाद प्रोग्राम सामान्य हर की गणना करेगा और परिवर्तित अंश प्रदर्शित करेगा।

वास्तविक जीवन का उदाहरण

भिन्नों का योग

मान लीजिए अंकगणित की समस्या में हमें पाँच भिन्न जोड़ने की आवश्यकता है:

0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20

मैन्युअल समाधान निम्नलिखित तरीके से किया जाएगा. आरंभ करने के लिए, हमें संख्याओं को एक प्रकार के संकेतन में प्रस्तुत करना होगा:

• 0,75 = 75/100 = 3/4;
• 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.

अब हमारे पास साधारण भिन्नों की एक श्रृंखला है जिन्हें एक ही हर में घटाने की आवश्यकता है:

3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20

चूंकि हमारे पास 5 शब्द हैं, इसलिए सबसे आसान तरीका NOZ को खोजने के तरीके का उपयोग करना है सबसे बड़ी संख्या. हम अन्य संख्याओं से विभाज्यता के लिए 20 की जाँच करते हैं। 20 शेषफल के बिना 8 से विभाज्य नहीं है। हम 20 को 2 से गुणा करते हैं, विभाज्यता के लिए 40 की जाँच करते हैं - सभी संख्याएँ 40 को पूरी तरह से विभाजित करती हैं। यह हमारा सामान्य भाजक है. अब, तर्कसंगत संख्याओं का योग करने के लिए, हमें प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक निर्धारित करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम और हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेंगे:

• 40/4 = 10;
• 40/5 = 8;
• 40/8 = 5;
• 40/4 = 10;
• 40/20 = 2.

अब हम भिन्नों के अंश और हर को संगत अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं:

30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40

ऐसे व्यंजक के लिए, हम आसानी से 85/40, या 2 पूर्णांक और 1/8 के बराबर योग निर्धारित कर सकते हैं। ये बोझिल गणनाएँ हैं, इसलिए आप आसानी से कार्य डेटा को कैलकुलेटर फॉर्म में दर्ज कर सकते हैं और तुरंत उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

निष्कर्ष

भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ बहुत सुविधाजनक चीज़ नहीं हैं, क्योंकि उत्तर खोजने के लिए, आपको बहुत सारी मध्यवर्ती गणनाएँ करनी पड़ती हैं। भिन्नों को एक सामान्य हर तक कम करने के लिए हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करें त्वरित निर्णयस्कूल के कार्य.