संभाव्यता सिद्धांत का अध्ययन क्या है? संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करती है: यादृच्छिक घटनाएँ, यादृच्छिक चर, उनके गुण और उन पर संचालन।

कब कासंभाव्यता के सिद्धांत की स्पष्ट परिभाषा नहीं थी। यह केवल 1929 में तैयार किया गया था। एक विज्ञान के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के उद्भव का श्रेय मध्य युग और गणितीय विश्लेषण के पहले प्रयासों को दिया जाता है जुआ(टॉस, पासा, रूले)। 17वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल और पियरे डी फर्मेट ने जुए में जीत की भविष्यवाणी का अध्ययन करते समय पासा फेंकने पर उत्पन्न होने वाले पहले संभाव्य पैटर्न की खोज की।

संभाव्यता का सिद्धांत एक विज्ञान के रूप में इस विश्वास से उत्पन्न हुआ कि कुछ नियमितताएं बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं को रेखांकित करती हैं। संभाव्यता सिद्धांत इन पैटर्नों का अध्ययन करता है।

संभाव्यता सिद्धांत उन घटनाओं के अध्ययन से संबंधित है, जिनकी घटना निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है। यह आपको दूसरों की तुलना में कुछ घटनाओं के होने की संभावना की डिग्री का न्याय करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए: एक सिक्के को उछालने के परिणामस्वरूप "सिर" या "पूंछ" के नुकसान के परिणाम को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना असंभव है, लेकिन कई उछाल के साथ, लगभग वही संख्याहेड और टेल, जिसका मतलब है कि हेड या टेल आने की 50% संभावना है।

परीक्षाइस मामले में, शर्तों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन को कहा जाता है, अर्थात, इस मामले में, एक सिक्के को उछाला जाता है। चुनौती को असीमित बार खेला जा सकता है। इस मामले में, स्थितियों के परिसर में यादृच्छिक कारक शामिल हैं।

परीक्षा परिणाम है आयोजन. घटना होती है:

1. विश्वसनीय (हमेशा परीक्षण के परिणामस्वरूप होता है)।
2. असंभव (कभी नहीं होता)।
3. यादृच्छिक (परीक्षण के परिणामस्वरूप हो सकता है या नहीं भी हो सकता है)।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालते समय, एक असंभव घटना - सिक्का किनारे पर खत्म हो जाएगा, एक यादृच्छिक घटना - "सिर" या "पूंछ" का नुकसान। विशिष्ट परीक्षा परिणाम कहा जाता है प्राथमिक घटना. परीक्षण के परिणामस्वरूप, केवल प्राथमिक घटनाएं घटित होती हैं। सभी संभावित, भिन्न, विशिष्ट परीक्षण परिणामों की समग्रता कहलाती है प्राथमिक घटना स्थान.

सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

संभावना- घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री। जब किसी संभावित घटना के वास्तव में घटित होने के कारण विपरीत कारणों से अधिक हो जाते हैं, तो इस घटना को संभावित कहा जाता है अन्यथा- असंभव या असंभव।

यादृच्छिक मूल्य- यह एक ऐसा मूल्य है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक या दूसरा मान ले सकता है, और यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा है। उदाहरण के लिए: प्रति दिन फायर स्टेशनों की संख्या, 10 शॉट्स के हिट की संख्या आदि।

यादृच्छिक चर को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

1. असतत यादृच्छिक चरऐसी मात्रा को कहा जाता है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक निश्चित संभाव्यता के साथ कुछ मान ले सकता है, एक गणनीय सेट (एक सेट जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है) का निर्माण करता है। यह समुच्चय या तो परिमित या अपरिमित हो सकता है। उदाहरण के लिए, लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या असतत यादृच्छिक चर है, क्योंकि यह मान असीमित हो सकता है, हालांकि गणनीय, मानों की संख्या।
2. सतत यादृच्छिक चरएक मात्रा है जो किसी परिमित या अनंत अंतराल से कोई भी मान ले सकती है। जाहिर है, निरंतर यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है।

संभावना स्थान- ए.एन. द्वारा पेश की गई अवधारणा। 1930 के दशक में कोल्मोगोरोव द्वारा संभाव्यता की अवधारणा को औपचारिक रूप देने के लिए, जिसने एक कठोर गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के तेजी से विकास को जन्म दिया।

प्रायिकता स्थान एक ट्रिपल है (कभी-कभी कोण कोष्ठक में बनाया गया है: , जहाँ

यह एक मनमाना सेट है, जिसके तत्वों को प्रारंभिक घटनाएँ, परिणाम या बिंदु कहा जाता है;
- उपसमुच्चय के सिग्मा-बीजगणित जिसे (यादृच्छिक) घटनाएँ कहा जाता है;
- संभाव्य माप या संभाव्यता, अर्थात। सिग्मा-योगात्मक परिमित माप ऐसे कि .

डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय- 1812 में लाप्लास द्वारा स्थापित संभाव्यता सिद्धांत के सीमित प्रमेयों में से एक। वह बताती हैं कि दो संभावित परिणामों के साथ एक ही यादृच्छिक प्रयोग को दोहराने में सफलताओं की संख्या लगभग सामान्य रूप से वितरित होती है। यह आपको संभावना का अनुमानित मूल्य खोजने की अनुमति देता है।

यदि, प्रत्येक स्वतंत्र परीक्षण के लिए, किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की प्रायिकता () के बराबर है और उन परीक्षणों की संख्या है जिनमें यह वास्तव में होता है, तो असमानता की वैधता की संभावना (बड़े के लिए) के करीब है लाप्लास अभिन्न का मूल्य।

संभाव्यता सिद्धांत में वितरण समारोह- एक यादृच्छिक चर या एक यादृच्छिक वेक्टर के वितरण को चिह्नित करने वाला एक फ़ंक्शन; प्रायिकता कि एक यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर होगा, जहाँ x एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है। कुछ शर्तों के तहत, यह पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर निर्धारित करता है।

अपेक्षित मूल्य- एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य (यह एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है)। अंग्रेजी साहित्य में, इसे रूसी में - द्वारा निरूपित किया जाता है। आँकड़ों में, संकेतन का उपयोग अक्सर किया जाता है।

एक संभाव्यता स्थान और उस पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर दिया जाए। यह, परिभाषा के अनुसार, एक औसत दर्जे का कार्य है। फिर, यदि अंतरिक्ष के ऊपर एक लेबेस्ग इंटीग्रल है, तो इसे गणितीय अपेक्षा, या माध्य मान कहा जाता है, और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर का प्रसरण- किसी दिए गए यादृच्छिक चर के प्रसार का माप, अर्थात गणितीय अपेक्षा से इसका विचलन। रूसी साहित्य और विदेशी में नामित। आंकड़ों में, पदनाम या अक्सर प्रयोग किया जाता है। वर्गमूलप्रसरण के मानक विचलन, मानक विचलन, या मानक प्रसार कहा जाता है।

कुछ संभाव्यता स्थान पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर होने दें। तब

जहां प्रतीक का अर्थ है अपेक्षित मूल्य.

संभाव्यता सिद्धांत में, दो यादृच्छिक घटनाओं को कहा जाता है स्वतंत्रयदि उनमें से एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की संभावना नहीं बदलती है। इसी प्रकार, दो यादृच्छिक चर कहलाते हैं आश्रितयदि उनमें से एक का मान दूसरे के मूल्यों की संभावना को प्रभावित करता है।

कानून का सबसे सरल रूप बड़ी संख्या- यह बर्नौली का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि यदि किसी घटना की संभावना सभी परीक्षणों में समान है, तो परीक्षणों की संख्या में वृद्धि के साथ, घटना की आवृत्ति घटना की संभावना की ओर झुक जाती है और यादृच्छिक होना बंद हो जाती है।

संभाव्यता सिद्धांत में बड़ी संख्या का नियम कहता है कि एक निश्चित वितरण से परिमित नमूने का अंकगणितीय माध्य उस वितरण की सैद्धांतिक माध्य अपेक्षा के करीब है। अभिसरण के प्रकार के आधार पर, संभाव्यता में अभिसरण होने पर बड़ी संख्या का एक कमजोर कानून प्रतिष्ठित होता है, और बड़ी संख्या का एक मजबूत कानून, जब अभिसरण लगभग निश्चित रूप से होता है।

बड़ी संख्या के नियम का सामान्य अर्थ - संयुक्त क्रिया एक लंबी संख्यासमान और स्वतंत्र यादृच्छिक कारक एक परिणाम की ओर ले जाते हैं जो सीमा में मामले पर निर्भर नहीं करता है।

परिमित नमूने के विश्लेषण के आधार पर संभाव्यता का आकलन करने के तरीके इस संपत्ति पर आधारित हैं। एक अच्छा उदाहरण मतदाताओं के एक नमूने के सर्वेक्षण के आधार पर चुनाव परिणामों की भविष्यवाणी है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय- संभाव्यता सिद्धांत में प्रमेय का एक वर्ग जो बताता है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में कमजोर आश्रित यादृच्छिक चर का योग लगभग समान पैमाने पर होता है (कोई भी शब्द हावी नहीं होता है, योग में निर्णायक योगदान नहीं करता है) का वितरण करीब है सामान्य।

चूंकि अनुप्रयोगों में कई यादृच्छिक चर कई कमजोर निर्भर यादृच्छिक कारकों के प्रभाव में बनते हैं, इसलिए उनका वितरण सामान्य माना जाता है। इस मामले में, शर्त देखी जानी चाहिए कि कोई भी कारक प्रमुख नहीं है। इन मामलों में केंद्रीय सीमा प्रमेय सामान्य वितरण के आवेदन को सही ठहराते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत का उद्भव संदर्भित करता है मध्य सत्रहवाँसदी, जब गणितज्ञ जुआरियों द्वारा पेश की गई समस्याओं में दिलचस्पी लेने लगे और अभी भी गणित में अध्ययन नहीं किया। इन समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, संभाव्यता और गणितीय अपेक्षा जैसी अवधारणाएँ क्रिस्टलीकृत हुईं। उसी समय, उस समय के वैज्ञानिक - ह्यूजेंस (1629-1695), पास्कल (1623-1662), फ़र्मेट (1601-1665) और बर्नौली (1654-1705) आश्वस्त थे कि बड़े पैमाने पर यादृच्छिक के आधार पर स्पष्ट पैटर्न उत्पन्न हो सकते हैं। आयोजन। और केवल प्राकृतिक विज्ञान की स्थिति ने इस तथ्य को जन्म दिया कि लंबे समय तक जुआ लगभग एकमात्र ठोस सामग्री बनी रही जिसके आधार पर संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाएं और तरीके बनाए गए थे। इस परिस्थिति ने औपचारिक गणितीय उपकरण पर भी एक छाप छोड़ी जिसके द्वारा संभाव्यता सिद्धांत में उत्पन्न होने वाली समस्याओं को हल किया गया: यह विशेष रूप से प्रारंभिक अंकगणितीय और संयोजी विधियों तक सीमित हो गया था।

प्राकृतिक विज्ञान और सामाजिक अभ्यास (अवलोकन संबंधी त्रुटियों का सिद्धांत, शूटिंग के सिद्धांत की समस्याएं, सांख्यिकी की समस्याएं, मुख्य रूप से जनसंख्या सांख्यिकी) की गंभीर मांगों ने संभाव्यता सिद्धांत के और विकास और एक अधिक विकसित विश्लेषणात्मक तंत्र की भागीदारी की आवश्यकता को जन्म दिया। डी मोइवर (1667-1754), लाप्लास (1749-1827), गॉस (1777-1855), पॉइसन (1781-1840) ने संभाव्यता सिद्धांत के विश्लेषणात्मक तरीकों के विकास में विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। औपचारिक विश्लेषणात्मक पक्ष से, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के निर्माता लोबाचेव्स्की (1792-1856) का काम इस दिशा से जुड़ा हुआ है, जो एक गोले पर माप में त्रुटियों के सिद्धांत को समर्पित है और एक ज्यामितीय प्रणाली की स्थापना के उद्देश्य से किया गया है जो हावी है जगत।

संभाव्यता सिद्धांत, गणित की अन्य शाखाओं की तरह, अभ्यास की जरूरतों से विकसित हुआ है: एक अमूर्त रूप में, यह सामूहिक प्रकृति की यादृच्छिक घटनाओं में निहित पैटर्न को दर्शाता है। ये पैटर्न विशेष रूप से खेलते हैं महत्वपूर्ण भूमिकाभौतिकी और प्राकृतिक विज्ञान के अन्य क्षेत्रों, विभिन्न तकनीकी विषयों, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र और जीव विज्ञान में। बड़े पैमाने पर उत्पादों का उत्पादन करने वाले उद्यमों के व्यापक विकास के संबंध में, संभाव्यता के सिद्धांत के परिणामों का उपयोग न केवल पहले से निर्मित उत्पादों की अस्वीकृति के लिए किया जाने लगा, बल्कि स्वयं उत्पादन प्रक्रिया (उत्पादन में सांख्यिकीय नियंत्रण) को व्यवस्थित करने के लिए भी किया जाने लगा।

संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

संभाव्यता सिद्धांत उन विभिन्न प्रतिमानों की व्याख्या और अन्वेषण करता है जिनके लिए यादृच्छिक घटनाएं और यादृच्छिक चर विषय हैं। आयोजनकोई तथ्य है जिसे अवलोकन या अनुभव से पता लगाया जा सकता है। अवलोकन या अनुभव कुछ स्थितियों का बोध है जिसके तहत कोई घटना घटित हो सकती है।

अनुभव का अर्थ है कि परिस्थितियों का उपरोक्त परिसर होशपूर्वक बनाया गया है। अवलोकन के दौरान, अवलोकन परिसर ही इन स्थितियों को नहीं बनाता है और इसे प्रभावित नहीं करता है। यह या तो प्रकृति की शक्तियों द्वारा या अन्य लोगों द्वारा बनाया गया है।

घटनाओं की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है

सभी घटनाएँ जिन्हें लोग स्वयं देखते हैं या बनाते हैं, उन्हें इसमें विभाजित किया गया है:

• विश्वसनीय घटनाएँ;
• असंभव घटनाएँ;
• यादृच्छिक घटनाएँ।

विश्वसनीय घटनाएँहमेशा तब आते हैं जब परिस्थितियों का एक निश्चित समूह निर्मित होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम काम करते हैं, तो हमें इसके लिए पारिश्रमिक मिलता है, यदि हमने परीक्षा उत्तीर्ण की है और प्रतियोगिता में उत्तीर्ण हुए हैं, तो हम छात्रों की संख्या में शामिल होने पर भरोसा कर सकते हैं। भौतिकी और रसायन विज्ञान में विश्वसनीय घटनाओं को देखा जा सकता है। अर्थशास्त्र में, कुछ घटनाएँ मौजूदा सामाजिक संरचना और कानून से जुड़ी होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमने जमा राशि के लिए बैंक में धन का निवेश किया है और एक निश्चित अवधि के भीतर इसे प्राप्त करने की इच्छा व्यक्त की है, तो हमें धन प्राप्त होगा। इसे एक विश्वसनीय घटना के रूप में गिना जा सकता है।

असंभव घटनाएँ यदि शर्तों का एक निश्चित सेट बनाया गया है तो निश्चित रूप से नहीं होता है। उदाहरण के लिए, तापमान 15 डिग्री सेल्सियस से अधिक होने पर पानी जमता नहीं है, बिजली के बिना उत्पादन नहीं किया जाता है।

यादृच्छिक घटनाएँ जब शर्तों का एक निश्चित सेट महसूस किया जाता है, तो वे हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम एक बार एक सिक्का उछालते हैं, तो हथियारों का कोट उसके अनुसार गिर भी सकता है और नहीं भी लॉटरी टिकटआप जीत सकते हैं, या आप जीत नहीं सकते, निर्मित उत्पाद उपयुक्त हो सकता है, या यह दोषपूर्ण हो सकता है। एक दोषपूर्ण उत्पाद की उपस्थिति एक यादृच्छिक घटना है, जो अच्छे उत्पादों के उत्पादन से अधिक दुर्लभ है।

यादृच्छिक घटनाओं की घटना की अपेक्षित आवृत्ति संभाव्यता की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। यादृच्छिक घटनाओं के होने और न होने के पैटर्न का अध्ययन संभाव्यता के सिद्धांत द्वारा किया जाता है।

यदि जटिल आवश्यक शर्तेंकेवल एक बार लागू किया जाता है, तो हमें यादृच्छिक घटना के बारे में अपर्याप्त जानकारी मिलती है, क्योंकि यह घटित हो भी सकती है और नहीं भी। यदि शर्तों का एक सेट कई बार लागू किया जाता है, तो कुछ नियमितताएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए, यह जानना कभी संभव नहीं है कि स्टोर में कौन सी कॉफी मशीन को अगले ग्राहक की आवश्यकता होगी, लेकिन यदि ब्रांड लंबे समय से सबसे अधिक मांग में हैं कॉफी मशीनें, तो इस डेटा के आधार पर मांग को पूरा करने के लिए उत्पादन या आपूर्ति को व्यवस्थित करना संभव है।

बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं को नियंत्रित करने वाले पैटर्न को जानने से यह अनुमान लगाना संभव हो जाता है कि ये घटनाएँ कब घटित होंगी। उदाहरण के लिए, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक सिक्के को उछालने के परिणाम का पहले से अनुमान लगाना असंभव है, लेकिन यदि एक सिक्का कई बार फेंका जाता है, तो हथियारों के कोट के नुकसान की भविष्यवाणी करना संभव है। त्रुटि छोटी हो सकती है।

संभाव्यता सिद्धांत विधियों का व्यापक रूप से प्राकृतिक विज्ञान, सैद्धांतिक भौतिकी, भूगणित, खगोल विज्ञान, स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, त्रुटि अवलोकन सिद्धांत, और कई अन्य सैद्धांतिक और व्यावहारिक विज्ञानों की विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत का व्यापक रूप से उत्पादन की योजना और संगठन, उत्पाद की गुणवत्ता के विश्लेषण, विश्लेषण में उपयोग किया जाता है तकनीकी प्रक्रियाएं, बीमा, जनसंख्या सांख्यिकी, जीव विज्ञान, बैलिस्टिक और अन्य उद्योग।

यादृच्छिक घटनाओं को आमतौर पर बड़े अक्षरों में दर्शाया जाता है। लैटिन वर्णमालाए, बी, सी, आदि।

यादृच्छिक घटनाएं हो सकती हैं:

• असंगत;
• संयुक्त।

घटनाएँ A, B, C... कहलाती हैं असंगत यदि, एक परीक्षण के परिणामस्वरूप, इनमें से एक घटना घटित हो सकती है, लेकिन दो या अधिक घटनाओं का घटित होना असंभव है।

यदि एक यादृच्छिक घटना का घटित होना दूसरी घटना के घटित होने को बाहर नहीं करता है, तो ऐसी घटनाओं को कहा जाता है संयुक्त . उदाहरण के लिए, यदि अन्य भाग को कन्वेयर बेल्ट से हटा दिया जाता है और घटना A का अर्थ है "भाग मानक को पूरा करता है", और घटना B का अर्थ है "भाग मानक को पूरा नहीं करता", तो A और B असंगत घटनाएँ हैं। यदि घटना C का अर्थ है "ग्रेड II भाग लिया", तो यह घटना घटना A के साथ है, लेकिन घटना B के साथ नहीं है।

यदि प्रत्येक अवलोकन (परीक्षण) में एक और केवल एक असंगत यादृच्छिक घटना घटित होनी चाहिए, तो ये घटनाएँ हैं घटनाओं का पूरा सेट (सिस्टम)। .

एक निश्चित घटना घटनाओं के पूर्ण सेट से कम से कम एक घटना का घटित होना है।

यदि वे घटनाएँ जो घटनाओं का पूरा सेट बनाती हैं जोड़ीदार असंगत , तब इनमें से केवल एक ही घटना अवलोकन के परिणामस्वरूप घटित हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक छात्र को दो टेस्ट हल करने होते हैं। निम्नलिखित घटनाओं में से केवल एक ही निश्चित रूप से घटित होगी:

• पहला कार्य हल हो जाएगा और दूसरा कार्य हल नहीं होगा;
• दूसरा कार्य हल हो जाएगा और पहला कार्य हल नहीं होगा;
• दोनों कार्य हल हो जाएंगे;
• किसी भी समस्या का समाधान नहीं होगा।

ये घटनाएँ बनती हैं असंगत घटनाओं का पूरा सेट .

यदि घटनाओं के पूर्ण सेट में केवल दो असंगत घटनाएँ हों, तो उन्हें कहा जाता है परस्पर विपरीत या विकल्प आयोजन।

घटना के विपरीत घटना को द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्के के एकल टॉस के मामले में, एक मूल्यवर्ग () या हथियारों का कोट () गिर सकता है।

घटनाएँ कहलाती हैं समान रूप से संभव यदि उनमें से किसी का भी वस्तुनिष्ठ लाभ नहीं है। इस तरह के आयोजन भी घटनाओं का एक पूरा सेट बनाते हैं। इसका मतलब यह है कि समान रूप से संभावित घटनाओं में से कम से कम एक निश्चित रूप से अवलोकन या परीक्षण के परिणामस्वरूप घटित होनी चाहिए।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के के एक टॉस के दौरान मूल्यवर्ग और हथियारों के कोट के नुकसान से घटनाओं का एक पूरा समूह बनता है, पाठ के एक मुद्रित पृष्ठ पर 0, 1, 2, 3 और 3 से अधिक त्रुटियों की उपस्थिति।

संभावनाओं की परिभाषाएँ और गुण

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा।अवसर या अनुकूल मामले को उस मामले को कहा जाता है, जब घटना की परिस्थितियों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन में एहो रहे हैं। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में अनुकूल मामलों या अवसरों की संख्या की सीधे गणना करना शामिल है।

शास्त्रीय और सांख्यिकीय संभावनाएं। संभाव्यता सूत्र: शास्त्रीय और सांख्यिकीय

किसी घटना की संभावना एइस घटना के अनुकूल अवसरों की संख्या के अनुपात को सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या कहा जाता है एनजो एक परीक्षण या अवलोकन के परिणामस्वरूप हो सकता है। संभावना सूत्र आयोजन ए:

यदि यह पूरी तरह स्पष्ट है कि किस घटना की प्रायिकता प्रश्न में है, तो प्रायिकता को एक छोटे अक्षर से निरूपित किया जाता है पी, ईवेंट पदनाम निर्दिष्ट किए बिना।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार संभाव्यता की गणना करने के लिए, सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या का पता लगाना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से कितने घटना की परिभाषा के लिए अनुकूल हैं। ए.

उदाहरण 1फेंकने के परिणामस्वरूप 5 अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए पासा.

समाधान। हम जानते हैं कि सभी छह चेहरों के शीर्ष पर होने की समान संभावना है। संख्या 5 केवल एक तरफ अंकित है। सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या 6 है, जिनमें से संख्या 5 के घटित होने का केवल एक अनुकूल अवसर है ( एम= 1)। इसका मतलब है कि संख्या 5 के गिरने की वांछित संभावना

उदाहरण 2एक बॉक्स में एक ही आकार की 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं। एक गेंद बिना देखे ली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लाल गेंद ली गई है।

समाधान। वांछित संभावना

खुद संभावनाएं तलाशें और फिर समाधान देखें

उदाहरण 3एक पासा फेंका जाता है। आयोजन बी- एक सम संख्या गिराना। इस घटना की संभावना की गणना करें।

उदाहरण 5एक कलश में 5 सफेद और 7 काली गेंदें हैं। 1 गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। आयोजन ए- एक सफेद गेंद निकाली जाती है। आयोजन बी- एक काली गेंद निकाली जाती है। इन घटनाओं की संभावनाओं की गणना करें।

शास्त्रीय संभाव्यता को पूर्व संभाव्यता भी कहा जाता है, क्योंकि इसकी गणना परीक्षण या अवलोकन की शुरुआत से पहले की जाती है। शास्त्रीय संभाव्यता की एक प्राथमिक प्रकृति इसका मुख्य दोष दर्शाती है: केवल दुर्लभ मामलों में, अवलोकन की शुरुआत से पहले ही, अनुकूल घटनाओं सहित सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की गणना करना संभव है। ऐसे अवसर आमतौर पर खेलों से संबंधित स्थितियों में उत्पन्न होते हैं।

संयोजन।यदि घटनाओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, तो संभावित घटनाओं की संख्या की गणना संयोजनों की संख्या के रूप में की जाती है:

उदाहरण 6एक समूह में 30 छात्र हैं। तीन छात्रों को कंप्यूटर विज्ञान विभाग में जाना चाहिए और एक कंप्यूटर और एक प्रोजेक्टर लेना चाहिए। संभावना की गणना करें कि तीन विशिष्ट छात्र ऐसा करेंगे।

समाधान। सूत्र (2) का उपयोग करके संभावित घटनाओं की संख्या की गणना की जाती है:

संभावना है कि तीन विशिष्ट छात्र विभाग में जाएंगे:

उदाहरण 7बिके 10 मोबाइल फोन. इनमें से 3 में खामियां हैं। खरीदार ने 2 फोन चुने। संभावना की गणना करें कि दोनों चयनित फोन दोषपूर्ण होंगे।

समाधान। सभी समान रूप से संभावित घटनाओं की संख्या सूत्र (2) द्वारा पाई जाती है:

उसी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम घटना के अनुकूल अवसरों की संख्या पाते हैं:

वांछित संभावना है कि दोनों चयनित फोन दोषपूर्ण होंगे।

वास्तविकता में या हमारी कल्पना में घटित होने वाली घटनाओं को 3 समूहों में विभाजित किया जा सकता है। ये कुछ ऐसी घटनाएँ हैं जो निश्चित रूप से घटित होंगी, असंभव घटनाएँ और यादृच्छिक घटनाएँ। संभाव्यता सिद्धांत यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है, अर्थात ऐसी घटनाएँ जो घटित हो भी सकती हैं और नहीं भी। में यह लेख प्रस्तुत किया जाएगा सारांशप्रायिकता के सूत्र का सिद्धांत और संभाव्यता के सिद्धांत में समस्याओं को हल करने के उदाहरण, जो गणित (प्रोफाइल स्तर) में परीक्षा के चौथे कार्य में होंगे।

हमें संभाव्यता के सिद्धांत की आवश्यकता क्यों है

ऐतिहासिक रूप से, इन समस्याओं का अध्ययन करने की आवश्यकता 17वीं शताब्दी में जुए के विकास और व्यावसायीकरण और कैसीनो के उद्भव के संबंध में उठी। यह एक वास्तविक घटना थी जिसके लिए इसके अध्ययन और शोध की आवश्यकता थी।

ताश, पासा, रूले ने ऐसी परिस्थितियाँ पैदा कीं जहाँ समान रूप से संभावित घटनाओं की कोई भी सीमित संख्या हो सकती है। किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक अनुमान देने की आवश्यकता थी।

20वीं शताब्दी में, यह स्पष्ट हो गया कि यह प्रतीत होता है तुच्छ विज्ञान सूक्ष्म जगत में होने वाली मूलभूत प्रक्रियाओं को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। बनाया गया था आधुनिक सिद्धांतसंभावनाएं।

संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन का उद्देश्य घटनाएं और उनकी संभावनाएं हैं। यदि घटना जटिल है, तो इसे सरल घटकों में तोड़ा जा सकता है, जिसकी संभावना आसानी से खोजी जा सकती है।

घटनाओं ए और बी के योग को घटना सी कहा जाता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि या तो घटना ए, या घटना बी, या घटना ए और बी एक ही समय में हुई थी।

घटनाओं ए और बी का उत्पाद घटना सी है, जिसमें इस तथ्य को समाहित किया गया है कि घटना ए और घटना बी दोनों हुई हैं।

घटनाएँ A और B को असंगत कहा जाता है यदि वे एक ही समय में नहीं हो सकती हैं।

एक घटना A को असंभव कहा जाता है यदि ऐसा नहीं हो सकता। इस तरह की घटना को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक घटना A को निश्चित कहा जाता है यदि यह निश्चित रूप से घटित होगी। इस तरह की घटना को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।

मान लीजिए कि प्रत्येक घटना A को एक संख्या P(A) दी गई है। इस संख्या P(A) को घटना A की प्रायिकता कहा जाता है यदि निम्नलिखित शर्तें इस तरह के पत्राचार से संतुष्ट होती हैं।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला वह स्थिति है जब समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम होते हैं, और इन परिणामों की मनमानी घटना ए बनाती है। इस मामले में, संभावना को सूत्र द्वारा पेश किया जा सकता है। इस तरह से पेश की गई संभावना को शास्त्रीय संभावना कहा जाता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि इस मामले में गुण 1-4 मान्य हैं।

संभाव्यता के सिद्धांत में समस्याएं, जो गणित की परीक्षा में पाई जाती हैं, मुख्य रूप से शास्त्रीय संभाव्यता से संबंधित हैं। ऐसे कार्य बहुत सरल हो सकते हैं। संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रूप से सरल समस्याएं हैं डेमो संस्करण. अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करना आसान है, सभी परिणामों की संख्या सीधे स्थिति में लिखी जाती है।

हमें सूत्र के अनुसार उत्तर मिलता है।

संभाव्यता निर्धारित करने के लिए गणित में परीक्षा से एक कार्य का एक उदाहरण

मेज पर 20 पाई हैं - 5 गोभी के साथ, 7 सेब के साथ और 8 चावल के साथ। मरीना पाई लेना चाहती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह चावल की टिकिया लेगी?

समाधान।

कुल मिलाकर 20 परिवर्तनीय प्राथमिक परिणाम हैं, यानी मरीना 20 पाई में से कोई भी ले सकती है। लेकिन हमें इस संभावना का अनुमान लगाने की जरूरत है कि मरीना चावल की पैटी लेगी, यानी जहां ए चावल की पैटी का विकल्प है। इसका मतलब है कि हमारे पास कुल 8 अनुकूल परिणाम हैं (चावल की कचौड़ी चुनना)। फिर संभावना सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी:

स्वतंत्र, विपरीत और मनमाना घटनाक्रम

हालाँकि, में खुला जारकार्य अधिक से अधिक होने लगे कठिन कार्य. इसलिए, आइए संभाव्यता सिद्धांत में अध्ययन किए गए अन्य प्रश्नों पर पाठक का ध्यान आकर्षित करें।

ईवेंट ए और बी को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से प्रत्येक की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि अन्य घटना घटित हुई है या नहीं।

घटना बी में यह तथ्य शामिल है कि घटना ए घटित नहीं हुई, अर्थात घटना B, घटना A के विपरीत है। विपरीत घटना की प्रायिकता प्रत्यक्ष घटना की प्रायिकता घटाकर एक के बराबर होती है, अर्थात .

जोड़ और गुणन प्रमेय, सूत्र

मनमाने ढंग से होने वाली घटनाओं ए और बी के लिए, इन घटनाओं के योग की संभावना उनकी संयुक्त घटना की संभावना के बिना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है, अर्थात .

स्वतंत्र घटनाओं ए और बी के लिए, इन घटनाओं के उत्पाद की संभावना उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, अर्थात इस मामले में ।

अंतिम 2 कथनों को योग और संभावनाओं के गुणन के प्रमेय कहा जाता है।

हमेशा परिणामों की संख्या की गणना करना इतना सरल नहीं होता है। कुछ मामलों में, कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों का उपयोग करना आवश्यक है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि कुछ शर्तों को पूरा करने वाले ईवेंट की संख्या गिनें। कभी-कभी ऐसी गणनाएँ स्वतंत्र कार्य बन सकती हैं।

6 विद्यार्थियों को 6 पर कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है? मुक्त स्थान? पहला छात्र 6 स्थानों में से कोई भी स्थान लेगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र को रखने के 5 तरीकों से मेल खाता है। तीसरे छात्र के लिए 4 मुक्त स्थान हैं, चौथे के लिए - 3, पांचवें के लिए - 2, छठा एकमात्र शेष स्थान लेगा। सभी विकल्पों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको गुणनफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, जिसे प्रतीक 6 द्वारा दर्शाया गया है! और "सिक्स फैक्टोरियल" पढ़ें।

सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के सूत्र द्वारा दिया जाता है। हमारे मामले में, .

अब हमारे छात्रों के साथ एक और मामले पर विचार करें। 6 खाली सीटों पर 2 छात्रों को कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है? पहला छात्र 6 स्थानों में से कोई भी स्थान लेगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र को रखने के 5 तरीकों से मेल खाता है। सभी विकल्पों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको उत्पाद खोजने की आवश्यकता है।

सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर k तत्वों द्वारा n तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के सूत्र द्वारा दिया जाता है

हमारे मामले में ।

और इस श्रृंखला में आखिरी। 6 में से 3 छात्रों को चुनने के कितने तरीके हैं? पहले छात्र को 6 तरीकों से, दूसरे को 5 तरीकों से और तीसरे को 4 तरीकों से चुना जा सकता है। लेकिन इन विकल्पों में वही तीन विद्यार्थी 6 बार आते हैं। सभी विकल्पों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको मान की गणना करने की आवश्यकता है: . सामान्य मामले में, इस प्रश्न का उत्तर तत्वों द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या के सूत्र द्वारा दिया गया है:

हमारे मामले में ।

संभाव्यता निर्धारित करने के लिए गणित में परीक्षा से समस्याओं को हल करने के उदाहरण

टास्क 1. संग्रह से, एड। यशचेंको।

एक प्लेट में 30 पाई हैं: 3 मांस के साथ, 18 गोभी के साथ और 9 चेरी के साथ। साशा बेतरतीब ढंग से एक पाई चुनती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसे अंत में चेरी मिलती है।

.

उत्तर: 0.3।

समस्या 2. संग्रह से, एड। यशचेंको।

1000 प्रकाश बल्बों के प्रत्येक बैच में औसतन 20 खराब होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक बैच से यादृच्छिक रूप से चुना गया प्रकाश बल्ब अच्छा है।

हल: उपयोगी प्रकाश बल्बों की संख्या 1000-20 = 980 है। तब संभावना है कि बैच से यादृच्छिक रूप से लिया गया एक प्रकाश बल्ब उपयोगी होगा:

उत्तर: 0.98।

संभावना है कि छात्र यू गणित परीक्षण पर 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करता है 0.67 है। संभावना है कि यू 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करता है 0.73 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि U ठीक ठीक 9 समस्याओं को हल करता है।

यदि हम एक संख्या रेखा की कल्पना करते हैं और उस पर अंक 8 और 9 अंकित करते हैं, तो हम देखेंगे कि स्थिति "U. बिल्कुल 9 समस्याओं को सही ढंग से हल करें" स्थिति "यू" में शामिल है। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें", लेकिन शर्त "डब्ल्यू" पर लागू नहीं होती है। 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें।

हालाँकि, स्थिति "यू। 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें" स्थिति "यू" में निहित है। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें। इस प्रकार, यदि हम घटनाओं को निरूपित करते हैं: “डब्ल्यू। सही ढंग से बिल्कुल 9 समस्याओं को हल करें" - ए के माध्यम से, "यू। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें" - बी के माध्यम से, "यू। सी के माध्यम से 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें। तब समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर: 0.06।

ज्यामिति परीक्षा में, छात्र परीक्षा प्रश्नों की सूची में से एक प्रश्न का उत्तर देता है। संभावना है कि यह एक त्रिकोणमिति प्रश्न है 0.2 है। संभावना है कि यह एक बाहरी कोने वाला प्रश्न है 0.15 है। एक ही समय में इन दोनों विषयों से संबंधित कोई प्रश्न नहीं हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि विद्यार्थी को परीक्षा में इन दो विषयों में से किसी एक पर प्रश्न मिलेगा।

आइए सोचें कि हमारे पास कौन सी घटनाएं हैं। हमें दो असंगत घटनाएँ दी गई हैं। अर्थात, या तो प्रश्न "त्रिकोणमिति" विषय से संबंधित होगा, या "बाह्य कोण" विषय से संबंधित होगा। संभाव्यता प्रमेय के अनुसार, असंगत घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के योग के बराबर होती है, हमें इन घटनाओं की संभावनाओं का योग ज्ञात करना चाहिए, अर्थात:

उत्तर: 0.35।

कमरा तीन दीयों से लालटेन से रोशन है। एक वर्ष में एक दीपक के जलने की प्रायिकता 0.29 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक वर्ष के भीतर कम से कम एक दीया नहीं बुझेगा।

आइए संभावित घटनाओं पर विचार करें। हमारे पास तीन प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक किसी अन्य प्रकाश बल्ब से स्वतंत्र रूप से जल सकता है या नहीं। ये स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

फिर हम ऐसे आयोजनों के प्रकारों का संकेत देंगे। हम इस संकेतन को स्वीकार करते हैं: - प्रकाश बल्ब चालू है, - प्रकाश बल्ब जल गया है। और इसके तुरंत बाद हम किसी घटना की प्रायिकता की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, एक घटना की संभावना जिसमें तीन स्वतंत्र घटनाएं "लाइट बल्ब जल गया", "लाइट बल्ब चालू है", "लाइट बल्ब चालू है" हुई: .

ध्यान दें कि हमारे अनुकूल केवल 7 असंगत घटनाएं हैं। ऐसी घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:।

उत्तर: 0.975608।

आप तस्वीर में एक और समस्या देख सकते हैं:

इस प्रकार, आप और मैं समझ गए कि संभाव्यता का सिद्धांत क्या है, सूत्र और समस्या समाधान के उदाहरण जिनके लिए आप परीक्षा के संस्करण में मिल सकते हैं।

माँ ने फ्रेम धोया

एक लंबी गर्मी की छुट्टी के अंत में, यह धीरे-धीरे उच्च गणित में लौटने का समय है और एक नया खंड बनाना शुरू करने के लिए पूरी तरह से एक खाली वर्ड फ़ाइल खोलने का समय है - . मैं स्वीकार करता हूं कि पहली पंक्तियां आसान नहीं हैं, लेकिन पहला कदम आधा रास्ता है, इसलिए मैं सभी को परिचयात्मक लेख का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने का सुझाव देता हूं, जिसके बाद विषय में महारत हासिल करना 2 गुना आसान हो जाएगा! मैं बिल्कुल अतिशयोक्ति नहीं कर रहा हूँ। ... अगले 1 सितंबर की पूर्व संध्या पर, मुझे पहली कक्षा और प्राइमर याद है ...। अक्षर शब्दांश बनाते हैं, शब्दांश शब्दों में, शब्द छोटे वाक्यों में - माँ ने फ्रेम को धोया। टर्वर और गणितीय आँकड़ों में महारत हासिल करना उतना ही आसान है जितना पढ़ना सीखना! हालाँकि, इसके लिए आपको जानना आवश्यक है महत्वपूर्ण पदों, अवधारणाएँ और अंकन, साथ ही कुछ विशिष्ट नियम, जिनके लिए यह पाठ समर्पित है।

लेकिन पहले, कृपया शुरुआत के लिए मेरी बधाई स्वीकार करें (निरंतरता, पूर्णता, आवश्यकतानुसार ध्यान दें) स्कूल वर्षऔर उपहार स्वीकार करें। सबसे अच्छा उपहार एक किताब है, और के लिए स्वतंत्र काममैं निम्नलिखित साहित्य की अनुशंसा करता हूं:

1) गुमरमैन वी.ई. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत

पौराणिक ट्यूटोरियलदस से अधिक संस्करण। यह बोधगम्यता और सामग्री की अंतिम सरल प्रस्तुति में भिन्न है, और पहले अध्याय पूरी तरह से सुलभ हैं, मुझे लगता है कि पहले से ही 6-7 ग्रेड के छात्रों के लिए।

2) गुमरमैन वी.ई. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी में समस्या समाधान की मार्गदर्शिका

उसी व्लादिमीर एफिमोविच के रेशेबनिक विस्तृत उदाहरणों और कार्यों के साथ।

अनिवार्य रूप सेदोनों पुस्तकों को इंटरनेट से डाउनलोड करें या उनकी मूल प्रति प्राप्त करें! 60-70 का संस्करण करेगा, जो डमी के लिए भी बेहतर है। यद्यपि वाक्यांश "डमी के लिए संभावना" बल्कि हास्यास्पद लगता है, क्योंकि लगभग सब कुछ प्राथमिक तक सीमित है अंकगणितीय आपरेशनस. हालाँकि, वे स्थानों पर फिसल जाते हैं डेरिवेटिवऔर अभिन्न, लेकिन यह केवल स्थानों में है।

मैं प्रस्तुति की उसी स्पष्टता को प्राप्त करने की कोशिश करूंगा, लेकिन मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए कि मेरा पाठ्यक्रम केंद्रित है समस्या को सुलझानाऔर सैद्धांतिक गणना न्यूनतम रखी जाती है। इस प्रकार, यदि आपको एक विस्तृत सिद्धांत, प्रमेय के प्रमाण (प्रमेय-प्रमेय!) की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक देखें। अच्छा, कौन चाहता है समस्याओं को हल करना सीखेंसंभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में अधिकांश में कम समय , मेरे पीछे आओ!

आरंभ करने के लिए पर्याप्त =)

जैसा कि आप लेख पढ़ते हैं, यह सलाह दी जाती है कि विचार किए गए प्रकारों के अतिरिक्त कार्यों से परिचित हों (कम से कम संक्षेप में)। पेज पर उच्च गणित के लिए तैयार समाधानसमाधानों के उदाहरणों के साथ प्रासंगिक पीडीएफ़-की रखी जाएगी। भी महत्वपूर्ण सहयोग मिलेगा आईडीजेड 18.1 रयाबुशको(आसान) और चुडेसेंको के संग्रह के अनुसार IDZ को हल किया(अधिक मुश्किल)।

1) जोड़दो घटनाएँ और उस घटना को कहा जाता है जिसमें तथ्य शामिल होता है याआयोजन याआयोजन यादोनों घटनाएँ एक साथ। घटनाओं के मामले में असंगत, अंतिम विकल्प गायब हो जाता है, अर्थात यह हो सकता है याआयोजन याआयोजन ।

पर भी नियम लागू होता है बड़ी मात्राशर्तें, उदाहरण के लिए, एक घटना है क्या होगा कम से कम एकघटनाओं से , ए अगर घटनाएं असंगत हैं – वह एक और केवल एकइस राशि से घटना: याआयोजन , याआयोजन , याआयोजन , याआयोजन , याआयोजन ।

बहुत सारे उदाहरण:

घटना (पाँसे को फेंकने पर 5 अंक नहीं गिरती) वह है या 1, या 2, या 3, या 4, या 6 अंक।

घटना (छोड़ देगी अब और नहींदो अंक) वह 1 है या 2अंक.

आयोजन (अंकों की संख्या सम होगी) यह है कि या 2 या 4 या 6 अंक।

घटना यह है कि डेक से लाल सूट (दिल) का एक पत्ता निकाला जाएगा याटैम्बोरिन), और घटना - कि "तस्वीर" निकाली जाएगी (जैक यामहिला याराजा याइक्का).

संयुक्त आयोजनों के मामले में थोड़ा और दिलचस्प है:

घटना यह है कि डेक से एक क्लब तैयार किया जाएगा यासात यासात क्लब उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, कम से कम कुछ- या कोई क्लब या कोई सात या उनका "क्रॉसिंग" - सात क्लब। यह गणना करना आसान है कि यह घटना 12 प्राथमिक परिणामों (9 क्लब कार्ड + 3 शेष सात) से मेल खाती है।

घटना कल दोपहर 12 बजे की है योग्‍य संयुक्‍त आयोजनों में से कम से कम एक, अर्थात्:

- या केवल बारिश होगी / केवल गरज / केवल सूरज;
- या केवल कुछ जोड़ी घटनाएँ आएंगी (बारिश + आंधी / बारिश + सूरज / आंधी + सूरज);
- या तीनों इवेंट एक ही समय में दिखाई देंगे।

यानी, घटना में 7 संभावित परिणाम शामिल हैं।

घटनाओं के बीजगणित का दूसरा स्तंभ:

2) कामदो घटनाएँ और घटना को कहते हैं, जिसमें इन घटनाओं का संयुक्त रूप होता है, दूसरे शब्दों में, गुणन का अर्थ है कि कुछ परिस्थितियों में वहाँ आ जाएगा औरआयोजन , औरआयोजन । बड़ी संख्या में घटनाओं के लिए एक समान कथन सत्य है, इसलिए, उदाहरण के लिए, उत्पाद का अर्थ है कि कब कुछ शर्तेंक्या होगा औरआयोजन , औरआयोजन , औरआयोजन , …, औरआयोजन ।

एक परीक्षण पर विचार करें जिसमें दो सिक्के उछाले जाते हैं और निम्नलिखित घटनाएँ:

- पहले सिक्के पर सिर गिरेगा;
- पहला सिक्का पट जाएगा;
- दूसरा सिक्का हेड लैंड करेगा;
- दूसरा सिक्का पट ऊपर आएगा।

तब:
और 2 पर) एक चील बाहर गिर जाएगी;
- घटना इस तथ्य में निहित है कि दोनों सिक्कों पर (1 पर और 2 पर) पूंछ गिर जाएगी;
– घटना यह है कि पहला सिक्का शीर्ष पर आएगा औरदूसरे कॉइन टेल्स पर;
- घटना यह है कि पहला सिक्का पट ऊपर आएगा औरदूसरे सिक्के पर एक चील।

घटनाओं को देखना आसान है असंगत (चूंकि, उदाहरण के लिए, एक ही समय में 2 हेड और 2 टेल नहीं गिर सकते हैं)और रूप पूरा समूह (चूंकि ध्यान में रखा गया है सभीदो सिक्कों को उछालने के संभावित परिणाम). आइए इन घटनाओं को सारांशित करते हैं: . इस प्रविष्टि की व्याख्या कैसे करें? बहुत सरल - गुणा का अर्थ है तार्किक संबंध और, और जोड़ है या. इस प्रकार, समझने योग्य मानव भाषा में योग को पढ़ना आसान है: “दो चील गिरेंगी यादो पूंछ यापहले सिक्के पर सिर औरदूसरी पूंछ पर यापहले सिक्के पर सिर औरदूसरे सिक्के पर चील »

यह एक उदाहरण था जब एक परीक्षण मेंकई वस्तुएं शामिल हैं, इस मामले में दो सिक्के। आमतौर पर व्यवहार में उपयोग की जाने वाली एक और योजना है बार-बार परीक्षण जब, उदाहरण के लिए, एक ही पासे को लगातार 3 बार फेंका जाता है। एक प्रदर्शन के रूप में, निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:

- पहले थ्रो में 4 अंक गिरेंगे;
- दूसरे रोल में 5 अंक गिरेंगे;
- तीसरे थ्रो में 6 अंक गिरेंगे।

फिर घटना इस तथ्य में शामिल है कि पहले रोल में 4 अंक गिरेंगे औरदूसरे रोल में 5 अंक गिरेंगे औरतीसरे रोल में 6 अंक गिरेंगे। जाहिर है, एक पासे के मामले में, एक सिक्का उछालने की तुलना में काफी अधिक संयोजन (परिणाम) होंगे।

... मैं समझता हूं कि शायद वे बहुत अच्छी तरह से नहीं समझते हैं दिलचस्प उदाहरण, लेकिन ये ऐसी चीजें हैं जो अक्सर कार्यों में सामने आती हैं और इन्हें टाला नहीं जा सकता। एक सिक्के के अलावा, एक पासा और ताश के पत्तों का एक डेक, रंगीन गेंदों के साथ कलश हैं, कई गुमनाम लोग एक लक्ष्य पर शूटिंग कर रहे हैं, और एक अथक कार्यकर्ता जो लगातार कुछ विवरणों को पीसता है =)

घटना संभावना

घटना संभावना संभाव्यता सिद्धांत में एक केंद्रीय अवधारणा है। ... एक घातक तार्किक बात, लेकिन आपको कहीं से शुरू करना था =) इसकी परिभाषा के कई दृष्टिकोण हैं:

;
संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषा ;
संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा .

इस लेख में, मैं संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा पर ध्यान केंद्रित करूंगा, जो शैक्षिक कार्यों में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

नोटेशन. किसी घटना की संभावना को बड़े के रूप में निरूपित किया जाता है लैटिन पत्र, और घटना को ही कोष्ठक में लिया जाता है, जो एक प्रकार के तर्क के रूप में कार्य करता है। उदाहरण के लिए:

साथ ही, संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक छोटा अक्षर व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, कोई घटनाओं और उनकी संभावनाओं के बोझिल पदनामों को छोड़ सकता है निम्नलिखित शैली के पक्ष में:

संभावना है कि एक सिक्के के टॉस का परिणाम हेड होगा;
- संभावना है कि एक पासा फेंकने के परिणामस्वरूप 5 अंक गिर जाएंगे;
इस बात की प्रायिकता है कि डेक से क्लब सूट का एक पत्ता निकाला जाएगा।

यह विकल्प व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में लोकप्रिय है, क्योंकि यह आपको समाधान प्रविष्टि को महत्वपूर्ण रूप से कम करने की अनुमति देता है। पहले मामले की तरह, यहां "बात कर रहे" सबस्क्रिप्ट/सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करना सुविधाजनक है।

सभी ने लंबे समय से उन नंबरों के बारे में अनुमान लगाया है जो मैंने अभी ऊपर लिखे हैं, और अब हम पता लगाएंगे कि वे कैसे निकले:

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा:

किसी परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता का अनुपात है, जहां:

– कुल गणनासभी समान रूप से संभव, प्राथमिकइस परीक्षण के परिणाम, कौन से रूप घटनाओं का पूरा समूह;

- मात्रा प्राथमिकपरणाम अनुकूल आयोजन ।

जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो चित या पट गिर सकते हैं - ये घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहइस प्रकार, परिणामों की कुल संख्या; जबकि उनमें से प्रत्येक प्राथमिकऔर समान रूप से संभव. घटना परिणाम (सिर) द्वारा इष्ट है। संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार: .

इसी तरह, एक पासे के रोल के परिणामस्वरूप, प्राथमिक समान रूप से संभव परिणाम दिखाई दे सकते हैं, एक पूर्ण समूह का निर्माण कर सकते हैं, और घटना को एकल परिणाम (पांच को रोल करना) द्वारा पसंद किया जाता है। इसीलिए: यह करने के लिए स्वीकार नहीं किया जाता है (हालांकि आपके दिमाग में प्रतिशत का पता लगाने की मनाही नहीं है)।

यह एक इकाई के अंशों का उपयोग करने के लिए प्रथागत है, और, जाहिर है, संभावना भीतर भिन्न हो सकती है। इसके अलावा, अगर, तो घटना है असंभव, अगर - प्रामाणिक, और यदि , तो हम बात कर रहे हैं अनियमितआयोजन।

! यदि किसी समस्या को हल करने के दौरान आपको कुछ अन्य प्रायिकता मान मिलते हैं - एक त्रुटि की तलाश करें!

प्रायिकता की परिभाषा के शास्त्रीय दृष्टिकोण में, चरम मान (शून्य और एक) ठीक उसी तर्क द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। मान लीजिए कि 10 लाल गेंदों वाले कलश से 1 गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार कीजिएः

एक ही परीक्षण में, एक अप्रत्याशित घटना घटित नहीं होगी.

यही कारण है कि यदि इस घटना की प्रायिकता मान लीजिए, 0.00000001 है, तो आप लॉटरी में जैकपॉट नहीं जीत पाएंगे। हां, हां, यह आप ही हैं - एक विशेष परिसंचरण में एकमात्र टिकट के साथ। हालांकि, ज्यादा टिकट और ज्यादा ड्रॉ से आपको ज्यादा मदद नहीं मिलेगी। ... जब मैं इस बारे में दूसरों को बताता हूं, तो मैं लगभग हमेशा प्रतिक्रिया में सुनता हूं: "लेकिन कोई जीतता है।" ठीक है, तो चलिए निम्नलिखित प्रयोग करते हैं: कृपया आज या कल कोई भी लॉटरी टिकट खरीदें (देरी न करें!)। और यदि आप जीतते हैं ... ठीक है, कम से कम 10 किलो से अधिक रूबल, सदस्यता समाप्त करना सुनिश्चित करें - मैं समझाऊंगा कि ऐसा क्यों हुआ। प्रतिशत के लिए, निश्चित रूप से =) =)

लेकिन उदास होने की जरूरत नहीं है, क्योंकि एक विपरीत सिद्धांत है: यदि किसी घटना की संभावना एकता के बहुत करीब है, तो एक परीक्षण में यह लगभग निश्चितक्या होगा। इसलिए, पैराशूट कूदने से पहले डरो मत, इसके विपरीत - मुस्कुराओ! आखिरकार, दोनों पैराशूटों के विफल होने के लिए बिल्कुल अकल्पनीय और शानदार परिस्थितियां उत्पन्न होनी चाहिए।

यद्यपि यह सब कविता है, क्योंकि, घटना की सामग्री के आधार पर, पहला सिद्धांत हंसमुख हो सकता है, और दूसरा उदास हो सकता है; या यहाँ तक कि दोनों समानांतर हैं।

शायद अभी के लिए काफी है, क्लास में संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के लिए कार्यहम सूत्र से अधिकतम निकालेंगे। इस लेख के अंतिम भाग में, हम एक महत्वपूर्ण प्रमेय पर विचार करते हैं:

एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर है. मोटे तौर पर, यदि घटनाएं एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो 100% संभावना के साथ उनमें से एक होगा। बहुत में साधारण मामलाएक पूरा समूह विपरीत घटनाओं से बनता है, उदाहरण के लिए:

- सिक्के के उछाल के परिणामस्वरूप, एक चील बाहर गिर जाएगी;
- एक सिक्का उछालने के परिणामस्वरूप, पूंछ गिर जाएगी।

प्रमेय के अनुसार:

यह स्पष्ट है कि ये घटनाएँ समप्रायिक हैं और इनकी प्रायिकताएँ भी समान हैं। .

संभावनाओं की समानता के कारण, समान रूप से संभावित घटनाओं को अक्सर कहा जाता है संभाव्य . और यहाँ नशे की डिग्री का निर्धारण करने के लिए जुबान है =)

पासा उदाहरण: घटनाएँ विपरीत हैं, इसलिए .

विचाराधीन प्रमेय इस मायने में सुविधाजनक है कि यह आपको विपरीत घटना की संभावना का शीघ्रता से पता लगाने की अनुमति देता है। इसलिए, यदि आप इस संभावना को जानते हैं कि एक पाँच गिर जाएगा, तो इस संभावना की गणना करना आसान है कि यह नहीं गिरेगा:

यह पांच प्राथमिक परिणामों की संभावनाओं को संक्षेप करने से कहीं अधिक आसान है। प्राथमिक परिणामों के लिए, वैसे, यह प्रमेय भी मान्य है:
. उदाहरण के लिए, यदि निशानेबाज के निशाने पर लगने की संभावना है, तो संभावना है कि वह चूक जाएगा।

! संभाव्यता सिद्धांत में, अक्षरों और किसी अन्य उद्देश्य के लिए उपयोग करना अवांछनीय है।

ज्ञान दिवस के सम्मान में, मैं नहीं पूछूंगा गृहकार्य=), लेकिन यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दे सकें:

किस प्रकार के आयोजन होते हैं?
– किसी घटना का संयोग और समान संभावना क्या है?
- आप घटनाओं की अनुकूलता / असंगति की शर्तों को कैसे समझते हैं?
– घटनाओं, विपरीत घटनाओं का एक पूरा समूह क्या है?
घटनाओं के जोड़ और गुणा का क्या अर्थ है?
- संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का सार क्या है?
- एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय क्यों उपयोगी है?

नहीं, आपको कुछ भी रटने की आवश्यकता नहीं है, ये केवल प्रायिकता सिद्धांत की मूल बातें हैं - एक प्रकार का प्राइमर जो आपके सिर में बहुत जल्दी फिट हो जाएगा। और ताकि यह जल्द से जल्द हो सके, मेरा सुझाव है कि आप पाठ पढ़ें

परिचय

कई चीजें हमारी समझ से बाहर हैं, इसलिए नहीं कि हमारी अवधारणाएं कमजोर हैं;
बल्कि इसलिए कि ये चीजें हमारी अवधारणाओं के दायरे में नहीं आतीं।
कोज़मा प्रुतकोव

माध्यमिक विशेष में गणित अध्ययन का मुख्य लक्ष्य शिक्षण संस्थानोंतार्किक सोच के गठन और विकास के लिए छात्रों को व्यावहारिक गणना करने की क्षमता के लिए कुछ हद तक गणित का उपयोग करने वाले अन्य कार्यक्रम विषयों का अध्ययन करने के लिए आवश्यक गणितीय ज्ञान और कौशल का एक सेट देना है।

इस पत्र में, गणित के खंड की सभी बुनियादी अवधारणाएँ "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के मूल सिद्धांत", कार्यक्रम और माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षिक मानकों (रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय। एम।, 2002) द्वारा प्रदान की गई हैं। ), लगातार पेश किए जाते हैं, मुख्य प्रमेय तैयार किए जाते हैं, जिनमें से अधिकांश सिद्ध नहीं होते हैं। व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए इन तरीकों को लागू करने के लिए उनके समाधान और प्रौद्योगिकियों के लिए मुख्य कार्यों और विधियों पर विचार किया जाता है। प्रस्तुति विस्तृत टिप्पणियों और कई उदाहरणों के साथ है।

ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को समेकित करने के लिए व्यावहारिक अभ्यास की तैयारी के लिए, व्याख्यान के नोट्स लेते समय, अध्ययन की जा रही सामग्री के साथ प्रारंभिक परिचित के लिए पद्धतिगत निर्देशों का उपयोग किया जा सकता है। इसके अलावा, मैनुअल अंडरग्रेजुएट छात्रों के लिए एक संदर्भ उपकरण के रूप में उपयोगी होगा जो आपको पहले अध्ययन की गई स्मृति को जल्दी से बहाल करने की अनुमति देता है।

कार्य के अंत में, उदाहरण और कार्य दिए गए हैं जो छात्र आत्म-नियंत्रण मोड में कर सकते हैं।

पत्राचार के छात्रों और शिक्षा के पूर्णकालिक रूपों के लिए पद्धति संबंधी निर्देश हैं।

बुनियादी अवधारणाओं

संभाव्यता सिद्धांत बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के उद्देश्य नियमितताओं का अध्ययन करता है। यह गणितीय आँकड़ों का एक सैद्धांतिक आधार है, जो प्रेक्षणों के परिणामों को एकत्र करने, वर्णन करने और संसाधित करने के तरीकों के विकास से संबंधित है। टिप्पणियों (परीक्षण, प्रयोग) के माध्यम से, अर्थात। शब्द के व्यापक अर्थ में अनुभव, वास्तविक दुनिया की घटनाओं का ज्ञान है।

हमारी व्यावहारिक गतिविधियों में, हम अक्सर घटनाओं का सामना करते हैं, जिसके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, जिसका परिणाम संयोग पर निर्भर करता है।

एक यादृच्छिक घटना को इसकी घटनाओं की संख्या के परीक्षणों की संख्या के अनुपात से चिह्नित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में, सभी परीक्षणों की समान स्थितियों के तहत, यह हो सकता है या नहीं हो सकता है।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जिसमें यादृच्छिक घटनाओं (घटनाओं) का अध्ययन किया जाता है और बड़े पैमाने पर दोहराए जाने पर नियमितता प्रकट होती है।

गणितीय सांख्यिकी गणित की एक शाखा है जिसका विषय वैज्ञानिक रूप से आधारित निष्कर्ष और निर्णय लेने के लिए सांख्यिकीय डेटा एकत्र करने, व्यवस्थित करने, प्रसंस्करण और उपयोग करने के तरीकों का अध्ययन है।

उसी समय, सांख्यिकीय डेटा को संख्याओं के एक समूह के रूप में समझा जाता है जो अध्ययन की गई वस्तुओं की विशेषताओं की मात्रात्मक विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जो हमारे लिए रुचि रखते हैं। सांख्यिकीय डेटा विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए प्रयोगों और अवलोकनों के परिणामस्वरूप प्राप्त किए जाते हैं।

इसके सार में सांख्यिकीय डेटा कई यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है, इसलिए गणितीय आँकड़े संभाव्यता सिद्धांत से निकटता से संबंधित हैं, जो इसका सैद्धांतिक आधार है।

I. संभाव्यता। योग और प्रायिकता गुणन के प्रमेय

1.1। कॉम्बिनेटरिक्स की बुनियादी अवधारणाएँ

कॉम्बिनेटरिक्स नामक गणित के खंड में, सेटों के विचार और इन सेटों के तत्वों के विभिन्न संयोजनों के संकलन से संबंधित कुछ समस्याओं का समाधान किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 10 अलग-अलग संख्याएँ 0, 1, 2, 3,:, 9 लें और उनका संयोजन करें, तो हमें अलग-अलग संख्याएँ मिलेंगी, उदाहरण के लिए 143, 431, 5671, 1207, 43, आदि।

हम देखते हैं कि इनमें से कुछ संयोजन केवल अंकों के क्रम में भिन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 143 और 431), उनमें शामिल संख्याओं में अन्य (उदाहरण के लिए, 5671 और 1207), और अन्य भी अंकों की संख्या में भिन्न होते हैं ( उदाहरण के लिए, 143 और 43)।

इस प्रकार, प्राप्त संयोजन विभिन्न शर्तों को पूरा करते हैं।

संकलन नियमों के आधार पर, तीन प्रकार के संयोजनों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट, संयोजन.

आइए पहले अवधारणा से परिचित हों कारख़ाने का.

सभी का उत्पाद प्राकृतिक संख्या 1 से n समावेशी कहलाते हैं n-फैक्टोरियल और लिखा।

गणना करें: ए); बी) ; वी).

समाधान। ए) ।

बी) साथ ही , तो आप इसे कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं

तब हमें मिलता है

वी) .

क्रमपरिवर्तन।

n तत्वों का एक संयोजन जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होता है, क्रमचय कहलाता है।

क्रमचय को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है पी एन , जहाँ n प्रत्येक क्रमचय में तत्वों की संख्या है। ( आर- फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर परिवर्तन- क्रमपरिवर्तन)।

सूत्र का उपयोग करके क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना की जा सकती है

या फैक्टोरियल के साथ:

आइए याद करते हैं 0!=1 और 1!=1।

उदाहरण 2. एक शेल्फ पर छह अलग-अलग पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान। तरीकों की वांछित संख्या 6 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात

आवास।

प्लेसमेंट से एमतत्वों में एनप्रत्येक में, ऐसे यौगिकों को कहा जाता है जो एक दूसरे से भिन्न होते हैं या तो स्वयं तत्वों (कम से कम एक), या स्थान के क्रम से।

स्थानों को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां एमसभी उपलब्ध तत्वों की संख्या है, एनप्रत्येक संयोजन में तत्वों की संख्या है। ( ए-फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर व्यवस्था, जिसका अर्थ है "स्थापन, क्रम में रखना")।

साथ ही यह माना जा रहा है एनएम।

सूत्र का उपयोग करके प्लेसमेंट की संख्या की गणना की जा सकती है

,

वे। से सभी संभावित नियुक्तियों की संख्या एमतत्वों द्वारा एनउत्पाद के बराबर है एनलगातार पूर्णांक, जिनमें से बड़ा है एम.

हम इस सूत्र को तथ्यात्मक रूप में लिखते हैं:

उदाहरण 3. तीन वाउचर के वितरण के लिए विभिन्न प्रोफाइल के सैनिटोरियम में पांच आवेदकों के लिए कितने विकल्प बनाए जा सकते हैं?

समाधान। विकल्पों की वांछित संख्या 5 तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या 3 तत्वों के बराबर है, अर्थात।

.

संयोजन।

संयोजन के सभी संभव संयोजन हैं एमतत्वों द्वारा एन, जो एक दूसरे से कम से कम एक तत्व से भिन्न होते हैं (यहाँ एमऔर एन-प्राकृतिक संख्या, और एन एम).

से संयोजनों की संख्या एमतत्वों द्वारा एननिरूपित हैं ( साथ- फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर संयोजन- संयोजन)।

सामान्य तौर पर, की संख्या एमतत्वों द्वारा एनसे नियुक्तियों की संख्या के बराबर एमतत्वों द्वारा एनसे क्रमचय की संख्या से विभाजित एनतत्व:

नियुक्ति और क्रमचय संख्याओं के लिए भाज्य सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4। 25 लोगों की टीम में, आपको एक निश्चित क्षेत्र में काम करने के लिए चार आवंटित करने की आवश्यकता है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान। चूंकि चुने हुए चार लोगों का क्रम मायने नहीं रखता, यह तरीकों से किया जा सकता है।

हम पहले सूत्र से पाते हैं

.

इसके अलावा, समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है जो संयोजनों के मुख्य गुणों को व्यक्त करते हैं:

(परिभाषा के अनुसार, और माना जाता है);

.

1.2। संयुक्त समस्याओं का समाधान

कार्य 1। संकाय में 16 विषयों का अध्ययन किया जाता है। सोमवार को आपको शेड्यूल में 3 सब्जेक्ट डालने होंगे। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान। 16 में से तीन आइटमों को शेड्यूल करने के उतने ही तरीके हैं जितने 3 के 16 तत्वों के प्लेसमेंट हैं।

कार्य 2। 15 वस्तुओं में से, 10 वस्तुओं का चयन किया जाना चाहिए। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

टास्क 3। प्रतियोगिता में चार टीमों ने भाग लिया। उनके बीच सीटों के बंटवारे के लिए कितने विकल्प संभव हैं?

.

समस्या 4. यदि 80 सैनिक और 3 अधिकारी हैं तो तीन सैनिकों और एक अधिकारी का एक गश्ती दल कितने प्रकार से बन सकता है?

समाधान। गश्ती पर सैनिक का चयन किया जा सकता है

तरीके, और अधिकारी तरीके। चूँकि कोई भी अधिकारी सैनिकों की प्रत्येक टीम के साथ जा सकता है, केवल रास्ते हैं।

टास्क 5। पता करें कि क्या यह ज्ञात है कि .

चूंकि, हम प्राप्त करते हैं

,

,

संयोजन की परिभाषा के अनुसार यह इस प्रकार है कि , . वह। .

1.3। एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा। घटना प्रकार। घटना संभावना

किसी भी क्रिया, घटना, कई अलग-अलग परिणामों के साथ अवलोकन, शर्तों के एक निश्चित सेट के तहत महसूस किया जाएगा, कहा जाएगा परीक्षा।

इस क्रिया या प्रेक्षण का परिणाम कहलाता है आयोजन .

यदि दी गई परिस्थितियों में कोई घटना घटित हो सकती है या नहीं हो सकती है, तो उसे कहा जाता है अनियमित . यदि कोई घटना निश्चित रूप से घटित होनी चाहिए, तो उसे कहा जाता है प्रामाणिक , और मामले में जब यह निश्चित रूप से नहीं हो सकता है, - असंभव.

घटनाएँ कहलाती हैं असंगत अगर उनमें से केवल एक ही हर बार दिखाई दे सकता है।

घटनाएँ कहलाती हैं संयुक्त यदि, दी गई शर्तों के तहत, इन घटनाओं में से एक की घटना एक ही परीक्षण में दूसरी घटना की घटना को बाहर नहीं करती है।

घटनाएँ कहलाती हैं विलोम , यदि परीक्षण की शर्तों के तहत वे, इसके एकमात्र परिणाम होने के नाते, असंगत हैं।

घटनाओं को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: ए बी सी डी, : .

घटनाओं की एक पूरी प्रणाली A 1 , A 2 , A 3 , : , A n असंगत घटनाओं का एक सेट है, जिनमें से कम से कम एक का होना किसी दिए गए परीक्षण के लिए अनिवार्य है।

यदि एक पूर्ण प्रणाली में दो असंगत घटनाएं होती हैं, तो ऐसी घटनाओं को विपरीत कहा जाता है और ए और द्वारा निरूपित किया जाता है।

उदाहरण। एक डिब्बे में 30 क्रमांकित गेंदें हैं। निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएँ असंभव, निश्चित, विपरीत हैं:

एक क्रमांकित गेंद मिली (ए);

एक सम क्रमांकित गेंद को ड्रा करें (में);

विषम संख्या वाली एक गेंद निकाली (साथ);

बिना नंबर की गेंद मिली (डी)।

इनमें से कौन सा एक पूरा समूह बनाता है?

समाधान . ए- निश्चित घटना; डी- असंभव घटना;

में और साथ- विपरीत घटनाएँ।

घटनाओं का पूरा समूह है एऔर डी, वीऔर साथ.

किसी घटना की प्रायिकता को किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप के रूप में माना जाता है।

1.4। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा

वह संख्या, जो किसी घटना के घटित होने की वस्तुगत संभावना के माप की अभिव्यक्ति है, कहलाती है संभावना इस घटना और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है पी (ए)।

परिभाषा। किसी घटना की संभावना एपरिणामों m की संख्या का अनुपात है जो किसी दिए गए घटना के घटित होने का पक्ष लेते हैं ए, संख्या के लिए एनसभी परिणाम (असंगत, अद्वितीय और समान रूप से संभव), यानी .

इसलिए, किसी घटना की संभावना का पता लगाने के लिए, परीक्षण के विभिन्न परिणामों पर विचार करने के बाद, सभी संभावित असंगत परिणामों की गणना करना आवश्यक है। एन, m में रुचि रखने वाले परिणामों की संख्या चुनें और अनुपात की गणना करें एमको एन.

निम्नलिखित गुण इस परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

किसी भी परीक्षण की संभावना एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जो एक से अधिक नहीं है।

दरअसल, वांछित घटनाओं की संख्या एम के भीतर है। दोनों भागों में विभाजित करना एन, हम पाते हैं

2. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है, क्योंकि .

3. असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है क्योंकि .

समस्या 1. लॉटरी में 1000 टिकटों में से 200 विजेता होते हैं। एक टिकट यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इस टिकट के जीतने की क्या प्रायिकता है?

समाधान। विभिन्न परिणामों की कुल संख्या है एन= 1000। जीतने वाले के पक्ष में परिणामों की संख्या m=200 है। सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

.

कार्य 2। 18 भागों के एक बैच में, 4 दोषपूर्ण हैं। यादृच्छिक रूप से 5 टुकड़े चुने जाते हैं। इन 5 में से दो पुर्जों के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्या एन 18 से 5 तक संयोजनों की संख्या के बराबर है अर्थात

आइए उस संख्या m की गणना करें जो घटना A का पक्ष लेती है। 5 बेतरतीब ढंग से चुने गए भागों में से 3 उच्च-गुणवत्ता वाले और 2 दोषपूर्ण होने चाहिए। 4 उपलब्ध दोषपूर्ण भागों में से दो दोषपूर्ण भागों का चयन करने के तरीकों की संख्या 4 से 2 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:

14 उपलब्ध गुणवत्ता वाले भागों में से तीन गुणवत्ता वाले भागों का चयन करने के तरीकों की संख्या के बराबर है

.

गुणवत्ता वाले भागों के किसी भी समूह को दोषपूर्ण भागों के किसी भी समूह के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए संयोजनों की कुल संख्या एमहै

घटना ए की वांछित संभावना परिणाम एम की संख्या के अनुपात के बराबर है जो इस घटना को सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्या एन के पक्ष में करती है:

.

घटनाओं की एक परिमित संख्या का योग एक ऐसी घटना है जिसमें उनमें से कम से कम एक की घटना होती है।

दो घटनाओं का योग प्रतीक A + B और योग द्वारा दर्शाया गया है एनघटनाओं का प्रतीक A 1 +A 2 + : +A n ।

संभावनाओं के जोड़ का प्रमेय।

दो असंगत घटनाओं के योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है।

उपप्रमेय 1. यदि घटना А 1 , А 2 , : , А n एक पूर्ण प्रणाली बनाती है, तो इन घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर है।

उपप्रमेय 2। विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग और एक के बराबर है।

.

समस्या 1. लॉटरी के 100 टिकट हैं। यह ज्ञात है कि 5 टिकटों पर 20,000 रूबल, 10 - 15,000 रूबल, 15 - 10,000 रूबल, 25 - 2,000 रूबल की जीत मिलती है। और बाकी के लिए कुछ नहीं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदा गया टिकट कम से कम 10,000 रूबल जीतेगा।

समाधान। ए, बी और सी को इस तथ्य से युक्त होने दें कि खरीदे गए टिकट पर 20,000, 15,000 और 10,000 रूबल के बराबर पुरस्कार गिरता है। चूँकि घटनाएँ A, B और C असंगत हैं, तब

टास्क 2। तकनीकी स्कूल का पत्राचार विभाग शहरों से गणित में परीक्षण प्राप्त करता है ए, बीऔर साथ. शहर से नियंत्रण कार्य प्राप्त होने की संभावना एशहर से 0.6 के बराबर में- 0.1। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला परीक्षाशहर से आएगा साथ.