अंकगणितीय समस्याओं का समाधान. गणित की समस्याओं को हल करना

वर्तमान में, स्कूल प्रबंधन के लिए नवीन दृष्टिकोणों में से एक, जो शिक्षा प्रणाली में उपलब्ध संसाधनों का प्रभावी ढंग से उपयोग करना और नकारात्मक बाहरी का सफलतापूर्वक विरोध करना संभव बनाता है। आंतरिक फ़ैक्टर्स, एक क्लस्टर दृष्टिकोण है। इस स्थिति की पुष्टि क्लस्टर दृष्टिकोण के अन्य शोधकर्ताओं के अनुभव से होती है।

1. सेमीकिना ई.एन., ब्लोखिन वी.वी. एक अभिनव परमाणु नेटवर्क प्रायोगिक मंच की अवधारणा "एकल शैक्षिक परिसर (क्लस्टर) के ढांचे के भीतर स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के नागरिक, नैतिक और सौंदर्य विकास के लिए एक शैक्षणिक संस्थान की जीवन गतिविधियाँ।" एम., 2008.

2. शामोवा टी.आई. शिक्षा में क्लस्टर संगठनात्मक प्रौद्योगिकी का उपयोग करने की संभावनाएँ // प्रणालीगत शिक्षाशास्त्र पर निबंध / एड। आर. ए. लाचश्विली। एम., 2008. पीपी. 231-238.

3. शामोवा टी.आई. शैक्षिक प्रणालियों के विकास के लिए क्लस्टर दृष्टिकोण // क्षेत्र में शिक्षा की प्रभावशीलता, पहुंच और गुणवत्ता सुनिश्चित करने में समाज के शैक्षिक संस्थानों और संस्थानों की बातचीत / सम्मान। ईडी। टी.एम. डेविडेन्को, टी.आई. शामोवा. बेलगोरोड, 2006. भाग I. पीपी. 24-29.

4. सेमीकिना ई.एन. स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के नागरिक और नैतिक विकास के लिए मानवीय प्रौद्योगिकियों का एकीकरण // सामान्य और अतिरिक्त शिक्षा संस्थानों में बच्चों की आध्यात्मिक और नैतिक शिक्षा के तरीके / एड। आई.पी. वोरोपेवा, जी.एफ. गवरिलिचेवा। एम., 2007. पीपी. 173-192.

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6. स्कूल और सामाजिक साझेदारों के बीच बातचीत: क्लस्टर दृष्टिकोण। बेलगोरोड, 2008.

11 नवंबर 2009 को संपादक द्वारा प्राप्त किया गया।

सेमीकिना ई.एन. शिक्षा और पालन-पोषण में प्रशासनिक संसाधन के रूप में क्लस्टर दृष्टिकोण।

2005 और 2009 के बीच हम शैक्षिक मॉडल "स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के नागरिक-नैतिक और सौंदर्यपूर्ण पालन-पोषण के लिए शैक्षणिक संस्थान की महत्वपूर्ण गतिविधि" के वैचारिक और व्यावहारिक पहलुओं में सुधार कर रहे हैं और अभी भी सुधार पर काम कर रहे हैं। के अंदरएक समान शैक्षिक परिसर (क्लस्टर) की सीमाएँ"। इस मॉडल का योगदान शैक्षिक वातावरण में क्लस्टर दृष्टिकोण का कार्यान्वयन है। क्लस्टर दृष्टिकोण व्यक्तित्व निर्माण के मुद्दों को हल करने पर विशिष्ट शैक्षिक प्रतिष्ठानों के प्रबंधन प्रयासों की एकाग्रता सुनिश्चित करता है।

मुख्य शब्द: क्लस्टर दृष्टिकोण; झुंड; स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व का नागरिक-नैतिक गठन।

यूडीसी 373.1.02:372.8

समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय और बीजगणितीय तरीके: मनोवैज्ञानिक-उपदेशात्मक प्रवचन

© एम.ए. मत्स्यगिन

यह लेख माध्यमिक विद्यालय के ग्रेड 5-6 में समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति के फायदों के लिए समर्पित है। समस्याओं को सुलझाने की इस पद्धति से स्कूली बच्चों की बौद्धिक क्षमताओं का विकास होता है एक बड़ी हद तकसमस्याओं को हल करने के बीजगणितीय तरीके की तुलना में।

मुख्य शब्द: समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय विधि; समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय विधि; शब्द की समस्याएं; बौद्धिक क्षमताएँ; तर्कसम्मत सोच।

घरेलू शिक्षा प्रणाली के विकास में मुख्य रुझानों में से एक शिक्षा की विकासात्मक प्रकृति है, जिसका अर्थ है ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को प्राप्त करने की प्रक्रिया से बच्चे की क्षमताओं और स्वतंत्रता को विकसित करने की प्रक्रिया में संक्रमण। आज, "व्यक्तिगत आत्मनिर्णय क्षमताओं को विकसित करने, इसके आत्म-प्राप्ति के लिए परिस्थितियाँ बनाने" की प्राथमिकता शिक्षा पर कानून का आदर्श बन गई है।

अनुसंधान, अर्थात् प्रत्येक शिक्षक की गतिविधि का मानदंड। साथ ही, बच्चे की स्वतंत्र गतिविधि, जिसे उसके विकास में मुख्य कारक माना जाता है, उसकी सोच के विकास और उसकी संज्ञानात्मक क्षमताओं के विकास के स्तर से निर्धारित होती है। स्कूली विषयों में सोच और बौद्धिक क्षमताओं के विकास के लिए गणित में निस्संदेह सबसे महत्वपूर्ण क्षमता है। यह उसका है

सार्वभौमिक चरित्र और यह स्कूल के अन्य विषयों में भी इसकी पैठ को निर्धारित करता है। गणितीय संस्कृति और गणितीय सोच विकसित करने का सबसे महत्वपूर्ण साधन शब्द समस्याएं हैं।

शाब्दिक समस्याओं का महत्व अर्जित ज्ञान को आपकी व्यावहारिक गतिविधियों में लागू करने की क्षमता तक सीमित नहीं है। समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, बच्चों में न केवल गणितीय क्षमताएं विकसित होती हैं, बल्कि सामान्य, बौद्धिक क्षमताएं भी विकसित होती हैं, जो बदले में, बच्चे के समग्र व्यक्तित्व के विकास के लिए आवश्यक होती हैं, जो लगभग सभी स्कूल विषयों में बच्चों की सफलता में योगदान देती हैं। इसलिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि छात्रों को किसी शब्द समस्या की गहरी समझ हो और उसे विभिन्न तरीकों से कैसे हल किया जाए।

सबसे आम प्रकार की शब्द समस्याओं को इस स्थिति के एक निश्चित घटक की मात्रात्मक विशेषता की पहचान करने की आवश्यकता के साथ कुछ स्थिति (स्थितियों) की प्राकृतिक भाषा में विवरण के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसी समस्याओं को हल करने के मुख्य तरीके अंकगणित और बीजगणित हैं।

हल करने की अंकगणितीय विधि संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं द्वारा समस्या का उत्तर खोजना है।

बीजगणितीय विधि में समीकरण बनाकर समस्या के प्रश्न का उत्तर प्राप्त करना और फिर उसे हल करना शामिल है।

समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति लंबे समय से घरेलू विज्ञान में प्रमुख रही है। हाई स्कूल, 60 के दशक के अंत तक। XX सदी यह शिक्षण में व्यावहारिक कार्यों का उपयोग करने की समृद्ध ऐतिहासिक परंपरा द्वारा सुविधाजनक बनाया गया था। प्राचीन काल से, अंकगणित की समस्याओं को हल करना सीखना नियमों में महारत हासिल करने तक सिमट कर रह गया है। उदाहरण के लिए, "अंकगणित" में एल.एफ. मैग्निट्स्की (1703), जो गणित पर पहली रूसी मुद्रित पाठ्यपुस्तक थी, ने कड़ाई से परिभाषित नियमों का उपयोग करके अंकगणितीय समस्याएं दीं, जिनके संबंधित नाम "ट्रिपल", "क्विंटुपल", "सेप्टेनरी" आदि थे। इसे कड़ाई से व्यावहारिक आवश्यकता द्वारा समझाया गया है व्यापार गणना करने के लिए। छात्रों की गतिविधियाँ कुछ प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए नियमों के एक मानक सेट में महारत हासिल करने तक सीमित हो गईं, और समाधान तंत्र के बारे में छात्रों की समझ बिल्कुल भी नहीं थी

ज़रूरी। आई.वी. अर्नोल्ड ने 1946 में प्रकाशित अपने लेख में शिक्षा की स्थिति का वर्णन इस प्रकार किया है: "छात्रों को - किसी न किसी क्रम में - समस्याओं के संबंधित "प्रकारों" से परिचित कराया जाता है, और समस्याओं को हल करना सीखना अक्सर व्यंजनों और "प्रशिक्षण" तक सीमित हो जाता है। निष्क्रिय छात्रों को मानक समाधान तकनीकों की एक छोटी संख्या याद रखना और कुछ संकेतों से पहचानना कि उनमें से किसे किसी विशेष मामले में लागू किया जाना चाहिए।

शिक्षण में इन कमियों के बावजूद, 20वीं सदी के मध्य तक रूसी शिक्षा में अंकगणितीय समस्याओं का उपयोग करने की पद्धति अच्छी तरह से विकसित हो गई थी और समस्याओं को व्यवस्थित कर दिया गया था। हालाँकि, 1960 के दशक के उत्तरार्ध में गणित शिक्षा के सुधार के दौरान, समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय पद्धति को प्राथमिकता दी गई। यह इस तथ्य से भी सुगम हुआ कि अंकगणित की समस्याओं को कई लोगों द्वारा उस समय के जीवन अभ्यास से अपर्याप्त रूप से जुड़ा हुआ माना जाता था। इसके अलावा, प्रचलित राय यह थी कि अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सीखना अनुचित था और बीजगणितीय पद्धति की महारत में हस्तक्षेप करता था। विशेष रूप से, जी.पी. 1960 के दशक की शुरुआत में शेड्रोवित्स्की। लिखते हैं: “...अंकगणितीय विधियाँ एक कालानुक्रमिक, कृत्रिम, अत्यंत जटिल विधियाँ हैं जो बीजगणित के अपने सरल उपकरण के प्रकट होने से पहले ही विकसित हो गई थीं। लेकिन फिर हम इन अनावश्यक तकनीकों से अपने बच्चों के दिमाग को परेशान क्यों करते हैं और इतने वर्षों तक समय और ऊर्जा बर्बाद करते हैं? .

गणितीय शिक्षा के सुधार के परिणामस्वरूप, जैसा कि ए.वी. शेवकिन ने नोट किया है, समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति को बड़े पैमाने पर बीजगणितीय विधि से बदल दिया गया था: “। समस्याओं को हल करने में बीजगणितीय पद्धति की भूमिका शैक्षिक प्रक्रियाबाद के वर्षों में स्पष्ट रूप से अतिरंजित किया गया क्योंकि उन्हें हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों को स्कूल अभ्यास से हटा दिया गया था... लंबे समय तक "समीकरणों की विधि" शब्द समस्याओं को हल करने के लिए छात्रों के लिए ज्ञात एकमात्र विधि बन गई।

वर्तमान में, अंकगणित विधि का उपयोग स्कूल में केवल गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में कक्षा 5-6 तक सरल समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, जिसमें बीजगणितीय विधि में संक्रमण होता है: पाठ्यक्रम में अध्ययन किया जाने वाला एकमात्र तरीका

बीजगणित हालाँकि, यह अभ्यास पूरी तरह से वैज्ञानिक रूप से प्रमाणित नहीं है और मनोवैज्ञानिक और शैक्षणिक अनुसंधान में प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि नहीं की गई है। इसके अलावा, वर्तमान में शोधकर्ताओं के बीच संबंधों पर कोई सहमति नहीं है शिक्षाअंकगणित और बीजगणितीय विधियाँ और छात्रों की सोच के विकास में उनकी भूमिका।

शोधकर्ता बी.वी. गनेडेंको, एम.ए. लवरेंटिएव, ए.आई. मार्कुशेविच और अन्य लोगों का मानना ​​था कि अंकगणितीय समस्याओं को हल करने में बहुत अधिक समय व्यतीत होता है, जो उनकी राय में, बीजगणितीय तरीकों से हल किया जाना चाहिए। आज, 1960 के दशक की तरह, पद्धतिविज्ञानी इस थीसिस का बचाव करते हैं कि अंकगणितीय विधियों के लिए छात्रों और शिक्षकों से बहुत अधिक व्यर्थ प्रयास की आवश्यकता होती है।

इस प्रकार, हाल के वर्षों में, मनोवैज्ञानिक और शैक्षणिक अध्ययन सामने आए हैं जो "पूर्व-संख्यात्मक काल" (वी.वी. डेविडॉव) में अक्षर प्रतीकों को पेश करने की संभावना की पुष्टि करते हैं, और पहले अध्ययन किए बिना समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय विधि सिखाने के अभ्यास का भी प्रस्ताव करते हैं। अंकगणितीय विधि (एफ. जी. बोडांस्की)।

शोधकर्ताओं का एक अन्य भाग (आई.के. एंड्रोनोव, आई.पी. बोगुस्लावस्की, ए.एन. लेविन,

एम.वी. पोटोट्स्की, ए.एस. पचेल्को और अन्य) ने एक अलग दृष्टिकोण साझा किया। समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति को उनके द्वारा सोच के विकास में और तदनुसार, गणित पाठ्यक्रम की सफल महारत में सर्वोपरि माना गया था। यह आधुनिक कथन के अनुरूप है कि न केवल सरल, बल्कि काफी जटिल समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों को बीजगणितीय विधि के उपयोग से पहले होना चाहिए। शोधकर्ता एन.ए. मेनचिंस्काया, एम.आई. मोरो, ए.वी. स्क्रीपचेंको का मानना ​​है कि यह अंकगणितीय विधि है जो छात्रों को गणितीय निर्भरता खोजने में विश्लेषण, संश्लेषण और अभ्यास का आदी बनाती है। वे समस्या की बेहतर समझ और उसका समाधान खोजने की प्रक्रिया के लिए अंकगणितीय पद्धति के महत्व पर जोर देते हैं, साथ ही सामान्य बौद्धिक क्षमताओं के विकास में अंकगणितीय समस्याओं की भूमिका पर भी जोर देते हैं।

इस संबंध में एन.एफ. तालिज़िना का कहना है कि "यहां तक ​​कि सबसे बुनियादी ज्ञान का गठन भी व्यवस्थित किया जाना चाहिए ताकि यह एक ही समय में सोच, कुछ मानसिक क्षमताओं का निर्माण हो।

छात्रों की क्षमताएँ"। निर्णय लेते समय

शोधकर्ता के अनुसार, अंकगणितीय समस्याएं ऐसे संज्ञानात्मक कौशल बनाती हैं जो अध्ययन किए जा रहे विषय - गणित के दायरे से परे जाती हैं, लेकिन फिर भी इसमें महारत हासिल करने में सफलता सुनिश्चित करती हैं।

बीजीय और अंकगणितीय विधियों का उपयोग करने के लिए इष्टतम तरीकों को विकसित करने की समस्या के लिए शब्द समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में छात्रों की मानसिक गतिविधि की विशेषताओं पर विचार करना आवश्यक था, जो एन.ए. के शोध में परिलक्षित हुआ था। मेनचिंस्काया, एल.वाई.ए. युर-त्सेवा और अन्य।

इन शोधकर्ताओं के अनुसार, अंकगणित और बीजगणितीय समस्या समाधान की प्रक्रिया में मानसिक गतिविधि, इन विधियों की विशेषताओं, अर्थात् विभिन्न गणितीय भाषाओं के उपयोग से जुड़ी है। उपयुक्त विधि की पसंद के आधार पर, स्थिति में निहित प्रारंभिक जानकारी को संसाधित करने और बदलने की संभावनाएं बदल जाती हैं।

इस प्रकार, बीजगणितीय विधि, उपयोग करने की अनुमति देती है वर्णमाला वर्णचयनित अज्ञात को नामित करें, समस्या द्वारा निर्धारित संचालन को समीकरण के रूप में लिखें, और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के एल्गोरिथम परिवर्तन के रूप में समस्या के प्रारंभिक डेटा को बदलने के लिए एक प्रक्रिया का निर्माण करें। समाधान प्रक्रिया के दौरान, मध्यवर्ती बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के अर्थपूर्ण अर्थ पर विचार नहीं किया जाता है। इसलिए, बीजगणितीय विधि का उपयोग करके, केवल प्रारंभिक डेटा और अंतिम परिणाम को समझने तक ही सीमित रहकर समस्या को हल करना संभव है।

निर्णय प्रक्रिया के दौरान, छात्र को पत्र द्वारा इंगित अज्ञात को ध्यान में रखने की आवश्यकता नहीं है। परिवर्तन के प्रत्येक चरण पर प्राप्त समीकरण का अर्थ खोजने की भी आवश्यकता नहीं है। बीजगणितीय विधि का उपयोग करके एक समाधान समस्या स्थितियों के विश्लेषण के शुरुआती चरणों सहित विभिन्न चरणों में पाया जा सकता है, जबकि बीजगणितीय समाधान की प्रक्रिया में डेटा का संश्लेषण मात्राओं के बीच प्रारंभिक निर्भरता पर आधारित होता है और गहरी और व्यापक पर आधारित नहीं होता है। कनेक्शन का विश्लेषण.

अंकगणितीय पद्धति के लिए समाधान के प्रत्येक चरण पर सभी अंकगणितीय परिचालनों को समझना, समाधान के प्रत्येक चरण को वांछित चरण के साथ और समस्या में समग्र रूप से वर्णित समस्या की स्थिति के साथ सहसंबंधित करना आवश्यक है। पर

इस मामले में, समाधान प्रक्रिया के लिए उच्च स्तर के विश्लेषण की आवश्यकता होती है, जिसके दौरान मूल डेटा को नए कनेक्शन में शामिल किया जाता है, जिसके कारण मूल फॉर्मूलेशन की तुलना में मात्राओं के अर्थ और उनके बीच संबंधों के बारे में नई जानकारी सामने आती है। अंकगणितीय समस्या समाधान की प्रक्रिया में संश्लेषण में एक अनुमानी, खोजपूर्ण प्रकृति होती है और प्रारंभिक डेटा और मध्यवर्ती चरणों में प्राप्त समाधानों के बीच निर्भरता का निरंतर अध्ययन होता है। अंकगणितीय विधि में, डेटा संश्लेषण नए कनेक्शन की पहचान पर आधारित होता है, यानी समस्या की स्थितियों को सुधारने की एक निरंतर प्रक्रिया।

एल.वाई.ए. के अध्ययन में बीजगणितीय और अंकगणितीय विधियों का उपयोग करके समाधान की संकेतित मनोवैज्ञानिक विशेषताओं की पुष्टि की गई। युर्टसेवा। यह पाया गया कि बीजगणितीय समस्या समाधान की प्रक्रिया में, गणितीय संबंधों की पर्याप्त स्पष्ट पहचान के बिना वास्तविक स्थिति का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। इसलिए, एक सफल बीजगणितीय समाधान के बाद भी, इन संबंधों को प्रदर्शन किए गए संचालन के साथ संबंध के बिना माना जाता था या विकृत किया गया था।

अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके किसी समस्या को हल करते समय, सभी परिवर्तनों को समझने और प्रत्येक चरण को समस्या की स्थिति के साथ समग्र रूप से सहसंबंधित करने से इसका अधिक संपूर्ण प्रतिनिधित्व और समझ प्राप्त होती है। समाधान की प्रक्रिया में, इस स्थिति के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं पर प्रकाश डाला गया है - गणितीय संबंध। इस कारण से, किसी समस्या को अंकगणित द्वारा हल करने के असफल प्रयास भी विश्लेषण और संश्लेषण के स्तर को बढ़ा देते हैं। विश्लेषण का उच्च स्तर समस्या के अतिरिक्त विश्लेषण की पुष्टि करता है, जो अक्सर उसी समस्या को हल करने की अंकगणितीय पद्धति में संक्रमण के संबंध में एक सफल बीजगणितीय समाधान के बाद छात्रों द्वारा किया जाता है।

इस प्रकार, अंकगणितीय समाधान विधि की जटिलता उच्च स्तर के विश्लेषण और संश्लेषण से जुड़ी है, जो इस तरह से समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आवश्यक है। इसलिए, अंकगणित पद्धति का उपयोग करके जटिल समस्याओं को हल करना हाई स्कूल के छात्रों और, प्रत्येक कक्षा के भीतर, विकलांग छात्रों के लिए अधिक सुलभ है। बढ़ा हुआ स्तरगणितीय प्रशिक्षण.

समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय पद्धति विभिन्न श्रेणियों के छात्रों के लिए सुलभ है, जिनमें निम्न स्तर का गणितीय प्रशिक्षण भी शामिल है। हालाँकि, सोचने के वे कार्य जो छात्र एक ही समय में करते हैं, केवल बाह्य रूप से गणितीय गतिविधियों से मेल खा सकते हैं विकसित व्यक्ति, उसी समय विकास के उस चरण के अनुरूप होता है जिस पर छात्र है।

समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय विधि की उपलब्धता को विश्लेषण और संश्लेषण (निम्न स्तरों सहित) के विभिन्न स्तरों पर इस विधि का उपयोग करके उन्हें सफलतापूर्वक हल करने की संभावना से समझाया गया है। हालाँकि, इस उपलब्धता की अपनी है नकारात्मक पक्ष, क्योंकि यह बौद्धिक गतिविधि के उच्च स्तर पर संक्रमण को उत्तेजित नहीं करता है, जिससे गणित में कमजोर छात्रों को गणितीय सोच के पर्याप्त उच्च स्तर की उपस्थिति बनाने की अनुमति मिलती है।

इसीलिए, स्कूल में समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय पद्धति का उपयोग करते समय, छात्रों की गतिविधियों को उन प्रकार की गतिविधियों के साथ पूरक करना आवश्यक है जो विश्लेषण और संश्लेषण के अधिक जटिल रूपों का अभ्यास करते हैं, जिनका उपयोग अंकगणितीय समस्या समाधान में किया जाता है।

समस्याओं को हल करने के अंकगणित और बीजगणितीय तरीके खेलते हैं अलग भूमिकाछात्रों की मानसिक गतिविधि में। बीजगणितीय विधि का उपयोग सोच के उन गुणों की भरपाई नहीं करता है जो समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय विधि द्वारा बनते हैं। समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तर्क की गैर-मानक प्रकृति पर ध्यान देना भी आवश्यक है, जिसके समाधान के दौरान छात्रों में अनुमानी और रचनात्मक सोच की क्षमता विकसित होती है।

उपरोक्त के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि स्कूल में गणित पढ़ाते समय समस्याओं को हल करने के बीजगणितीय और अंकगणितीय तरीकों का संयोजन संभवतः छात्रों की बौद्धिक क्षमताओं के विकास में योगदान देगा। हालाँकि, अंकगणितीय समस्याओं को हल करना निचली कक्षाओं तक सीमित नहीं होना चाहिए, जो अपेक्षाकृत सरल शब्द समस्याओं का उपयोग करते हैं। अधिक जटिल समस्याएं जो परंपरागत रूप से हाई स्कूल में बीजगणितीय विधि का उपयोग करके हल की जाती हैं, उन्हें ज्यादातर मामलों में अंकगणित विधि का उपयोग करके सफलतापूर्वक हल किया जा सकता है। उसी समस्या का समाधान

अंकगणित और बीजगणितीय तरीकों का उपयोग करने से आप प्रत्येक विशिष्ट मामले में उनमें से सबसे तर्कसंगत को ढूंढ सकते हैं।

बीजगणित के साथ समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों का उपयोग छात्रों के समग्र विकास में योगदान देता है, न केवल तार्किक, बल्कि कल्पनाशील सोच के विकास, प्राकृतिक भाषा की बेहतर महारत, और इससे गणित और संबंधित विषयों को पढ़ाने की प्रभावशीलता बढ़ जाती है। हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि समस्याओं को विभिन्न तरीकों से हल करने की प्रक्रिया में, पाठ विश्लेषण, समस्या की स्थितियों और मुख्य प्रश्न की पहचान करने, समाधान योजना तैयार करने, प्रश्न प्रस्तुत करने और शर्तों की खोज से संबंधित महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल बनते हैं। जिससे प्राप्त परिणाम की जांच करके उत्तर प्राप्त किया जा सकता है। स्कूल में अध्ययन की अवधि के अंत तक, स्नातक के पास अपने शस्त्रागार में समस्याओं को हल करने के विभिन्न तरीकों के साथ-साथ गैर-मानक तरीकों से किसी समस्या का समाधान खोजने का व्यावहारिक अनुभव होना चाहिए।

यह माना जा सकता है कि छात्रों की बौद्धिक क्षमताओं के निर्माण में समस्याओं को हल करने के अंकगणित और बीजगणितीय तरीकों की भूमिका का अध्ययन करने की सबसे बड़ी संभावनाएं ग्रेड 5-6 में हैं, जिसमें मौजूदा कार्यक्रम के अनुसार, अंकगणित से संक्रमण बीजगणितीय विधि होती है. साथ ही, स्कूली गणित पाठ्यक्रम में अंकगणितीय समस्याओं का एक छोटा सा सेट शामिल करके इन कक्षाओं में शब्द समस्याओं के अभ्यास को बदलकर छात्रों की मानसिक क्षमताओं को बढ़ाने का प्रयास किया जा सकता है। पूर्व-क्रांतिकारी पाठ्यपुस्तकें हमें स्कूली बच्चों की बौद्धिक क्षमताओं को विकसित करने के उद्देश्य से अंकगणितीय समस्याओं की एक प्रणाली विकसित करने के लिए उपजाऊ सामग्री प्रदान करती हैं। गलत नियम पद्धति, त्रिगुण नियम पद्धति और अन्य का उपयोग करके हल की गई समस्याएं, इसके अलावा, स्कूली बच्चों के लिए रुचिकर होंगी। इस संबंध में, उदाहरण के लिए, डी. डी. गैलानिन जैसे पूर्व-क्रांतिकारी पद्धतिवादियों के विचार रुचिकर हैं। ओ.ए. के अनुसार सविन और ओ.ए. कोलोम्निकोवा: “ मनोवैज्ञानिक आधारप्राथमिक विद्यालय में गणित शिक्षण, विकासात्मक शिक्षा, गतिविधि-आधारित दृष्टिकोण और प्रयोगशाला कार्य - ये सभी प्रतीत होने वाले सामयिक विषय सौ साल पहले से ही शिक्षाशास्त्र के गहन शोध का विषय थे।

बीसवीं सदी की शुरुआत के हा-शोधकर्ता। दिमित्री दिमित्रिच गैलानिन"। के लिए अनुकूलित का उपयोग करना आधुनिक स्थितियाँघरेलू माध्यमिक विद्यालयों में सदियों से उपयोग की जाने वाली अंकगणितीय समस्याएं और पर आधारित पद्धतिगत विकासपिछली सदी के आरंभ-मध्य में पेश किए गए, इस प्रकार हम न केवल छात्रों की मानसिक गतिविधि के संवर्धन को प्राप्त करने का प्रयास करेंगे, बल्कि सामान्य रूप से मानव जाति की सांस्कृतिक और ऐतिहासिक विरासत में महारत हासिल करने की प्रक्रिया में बौद्धिक क्षमताओं के विकास को भी प्राप्त करेंगे। विशेष रूप से रूसी वैज्ञानिक संस्कृति, समस्याओं के समाधान की खोज से संबंधित है।

उदाहरण के तौर पर, हम ग्रेड 5-6 में अध्ययन के लिए उपयुक्त दो अंकगणितीय समस्याएं देते हैं।

पहली समस्या को हल करने की पद्धति, जिसका प्रयोग प्राचीन काल में गणित पढ़ाने में किया जाता था प्राचीन चीन, ए.वी. द्वारा उद्धृत शेवकिन:

“पिंजरे में अज्ञात संख्या में तीतर और खरगोश हैं। यह ज्ञात है कि संपूर्ण कोशिका में 35 सिर और 94 पैर होते हैं। तीतरों की संख्या और खरगोशों की संख्या ज्ञात करो।”

ए.वी. शेवकिन ने इसे स्वाभाविक रूप से नोट किया है। इस समस्या को बीजगणितीय रूप से सफलतापूर्वक हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण बनाकर:

4x + 2 ■ (35 - x) = 94, जहां x खरगोशों की संख्या है, और इसे हल करें।

हालाँकि, यदि इस समस्या को हल करते समय हमने न केवल सही उत्तर प्राप्त करने का लक्ष्य निर्धारित किया है, बल्कि बच्चों में सोच और कल्पना विकसित करने का भी लक्ष्य रखा है, तो इस मामले में इस समस्या को अंकगणितीय रूप से हल करने के लिए निम्नलिखित विधि को लागू करने की सलाह दी जाती है।

शिक्षक छात्रों से कल्पना करने के लिए कहते हैं कि पिंजरे के ऊपर एक गाजर रखी है जिसमें तीतर और खरगोश बैठे हैं। इस मामले में, पिंजरे में सभी खरगोश गाजर तक पहुंचने के लिए अपने पिछले पैरों पर खड़े होंगे। इसलिए प्रश्न: इस समय जमीन पर कितने फीट होंगे?

बच्चे आसानी से देख लेते हैं कि बाकी पैरों की गिनती नहीं की गई है (ये खरगोशों के अगले पैर हैं)। उनकी संख्या की गणना करना कठिन नहीं है: 94 - 70 = 24 पैर।

दिलचस्प बात यह है कि इसी तरह की समस्या कक्षा 5 की गणित की पाठ्यपुस्तक आई.आई. में दी गई है। जुबरेवा और ए.जी. मोर्दकोविच संख्या 615। लेखक जो विकासात्मक शिक्षा प्रणाली का पालन करते हैं एल.वी. ज़ांकोव, छात्रों को इसे हल करने की अंकगणितीय विधि (ऊपर चर्चा की गई) और बीजगणितीय विधि (चयन विधि का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ एक समीकरण को हल करना) दोनों से परिचित होने के लिए आमंत्रित करते हैं।

एक अन्य समस्या एल.एफ. द्वारा "अंकगणित" से समस्या का एक अनुकूलित संस्करण भी है। मैग्निट्स्की (एस.एन. ओलेचनिक द्वारा प्राचीन समस्याओं के संग्रह में प्रकाशित): “एक गाँव से दूसरे गाँव जा रहे एक राहगीर ने दूसरे राहगीर से पूछा कि उसे चलने में कितना समय बचा है? उसे उत्तर मिला कि वह पहले ही गाँवों के बीच की एक तिहाई दूरी तय कर चुका है, और 2 मील में ठीक आधा रास्ता होगा। राहगीर को अभी भी कितने मील जाना है?

समस्या को बहुत सरलता से अंकगणित द्वारा हल किया जा सकता है, यह ध्यान में रखते हुए कि 2 मील गांवों के बीच की दूरी के 1/2 और 1/3 के बीच का अंतर है। यहां से हमें पता चलता है कि 2 मील कुल दूरी का 1/6 है, इसलिए गांवों के बीच की दूरी 12 मील है। यात्री पहले ही एक तिहाई यानी 4 मील चल चुका है, और उसे अभी भी 8 मील चलना बाकी है। अधिक स्पष्टता के लिए, आप एक आरेख बना सकते हैं।

निष्कर्ष में, हम शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणित और बीजगणितीय तरीकों के उपयोग पर किए गए शोध से कई निष्कर्ष निकालेंगे। स्कूल पाठ्यक्रमअंक शास्त्र:

1) समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय विधि, सबसे पहले, अधिकांश (लेकिन सभी नहीं) पाठ समस्याओं को हल करने के लिए एक सुविधाजनक और प्रभावी उपकरण है, जो अमूर्त सोच के विकास को बढ़ावा देती है;

2) अंकगणितीय विधि मूल्यवान है क्योंकि यह समस्या की स्थितियों और उसे हल करने की प्रक्रिया को समझने में योगदान देती है; न केवल गणितीय सोच विकसित होती है, बल्कि सामान्य बौद्धिक क्षमताएं भी विकसित होती हैं; स्वतंत्रता और रचनात्मक सोच विकसित करता है;

3) स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, समस्याओं को हल करने के दोनों तरीकों को समझदारी से संयोजित करना आवश्यक है, न कि जूनियर ग्रेड द्वारा अंकगणितीय पद्धति के उपयोग तक सीमित -

मील, और मिडिल और हाई स्कूल में बीजगणित के साथ इसका उपयोग करें;

4) बीजगणितीय विधि प्राथमिक विद्यालय में पढ़ाई जा सकती है, लेकिन इसे इस प्रकार नहीं रखा जाना चाहिए सबसे उचित तरीकासमाधान;

5) चूंकि कई समस्याओं के समाधान के लिए कई अंकगणितीय (और यहां तक ​​कि बीजगणितीय) तरीके हैं, इसलिए, यदि संभव हो, तो एक शब्दीय समस्या का समाधान एक में नहीं, बल्कि कई विशिष्ट तरीकों से खोजना चाहिए। कई समाधान विधियों में से सबसे सुंदर एक को चुनने की सलाह दी जाती है - इससे छात्रों को गणितीय घटनाओं के संबंध में सौंदर्य भावनाओं को विकसित करने और शब्द समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में रुचि बढ़ाने की अनुमति मिलेगी;

6) मौजूदा आवश्यकताओं के आधार पर स्कूल के पाठ्यक्रमगणित में, यह माना जा सकता है कि अब छात्रों की बौद्धिक क्षमताओं के निर्माण में समस्याओं को हल करने के अंकगणित और बीजगणितीय तरीकों की भूमिका का अध्ययन करने की सबसे बड़ी संभावनाएं ग्रेड 5-6 हैं, जिसमें, मौजूदा कार्यक्रम के अनुसार, संक्रमण अंकगणित से बीजगणितीय विधि तक होती है। यह अंकगणितीय समस्याओं का एक छोटा सा सेट पेश करके किया जा सकता है जिसका उपयोग ग्रेड 5-6 में शिक्षकों द्वारा किया जाएगा।

1. शिक्षा पर: रूसी संघ का संघीय कानून। एम., 1999. पी. 9.

2. अर्नोल्ड आई.वी. अंकगणितीय समस्याओं के चयन एवं संरचना के सिद्धांत/गणित पद्धति के प्रश्न। आरएसएफएसआर के एपीएन की खबर। एम., 1946. अंक. 6. पृ. 7-28.

3. शेड्रोवित्स्की जी.पी. सोच की तकनीक // गैर-लाभकारी वैज्ञानिक फाउंडेशन "विकास संस्थान के नाम पर। जी.पी. शेड्रोवित्स्की"। 2008. यूके: http://www.fondgp.rU/gp/biblio/rus/7 (पहुँच की तिथि: 08/24/2009)।

4. शेवकिन ए.वी. स्कूली गणित पाठ्यक्रम में पाठ्य समस्याएँ // स्कूली गणित पाठ्यक्रम में पाठ्य समस्याओं की भूमिका। एम., 2006. पीपी. 12-14.

5. तालिज़िना एन.एफ. शैक्षणिक मनोविज्ञान. एम., 1998. पी. 50.

6. युर्टसेवा एल.वाई.ए. बीजगणितीय और अंकगणितीय तरीकों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में छात्रों की मानसिक गतिविधि की विशेषताएं: थीसिस का सार। डिस. ...कैंड. पेड. विज्ञान. एम., 1971. एस. 1-6.

7. सविना ओ.ए., कोलोम्निकोवा ओ.ए. डी. डी. गैलानिन के पद्धतिपरक विचार (150वीं वर्षगाँठ तक)

जन्म) // प्राथमिक विद्यालय। 2007. नंबर 10. पी. 106-112.

8. जुबरेवा एन.आई., मोर्दकोविच ए.जी. अंक शास्त्र। 5 ग्रेड एम., 2005. पीपी. 170-171.

9. ओलेहनिक एस.एन., नेस्टरेंको यू.वी., पोटापोव एम.के. प्राचीन मनोरंजक समस्याएं। एम., 1988. पीपी. 15-16.

6 नवंबर 2009 को संपादक द्वारा प्राप्त किया गया।

मत्स्यगिन एम.ए. अभ्यास समाधान के अंकगणितीय और बीजगणितीय तरीके: मनोवैज्ञानिक-उपदेशात्मक प्रवचन।

लेखएक औसत व्यापक स्कूल के 5-6 ग्रेड में व्यायाम समाधान के अंकगणितीय तरीके के लाभों के लिए समर्पित है। व्यायाम समाधान का ऐसा तरीका व्यायाम समाधान के बीजगणितीय तरीके की तुलना में स्कूली बच्चों की मानसिक क्षमताओं को अधिक विकसित करता है।

मुख्य शब्द: अभ्यास समाधान का अंकगणितीय तरीका; अभ्यास समाधान का बीजगणितीय तरीका; पाठ्य अभ्यास; मानसिक क्षमताएं; तर्कपूर्ण सोच.

जूनियर स्कूल के बच्चों के एकीकृत शिक्षण में शैक्षिक सामग्री का व्यवस्थितकरण

© एल.जेड. स्वेतानोवा-चुरुकोवा

यह लेख व्यवस्थितकरण के प्रकार और कार्यों को परिभाषित करने के लिए समर्पित है शैक्षिक सामग्रीजूनियर स्कूली बच्चों के लिए एकीकृत सीखने की प्रक्रिया में। प्रायोगिक कार्य के आधार पर, छात्रों के ज्ञान में सुधार की संभावनाओं की रूपरेखा तैयार की जाती है प्राथमिक कक्षाएँ.

मुख्य शब्द: व्यवस्थितकरण; एकीकरण; भेदभाव; शिक्षा; शैक्षिक सामग्री; विशेषज्ञ आकलन.

छोटे स्कूली बच्चों में ज्ञान प्रणाली और एल्गोरिथम मॉडल बनाने की प्रक्रिया, जिसे शिक्षाशास्त्र में आमतौर पर व्यवस्थितकरण कहा जाता है, का पूरी तरह से अध्ययन नहीं किया गया है। व्यवस्थितकरण से हमारा तात्पर्य एक प्रणाली में अध्ययन की गई वस्तुओं के एकीकरण से जुड़ी शैक्षिक सामग्री के तर्कसंगत प्रसंस्करण से है। व्यवस्थितकरण के लिए धन्यवाद, नया अर्जित ज्ञान व्यक्ति के वैचारिक तंत्र में बनता है और एक अच्छी तरह से संरचित ज्ञानमीमांसीय अखंडता में एकीकृत होता है। शैक्षिक सामग्री का एक पदानुक्रम होता है, यानी, ज्ञान का एक मूल बनता है, जिसमें माध्यमिक और महत्वहीन की पृष्ठभूमि के खिलाफ शैक्षिक सामग्री के मुख्य, प्रमुख टुकड़े शामिल होते हैं।

छात्रों के लिए ज्ञान को पूरी तरह से आत्मसात करने के लिए एक आवश्यक शर्त इसके साथ काम करना, विभिन्न बौद्धिक और व्यावहारिक कार्यों के माध्यम से विभिन्न तरीकों से इसका उपयोग करना है। नतीजतन, ज्ञान प्रणाली के पीछे तार्किक क्रियाओं की एक प्रणाली होती है, जिसके माध्यम से शैक्षिक सामग्री की सामग्री का पुनर्निर्माण करना और इसके अधिक परिपूर्ण संगठन को प्राप्त करना संभव है। इस अर्थ में, हम सामग्री को अलग करने में सक्षम नहीं हैं

ज्ञान अर्जन प्रक्रिया के परिचालन पक्ष से महत्वपूर्ण पक्ष।

व्यवस्थितकरण सामान्यीकरण का कार्य करता है, ज्ञान का उच्च संश्लेषण करता है और संरचनात्मक भागों से युक्त एक निश्चित अखंडता के रूप में सामग्री की गहरी समझ के लिए एक संक्रमण है। किसी व्यक्ति द्वारा संचित अनुभव को व्यवस्थित करते समय, इसकी आगमनात्मक और निगमनात्मक कमी की जाती है। इस तरह, जटिल संज्ञानात्मक पारस्परिक संक्रमणों को महसूस किया जा सकता है - सिस्टम-विभेदीकरण और सिस्टम-एकीकरण।

सिस्टम-विभेदीकरण दृष्टिकोण के साथ, मुख्य ऑपरेशन अपघटन है। इस ऑपरेशन के माध्यम से, संपूर्ण सिस्टम को उपप्रणालियों, भागों और प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। सिस्टम-एकीकृत दृष्टिकोण के साथ, आंदोलन विपरीत दिशा में किया जाता है - व्यक्तिगत तत्वों से लेकर संपूर्ण सिस्टम की संरचना तक। यहां प्रमुख संचालन रचना है।

ज्ञान को व्यवस्थित करने की प्रक्रिया में, शैक्षिक मॉडलों की एक प्रणाली का एक अनूठा गठन किया जाता है, जो वास्तविकता की एक सामान्यीकृत प्रति का प्रतिनिधित्व करता है। प्रक्रिया के पहले दो चरणों की तुलना में अमूर्त तार्किक गतिविधि का स्तर

§ 1 शब्द समस्याओं को हल करने के तरीके

शब्द समस्याओं को हल करने के कई तरीके हैं:

· अंकगणितीय विधि जोड़, घटाव, गुणा और भाग के अंकगणितीय संक्रियाओं के संख्याओं और संकेतों का उपयोग करके एक शब्द समस्या को हल करने की एक विधि है, अर्थात, संख्याओं पर कई संक्रियाओं का उपयोग करके आपस में जुड़ा हुआ है;

· बीजगणितीय विधि चर पेश करके और संबंधित समीकरण या असमानता, या समीकरणों या असमानताओं की एक प्रणाली तैयार करके एक शब्द समस्या को हल करने की एक विधि है;

· ज्यामितीय विधि ज्यामितीय ज्ञान का उपयोग करके किसी शब्द समस्या को हल करने का एक तरीका है;

· योजनाबद्ध विधि आरेखों का उपयोग करके किसी शब्द समस्या को हल करने का एक तरीका है;

· ग्राफ़िकल विधि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में ग्राफ़ का उपयोग करके पाठ समस्या को हल करने का एक तरीका है।

इनमें से प्रत्येक विधि में समस्या की स्थितियों को गणित की भाषा में अनुवाद करना शामिल है। गणित की इस क्रिया को गणितीय मॉडलिंग कहा जाता है। इस क्रिया के परिणाम को गणितीय मॉडल कहा जाता है। उपयोग करते समय विभिन्न तरीकों सेविभिन्न गणितीय मॉडलों का उपयोग करके समाधान प्राप्त किए जाते हैं। अंकगणितीय विधि में, गणितीय मॉडल एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है, यानी, कई क्रियाओं के साथ एक संख्यात्मक उदाहरण, और गणना का अंतिम परिणाम समस्या का समाधान होगा। बीजगणितीय पद्धति में, गणितीय मॉडल अक्सर एक समीकरण होता है, और समीकरण को हल करने से समस्या का समाधान मिलता है। ज्यामितीय विधि में, गणितीय मॉडल एक ज्यामितीय आकृति हो सकता है, और समस्या का समाधान, उदाहरण के लिए, इस आकृति के पाए गए तत्वों में से एक हो सकता है। योजनाबद्ध विधि में गणितीय मॉडल एक आरेख है जिसकी सहायता से किसी समस्या का समाधान खोजा जाता है। ग्राफ़िकल विधि में, गणितीय मॉडल समस्या की स्थितियों के अनुसार बनाया गया एक ग्राफ़ है। इस पद्धति से समस्या का समाधान ग्राफ़ पर कुछ बिंदुओं के निर्देशांक हो सकते हैं।

§ 2 अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके किसी शब्द समस्या को हल करने का एक उदाहरण

इस पाठ में हम समस्या को हल करने की अंकगणितीय विधि पर करीब से नज़र डालेंगे।

अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का अर्थ है उसका उत्तर खोजना मुख्य प्रश्नकार्य स्थितियों से संख्यात्मक डेटा पर अंकगणितीय संचालन निष्पादित करके कार्य। एक ही समस्या को विभिन्न अंकगणितीय तरीकों से हल किया जा सकता है। वे क्रियाओं की संख्या और किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में इन क्रियाओं को करने के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

उदाहरण के लिए। आइए निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। तीन दोस्त साशा, कोल्या और वाइटा जंगल में मशरूम चुन रहे थे। कोल्या ने 2 बार संग्रह किया कम मशरूम, साशा से, वाइटा - कोल्या से 6 अधिक मशरूम। यदि साशा ने 22 मशरूम एकत्र किए तो तीन दोस्तों ने मिलकर कितने मशरूम एकत्र किए?

तार्किक तर्क के सही पाठ्यक्रम को निर्धारित करने में मदद करता है छोटा लेखएक तालिका के रूप में समस्या की स्थितियाँ।

आइए इस समस्या को कार्यों द्वारा या प्रश्नों द्वारा समस्याओं को हल करने की तथाकथित विधि द्वारा हल करें। सबसे पहले, आइए पहले प्रश्न का उत्तर दें: "कोल्या ने कितने मशरूम एकत्र किए?"

समस्या की शर्तों के अनुसार, "कोल्या ने साशा की तुलना में 2 गुना कम मशरूम एकत्र किए," इसका मतलब है कि प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको 22 को 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है। परिणामस्वरूप, यह पता चला कि कोल्या ने 11 मशरूम एकत्र किए। (22:2=11 (मशरूम) - कोल्या एकत्रित)।

अगला कदम समस्या के दूसरे प्रश्न का उत्तर देना है, "वाइटा ने कितने मशरूम एकत्र किए?" समस्या की शर्तों के अनुसार, "वाइटा ने कोल्या की तुलना में 6 अधिक मशरूम एकत्र किए," इसका मतलब है कि प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपको 6 से 11 जोड़ने की आवश्यकता है। परिणामस्वरूप, यह पता चला कि वाइटा ने 17 मशरूम एकत्र किए।

22+22:2+(22:2+6)=50 मशरूम तीन दोस्तों ने मिलकर एकत्र किये।

अंकगणितीय विधियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँक्रियाओं का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता की तुलना में गणितीय तैयारी के उच्च स्तर को इंगित करता है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. जी.एन. विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों के लिए टिमोफीव गणित। ट्यूटोरियल. पाठ समस्याएँ। - योश्कर-ओला: मार्च। राज्य विश्वविद्यालय, 2006
2. वी. ब्यूलिनिन पाठ समस्याओं को हल करने में ग्राफिक विधियों का अनुप्रयोग। - साप्ताहिक शैक्षिक और कार्यप्रणाली समाचार पत्र "गणित", संख्या 14, 2005।
3. एन.आई. पोपोव, ए.एन. समीकरण बनाने के लिए मारासानोव की समस्याएं। ट्यूटोरियल। योशकर-ओला: मार्च। राज्य विश्वविद्यालय, 2003
4. पर। ज़रीपोवा कार्यक्रम वैकल्पिक पाठ्यक्रम"पाठ समस्याएँ"। http://festival.1september.ru/articles/310281/
5. पर। ज़रीपोवा वीटीएस समूह की समस्याओं को हल करने की पद्धति। वैकल्पिक पाठ्यक्रम "शब्द समस्याओं का समाधान" के लिए सामग्री http://festival.1september.ru/articles/415044/

प्रयुक्त छवियाँ:

एक प्राथमिक विद्यालय के शिक्षक को बस यह जानना होगा कि किस प्रकार की समस्याएं उपलब्ध हैं। आज आप सरल पाठ्य अंकगणितीय समस्याओं के बारे में सीखेंगे। सरल पाठ अंकगणितीय समस्याएँ ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें एक अंकगणितीय ऑपरेशन से हल किया जा सकता है. जब हम किसी समस्या को पढ़ते हैं, तो हम स्वचालित रूप से इसे किसी प्रकार से जोड़ते हैं, और फिर यह तुरंत समझना आसान हो जाता है कि इसे हल करने के लिए क्या कार्रवाई की जानी चाहिए।

मैं आपको न केवल सरल शब्द समस्याओं का वर्गीकरण प्रदान करूंगा, बल्कि उनके उदाहरण भी दूंगा, और अंकगणित विधि का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करने के बारे में भी बताऊंगा। मैंने ग्रेड 2 (भाग 1, भाग 2) के लिए गणित की पाठ्यपुस्तकों से सभी उदाहरण लिए, जिनका उपयोग बेलारूस के स्कूलों में किया जाता है।

सभी सरल अंकगणितीय समस्याओं को दो बड़े समूहों में विभाजित किया गया है:

- AD I (+/-), अर्थात, जो प्रथम-क्रम अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़ या घटाव) द्वारा हल किए जाते हैं;

— AD II (*/:), यानी, जो दूसरे क्रम के अंकगणितीय ऑपरेशन (गुणा या भाग) द्वारा हल किए जाते हैं।

आइए सरल पाठ अंकगणितीय समस्याओं (AD I) के पहले समूह पर विचार करें:

1) समस्याएँ जो जोड़ का विशिष्ट अर्थ प्रकट करती हैं (+)

दौड़ प्रतियोगिता में 4 लड़कियों और 5 लड़कों ने हिस्सा लिया। प्रतियोगिता में कक्षा के कितने विद्यार्थियों ने भाग लिया?

साशा द्वारा 9 उदाहरण हल करने के बाद, उसके पास हल करने के लिए अभी भी 3 और उदाहरण थे। साशा को कितने उदाहरण हल करने की आवश्यकता थी?

निम्नलिखित समस्याओं को जोड़ द्वारा हल किया जाता है: a+b=?

2) समस्याएँ जो घटाव का विशिष्ट अर्थ प्रकट करती हैं (-)

माँ ने 15 पाई पकायीं। 10 पाई खाने के बाद कितनी पाई बचीं?

जार में 15 गिलास जूस था. दोपहर के खाने में हमने 5 गिलास शराब पी। जूस के कितने गिलास बचे हैं?

निम्नलिखित समस्याओं को घटाव द्वारा हल किया जाता है: a-b=?

3) घटकों और जोड़ या घटाव के परिणाम के बीच संबंध पर कार्य:

a) अज्ञात पहला पद ज्ञात करने के लिए (?+a=b)

लड़के ने डिब्बे में 4 पेंसिलें डाल दीं। वहां उनकी संख्या 13 थी। प्रारंभ में बॉक्स में कितनी पेंसिलें थीं?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको क्रिया के परिणाम से सुप्रसिद्ध दूसरे पद को घटाना होगा: b-a=?

बी) अज्ञात दूसरा पद खोजने के लिए (a+?=b)

एक सॉस पैन और केतली में 13 गिलास पानी डाला गया। यदि केतली में 5 गिलास पानी डाला गया तो उसमें कितने गिलास पानी डाला गया?

इस प्रकार की समस्याओं को घटाव द्वारा हल किया जाता है; ज्ञात पहला पद क्रिया के परिणाम से घटाया जाता है: b-a=?

सी) अज्ञात मिनट खोजने के लिए (?-ए=बी)

ओल्गा ने एक गुलदस्ता इकट्ठा किया। उसने फूलदान में 3 रंग डाले, और उसके पास 7 फूल बचे थे। गुलदस्ते में कितने फूल थे?

अंकगणितीय तरीके से, इस प्रकार की शब्द समस्याओं को क्रिया के परिणाम और उपप्रकार को जोड़कर हल किया जाता है: b+a=?

d) अज्ञात उपप्रकार खोजने के लिए (a-?=b)

हमने 2 दर्जन अंडे खरीदे. बेकिंग के लिए कई अंडे लेने के बाद, 15 अंडे बचे हैं। आपने कितने अंडे लिए?

इन समस्याओं को घटाव द्वारा हल किया जाता है: मिनट से हम क्रिया के परिणाम को घटाते हैं: a-b=?

4) प्रत्यक्ष, अप्रत्यक्ष रूप में कई इकाइयों को घटाने/बढ़ाने के कार्य

प्रत्यक्ष रूप में कई इकाइयों द्वारा कटौती से जुड़ी समस्याओं के उदाहरण:

एक डिब्बे में 20 किलो केले थे और दूसरे में 5 किलो कम थे. दूसरे डिब्बे में कितने किलोग्राम केले थे?

प्रथम श्रेणी ने सेब की 19 पेटियाँ एकत्र कीं, और दूसरी श्रेणी ने 4 पेटियाँ कम एकत्र कीं। दूसरी कक्षा ने सेब की कितनी पेटियाँ उठाईं?

इन समस्याओं को घटाव (a-b=?) द्वारा हल किया जाता है

गणित पर दूसरी कक्षा की पाठ्यपुस्तक में मुझे अप्रत्यक्ष रूप में कटौती के साथ-साथ प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप में वृद्धि से जुड़ी समस्याओं का कोई उदाहरण नहीं मिला। यदि आवश्यक हो, तो टिप्पणियों में लिखें और मैं अपने स्वयं के उदाहरणों के साथ लेख को पूरक करूंगा।

5) अंतर तुलना समस्याएं

हंस का वजन 7 किलो और मुर्गे का वजन 3 किलो होता है। एक मुर्गे का वजन हंस से कितने किलोग्राम कम होता है?

पहले बॉक्स में 14 पेंसिलें हैं, और दूसरे बॉक्स में 7 हैं। पहले बॉक्स में दूसरे की तुलना में कितनी अधिक पेंसिलें हैं?

अंतर तुलना से संबंधित शब्द समस्याओं का समाधान बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाकर किया जाता है।

हमने समूह 1 की सरल पाठ अंकगणितीय समस्याओं से निपटना समाप्त कर लिया है और समूह 2 की समस्याओं की ओर बढ़ रहे हैं। यदि आपको कुछ भी अस्पष्ट लगे तो टिप्पणियों में पूछें।

सरल पाठ अंकगणितीय समस्याओं का दूसरा समूह (AD II):

1) समस्याएँ जो गुणन के विशिष्ट अर्थ को प्रकट करती हैं

दो कुत्तों के कितने पैर होते हैं? तीन कुत्ते?

घर के पास तीन कारें खड़ी हैं। प्रत्येक कार में 4 पहिये होते हैं। तीन कारों में कितने पहिये होते हैं?

इन समस्याओं को गुणन द्वारा हल किया जाता है: a*b=?

2) कार्य जो विभाजन के विशिष्ट अर्थ को प्रकट करते हैं:

ए) सामग्री द्वारा

बच्चों को दो-दो के हिसाब से 10 केक बांटे गए। कितने बच्चों को केक मिले?

2 किलो के बैग में 14 किलो आटा है. ऐसे कितने पैकेज?

इन समस्याओं में हम यह पता लगाएंगे कि समान सामग्री वाले कितने भाग प्राप्त हुए।

बी) बराबर भागों में

10 सेमी लंबी एक पट्टी को दो बराबर भागों में काटा गया। प्रत्येक भाग कितना लंबा है?

नीना ने 10 केक को 2 प्लेटों में समान रूप से बाँट दिया। एक प्लेट में कितने केक होते हैं?

और इन समस्याओं में हमें पता चलता है कि एक बराबर भाग की सामग्री क्या है।

जो भी हो, इन सभी समस्याओं का समाधान विभाजन द्वारा किया जाता है: a:b=?

3) घटक और गुणन और भाग के परिणाम के बीच संबंध पर समस्याएं:

ए) अज्ञात पहला कारक खोजने के लिए: ?*a=b

स्वयं का उदाहरण:

कई बक्सों में 6 पेंसिलें हैं। बक्सों में कुल 24 पेंसिलें हैं। कितने डिब्बे?

उत्पाद को विभाजित करके हल किया गया प्रसिद्ध दूसरागुणक: b:a=?

बी) अज्ञात दूसरा कारक खोजने के लिए: a*?=b

कैफे में आप एक टेबल पर 3 लोगों को बैठा सकते हैं। यदि 15 लोग वहां आते हैं तो इनमें से कितनी मेजें भरी होंगी?

उत्पाद को ज्ञात प्रथम कारक से विभाजित करके हल किया गया: b:a=?

ग) अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए: ?:a=b

स्वयं का उदाहरण:

कोल्या कक्षा में कैंडी लाया और इसे सभी छात्रों के बीच समान रूप से वितरित किया। कक्षा में 16 बच्चे हैं। सभी को 3 कैंडी मिलीं। कोल्या कितनी मिठाइयाँ लाया?

भागफल को भाजक से गुणा करके हल किया गया: b*a=?

d) एक अज्ञात भाजक खोजने के लिए: a:?=b

स्वयं का उदाहरण:

वाइटा कक्षा में 44 मिठाइयाँ लेकर आई और उन्हें सभी छात्रों के बीच समान रूप से बाँट दिया। सभी को 2 कैंडी मिलीं। कक्षा में कितने छात्र हैं?

लाभांश को भागफल से विभाजित करके हल किया गया: a:b=?

4) प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप में कई बार बढ़ाने/घटाने के कार्य

दूसरी कक्षा की पाठ्यपुस्तक में ऐसी पाठ्य अंकगणितीय समस्याओं का कोई उदाहरण नहीं मिला।

5) एकाधिक तुलना समस्याएँ

बड़े को छोटे से विभाजित करके हल किया गया।

दोस्तों, सरल शब्द समस्याओं का उपरोक्त संपूर्ण वर्गीकरण सभी शब्द समस्याओं के एक बड़े वर्गीकरण का ही हिस्सा है। इसके अलावा, प्रतिशत खोजने में भी समस्याएँ हैं जिनके बारे में मैंने आपको नहीं बताया। इन सबके बारे में आप इस वीडियो से जान सकते हैं:

और मेरा आभार आपके साथ रहेगा!

शिक्षा विभाग

यारोस्लाव क्षेत्र की राज्य संस्था

"शिक्षा के मूल्यांकन एवं गुणवत्ता नियंत्रण केंद्र"

"अंकगणितीय विधियाँ

शब्द समस्याओं को हल करना

ग्रेड 5-6 में गणित में"

पद्धतिगत विकास

ओरेखोवा ऐलेना युरेविना,

गणित शिक्षक

क्रुकोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय का नगर शैक्षणिक संस्थान

मायशकिंस्की मॉस्को क्षेत्र

यारोस्लाव क्षेत्र.

वैज्ञानिक सलाहकार:

शैक्षणिक विज्ञान के उम्मीदवार,

यारोस्लाव, 2006

परिचय………………………………………………………………………………।

अध्याय I शब्द समस्याएँ और उनकी टाइपोलॉजी…………………………..

1.1. शब्द समस्या की परिभाषा………………………………………………..

1.2 स्कूली गणित पाठ्यक्रम में शब्द समस्याओं की भूमिका……………….

1.3. शब्द समस्याओं को वर्गीकृत करने के विभिन्न दृष्टिकोण………………

1.4. शब्द समस्याओं को हल करने के चरण……………………………………………………

अध्याय II अंकगणित विधि का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करना छात्रों को सिखाने की विधियाँ…………………………………………………………..

2.1. शब्द समस्याओं को हल करने में छात्रों का ज्ञान और कौशल

प्राथमिक विद्यालय का समापन………………………………………………..

2.2. छात्रों को हल करने का तरीका सिखाने के लिए शिक्षक के कार्य की योजना बनाना

अंकगणितीय विधि का उपयोग करके शब्द समस्याएँ…………………………

2.3. समस्या समाधान के प्रत्येक चरण में शिक्षक के कार्य का संगठन…….

2.3.1 कार्य की स्थिति पर शिक्षक के कार्य का संगठन…………..

2.3.2. समाधान योजना तैयार करने में शिक्षक के कार्य का संगठन...

2.3.3. समाधान योजना का क्रियान्वयन……………………………….

2.3.4. पाए गए समाधान का विश्लेषण करें और दूसरों को खोजने के लिए कार्य करें

समाधान विकल्प……………………………………………….

2.4. "प्रक्रियाओं पर" समस्याओं को हल करने के लिए तकनीकों का निर्माण…………..

2.4.1. प्रक्रिया के समय की अवधारणा का गठन………

2.4.2 प्रक्रिया की गति के बारे में अवधारणाओं का निर्माण

और उसका उत्पाद (परिणाम)…………………………………………

2.4.3. संयुक्त कार्रवाई की अवधारणा का गठन…………………….

2.5. विद्यार्थियों द्वारा कार्यों की तैयारी……………………………………………………

निष्कर्ष………………………………………………………………

ग्रंथ सूची …………………………………………..

आवेदन पत्र ……………………………………………………………..

परिचय।

हाल के वर्षों में, बच्चों को गणित के पाठ में इस कार्य के साथ बड़ी कठिनाई हुई है: समस्या को हल करें। ऐसा क्यों हो रहा है? हमें बच्चों को यह सिखाने की आवश्यकता क्यों है कि शब्द समस्याओं को कैसे हल किया जाए और कैसे किया जाए? - ये वे प्रश्न हैं जो मैंने इस कार्य में उठाए हैं।

गणित के पारंपरिक रूसी स्कूल शिक्षण में, शब्द समस्याओं ने एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लिया। ऐतिहासिक रूप से, लंबे समय तक गणितीय ज्ञान व्यावहारिक समस्याओं की सूची और उनके समाधान के रूप में पीढ़ी-दर-पीढ़ी हस्तांतरित होता रहा। एक प्रशिक्षित व्यक्ति वह माना जाता था जो व्यवहार में आने वाली कुछ प्रकार की समस्याओं को हल करना जानता हो।

समय के साथ, समस्याओं के साथ काम करने में सुधार हुआ; इसे एक ऐसी प्रणाली में बनाया गया जिसका छात्रों की सोच और भाषण के विकास पर एक निश्चित प्रभाव पड़ता है, उनकी सरलता और बुद्धि विकसित होती है, जो अभ्यास के साथ अध्ययन किया जा रहा है उसका संबंध दिखाता है।

कार्यों की सहायता से, पाठ विश्लेषण, समस्या की स्थितियों और मुख्य प्रश्न की पहचान करने, एक समाधान योजना तैयार करने, उन स्थितियों की खोज करने से संबंधित महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल बनते हैं जिनसे कोई मुख्य प्रश्न का उत्तर प्राप्त कर सकता है, और प्राप्त परिणाम की जाँच करना। समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियों के उपयोग ने छात्रों के समग्र विकास में योगदान दिया, न केवल तार्किक, बल्कि आलंकारिक सोच का विकास, प्राकृतिक भाषा को बेहतर ढंग से आत्मसात किया और इससे गणित और अन्य विषयों को पढ़ाने की प्रभावशीलता में वृद्धि हुई।

स्कूली विषयों की प्रणाली में अंकगणित की भूमिका और स्थान की समीक्षा करते हुए, समीकरणों और कार्यों के पहले परिचय के माध्यम से गणित की वैज्ञानिक प्रस्तुति में सुधार करने की कोशिश करते हुए, गणितज्ञों ने माना कि समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणित विधियों को पढ़ाने में बहुत अधिक समय खर्च किया गया था। लेकिन शब्द समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय विधियाँ ही बच्चे को बीजगणित में महारत हासिल करने के लिए तैयार करती हैं। और जब ऐसा होता है, तो बीजगणित विद्यार्थियों को कुछ समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणित की तुलना में सरल तरीके प्रदान करेगा।

“गणित की हमारी पारंपरिक घरेलू शिक्षा उच्च स्तर की थी और अंकगणितीय समस्याओं की संस्कृति पर आधारित थी। अगले दो दशकों तक, परिवारों ने पुराने "व्यापारी" कार्यों को बरकरार रखा। अब यह खो गया है. गणित शिक्षण के नवीनतम सुधार (60 के दशक के उत्तरार्ध) का बीजगणितीकरण स्कूली बच्चों को ऑटोमेटा में बदल देता है। अर्थात्, अंकगणितीय दृष्टिकोण हमारे द्वारा पढ़ाए जाने वाले गणित की सार्थकता को प्रदर्शित करता है, ”शिक्षाविद ने लिखा।

हालाँकि, कार्यप्रणाली साहित्य में समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है उद्देश्य मेरा काम विकास है शिक्षण सामग्रीकक्षा 5-6 के विद्यार्थियों को अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करना सिखाना।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, मुझे निम्नलिखित का सामना करना पड़ा कार्य:

Ø इस मुद्दे पर मनोवैज्ञानिक और शैक्षणिक साहित्य का अध्ययन करें;

Ø उन गणित शिक्षकों के अनुभव से परिचित हों जो शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करते हैं और इस दिशा में उनके अनुभव का विश्लेषण करते हैं;

Ø ग्रेड 5-6 में छात्रों को शब्द समस्याओं को हल करना सिखाने की आवश्यकता को उचित ठहराना;

Ø शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियों का लाभ दिखा सकेंगे;

Ø शब्द समस्याओं को हल करने के लिए एक शिक्षण पद्धति विकसित करना और प्रस्तुत करना;

Ø इस पद्धति का उपयोग करके सीखने के परिणामों का विश्लेषण प्रस्तुत करें।

पद्धतिगत विकास में एक परिचय, दो अध्याय, एक निष्कर्ष और एक परिशिष्ट शामिल है। परिचय चुने गए विषय की प्रासंगिकता की पुष्टि करता है, कार्य के उद्देश्य को परिभाषित करता है और उद्देश्य निर्धारित करता है। अध्याय 1 एक शब्द समस्या की परिभाषा प्रदान करता है, समस्याओं को वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न दृष्टिकोण प्रदान करता है, गणित पाठ्यक्रम में शब्द समस्याओं की भूमिका दिखाता है, और अंकगणित विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के चरणों का भी खुलासा करता है। अध्याय 2 अंकगणित पद्धति का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करने के शिक्षण के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें प्रदान करता है; समस्या समाधान के प्रत्येक चरण में शिक्षक का कार्य प्रस्तुत किया जाता है, और "प्रक्रिया" समस्याओं को हल करने का तरीका सिखाने में शिक्षक के कार्य का संगठन अधिक विस्तार से प्रकट होता है।

अध्याय 1।

पाठ्य समस्याएँ और उनकी टाइपोलॉजी।

1.1. शब्द समस्या की परिभाषा.

समस्याओं को हल करने का तरीका जानने के लिए, आपको यह समझने की ज़रूरत है कि वे क्या हैं। कार्य क्या है?

दृष्टिकोण से, कोई भी कार्य एक आवश्यकता या एक प्रश्न है जिसका उत्तर कार्य में निर्दिष्ट शर्तों के आधार पर और उन्हें ध्यान में रखते हुए खोजा जाना चाहिए।

वे समस्याएँ जिनमें किसी शर्त और आवश्यकता के बीच का संबंध शब्दों में तैयार किया जाता है, पाठ समस्याएँ कहलाती हैं। इस मामले में, समस्या और उदाहरण के बीच मुख्य अंतर न केवल पाठ की उपस्थिति है, बल्कि प्राकृतिक (गैर-गणितीय) भाषा में व्यक्त स्थिति या आवश्यकता के हिस्से की उपस्थिति भी है। परिभाषा के अनुसार, वे समस्याएँ जिनमें कम से कम एक वस्तु वास्तविक वस्तु हो, व्यावहारिक (दैनिक, पाठ, कथानक) कहलाती हैं।

पाठ्य कार्य से मेरा तात्पर्य उस कार्य से है जिसमें हम वास्तविक वस्तुओं, प्रक्रियाओं, कनेक्शनों और संबंधों के बारे में बात कर रहे हैं। वास्तविक प्रक्रियाएं गति, कार्य, पूल भरना और खाली करना, खरीदारी, मिश्रण, मिश्र धातुएं आदि हैं। इस शब्दावली का पालन शैक्षणिक विज्ञान के उम्मीदवार, पाठ्यपुस्तकों के लेखक और गणित में शिक्षण सहायक सामग्री द्वारा किया जाता है।

1.2 . स्कूली गणित पाठ्यक्रम में शब्द समस्याओं की भूमिका।

आप स्कूली गणित पाठ्यक्रम में शब्द समस्याओं के महत्व को संक्षेप में निर्धारित कर सकते हैं। किसी कार्य पर कार्य करना:

तार्किक सोच विकसित करता है;

कम्प्यूटेशनल कौशल को समझने और समेकित करने में मदद करता है;

इसका बड़ा व्यावहारिक और शैक्षिक महत्व है।

इस प्रकार वह गणित पाठ्यक्रम में शब्द समस्याओं की भूमिका को परिभाषित करता है:

1. गणित पढ़ाने के लिए शब्द समस्याएँ एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। उनकी मदद से, छात्र मात्राओं के साथ काम करने का अनुभव प्राप्त करते हैं, उनके बीच संबंधों को समझते हैं और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए गणित को लागू करने का अनुभव प्राप्त करते हैं।

2. समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियों के उपयोग से सरलता और बुद्धिमत्ता, प्रश्न पूछने और उनका उत्तर देने की क्षमता विकसित होती है, अर्थात प्राकृतिक भाषा विकसित होती है, स्कूली बच्चों को आगे की शिक्षा के लिए तैयार किया जाता है।

3. शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके आपको समस्या स्थितियों का विश्लेषण करने, ज्ञात और अज्ञात मात्राओं (समस्या के प्रकार को ध्यान में रखते हुए) के बीच संबंधों को ध्यान में रखते हुए एक समाधान योजना बनाने, प्रत्येक क्रिया के परिणाम की व्याख्या करने की क्षमता विकसित करने की अनुमति देते हैं। समस्या की स्थितियों की रूपरेखा, व्युत्क्रम समस्या का उपयोग करके समाधान की शुद्धता की जाँच करें, फिर महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल तैयार करना और विकसित करना है।

4. शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके बच्चों को पहले अमूर्तता के आदी बनाते हैं, उन्हें तार्किक संस्कृति विकसित करने की अनुमति देते हैं, सीखने के लिए अनुकूल भावनात्मक पृष्ठभूमि के निर्माण में योगदान दे सकते हैं, किसी समस्या को हल करने के संबंध में स्कूली बच्चों में सौंदर्य बोध का विकास कर सकते हैं। (एक सुंदर समाधान!) और गणित का अध्ययन, पहले समस्या को हल करने की खोज प्रक्रिया में रुचि जगाता है, और फिर अध्ययन किए जा रहे विषय में।

5. बच्चे को पढ़ाना और बड़ा करना कई मायनों में मानव विकास के चरणों की याद दिलाता है, इसलिए उन्हें हल करने के लिए प्राचीन समस्याओं और विभिन्न अंकगणितीय तरीकों का उपयोग ऐतिहासिक संदर्भ में गणित पढ़ाना संभव बनाता है, जिससे सीखने की प्रेरणा बढ़ती है और रचनात्मक क्षमता का विकास होता है।

जबकि हम बच्चों को रूसी भाषा सिखाएंगे - न केवल महान और शक्तिशाली, बल्कि काफी कठिन भी, जबकि हम उन्हें तुलना करना सिखाना चाहते हैं, किसी लक्ष्य को प्राप्त करने का सबसे सरल तरीका चुनना चाहते हैं, जबकि हमने लचीलेपन और आलोचनात्मक सोच की शिक्षा को नहीं छोड़ा है। , जबकि हम गणित शिक्षण को जीवन से जोड़ने का प्रयास करते हैं, हमारे लिए शब्द समस्याओं के बिना काम करना मुश्किल होगा - रूसी पद्धति के लिए गणित पढ़ाने का एक पारंपरिक साधन।

1.3. शब्द समस्याओं को वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न दृष्टिकोण।

शब्द समस्याओं को वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न दृष्टिकोण हैं। हम समाधान विधियों के अनुसार समस्याओं की टाइपोलॉजी के बारे में बात कर सकते हैं: अंकगणित (क्रियाओं द्वारा या एक अभिव्यक्ति बनाकर), बीजगणितीय (एक समीकरण बनाकर, समीकरणों या असमानताओं की एक प्रणाली), ज्यामितीय (समानता, आंकड़ों के क्षेत्रों आदि का उपयोग करके) . लेकिन यह टाइपोलॉजी, किसी भी अन्य की तरह, सशर्त है, क्योंकि एक ही समस्या को बीजगणितीय और अंकगणितीय दोनों तरीकों से हल किया जा सकता है।

बीसवीं सदी के मध्य तक, यूएसएसआर में समस्याओं की एक विकसित टाइपोलॉजी विकसित हो गई थी, जिसमें शामिल थे: भागों पर समस्याएं, दो संख्याओं को उनके योग और अंतर से, उनके अनुपात और योग (अंतर) से, अंशों पर, प्रतिशत पर। , संयुक्त कार्य आदि पर। शिक्षण विधियों समस्या समाधान काफी अच्छी तरह से विकसित किया गया था, लेकिन व्यवहार में इसका कार्यान्वयन कमियों से मुक्त नहीं था। शिक्षाविद ने उस समय हमारे देश में विकसित समस्या समाधान सिखाने की प्रथा का वर्णन इस प्रकार किया: "छात्रों को - किसी न किसी क्रम में - समस्याओं के संबंधित "प्रकार" से परिचित कराया जाता है, और समस्याओं को हल करना सीखना अक्सर कम हो जाता है व्यंजनों और "प्रशिक्षण", मानक समाधान तकनीकों की एक छोटी संख्या के छात्रों द्वारा निष्क्रिय याद रखने और कुछ संकेतों द्वारा पहचानने के लिए कि उनमें से किसे किसी विशेष मामले में लागू किया जाना चाहिए... परिणाम पूर्ण असहायता और सबसे सरल अंकगणित में नेविगेट करने में असमर्थता है परिस्थितियाँ, जब विशुद्ध रूप से व्यावहारिक समस्याओं को हल किया जाता है..." लेकिन जिस चीज़ की आवश्यकता थी वह कोई तकनीक नहीं थी, बल्कि उसके अनुप्रयोग का अनुपयुक्त अभ्यास था।

विभिन्न प्रक्रियाओं से जुड़ी अंकगणितीय समस्याओं की सामग्री का विश्लेषण - कार्य, गति, ऊर्जा की खपत, पूल भरना और खाली करना, आदि - उनमें तीन परस्पर संबंधित मात्राओं की ओर एक अभिविन्यास देखा जा सकता है: प्रक्रिया की गति, इसके होने में लगने वाला समय और उत्पाद (परिणाम). संकेतित मात्राएँ इन सभी कार्यों का सार हैं।

वास्तव में, आइए निम्नलिखित कार्यों की तुलना करें:

1) एक सामूहिक खेत में गायों और घोड़ों को खिलाने के लिए 2,400 सेंटीमीटर घास तैयार की जाती थी। यदि गाय पर प्रति दिन 8 क्विंटल और घोड़ों पर 4 क्विंटल घास खर्च की जाए तो घास कितने दिनों तक चलेगी?

2) दो शहरों से, जिनके बीच की दूरी 760 किमी है, दो ट्रेनें एक साथ एक-दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं, एक 50 किमी/घंटा की गति से, और दूसरी 45 किमी/घंटा की गति से। वे कितने घंटे में मिलेंगे?

3) एक साथ काम करने वाले दो मैकेनिकों को 120 पार्ट्स बनाने का काम दिया जाता है। यदि एक मैकेनिक प्रति घंटे 7 हिस्से और दूसरा - प्रति घंटे 5 हिस्से पैदा करता है तो इस कार्य को पूरा होने में कितना समय लगेगा?

4) तीन नल एक ही समय में खुले हैं, उनमें से प्रत्येक में प्रति घंटे 150 लीटर पानी बहता है। यदि आपको 1350 लीटर तेल निकालना है तो नल बंद करने में कितना समय लगेगा?

सभी 4 समस्याओं की विषय-वस्तु अलग-अलग है, लेकिन गणितीय संरचना समान है। सभी समस्याओं में, संयुक्त कार्रवाई की स्थिति में किसी प्रक्रिया के घटित होने के समय का पता लगाना आवश्यक है।

इस प्रकार, जैसा कि उन्होंने "अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य तकनीकों का निर्माण" लेख में लिखा है: "अंकगणितीय समस्याओं को टाइप करने का आधार समस्या कथन में प्रस्तुत मात्राओं के संबंधों की विशेषताएं होनी चाहिए, न कि कथानक।

एक प्रारंभिक विश्लेषण से पता चला है कि "प्रक्रियाओं" पर कार्यों और "खरीद और बिक्री" पर कार्यों में संबंधों की एक समान प्रणाली है, अंतर केवल एक विशिष्ट विषय वस्तु में है, जो इस मामले में महत्वपूर्ण नहीं है। छात्रों को अंकगणितीय समस्याओं के इन दो बड़े वर्गों को एक ही प्रकार की किस्मों के रूप में देखने में सक्षम बनाने के लिए विश्लेषण की एक विधि ढूंढी जा सकती है।

दूसरी ओर, यह विचारित तकनीक को भौतिकी पाठ्यक्रम में स्थानांतरित करने का अवसर खोलता है, जहां इसे न केवल गति के अध्ययन में, बल्कि दबाव, घनत्व, यांत्रिक शक्ति आदि के निर्धारण में भी सफलतापूर्वक लागू किया जा सकता है।

1.3 शब्द समस्याओं को हल करने के चरण.

किसी समस्या को हल करने से हमारा तात्पर्य एक ऐसी प्रक्रिया से है जो समस्या की स्थितियों और आवश्यकताओं के विश्लेषण के आधार पर क्रियाओं के आवश्यक अनुक्रम की खोज है, जिसका उद्देश्य समस्या के परिणाम को निर्धारित करना है; इन क्रियाओं को करना और बाद के परिणाम, विश्लेषण और मूल्यांकन प्राप्त करना।

गणित पढ़ाने की पद्धति में हम प्रकाश डालते हैं

समस्या समाधान प्रक्रिया के 4 मुख्य चरण:

1) कार्य के पाठ को समझना और उसकी सामग्री का विश्लेषण करना;

2) समाधान खोजना और समाधान योजना तैयार करना;

3) समाधान योजना का कार्यान्वयन;

4) पाए गए समाधान का विश्लेषण, अन्य समाधान खोजें।

किसी शब्द समस्या पर काम करते समय पहलाइस चरण में कथानक को समझने, स्थिति का वर्णन करने वाली मात्राओं की पहचान करने, इन मात्राओं के बीच विभिन्न निर्भरताएँ स्थापित करने और समस्या की स्थिति द्वारा निर्दिष्ट संबंधों को निर्धारित करने के लिए प्रारंभिक कार्य शामिल है। ऐसे प्रारंभिक विश्लेषण के परिणाम अक्सर योजनाबद्ध संकेतन में आसानी से दर्ज किए जाते हैं। आमतौर पर वे कहते हैं: "एक संक्षिप्त नोट बनाओ।" विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए संक्षिप्त नोट्स भिन्न हो सकते हैं। यह एक तालिका, रेखा या बार चार्ट, योजनाबद्ध चित्र, चित्र आदि के रूप में किया जा सकता है। ऐसा रिकॉर्ड सामग्री को योजनाबद्ध करने का कार्य करता है और डेटा के बीच सभी कनेक्शनों को एक साथ देखना संभव बनाता है।

दूसराकिसी कार्य पर काम करने की अवस्था विद्यार्थियों के लिए सबसे कठिन होती है। इसका परिणाम स्थिति का गणितीय मॉडल होना चाहिए। समाधान ढूंढना सबसे अधिक समय लेने वाला कार्य हो सकता है सामान्य प्रक्रियासमाधान। साथ ही, अक्सर किसी समाधान की खोज एक से अधिक बार करनी पड़ती है, जब पाए गए समाधान को क्रियान्वित करने की प्रक्रिया में हम उसकी भ्रांति या जटिलता के प्रति आश्वस्त हो जाते हैं। हर बार समाधान की खोज विफल होने पर समस्या स्थितियों के विश्लेषण पर लौटना बहुत महत्वपूर्ण है।

समाधान योजना तैयार करना दो तरीकों का उपयोग करके किया जाता है: विश्लेषणात्मक और सिंथेटिक. समस्या के बारे में एक प्रश्न के साथ समाधान विधि का विश्लेषण शुरू करना और इसे योजना के अनुसार आगे बढ़ाना सुविधाजनक है: पता लगाने के लिए, आपको जानना होगा... यह विधि विश्लेषणात्मक है। कभी-कभी समाधान की खोज कृत्रिम रूप से की जाती है। आंकड़ों के आधार पर स्थितियां पहले बनती हैं सरल कार्य. इसे हल करते समय प्राप्त परिणाम और मुख्य समस्या की मात्राओं में से एक हमें एक नई सरल समस्या बनाने की अनुमति देती है; ऐसा तब तक किया जाता है जब तक कि अंतिम सरल समस्या का उत्तर मुख्य कार्य के प्रश्न का उत्तर न हो जाए।

समाधान खोजने की प्रक्रिया में, विश्लेषण और संश्लेषण का उपयोग आमतौर पर एक साथ किया जाता है, अर्थात विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक विधि. इस मामले में, छात्र को यह करने में सक्षम होना चाहिए:

1) मात्राओं के बीच संबंधों का समानता की भाषा में अनुवाद करना;

2) ज्ञात प्रक्रियाओं के लिए सूत्रों का उपयोग करके मात्राओं के बीच संबंध लिखें और सूत्रों से मात्राएँ व्यक्त करें।

तालिका नंबर एक।

बुनियादी संबंध और समानता की भाषा में उनका अनुवाद।

समाधान की अंकगणितीय विधि के साथ, छात्र को एक समस्या में तीन परस्पर संबंधित मात्राएँ खोजने में सक्षम होना चाहिए और, दो ज्ञात का उपयोग करके, अज्ञात का पता लगाना चाहिए।

इसलिए सफल समाधान"प्रक्रियाओं" पर कार्यों में मात्राओं के बीच संबंधों की समझ शामिल होती है: प्रक्रिया की गति (v), इसके घटित होने का समय (t) और कार्य का उत्पाद या परिणाम।

s=v t v=s:t t=s:v

इसके अलावा, प्रक्रिया में एक भागीदार की स्थितियों में और कई प्रतिभागियों की स्थितियों में इन मात्राओं के बीच संबंधों को समझना महत्वपूर्ण है।

तीसरासमस्या के साथ काम करने के चरण में निर्मित गणितीय मॉडल को हल करना, किसी दिए गए स्थिति में गणितीय मॉडल को हल करने के परिणाम की व्याख्या करना शामिल है। किसी समस्या के समाधान की व्याख्या निम्नलिखित रूप ले सकती है:

1. समस्या को हल करने से पहले पूरी योजना बनाना और फिर योजना के प्रत्येक बिंदु पर कार्रवाई करना।

2. एक संक्षिप्त प्रश्न और उसके बाद एक कार्रवाई।

3. प्राप्त परिणामों का संक्षिप्त विवरण।

4. समस्या के संपूर्ण समाधान की विस्तृत मौखिक व्याख्या के बाद सभी क्रियाएं करना।

5. संपूर्ण प्रश्नों का विवरण और उसके बाद समाधान।

व्यवहार में, पहले तीन प्रकार के स्पष्टीकरण का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

पर चौथीकिसी समस्या के साथ काम करने के चरण में, समाधान के परिणाम की जांच करना, समस्या की स्थितियों के साथ परिणाम की तुलना करना और सटीकता के लिए इसकी जांच करना आवश्यक है। इस स्तर पर, अन्य समाधान प्रस्तावित किए जा सकते हैं। सबसे ज्यादा सर्च करें तर्कसंगत तरीकासमाधान विद्यार्थी के विचारों को जागृत करते हैं, बुद्धि का विकास करते हैं और उसे ढर्रे से दूर ले जाते हैं, साथ ही कार्य में रुचि भी बढ़ाते हैं।

अंत में, यदि कोई छात्र किसी समस्या का सावधानीपूर्वक, विचारपूर्वक विश्लेषण करना, प्रत्येक समस्या को विचारपूर्वक हल करना सीखता है, अपनी स्मृति में उन सभी तकनीकों को रिकॉर्ड करना सीखता है जिनके साथ समाधान और समाधान के तरीके पाए गए थे, तो वह धीरे-धीरे किसी भी समस्या को हल करने की क्षमता विकसित कर लेगा, भले ही यह अपरिचित है. एक प्रसिद्ध गणितज्ञ, मॉस्को विश्वविद्यालय के प्रोफेसर, ने इस प्रश्न का उत्तर दिया "किसी समस्या को हल करने का क्या मतलब है?" एक संक्षिप्त उत्तर दिया: "किसी समस्या को हल करने का अर्थ है उसे पहले से ही हल की गई समस्याओं तक सीमित करना।"

दूसरा अध्याय

छात्रों को समाधान सिखाने की पद्धति

अंकगणित विधि द्वारा पाठ्य समस्याएँ।

2.1. प्राथमिक विद्यालय के अंत में शब्द समस्याओं को हल करने में छात्रों का ज्ञान, योग्यताएँ, कौशल।

5वीं कक्षा की शुरुआत तक, छात्रों को मूल्य, मात्रा, लागत जैसी मात्राओं के बीच संबंध पता होना चाहिए; एकसमान गति के साथ समय, गति, पथ; शब्द समस्याओं को हल करने के लिए सीखी गई निर्भरता के ज्ञान को लागू करने में सक्षम हो। ये छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के लिए बुनियादी आवश्यकताएं हैं, जो कार्यक्रम के लिए आवश्यक 5वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम के साथ निरंतरता सुनिश्चित करते हैं।

मुख्य लक्ष्यप्राथमिक विद्यालय में शब्द समस्या समाधान पढ़ाना – बच्चों द्वारा अंकगणितीय संक्रियाओं के अर्थ का सचेतन अधिग्रहण, संबंध "अधिक" - "कम" (कई इकाइयों द्वारा और कई बार), "समान" (या "बराबर"), घटकों और कार्यों के परिणामों के बीच संबंध, संख्याओं की तुलना करने के लिए घटाव (विभाजन) संचालन का उपयोग।

इसलिए, हम निम्नलिखित प्रमुख कार्यों पर प्रकाश डाल सकते हैं जिन्हें प्राथमिक विद्यालय के स्नातकों को हल करने में सक्षम होना चाहिए:

§ मात्राओं का योग ज्ञात करना, यदि इन मात्राओं को प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप में "... अधिक", "... कम", "... गुना अधिक", "... गुना कम" तुलना का उपयोग करके जाना जाता है। ;

§ घटाव और विभाजन की संक्रियाओं का उपयोग करके मात्राओं के बीच अंतर ज्ञात करना;

मूल्य-मात्रा-लागत, एक वस्तु के लिए सामग्री की खपत की दर-चीजों की संख्या-कुल सामग्री की खपत, गति-समय-दूरी;

§ निर्भरता समस्याओं में तीन मात्राओं में से एक का पता लगाना:

2.2. योजना अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करने का तरीका सिखाने पर शिक्षक का कार्य।

प्राथमिक विद्यालय के पाठ्यक्रम द्वारा विद्यार्थियों पर लगाई गई ज्ञान और कौशल की आवश्यकताओं के बावजूद, मेरे कार्य अनुभव से पता चलता है कि प्राथमिक विद्यालय के अधिकांश छात्र 5वीं कक्षा में विशेष रूप से शब्द समस्याओं को हल करने में थोड़ी मात्रा में ज्ञान और कौशल के साथ आते हैं। इसलिए, शैक्षिक सामग्री की पुनरावृत्ति के दौरान 5वीं कक्षा में पहले गणित के पाठ में मेरे काम का मुख्य लक्ष्य शब्द समस्याओं को हल करने सहित छात्रों के ज्ञान और कौशल में अंतराल की पहचान करना है। एक क्रिया में सबसे सरल कार्यों को शामिल किया जा सकता है प्रशिक्षण अभ्यासमानसिक गणना के लिए (परिशिष्ट 1 देखें)। ऐसी समस्याओं को हल करते समय, छात्रों को उन संख्यात्मक डेटा पर ध्यान देना चाहिए जो न केवल संख्याओं में, बल्कि शब्दों में भी व्यक्त किए जाते हैं।

कभी-कभी, समस्याओं का विश्लेषण करते समय, यह पता चलता है कि कुछ छात्र मात्राओं की तुलना करने के लिए शब्दों का गणितीय भाषा में अनुवाद करने में असमर्थ हैं। ऐसे मामलों में, मैं एक तालिका का उपयोग करता हूं जिसे मैं गणित के पहले पाठों में अपने छात्रों के साथ मिलकर बनाता हूं।

तालिका 2

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कार्य प्रकारों को परिभाषित करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण हैं। इस तथ्य के बावजूद कि कोई भी वर्गीकरण सशर्त है, इसके बिना ऐसा करना असंभव है। अपने काम में, शैक्षिक सामग्री की योजना बनाते समय और पाठों की तैयारी करते समय, मैं कुछ तथाकथित बातों पर प्रकाश डालता हूँ मुख्य कार्य, जिसकी समाधान तकनीकों में ग्रेड 5 और 6 के छात्रों को महारत हासिल होनी चाहिए।

1. प्रक्रियाओं के लिए कार्य (आंदोलन के लिए, काम के लिए, स्विमिंग पूल के लिए)

2. दो या दो से अधिक संख्याओं को उनके योग और अंतर से ज्ञात करने में समस्याएँ; दो या दो से अधिक संख्याओं को उनके योग (अंतर) और अनुपात से ज्ञात करने का कार्य।

3. समस्याओं का अनुमान लगाना।

4. प्रतिशत से जुड़ी समस्याएँ।

5. किसी संख्या का एक भाग तथा उसके भाग से एक संख्या ज्ञात करने में समस्याएँ।

6. आनुपातिक निर्भरता पर समस्याएँ।

इन सभी समस्याओं में नये समाधान समाहित हैं। इसलिए, प्रशिक्षण के लिए गंभीर तैयारी की आवश्यकता है।

लेखक की पाठ्यपुस्तकों "गणित 5" और "गणित 6" में, जिनका मैं उपयोग करता हूँ, समस्याएँ हैं अलग - अलग प्रकार"बिखरा हुआ", या तो जटिलता में या समाधान विधियों के संदर्भ में व्यवस्थित नहीं है। जाहिर है, समाधान की उभरती रूढ़िवादिता को नष्ट करने के लिए, छात्रों के कार्य करने के तरीकों में विविधता लाना आवश्यक है। लेकिन, मेरी राय में, किसी नए समाधान में महारत हासिल करते समय, ऐसी विविधता से बचना और "सरल से जटिल की ओर" का पालन करना बेहतर है। और तकनीक में महारत हासिल करने और इसका उपयोग करने का कौशल विकसित होने के बाद ही इसका उपयोग विभिन्न प्रकार की यौगिक समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।

शब्द समस्याओं को हल करने के लिए सबसे लक्षित अंकगणितीय दृष्टिकोण पाठ्यपुस्तकों "अंकगणित 5", "अंकगणित 6" और "गणित 5", "गणित 6" में प्रकट होता है।

चूँकि मैं एक पाठ्यपुस्तक पर काम कर रहा हूँ जिसका उद्देश्य छात्रों को समीकरणों का शीघ्र परिचय देना और शब्द समस्याओं को बीजगणितीय तरीके से हल करना है, इसलिए मैंने समस्या सामग्री के उपयोग के संबंध में विषयगत योजना में कुछ समायोजन किए हैं (परिशिष्ट 2 देखें)।

2.3. समस्या समाधान के प्रत्येक चरण में शिक्षक के कार्य का संगठन।

जैसा कि ऊपर बताया गया है, किसी कार्य पर काम करने में 4 मुख्य चरण शामिल होते हैं। इसके अलावा, सभी चार चरण समान रूप से महत्वपूर्ण हैं। इसलिए, हम विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करते समय प्रत्येक व्यक्तिगत चरण में शिक्षक और छात्रों के काम पर विचार करेंगे।

2.3.1 कार्य की स्थिति के अनुसार शिक्षक के कार्य का संगठन।

पहले चरण में, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि छात्र "कार्य को स्वीकार करें", अर्थात, इसका अर्थ समझें, इसे अपनी गतिविधि का लक्ष्य बनाएं। इस प्रयोजन के लिए, एक संक्षिप्त रिकार्ड तैयार किया जाता है। इसे विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए अलग-अलग तरीके से किया जा सकता है।

1. दो ट्रेनें एक ही स्टेशन से एक ही समय पर विपरीत दिशाओं में रवाना हुईं। एक ट्रेन की गति 50 किमी/घंटा है, और दूसरी की 85 किमी/घंटा है। 3 घंटे बाद ट्रेनों के बीच की दूरी क्या होगी?

योजनाबद्ध ड्राइंग के रूप में इस कार्य (और किसी भी आंदोलन कार्य) का संक्षिप्त विवरण बनाना सुविधाजनक है।

एक ग्राफिक चित्रण छात्रों के लिए एक स्थानिक छवि बनाता है और उन्हें आंदोलन कार्यों में उन निश्चित बिंदुओं को सही ढंग से स्थापित करने में मदद करता है जिनके साथ स्थिति एक चलती वस्तु को जोड़ती है।

दो या दो से अधिक मात्राओं को उनके अनुपात और योग (या अंतर) से ज्ञात करने की समस्याओं के साथ-साथ भागों से जुड़ी समस्याओं में, खंडों के रूप में एक संक्षिप्त नोटेशन लिखना सुविधाजनक होता है। छात्रों को एक उपयुक्त मात्रा को 1 भाग के रूप में स्वीकार करना सीखना चाहिए, यह निर्धारित करना चाहिए कि ऐसे कितने भाग दूसरी मात्रा के हिसाब से, उनके योग (अंतर) से आते हैं।

उदाहरण के लिए:

2. उन्होंने एक शर्ट और टाई के लिए 40 रूबल का भुगतान किया। एक शर्ट एक टाई से 4 गुना अधिक महंगी है। एक टाई की कीमत कितनी है?

3. पहले पैक में दूसरे की तुलना में 10 अधिक नोटबुक थे, और कुल मिलाकर 70 नोटबुक थे। दूसरे पैक में कितनी नोटबुक थीं?

इस समस्या को बार ग्राफ के रूप में संक्षेपित किया जा सकता है।

4. सेनेटोरियम के लिए हमने कुल 9880 रूबल की कीमत पर 12 कुर्सियाँ और 50 कुर्सियाँ खरीदीं। यदि एक कुर्सी की कीमत 86 रूबल है तो एक कुर्सी की कीमत कितनी होगी?.

आप तालिका का उपयोग करके एक संक्षिप्त रिकॉर्ड बना सकते हैं:

		मात्रा	कीमत

5. दो कमरों में 56 लोग थे. जब पहले में 12 और दूसरे में 8 लोग आये तो कमरों में लोगों की संख्या बराबर हो गयी। प्रारंभ में प्रत्येक कमरे में कितने लोग थे?

एक सही ढंग से तैयार किया गया संक्षिप्त नोट कार्य की स्थितियों और आवश्यकताओं के बारे में छात्र के सचेत विश्लेषण को इंगित करता है और आगे के समाधान के लिए एक योजना की रूपरेखा तैयार करता है।

2.3.2. समाधान योजना तैयार करने में शिक्षक के कार्य का संगठन।

अक्सर, किसी समस्या के समाधान की खोज का आयोजन करते समय, विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक पद्धति का उपयोग किया जाता है।

आइए उदाहरण के तौर पर समस्या 1 का उपयोग करते हुए तर्क योजना को देखें।

1. दो रेलगाड़ियाँ एक ही स्टेशन से एक ही समय पर विपरीत दिशाओं में रवाना हुईं। एक ट्रेन की गति 50 किमी/घंटा है, और दूसरी की 85 किमी/घंटा है। 3 घंटे बाद ट्रेनों के बीच की दूरी क्या होगी?

समस्या के लिए 3 घंटे के बाद ट्रेनों के बीच की दूरी का पता लगाना आवश्यक है।

इसके लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

एस, जिसे पहली ट्रेन 3 घंटे में पार कर गई, और एस, जिसे दूसरी ट्रेन 3 घंटे में पार कर गई।

इन दूरियों को निर्धारित करने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

- रफ़्तारप्रत्येक ट्रेन, और यह समस्या में जाना जाता है।

समाधान योजना इस प्रकार है:

1) वह खोजें, जिसे पहली ट्रेन 3 घंटे में पार कर गई

2) वह खोजें, जिसे दूसरी ट्रेन 3 घंटे में पार कर गई

3) कुल दूरी ज्ञात करें।

किसी समस्या के समाधान के लिए योजना बनाने की सुविचारित विधि विश्लेषणात्मक है। कभी-कभी समाधान की खोज कृत्रिम रूप से की जाती है। उदाहरण के लिए, कार्य:

2. युवा कार्यकर्ता ने प्रति घंटे 18 भागों का उत्पादन करते हुए, 8 घंटे में कार्य पूरा किया। यदि उसका गुरु युवा कार्यकर्ता की तुलना में प्रति घंटे 6 भाग अधिक करता है तो उसे उसी कार्य को पूरा करने में कितने घंटे लगेंगे??

संक्षिप्त प्रविष्टि

	मात्रा प्रति घंटा भाग	कार्य के घंटे	कुल भाग
			वही
उपदेशक	6 बच्चों के लिए अधिक - भाग 1 फ़ॉर्मूलाबद्ध गणना तकनीकों का उपयोग कब नहीं करना चाहिए

कॉउटोवेड मारिया, ल्यूडमिला ब्रायंटसेवा

यह कार्य शब्द समस्याओं को हल करने के तरीके दिखाता है।

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पूर्व दर्शन:

म्युनिसिपल शैक्षिक संस्थावोल्गोग्राड में माध्यमिक विद्यालय संख्या 64

शैक्षिक एवं अनुसंधान कार्यों की नगर प्रतियोगिता

"मैं और पृथ्वी" का नाम किसके नाम पर रखा गया है? में और। वर्नाडस्की

(जिला मंच)

हल की अंकगणितीय विधि

गणित में पाठ्य समस्याएँ

अनुभाग "गणित"

द्वारा पूर्ण: ल्यूडमिला ब्रायंटसेवा,

कक्षा 9 ए का छात्र, नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 64,

नीच मैरी,

कक्षा 9 ए का छात्र, नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 64।

प्रमुख: नोस्कोवा इरीना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक, नगर शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 64

वोल्गोग्राड 2014

परिचय …………………………………………………………………… 3

अध्याय 1। गैर-मानक तरीकेसमस्या को सुलझाना

1. "प्राकृतिक संख्याएँ" विषय पर समस्याएँ ……………….. 5

1. . समस्याएँ "भागों और प्रतिशत में" ………………………… 8
2. आंदोलन की समस्याएँ………………………………………… 11
3. सहयोग कार्य………………………… 14

निष्कर्ष ………………………………………………………। 16

साहित्य………………………………………………………। 16

परिचय।

यह ज्ञात है कि ऐतिहासिक रूप से, लंबे समय तक, गणितीय ज्ञान व्यावहारिक समस्याओं की सूची के साथ-साथ उनके समाधानों के रूप में पीढ़ी-दर-पीढ़ी पारित किया जाता था। प्रारंभ में, गणित को मॉडलों का उपयोग करके पढ़ाया जाता था। छात्रों ने, शिक्षक का अनुकरण करते हुए, एक निश्चित "नियम" के आधार पर समस्याओं का समाधान किया। इस प्रकार, प्राचीन काल में, जो व्यक्ति व्यवहार में (व्यापार गणना आदि में) आने वाली कुछ प्रकार की समस्याओं को हल करना जानता था, उसे प्रशिक्षित माना जाता था।

इसका एक कारण यह है कि ऐतिहासिक रूप से, लंबे समय तक, बच्चों को अंकगणित सिखाने का लक्ष्य उन्हें व्यावहारिक गणनाओं से संबंधित कम्प्यूटेशनल कौशल का एक विशिष्ट सेट सिखाना था। उसी समय, अंकगणित की रेखा - संख्याओं की रेखा - अभी तक विकसित नहीं हुई थी, और शिक्षण गणना कार्यों के माध्यम से की जाती थी। "अंकगणित" में एल.एफ. मैग्निट्स्की, उदाहरण के लिए, भिन्नों को नामित संख्याओं के रूप में माना जाता था (सिर्फ नहीं)।, ए समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में रूबल, पूड, आदि), और भिन्नों के साथ क्रियाओं का अध्ययन किया गया। यह परंपरा काफी समय तक चलती रही। बहुत बाद में भी, अविश्वसनीय संख्यात्मक डेटा के साथ समस्याओं का सामना करना पड़ा, उदाहरण के लिए: "प्रति किलोग्राम चीनी बेची रूबल प्रति किलोग्राम...",जिन्हें अभ्यास की ज़रूरतों से नहीं, बल्कि गणना करना सीखने की ज़रूरतों से जीवन में लाया गया था।

रूस में शब्द समस्याओं के उपयोग पर बढ़ते ध्यान का दूसरा कारण यह है कि रूस में उन्होंने न केवल शब्द समस्याओं का उपयोग करके गणितीय ज्ञान और तर्क तकनीकों को प्रसारित करने की प्राचीन पद्धति को अपनाया और विकसित किया। समस्याओं की मदद से, हमने पाठ विश्लेषण से संबंधित महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल बनाना, समस्या की स्थितियों और मुख्य प्रश्न की पहचान करना, एक समाधान योजना तैयार करना, उन स्थितियों की खोज करना सीखा जिनसे मुख्य प्रश्न का उत्तर मिल सके। , और प्राप्त परिणाम की जाँच करना। स्कूली बच्चों को पाठ को अंकगणितीय संक्रियाओं, समीकरणों, असमानताओं और ग्राफिक छवियों की भाषा में अनुवाद करना सिखाने में भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई गई।

जब हम समस्याओं के समाधान की बात करते हैं तो एक और बिंदु जिसे नज़रअंदाज़ नहीं किया जा सकता। सीखना और विकास कई मायनों में मानवता के विकास की याद दिलाता है, इसलिए प्राचीन समस्याओं और उन्हें हल करने के लिए विभिन्न अंकगणितीय तरीकों का उपयोग आपको ऐतिहासिक संदर्भ में जाने की अनुमति देता है, जिससे रचनात्मकता विकसित होती है। इसके अलावा, विभिन्न प्रकार के समाधान बच्चों की कल्पना को जागृत करते हैं और उन्हें हर बार एक नए तरीके से समाधान की खोज को व्यवस्थित करने की अनुमति देते हैं, जिससे सीखने के लिए अनुकूल भावनात्मक पृष्ठभूमि तैयार होती है।

इस प्रकार, इस कार्य की प्रासंगिकता को कई बिंदुओं में संक्षेपित किया जा सकता है:

गणित पढ़ाने के लिए शब्द समस्याएँ एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। उनकी मदद से, छात्र मात्राओं के साथ काम करने का अनुभव प्राप्त करते हैं, उनके बीच संबंधों को समझते हैं, और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए गणित को लागू करने का अनुभव प्राप्त करते हैं;

समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियों के उपयोग से सरलता और बुद्धिमत्ता विकसित होती है, प्रश्न पूछने और उनका उत्तर देने की क्षमता विकसित होती है, अर्थात प्राकृतिक भाषा विकसित होती है;

शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके आपको समस्या स्थितियों का विश्लेषण करने, ज्ञात और अज्ञात मात्राओं के बीच संबंधों को ध्यान में रखते हुए एक समाधान योजना बनाने, प्रत्येक क्रिया के परिणाम की व्याख्या करने, समाधान की रचना और हल करके समाधान की शुद्धता की जांच करने की क्षमता विकसित करने की अनुमति देते हैं। उलटी समस्या;

शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियाँ किसी को अमूर्तता का आदी बनाती हैं, किसी को तार्किक संस्कृति विकसित करने की अनुमति देती हैं, सीखने के लिए अनुकूल भावनात्मक पृष्ठभूमि के निर्माण में योगदान दे सकती हैं, समस्या समाधान और गणित के अध्ययन के संबंध में सौंदर्य बोध का विकास, जागृति पैदा कर सकती हैं। समाधान खोजने की प्रक्रिया में रुचि, और फिर विषय में ही;

ऐतिहासिक समस्याओं और उन्हें हल करने के लिए विभिन्न प्रकार की प्राचीन (अंकगणितीय) विधियों का उपयोग न केवल मानसिक गतिविधि के अनुभव को समृद्ध करता है, बल्कि समस्याओं के समाधान की खोज से जुड़े मानव इतिहास की एक महत्वपूर्ण सांस्कृतिक और ऐतिहासिक परत में महारत हासिल करने की भी अनुमति देता है। समस्याओं का समाधान खोजने और गणित का अध्ययन करने के लिए यह एक महत्वपूर्ण आंतरिक प्रोत्साहन है।

उपरोक्त सभी से, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं:

शोध का विषयग्रेड 5-6 के लिए गणित में पाठ्य समस्याओं का एक खंड है;

अध्ययन की वस्तुसमस्याओं को हल करने का एक अंकगणितीय तरीका है।

इस अध्ययन का उद्देश्यस्कूली गणित पाठ्यक्रम में पर्याप्त संख्या में पाठ्य समस्याओं पर विचार करना और उन्हें हल करने के लिए अंकगणितीय विधि लागू करना है;

अनुसंधान लक्ष्य प्राप्त करने के लिए कार्यपाठ्यक्रम के मुख्य खंडों "प्राकृतिक संख्याएँ", "तर्कसंगत संख्याएँ", "अनुपात और प्रतिशत", "गति समस्याएँ" में शब्द समस्याओं का विश्लेषण और समाधान हैं;

अनुसंधान विधिएक व्यावहारिक खोज इंजन है.

अध्याय 1. समस्याओं को हल करने के गैर-मानक तरीके।

1. "प्राकृतिक संख्याएँ" विषय पर समस्याएँ।

संख्याओं के साथ काम करने के इस चरण में, समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों का बीजगणितीय तरीकों पर पहले से ही लाभ है क्योंकि कार्यों को हल करने में प्रत्येक व्यक्तिगत कदम के परिणाम की पूरी तरह से स्पष्ट और विशिष्ट व्याख्या होती है जो जीवन के अनुभव के दायरे से परे नहीं जाती है। इसलिए, ज्ञात मात्राओं के साथ काल्पनिक क्रियाओं पर आधारित तर्क के विभिन्न तरीकों को एक समाधान विधि की तुलना में तेजी से और बेहतर तरीके से सीखा जाता है जो एक समीकरण के उपयोग के आधार पर विभिन्न अंकगणितीय स्थितियों वाली समस्याओं के लिए आम है।

1. हमने एक संख्या सोची, उसमें 45 की वृद्धि की और 66 प्राप्त किया। वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसके बारे में आपने सोचा था।

समस्या को हल करने के लिए, आप जोड़ और घटाव के संचालन के बीच संबंध की कल्पना करने में मदद के लिए एक योजनाबद्ध ड्राइंग का उपयोग कर सकते हैं। विशेष रूप से प्रभावी सहायताड्राइंग पर होगी अधिकअज्ञात परिमाण वाली गतिविधियाँ.हमने 21 नंबर के बारे में सोचा.

2. गर्मियों में मेरी खिड़की पूरे दिन खुली रहती थी। पहले घंटे में, 1 मच्छर उड़ गया, दूसरे में - 2 मच्छर, तीसरे में - 3, आदि। प्रतिदिन कितने मच्छर उड़ते हैं?

यहां हम सभी पदों को जोड़ियों में विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं (पहला आखिरी के साथ; दूसरा अंतिम के साथ, आदि), प्रत्येक जोड़े का योग ज्ञात करें और जोड़े की संख्या से गुणा करें।

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 12 = 300.

300 मच्छर उड़ गए।

3. मेहमानों ने पूछा: प्रत्येक बहन की उम्र कितनी थी? वेरा ने उत्तर दिया कि वह और नाद्या 28 वर्षों से एक साथ हैं; नाद्या और ल्यूबा की उम्र एक साथ 23 साल है और तीनों की उम्र 38 साल है। प्रत्येक बहन की आयु कितनी है?

1. 38 - 28 = 10 (वर्ष) - ल्यूबा;

2. 23 - 10 = 13 (वर्ष) - नाद्या;

3.28 – 13 = 15 (वर्ष) – वेरा।

ल्यूबा 10 साल की है, नाद्या 13 साल की है, वेरा 15 साल की है।

4. हमारी कक्षा में 30 छात्र हैं। 23 लोग संग्रहालय के भ्रमण पर गए, 21 लोग सिनेमा गए, और 5 लोग भ्रमण या सिनेमा पर नहीं गए। कितने लोग भ्रमण और सिनेमा दोनों पर गए?

आइए समस्या को हल करने पर विचार करें; यह आंकड़ा तर्क के चरणों को दर्शाता है।

1. 30 - 5 = 25 (व्यक्ति) - सिनेमा गए, या

भ्रमण;

1. 25 - 23 = 2 (व्यक्ति) - केवल सिनेमा देखने गए;
2. 21 - 2 = 19 (व्यक्ति) - सिनेमा और देखने गए

भ्रमण.

19 लोग सिनेमा और भ्रमण दोनों में गए।

5. किसी के पास दो प्रकार के 24 बिल हैं - 100 और 500 रूबल प्रत्येक के लिए कुल 4,000 रूबल। उसके पास 500 रूबल के कितने बिल हैं?

चूँकि परिणामी राशि एक "गोल" संख्या है, इसलिए यह इस प्रकार है कि 100 रूबल के बिल की संख्या 1000 का गुणज है। इस प्रकार, 500 रूबल के बिल की संख्या भी 1000 का गुणज है। इसलिए हमारे पास है - 100 रूबल के बिल की संख्या 20 है ; 500 रूबल - 4 बिल।

किसी के पास 500 रूबल के 4 बिल हैं।

6. ट्रेन छूटने के 12 मिनट बाद ग्रीष्मकालीन निवासी अपने घर से स्टेशन पर आया। यदि उसने प्रत्येक किलोमीटर पर 3 मिनट कम खर्च किए होते, तो वह ट्रेन छूटने के ठीक समय पर पहुंच गया होता। ग्रीष्मकालीन निवासी स्टेशन से कितनी दूर रहता है?

प्रति किलोमीटर 3 मिनट कम खर्च करके, एक ग्रीष्मकालीन निवासी 12:3 = 4 किमी की दूरी पर 12 मिनट बचा सकता है।

ग्रीष्मकालीन निवासी स्टेशन से 4 किमी दूर रहता है।

7. झरना 24 मिनट में एक बैरल पानी देता है। झरना प्रति दिन कितने बैरल पानी पैदा करता है?

चूँकि हमें भिन्नों के इर्द-गिर्द काम करने की ज़रूरत है, इसलिए हमें यह पता लगाने की ज़रूरत नहीं है कि बैरल का कौन सा हिस्सा 1 मिनट में भर गया है। आइए जानें कि 5 बैरल भरने में कितने मिनट लगेंगे: 24 · 5 = 120 मिनट, या 2 घंटे। फिर एक दिन में 2 घंटे से 24:2=12 गुना ज्यादा बैरल भर जायेंगे, यानी 5·12=60 बैरल.

वसंत ऋतु में प्रति दिन 60 बैरल का उत्पादन होता है।

8. किसी क्षेत्र में8 मीटर लंबी पुरानी रेल को 12 मीटर लंबी नई रेल से बदलें। 240 पुरानी रेल की जगह कितनी नई रेल की जरूरत है?

24 मीटर लंबे सेक्शन पर 3 पुरानी रेल की जगह 2 नई रेल लगाई जाएंगी। 240: 3 = 80 ऐसे खंडों में रेलें बदली जाएंगी, और उन पर 80 · 2 = 160 नई रेलें लगाई जाएंगी।

160 नई रेल की जरूरत होगी।

9. बेकरी में 654 किलो काली और सफेद ब्रेड थी। 215 किलो काली और 287 किलो सफेद ब्रेड बिकने के बाद दोनों प्रकार की ब्रेड बराबर मात्रा में बची थी। बेकरी में अलग-अलग कितने किलोग्राम काली और सफेद ब्रेड थीं?

1) 215 + 287 = 502 (किलो) - बेची गई ब्रेड;

2) 654 - 502 = 152 (किलो) - बेचने के लिए बची हुई ब्रेड;

3) 152: 2 = 76 (किलो) सफेद (और काली) ब्रेड बेचने के लिए बची है;

4) 215 + 76 = 291 (किलो) - शुरू में काली रोटी थी;

5) 287 + 76 = 363 (किग्रा) - शुरू में सफेद ब्रेड थी।

शुरुआत में 291 किलो काली ब्रेड और शुरुआत में 363 किलो सफेद ब्रेड थी।

1. समस्याएँ "भागों और प्रतिशत में"।

इस अनुभाग की समस्याओं के साथ काम करने के परिणामस्वरूप, 1 भाग के लिए उपयुक्त मान लेना आवश्यक है, यह निर्धारित करें कि ऐसे कितने भाग दूसरे मान पर आते हैं, उनका योग (अंतर), फिर समस्या के प्रश्न का उत्तर प्राप्त करें .

10. पहली ब्रिगेड 20 घंटे में और दूसरी 30 घंटे में कार्य पूरा कर सकती है। सबसे पहले, टीमों ने एक साथ काम करते हुए कार्य का ¾ भाग पूरा किया, और शेष कार्य पहली टीम ने अकेले पूरा किया। कार्य को पूरा करने में कितने घंटे लगे?

कार्य निष्पादन कार्य आंदोलन कार्यों की तुलना में कम स्पष्ट होते हैं। इसलिए, यहां प्रत्येक चरण का विस्तृत विश्लेषण आवश्यक है।

1) यदि पहली टीम अकेले काम करती है, तो वह 20 घंटे में कार्य पूरा कर लेगी - इसका मतलब है कि वह हर घंटे में कार्य पूरा कर लेगीसंपूर्ण कार्य.

2) इसी प्रकार तर्क करते हुए हम दूसरी टीम के लिए श्रम उत्पादकता प्राप्त करते हैं -संपूर्ण कार्य.

3) सबसे पहले, टीमों ने मिलकर काम पूरा कियासंपूर्ण कार्य. उन्होंने कितना समय बिताया?. यानी एक घंटे के संयुक्त कार्य में दोनों टीमें कार्य का बारहवां भाग पूरा करती हैं।

4)फिर वे कार्य को 9 घंटे में पूरा कर लेंगे(अंश के मुख्य गुण के अनुसार)।

5) बस पूरा करना बाकी हैकार्य, लेकिन केवल पहली टीम के लिए, जो 1 घंटे में पूरा करती हैसंपूर्ण कार्य. इसलिए पहली ब्रिगेड को काम करने की जरूरत हैपांच बजे तब से, मामले को समाप्त करने के लिए.

6) अंततः, हमारे पास 5 + 9 = 14 घंटे हैं।

14 घंटे में कार्य पूरा हो जाएगा।

ग्यारह । संस्करणों पहले, दूसरे और तीसरे कुएं से वार्षिक उत्पादन का अनुपात 7:5:13 है। पहले कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन को 5% और दूसरे से 6% कम करने की योजना है। तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन कितने प्रतिशत बढ़ाया जाना चाहिए ताकि प्रति वर्ष उत्पादित तेल की कुल मात्रा में बदलाव न हो??

भागों और प्रतिशत के साथ समस्याएँ समस्याओं का और भी अधिक समय लेने वाला और समझ से बाहर का क्षेत्र है। इसलिए, हमारे लिए उन्हें समझने का सबसे ठोस तरीका संख्यात्मक उदाहरणों के माध्यम से था।उदाहरण 1। बता दें कि वार्षिक तेल उत्पादन 1000 बैरल है। फिर, यह जानते हुए कि यह उत्पादन 25 भागों में विभाजित है (7+5+13=25, यानी एक हिस्सा 40 बैरल है) हमारे पास: पहला टावर 280 बैरल पंप करता है, दूसरा - 200 बैरल, तीसरा - 520 बैरल प्रति वर्ष . यदि उत्पादन 5% कम हो जाता है, तो पहले रिग में 14 बैरल (280·0.05 = 14) की हानि होती है, अर्थात इसका उत्पादन 266 बैरल होगा। यदि उत्पादन 6% घटता है, तो दूसरे रिग में 12 बैरल (200·0.06 = 12) की हानि होती है, अर्थात इसका उत्पादन 188 बैरल होगा।

महज एक साल में ये दोनों मिलकर 454 बैरल तेल पंप करेंगे तो तीसरे टावर को 520 बैरल की जगह 546 बैरल तेल का उत्पादन करना होगा.

उदाहरण 2. बता दें कि वार्षिक तेल उत्पादन 1500 बैरल है। फिर, यह जानते हुए कि यह उत्पादन 25 भागों में विभाजित है (7+5+13=25, यानी एक हिस्सा 60 बैरल है) हमारे पास: पहला टावर 420 बैरल पंप करता है, दूसरा - 300 बैरल, तीसरा - 780 बैरल प्रति वर्ष . यदि उत्पादन 5% कम हो जाता है, तो पहले रिग में 21 बैरल (420·0.05 = 21) का नुकसान होता है, यानी इसका उत्पादन 399 बैरल होगा। उत्पादन में 6% की गिरावट के साथ, दूसरे रिग में 18 बैरल की हानि हुई(300·0.06 = 18), यानी इसका उत्पादन 282 बैरल होगा।

कुल मिलाकर, एक वर्ष में वे एक साथ 681 बैरल तेल पंप करेंगे, फिर तीसरे टावर को 780 बैरल के बजाय 819 बैरल का उत्पादन करने की आवश्यकता होगी।

यह पिछले उत्पादन से 5% अधिक है.

तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन में 5% की वृद्धि करना आवश्यक है ताकि प्रति वर्ष उत्पादित तेल की कुल मात्रा में बदलाव न हो।

हम इसी तरह की समस्या के दूसरे संस्करण पर विचार कर सकते हैं। यहां हम कुछ वेरिएबल का परिचय देते हैं, जो वॉल्यूम इकाइयों का सिर्फ एक "प्रतीक" है।

12. पहले, दूसरे और तीसरे कुओं से वार्षिक तेल उत्पादन की मात्रा का अनुपात 6:7:10 है। पहले कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन को 10% और दूसरे से 10% कम करने की योजना है। तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन कितने प्रतिशत बढ़ाया जाना चाहिए ताकि उत्पादित तेल की कुल मात्रा में बदलाव न हो?

मान लीजिए कि पहले, दूसरे और तीसरे कुओं से वार्षिक तेल उत्पादन की मात्रा कुछ मात्रा इकाइयों के क्रमशः 6x, 7x, 10x के बराबर है।

1) 0.1·6x = 0.6x (इकाइयां) - पहले कुएं पर उत्पादन में कमी;

2)0.1·7x = 0.7x (यूनिट) - दूसरे कुएं पर उत्पादन में कमी;

3) 0.6x + 0.7x = 1.3x (इकाइयाँ) - तीसरे कुएं में तेल उत्पादन की मात्रा में वृद्धि होनी चाहिए;

तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन इस प्रतिशत से बढ़ाया जाना चाहिए।

तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन 13% बढ़ाने की जरूरत है।

13. हमने 60 नोटबुक खरीदीं - पंक्तिबद्ध नोटबुक की तुलना में 2 गुना अधिक चौकोर नोटबुक थीं। एक पंक्तिबद्ध नोटबुक में कितने भाग होते हैं? एक चौकोर नोटबुक पर; सभी नोटबुक के लिए? आपने कितनी पंक्तिबद्ध नोटबुक खरीदीं? प्रति पिंजरा कितने?

किसी समस्या को हल करते समय, एक योजनाबद्ध ड्राइंग पर भरोसा करना बेहतर होता है, जिसे आसानी से एक नोटबुक में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है और समाधान बढ़ने पर आवश्यक नोट्स के साथ पूरक किया जा सकता है। पंक्तिबद्ध नोटबुक्स को 1 भाग बनाने दें, फिर चौकोर नोटबुक्स को 2 भाग बनाने दें।

1) 1 + 2 = 3 (भाग) - सभी नोटबुक को कवर करता है;

2) 60: 3 = 20 (नोटबुक) - 1 भाग के लिए खाते;

3) 20 · 2 = 40 (नोटबुक) - वर्गाकार नोटबुक;

4) 60 - 40 = 20 (नोटबुक) - पंक्तिबद्ध।

हमने 20 पंक्ति वाली नोटबुक और 40 वर्गाकार नोटबुक खरीदीं।

14. 1892 में, कोई व्यक्ति सेंट पीटर्सबर्ग में उतने ही मिनट बिताने के बारे में सोचता है जितने घंटे वह गाँव में बिताता है। सेंट पीटर्सबर्ग में कोई कितना समय बिताएगा?

चूँकि 1 घंटा 60 मिनट के बराबर है और मिनटों की संख्या घंटों की संख्या के बराबर है, तो गाँव में कोई व्यक्ति सेंट पीटर्सबर्ग की तुलना में 60 गुना अधिक समय व्यतीत करेगा (यात्रा के समय को यहाँ ध्यान में नहीं रखा जाता है)। यदि सेंट पीटर्सबर्ग में बिताए गए दिनों की संख्या 1 भाग है, तो गाँव में बिताए गए दिनों की संख्या 60 भाग है। चूँकि हम बात कर रहे हैं अधिवर्ष, तो 1 भाग 366 के बराबर होता है: (60 + 1) = 6 (दिन)।

कोई सेंट पीटर्सबर्ग में 6 दिन बिताएगा।

15. सेब में 78% पानी होता है. उन्हें थोड़ा सुखाया गया और अब उनमें 45% पानी है। सुखाने के दौरान सेबों ने अपने द्रव्यमान का कितना प्रतिशत खो दिया?

माना सेब का द्रव्यमान x किग्रा है, तो इसमें 0.78x किग्रा पानी और x - 0.78x = 0.22x (किग्रा) शुष्क पदार्थ है। सूखने के बाद, शुष्क पदार्थ सूखे सेब के द्रव्यमान का 100 - 45 = 55 (%) होता है, इसलिए सूखे सेब का द्रव्यमान 0.22x: 0.55 = 0.46x (किग्रा) होता है।

तो, सुखाने के दौरान, सेब x - 0.46x = 0.54x, यानी 54% खो गए।

सुखाने के दौरान, सेबों ने अपना 54% द्रव्यमान खो दिया।

16. घास में 82% पानी होता है। इसे थोड़ा सुखाया गया और अब इसमें 55% पानी है। सूखने के दौरान घास का कितना द्रव्यमान कम हुआ?

प्रारंभिक परिस्थितियों में, घास का जीवित वजन 100% - 82% = 18% था।

सूखने के बाद, यह मान 45% तक बढ़ गया, लेकिन घास का कुल द्रव्यमान 40% (45: 18 · 10% = 40%) कम हो गया।

सूखने के दौरान घास ने अपना 40% द्रव्यमान खो दिया।

1. आंदोलन कार्य.

इन कार्यों को पारंपरिक रूप से कठिन माना जाता है। इसलिए, इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए अंकगणितीय विधि का अधिक विस्तार से विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

17. दो साइकिल चालक एक ही समय में बिंदु A से बिंदु B तक यात्रा करते हैं। उनमें से एक की गति दूसरे से 2 किमी/घंटा कम है। जो साइकिल चालक सबसे पहले बी पहुंचा, वह तुरंत वापस चला गया और 1 घंटे 30 मिनट बाद दूसरे साइकिल चालक से मिला। A छोड़ने के बाद बिंदु B से कितनी दूरी पर बैठक हुई?

विषय छवियों और संघों के उदाहरण का उपयोग करके भी इस समस्या का समाधान किया जाता है।

कई उदाहरणों पर विचार करने के बाद, और किसी को भी संख्या पर संदेह नहीं है - दूरी 1.5 किमी है, प्रस्तुत समस्या के आंकड़ों से इसकी खोज को उचित ठहराना आवश्यक है। अर्थात्, 1.5 किमी पहले साइकिल चालक से 2 के अंतराल में आधे का अंतर है: 1.5 घंटे में दूसरा पहले वाले से 3 किमी पीछे रह जाएगा, 1 वापसी के बाद से, दोनों साइकिल चालक आधे अंतर से एक दूसरे के करीब आ जाते हैं तय की गई दूरी, यानी 1.5 किमी. इससे समस्या का उत्तर और इस प्रकार की शब्द समस्याओं को हल करने की विधि का पता चलता है।

बैठक बिंदु बी से 1.5 किमी की दूरी पर हुई।

18. दो ट्रेनें एक ही समय में मास्को से टवर के लिए रवाना हुईं। पहला घंटा 39 मील पर गुजरा और दूसरे, जो घंटा 26 मील पर गुजरा, से दो घंटे पहले टवर में पहुंचा। मास्को से Tver तक कितने मील?

1) 26 · 2 = 52 (वर्स्ट) - पहली ट्रेन से दूसरी ट्रेन कितनी पीछे है;

2) 39 - 26 = 13 (वर्स्ट) - यह 1 घंटे में दूसरी ट्रेन पहली ट्रेन से कितना पिछड़ गई;

3) 52: 13 = 4 (एच) - यह वह समय है जब पहली ट्रेन रास्ते में थी;

4) 39 · 4 = 156 (वर्स्ट) - मॉस्को से टवर की दूरी।

मास्को से Tver तक 156 मील।

1. सहयोग कार्य.

19. एक टीम 9 दिनों में और दूसरी 12 दिनों में कार्य पूरा कर सकती है। पहली टीम ने इस कार्य पर 3 दिन तक काम किया, फिर दूसरी टीम ने कार्य पूरा किया। कार्य कितने दिनों में पूरा हुआ?

1) 1: 9 = (कार्य) - पहली टीम द्वारा एक दिन में पूरा किया जाएगा;

2 ) 3 = (कार्य) - पहली ब्रिगेड द्वारा तीन दिनों में पूरा किया गया;

3) 1 - = (कार्य) - दूसरी ब्रिगेड द्वारा पूरा किया गया;

4) 1: 12 = (कार्य) - दूसरी टीम द्वारा एक दिन में पूरा किया जाएगा;

5) 8 (दिन) - दूसरी टीम ने काम किया;

6) 3 + 8 = 11 (दिन) - कार्य पूरा करने में व्यतीत।

कार्य 11 दिन में पूरा हो गया।

20. एक घोड़ा एक महीने में ढेर सारी घास खाता है, एक बकरी दो महीने में, एक भेड़ तीन महीने में। एक घोड़े, बकरी और भेड़ को एक साथ समान घास खाने में कितना समय लगेगा?

घोड़े, बकरी और भेड़ को 6 महीने तक घास खाने दें। तब घोड़ा 6 गाड़ियाँ खाएगा, बकरी - 3 गाड़ियाँ, भेड़ - 2 गाड़ियाँ। केवल 11 गाड़ियाँ हैं, यानी कि हैंगाड़ी, और एक गाड़ी 1 के लिए खाई जाएगी:= (महीने).

एक घोड़ा, बकरी, भेड़ एक गाड़ी भर घास खाएंगेमहीना।

21. चार बढ़ई एक घर बनाना चाहते हैं। पहला बढ़ई 1 साल में, दूसरा 2 साल में, तीसरा 3 साल में, चौथा 4 साल में घर बना सकता है। यदि वे एक साथ काम करें तो उन्हें घर बनाने में कितना समय लगेगा?

12 वर्षों में, प्रत्येक बढ़ई निम्नलिखित बना सकता है: पहला - 12 घर; दूसरा - 6 घर; तीसरा - 4 घर; चतुर्थ - 3 घर। इस प्रकार, 12 वर्षों में वे 25 घर बना सकते हैं। इसलिए, एक साथ काम करते हुए, वे एक यार्ड का निर्माण करने में सक्षम होंगे 175.2 दिन.

बढ़ई एक साथ काम करके 175.2 दिन में घर बना सकेंगे.

निष्कर्ष।

निष्कर्ष रूप में, यह कहा जाना चाहिए कि अध्ययन में प्रस्तुत समस्याएँ शब्द समस्याओं को हल करने में अंकगणितीय विधियों के उपयोग का एक छोटा सा उदाहरण मात्र हैं। एक बात जरूर कहनी चाहिए महत्वपूर्ण बिंदु– कार्यों का कथानक चुनना। तथ्य यह है कि समस्याओं को हल करते समय सभी कठिनाइयों का पूर्वानुमान लगाना असंभव है। लेकिन फिर भी, किसी भी प्रकार की समस्या को हल करने की विधि में प्रारंभिक महारत हासिल करने के समय, उनका कथानक यथासंभव सरल होना चाहिए।

उपरोक्त उदाहरण एक विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन वे दिशा को दर्शाते हैं - जीवन के प्रति स्कूल का दृष्टिकोण।

साहित्य

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