बच्चों की गणितीय क्षमता। गणितीय क्षमताओं का मनोविज्ञान

स्कूली बच्चों की गणितीय और खेल क्षमताओं के विकास की विशेषताएं

2.1 गणितीय क्षमताओं की मनोवैज्ञानिक संरचना

क्षमता छात्र गणित खेल

गणित ज्ञान, सोच, विकास का एक उपकरण है। यह रचनात्मक संवर्धन के अवसरों में समृद्ध है। एक भी स्कूली विषय एक विचारशील व्यक्ति की शिक्षा में गणित की संभावनाओं का मुकाबला नहीं कर सकता। मानसिक विकास में गणित के विशेष महत्व को 18वीं शताब्दी में एम.वी. लोमोनोसोव: "गणित को बाद में पढ़ाया जाना चाहिए, ताकि यह मन को क्रम में रखे।"

क्षमताओं का आम तौर पर स्वीकृत वर्गीकरण है। इसके अनुसार, क्षमताओं को सामान्य और विशेष में विभाजित किया जाता है, जो किसी व्यक्ति की सफलता को निर्धारित करता है ख़ास तरह केगतिविधियाँ और संचार, जहाँ एक विशेष प्रकार के झुकाव और उनके विकास की आवश्यकता होती है (गणितीय, तकनीकी, साहित्यिक और भाषाई, कलात्मक और रचनात्मक, खेल, आदि)।

गणितीय क्षमता न केवल अच्छी याददाश्त और ध्यान से निर्धारित होती है। एक गणितज्ञ के लिए, तत्वों के क्रम और इन डेटा के साथ काम करने की क्षमता को समझने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। यह अजीबोगरीब अंतर्ज्ञान गणितीय क्षमता का आधार है।

ए. बिनेट, ई. थार्नडाइक और जी. रेव्स जैसे मनोविज्ञान के वैज्ञानिकों और ए. पॉइनकेयर और जे. हैडमार्ड जैसे उत्कृष्ट गणितज्ञों ने गणितीय क्षमताओं के अध्ययन में योगदान दिया। दिशाओं की एक विस्तृत विविधता भी गणितीय क्षमताओं के अध्ययन के दृष्टिकोण में व्यापक विविधता को निर्धारित करती है। बेशक, गणितीय क्षमताओं का अध्ययन परिभाषा के साथ शुरू होना चाहिए। इस तरह के प्रयास बार-बार किए गए हैं, लेकिन अभी भी गणितीय क्षमताओं की कोई स्थापित, संतोषजनक परिभाषा नहीं है। केवल एक चीज जिस पर सभी शोधकर्ता सहमत हैं, शायद यह राय है कि किसी को गणितीय ज्ञान में महारत हासिल करने के लिए साधारण, "स्कूल" क्षमताओं के बीच अंतर करना चाहिए, इसे स्वतंत्र रूप से पुन: पेश करने और लागू करने के लिए, और एक मूल के स्वतंत्र निर्माण से जुड़ी रचनात्मक गणितीय क्षमताओं और रखना सार्वजनिक मूल्यउत्पाद।

1918 में वापस, ए। रोजर्स के काम में, गणितीय क्षमताओं के दो पक्षों को नोट किया गया था, प्रजनन (स्मृति के कार्य से जुड़ा) और उत्पादक (सोच के कार्य से जुड़ा)। डब्ल्यू बेट्ज़ गणितीय क्षमताओं को गणितीय संबंधों के आंतरिक संबंध को स्पष्ट रूप से समझने की क्षमता और गणितीय अवधारणाओं में सटीक रूप से सोचने की क्षमता के रूप में परिभाषित करते हैं।

रूसी लेखकों के कार्यों में, 1918 में प्रकाशित डी। मोर्दुखाई-बोल्टोवस्की "साइकोलॉजी ऑफ मैथमेटिकल थिंकिंग" के मूल लेख का उल्लेख करना आवश्यक है। लेखक, एक विशेषज्ञ गणितज्ञ, ने एक आदर्शवादी स्थिति से लिखा, उदाहरण के लिए, "अचेतन विचार प्रक्रिया" को विशेष महत्व देते हुए, यह तर्क देते हुए कि "गणितज्ञ की सोच अचेतन क्षेत्र में गहराई से अंतर्निहित है, जो अब इसकी सतह पर आ रही है, अब गहराई में उतर रहे हैं। एक गणितज्ञ को अपने विचार के प्रत्येक चरण के बारे में पता नहीं होता है, जैसे कि धनुष की गति का एक कलाप्रवीण व्यक्ति" [ऑप। से 13, पृ. 45]। किसी समस्या के तैयार समाधान की चेतना में अचानक उपस्थिति जिसे हम लंबे समय तक हल नहीं कर सकते हैं, - लेखक लिखते हैं, - हम अचेतन सोच से समझाते हैं, जो कार्य से निपटना जारी रखता है, और परिणाम परे पॉप अप होता है चेतना की दहलीज [सीआईटी। से 13, पृ. 48]। मोर्दचाई-बोल्टोव्स्की के अनुसार, हमारा दिमाग श्रमसाध्य और उत्पादन करने में सक्षम है कड़ी मेहनतअवचेतन में, जहां सभी "मोटा" काम किया जाता है, और विचार का अचेतन कार्य चेतन से भी कम त्रुटि है।

लेखक गणितीय प्रतिभा और गणितीय सोच की पूरी तरह विशिष्ट प्रकृति को नोट करता है। उनका तर्क है कि गणित करने की क्षमता हमेशा अंतर्निहित भी नहीं होती है शानदार लोगकि गणितीय और गैर-गणितीय मन के बीच एक आवश्यक अंतर है। गणितीय क्षमताओं के घटकों को अलग करने का मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की का प्रयास बहुत रुचि का है। वह इन घटकों को विशेष रूप से संदर्भित करता है:

* "मजबूत स्मृति", "जिस प्रकार की वस्तुओं के साथ गणित व्यवहार करता है" के लिए स्मृति, तथ्यों के बजाय स्मृति, लेकिन विचारों और विचारों के लिए स्मृति।

* "बुद्धि", जिसे विचार के दो शिथिल रूप से जुड़े क्षेत्रों से "एक निर्णय में गले लगाने" की क्षमता के रूप में समझा जाता है, पहले से ही ज्ञात कुछ के समान कुछ खोजने के लिए, सबसे दूर से पूरी तरह से समान रूप से कुछ देखने के लिए विषम वस्तुएं।

* विचार की गति (विचार की गति को उस कार्य द्वारा समझाया जाता है जो अचेतन सोच चेतन की मदद करती है)। अचेतन सोच, लेखक के अनुसार, चेतन की तुलना में बहुत तेजी से आगे बढ़ती है।

डी. मोर्दुचाई-बोल्टोव्स्की भी गणितीय कल्पना के प्रकारों पर अपने विचार व्यक्त करते हैं जो अंतर्निहित हैं अलग - अलग प्रकारगणितज्ञ - "जियोमीटर" और "बीजगणित"। अंकगणित, बीजगणित और सामान्य रूप से विश्लेषक, जिनकी खोज सफलता मात्रात्मक प्रतीकों और उनके अंतर्संबंधों के सबसे अमूर्त रूप में की जाती है, एक "जियोमीटर" की तरह कल्पना नहीं कर सकते।

डी.एन. बोगोयावलेंस्की और एन.ए. मेन्चिंस्काया, बच्चों की सीखने की क्षमता में व्यक्तिगत अंतर की बात करते हुए, मनोवैज्ञानिक गुणों की अवधारणा का परिचय देते हैं जो सीखने में सफलता निर्धारित करते हैं, अन्य सभी चीजें समान होती हैं। वे "क्षमता" शब्द का उपयोग नहीं करते हैं, लेकिन संक्षेप में संबंधित अवधारणा ऊपर दी गई परिभाषा के करीब है।

गणितीय क्षमता एक जटिल संरचनात्मक मानसिक गठन है, गुणों का एक प्रकार का संश्लेषण, मन का एक अभिन्न गुण, इसके विभिन्न पहलुओं को शामिल करना और गणितीय गतिविधि की प्रक्रिया में विकसित होना। यह सेट एक गुणात्मक रूप से मूल संपूर्ण है - केवल विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए, हम अलग-अलग घटकों को अलग करते हैं, किसी भी तरह से उन्हें पृथक गुणों के रूप में नहीं मानते हैं। ये घटक निकटता से जुड़े हुए हैं, एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं और अपनी समग्रता में एक एकल प्रणाली बनाते हैं, जिसकी अभिव्यक्तियाँ हम सशर्त रूप से "गणितीय उपहार का सिंड्रोम" कहते हैं।

गणितीय क्षमताओं की संरचना के बारे में बोलते हुए, इस समस्या के विकास में वीए द्वारा योगदान पर ध्यान दिया जाना चाहिए। क्रुतेत्स्की। उनके द्वारा एकत्रित प्रायोगिक सामग्री हमें उन घटकों के बारे में बात करने की अनुमति देती है जो गणितीय प्रतिभा के रूप में मन की ऐसी अभिन्न गुणवत्ता की संरचना में महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

स्कूली उम्र में गणितीय क्षमताओं की संरचना की सामान्य योजना

1. गणितीय जानकारी प्राप्त करना

ए) समस्या की औपचारिक संरचना को कवर करते हुए गणितीय सामग्री की धारणा को औपचारिक रूप देने की क्षमता।

2. गणितीय जानकारी का प्रसंस्करण।

ए) करने की क्षमता तर्कसम्मत सोचमात्रात्मक और स्थानिक संबंधों, संख्यात्मक और सांकेतिक प्रतीकवाद के क्षेत्र में। सोचने की क्षमता गणितीय प्रतीक.

बी) गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को त्वरित और व्यापक रूप से सामान्य बनाने की क्षमता।

सी) गणितीय तर्क की प्रक्रिया और संबंधित क्रियाओं की प्रणाली को कम करने की क्षमता। मुड़ी हुई संरचनाओं में सोचने की क्षमता।

डी) गणितीय गतिविधि में विचार प्रक्रियाओं का लचीलापन।

ई) स्पष्टता, सरलता, मितव्ययिता और निर्णयों की तर्कसंगतता के लिए प्रयास करना।

ई) विचार प्रक्रिया की दिशा को जल्दी और स्वतंत्र रूप से पुनर्गठित करने की क्षमता, प्रत्यक्ष से विपरीत विचार (गणितीय तर्क में विचार प्रक्रिया की प्रतिवर्तीता) पर स्विच करना।

3. गणितीय जानकारी का भंडारण।

ए) गणितीय स्मृति (गणितीय संबंधों के लिए सामान्यीकृत स्मृति, विशिष्ट विशेषताएं, तर्क और प्रमाण योजनाएं, समस्या समाधान के तरीके और उनके दृष्टिकोण के सिद्धांत)

4. सामान्य सिंथेटिक घटक।

ए) दिमाग का गणितीय अभिविन्यास।

गणितीय उपहार की संरचना में वे घटक शामिल नहीं हैं जिनकी इस संरचना में उपस्थिति आवश्यक नहीं है (हालांकि उपयोगी)। इस अर्थ में, वे गणितीय प्रतिभा के संबंध में तटस्थ हैं। हालांकि, संरचना में उनकी उपस्थिति या अनुपस्थिति (अधिक सटीक, विकास की डिग्री) गणितीय मानसिकता के प्रकार निर्धारित करती है।

1. विचार प्रक्रियाओं की गति एक अस्थायी विशेषता के रूप में।

काम की व्यक्तिगत गति महत्वपूर्ण नहीं है। एक गणितज्ञ धीरे-धीरे, भले ही धीरे-धीरे, लेकिन बहुत गहन और गहराई से सोच सकता है।

2. कम्प्यूटेशनल क्षमताएं (जल्दी और सटीक गणना करने की क्षमता, अक्सर दिमाग में)। यह ज्ञात है कि ऐसे लोग हैं जो अपने दिमाग में जटिल गणितीय गणना करने में सक्षम हैं (लगभग तात्कालिक वर्ग और तीन अंकों की संख्या का घन), लेकिन जो किसी भी जटिल समस्या को हल करने में सक्षम नहीं हैं।

यह भी ज्ञात है कि अभूतपूर्व "काउंटर" थे और अभी भी हैं जो गणित को कुछ भी नहीं देते थे, और उत्कृष्ट गणितज्ञ ए। पोंकारे ने अपने बारे में लिखा था कि त्रुटि के बिना जोड़ भी नहीं किया जा सकता है।

3. संख्या, सूत्र, संख्या के लिए मेमोरी। शिक्षाविद के रूप में ए.एन. कोलमोगोरोव, कई उत्कृष्ट गणितज्ञों के पास इस तरह की कोई उत्कृष्ट स्मृति नहीं थी।

4. स्थानिक अभ्यावेदन की क्षमता।

5. अमूर्त गणितीय संबंधों और निर्भरताओं को देखने की क्षमता।

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि गणितीय क्षमताओं की संरचना की योजना छात्र की गणितीय क्षमताओं को संदर्भित करती है। यह नहीं कहा जा सकता है कि इसे किस हद तक गणितीय क्षमताओं की संरचना की एक सामान्य योजना माना जा सकता है, किस हद तक इसे सुस्थापित प्रतिभाशाली गणितज्ञों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

गणितीय मानसिकता के प्रकार।

यह सर्वविदित है कि विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में, क्षमताओं के गुणात्मक संयोजन के रूप में उपहार हमेशा प्रत्येक व्यक्ति के मामले में विविध और अद्वितीय होता है। लेकिन उपहार की गुणात्मक विविधता के साथ, उपहार की संरचना में कुछ बुनियादी टाइपोलॉजिकल अंतरों को रेखांकित करना हमेशा संभव होता है, कुछ प्रकारों को अलग करने के लिए जो एक दूसरे से अलग-अलग तरीकों से अलग-अलग होते हैं। उच्च उपलब्धिसंबंधित क्षेत्र में।

ए. पोंकारे, जे. हैडमार्ड, डी. मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की के कार्यों में विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय प्रकारों का उल्लेख किया गया है, लेकिन इन शब्दों के साथ वे गणित में रचनात्मकता के एक तार्किक, सहज तरीके को जोड़ते हैं।

घरेलू शोधकर्ताओं में, एन.ए. मेनचिंस्काया। उसने छात्रों को निम्नलिखित के सापेक्ष प्रबलता के साथ अलग किया: क) अमूर्त पर आलंकारिक सोच; b) अलंकारिक पर अमूर्त और c) दोनों प्रकार की सोच का सामंजस्यपूर्ण विकास।

कोई यह नहीं सोच सकता कि विश्लेषणात्मक प्रकार केवल बीजगणित में और ज्यामितीय प्रकार ज्यामिति में प्रकट होता है। विश्लेषणात्मक गोदामज्यामिति में दिखाई दे सकता है, और ज्यामितीय - बीजगणित में। वी.ए. क्रुतेत्स्की ने प्रत्येक प्रकार का विस्तृत विवरण दिया।

विश्लेषणात्मक प्रकार।

इस प्रकार के प्रतिनिधियों की सोच कमजोर दृश्य-आलंकारिक पर एक बहुत अच्छी तरह से विकसित मौखिक-तार्किक घटक की स्पष्ट प्रबलता की विशेषता है। वे अमूर्त योजनाओं के साथ आसानी से काम करते हैं। समस्याओं को हल करने में विषय या योजनाबद्ध दृश्य के उपयोग के लिए उन्हें दृश्य समर्थन की कोई आवश्यकता नहीं है, यहां तक ​​​​कि जब समस्या में दिए गए गणितीय संबंध और निर्भरता दृश्य प्रतिनिधित्व "सुझाव" देते हैं।

इस प्रकार के प्रतिनिधि दृश्य-आलंकारिक प्रतिनिधित्व की क्षमता में भिन्न नहीं होते हैं और इसलिए, अधिक कठिन और जटिल तार्किक-विश्लेषणात्मक समाधान पथ का उपयोग करते हैं जहां एक छवि पर निर्भरता बहुत सरल समाधान देती है। वे एक अमूर्त रूप में व्यक्त की गई समस्याओं को बहुत सफलतापूर्वक हल करते हैं, जबकि एक ठोस-दृश्य रूप में व्यक्त की गई समस्याएं उन्हें यथासंभव एक अमूर्त योजना में अनुवादित करने का प्रयास करती हैं। ज्यामितीय आरेख या ड्राइंग के विश्लेषण से जुड़े संचालन की तुलना में अवधारणाओं के विश्लेषण से जुड़े संचालन उनके द्वारा आसान किए जाते हैं।

ज्यामितीय प्रकार

इस प्रकार के प्रतिनिधियों की सोच एक बहुत अच्छी तरह से विकसित दृश्य-आलंकारिक घटक की विशेषता है। इस संबंध में, हम सशर्त रूप से एक अच्छी तरह से विकसित मौखिक-तार्किक घटक पर प्रबलता की बात कर सकते हैं। ये छात्र अमूर्त सामग्री की अभिव्यक्ति की दृश्य व्याख्या की आवश्यकता महसूस करते हैं और इस संबंध में बड़ी चयनात्मकता प्रदर्शित करते हैं। लेकिन अगर वे दृश्य समर्थन बनाने में विफल रहते हैं, समस्याओं को हल करने में उद्देश्य या योजनाबद्ध दृश्य का उपयोग करते हैं, तो वे अमूर्त योजनाओं के साथ शायद ही काम करते हैं। वे हठपूर्वक दृश्य योजनाओं, छवियों, विचारों के साथ काम करने की कोशिश करते हैं, यहां तक ​​​​कि तर्क द्वारा समस्या को आसानी से हल किया जाता है, और दृश्य समर्थन का उपयोग अनावश्यक या कठिन होता है।

हार्मोनिक प्रकार।

इस प्रकार को अच्छी तरह से विकसित मौखिक-तार्किक और दृश्य-आलंकारिक घटकों के सापेक्ष संतुलन की विशेषता है, जिसमें पूर्व प्रमुख भूमिका निभाते हैं। इस प्रकार के प्रतिनिधियों में स्थानिक अभ्यावेदन अच्छी तरह से विकसित हैं। वे अमूर्त संबंधों और निर्भरताओं की दृश्य व्याख्या में चयनात्मक हैं, लेकिन दृश्य छवियां और योजनाएं उनके मौखिक-तार्किक विश्लेषण के अधीन हैं। दृश्य छवियों का उपयोग करते हुए, ये छात्र स्पष्ट रूप से जानते हैं कि सामान्यीकरण की सामग्री विशेष मामलों तक सीमित नहीं है। वे कई समस्याओं को हल करने के लिए एक आलंकारिक-ज्यामितीय दृष्टिकोण को भी सफलतापूर्वक लागू करते हैं।

प्रतीत होता है कि स्थापित प्रकारों का एक सामान्य अर्थ है। कई अध्ययनों से उनकी उपस्थिति की पुष्टि हुई है [सीआईटी। 10 से, पृ. 115]।

गणितीय क्षमताओं की आयु विशेषताएं।

विदेशी मनोविज्ञान में, जे। पियागेट के शुरुआती अध्ययनों के आधार पर, एक स्कूली बच्चे के गणितीय विकास की उम्र से संबंधित विशेषताओं के बारे में विचार अभी भी व्यापक हैं। पियागेट का मानना ​​था कि केवल 12 वर्ष की आयु तक बच्चा अमूर्त चिंतन करने में सक्षम हो जाता है। एक किशोरी के गणितीय तर्क के विकास के चरणों का विश्लेषण करते हुए, एल. शोने इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि दृश्य-विशिष्ट के संदर्भ में, एक स्कूली बच्चा 12-13 साल की उम्र तक सोचता है, और औपचारिक बीजगणित के संदर्भ में सोचता है, जो संचालन में महारत हासिल करने से जुड़ा है, प्रतीक, केवल 17 वर्षों तक विकसित होते हैं।

घरेलू मनोवैज्ञानिकों का एक अध्ययन अलग परिणाम देता है। अधिक पी.पी. ब्लोंस्की ने किशोरी (11-14 वर्ष) में गहन विकास के बारे में सामान्यीकरण और अमूर्त सोच, साक्ष्य को साबित करने और समझने की क्षमता के बारे में लिखा।

एक वाजिब सवाल उठता है: हम छोटे छात्रों के संबंध में गणितीय क्षमताओं के बारे में किस हद तक बात कर सकते हैं? शोध का नेतृत्व आई.वी. डबरोविना, इस प्रश्न का उत्तर इस प्रकार देने के लिए आधार देती है। बेशक, विशेष प्रतिभा के मामलों को छोड़कर, हम इस युग के संबंध में गणितीय क्षमताओं की किसी भी गठित संरचना के बारे में बात नहीं कर सकते। इसलिए, "गणितीय क्षमताओं" की अवधारणा सशर्त है जब छोटे स्कूली बच्चों पर लागू होती है - 7-10 वर्ष की आयु के बच्चे, जब इस उम्र में गणितीय क्षमताओं के घटकों का अध्ययन करते हैं, तो हम आमतौर पर ऐसे घटकों के प्राथमिक रूपों के बारे में ही बात कर सकते हैं। लेकिन प्राथमिक ग्रेड में गणितीय क्षमताओं के व्यक्तिगत घटक पहले से ही बनते हैं।

प्रायोगिक प्रशिक्षण, जो मनोविज्ञान संस्थान (डी.बी. एल्कोनिन, वी.वी. डेविडॉव) के कर्मचारियों द्वारा कई स्कूलों में किया गया था, से पता चलता है कि एक विशेष शिक्षण पद्धति के साथ जूनियर स्कूली बच्चेव्याकुलता और तर्क के लिए आमतौर पर सोची जाने वाली क्षमता से अधिक क्षमता प्राप्त करें। हालाँकि, हालाँकि छात्र की उम्र की विशेषताएँ काफी हद तक उन परिस्थितियों पर निर्भर करती हैं जिनमें सीखने को किया जाता है, यह मान लेना गलत होगा कि वे पूरी तरह से सीखने से बने हैं। इसलिए गलत चरम बिंदुइस प्रश्न पर विचार करते हैं, जब वे मानते हैं कि प्राकृतिक मानसिक विकास का कोई पैटर्न नहीं है। एक अधिक प्रभावी शिक्षण प्रणाली पूरी प्रक्रिया को "बन" सकती है, लेकिन कुछ सीमा तक, विकास का क्रम कुछ हद तक बदल सकता है, लेकिन विकास की रेखा को पूरी तरह से अलग चरित्र नहीं दे सकता।

यहां मनमानी नहीं हो सकती। उदाहरण के लिए, जटिल गणितीय संबंधों और विधियों को सामान्य बनाने की क्षमता सरल गणितीय संबंधों को सामान्य बनाने की क्षमता से पहले नहीं बनाई जा सकती।

इस प्रकार, जिन आयु विशेषताओं का उल्लेख किया गया है, वे कुछ मनमानी अवधारणा हैं। इसलिए, सभी अध्ययन सीखने के प्रभाव में गणितीय क्षमताओं की संरचना के मुख्य घटकों के विकास की सामान्य दिशा पर एक सामान्य प्रवृत्ति पर केंद्रित हैं।

गणितीय क्षमताओं की विशेषताओं में लिंग अंतर।

क्या गणितीय क्षमताओं के विकास की प्रकृति और संबंधित क्षेत्र में उपलब्धि के स्तर पर लिंग अंतर का कोई प्रभाव है? क्या स्कूली उम्र में लड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच की गुणात्मक रूप से अनूठी विशेषताएं हैं?

विदेशी मनोविज्ञान में, ऐसे कार्य हैं जहाँ लड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच की कुछ गुणात्मक विशेषताओं की पहचान करने का प्रयास किया जाता है। वी. स्टर्न, अपनी असहमति के दृष्टिकोण से बात करते हैं, जिसके अनुसार पुरुषों और महिलाओं के मानसिक क्षेत्र में अंतर असमान शिक्षा का परिणाम है। उनकी राय में, कारण विभिन्न आंतरिक झुकावों में हैं। इसलिए, महिलाएं अमूर्त सोच के प्रति कम संवेदनशील होती हैं और इस संबंध में कम सक्षम होती हैं। Ch. स्पीयरमैन और ई. थार्नडाइक के मार्गदर्शन में भी अध्ययन किए गए, वे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि "क्षमताओं के संदर्भ में कोई बड़ा अंतर नहीं है", लेकिन साथ ही वे लड़कियों के लिए विस्तार, याद रखने की एक बड़ी प्रवृत्ति पर ध्यान देते हैं विवरण।

घरेलू मनोविज्ञान में प्रासंगिक अनुसंधान I.V के मार्गदर्शन में किया गया था। डबरोविना और एस.आई. शापिरो, उन्हें कोई गुणवत्ता नहीं मिली विशिष्ट लक्षणलड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच में। जिन शिक्षकों से उन्होंने साक्षात्कार लिया, उन्होंने भी इन अंतरों को इंगित नहीं किया।

बेशक, वास्तव में, लड़कों में गणितीय क्षमता दिखाने की संभावना अधिक होती है।

गणितीय ओलंपियाड में लड़कियों की तुलना में लड़कों के जीतने की संभावना अधिक होती है। लेकिन इस वास्तविक अंतर को पुरुष और महिला व्यवसायों के व्यापक दृष्टिकोण के कारण, लड़कों और लड़कियों की शिक्षा में, परंपराओं में अंतर के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए।

यह इस तथ्य की ओर ले जाता है कि गणित अक्सर लड़कियों के हितों के केंद्र से बाहर होता है।

1. गणितीय क्षमता न केवल अच्छी याददाश्त और ध्यान से निर्धारित होती है। एक गणितज्ञ के लिए, तत्वों के क्रम और इन डेटा के साथ काम करने की क्षमता को समझने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। यह अजीबोगरीब अंतर्ज्ञान गणितीय क्षमता का आधार है।

2. आयु विशेषताएं - यह कुछ मनमानी अवधारणा है। इसलिए, सभी अध्ययन सीखने के प्रभाव में गणितीय क्षमताओं की संरचना के मुख्य घटकों के विकास की सामान्य दिशा पर एक सामान्य प्रवृत्ति पर केंद्रित हैं।

3. घरेलू मनोविज्ञान में प्रासंगिक अध्ययनों ने लड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच में कोई गुणात्मक विशिष्ट विशेषता प्रकट नहीं की।

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निश्चित रूप से आप ऐसे लोगों से मिले हैं जो अपने हाथों में स्लाइड नियम के साथ पैदा हुए प्रतीत होते हैं। गणित की क्षमता किस हद तक प्रकृति द्वारा पूर्व निर्धारित है?

हम सभी के पास एक सहज गणितीय समझ है - यह वह है जो हमें सटीक गिनती का सहारा लिए बिना मोटे तौर पर अनुमान लगाने और वस्तुओं की संख्या की तुलना करने की अनुमति देता है। यह इस भावना के साथ है कि हम लोगों की संख्या की गिनती किए बिना सुपरमार्केट चेकआउट में स्वचालित रूप से सबसे छोटी लाइन चुनते हैं।

लेकिन कुछ लोगों के पास दूसरों की तुलना में बेहतर गणितीय समझ होती है। 2013 में प्रकाशित कई अध्ययन बताते हैं कि यह जन्मजात क्षमता, जो आगे की नींव है सफल अध्ययनगणितीय विज्ञान, अभ्यास और प्रशिक्षण के माध्यम से अत्यधिक विकसित किया जा सकता है।

शोधकर्ताओं ने उन बच्चों के दिमाग में संरचनात्मक विशेषताएं पाईं जो गणित की समस्याओं में सबसे अधिक सफल रहे। ड्यूक यूनिवर्सिटी की मनोवैज्ञानिक एलिजाबेथ ब्रैनन के मुताबिक, अंत में ये नई खोजें सबसे ज्यादा खोजने में मदद कर सकती हैं प्रभावी तरीकेगणित पढ़ाना।

शोध कैसे किया गया?

क्या गणितीय समझ विकसित करना संभव है?

लेकिन जन्मजात क्षमताएं हम पर बिल्कुल भी प्रतिबंध नहीं लगाती हैं। ब्रैनन और उनके सहयोगी जंकू पार्क ने एक छोटे से प्रयोग में भाग लेने के लिए 52 वयस्क स्वयंसेवकों की भर्ती की। प्रयोग के दौरान, प्रतिभागियों को कई अंकगणितीय समस्याओं को हल करना था दहाई का आंकड़ा. समूह का आधा तब 10 प्रशिक्षण सत्रों से गुजरा जिसमें उन्होंने मानसिक रूप से कार्डों पर डॉट्स की संख्या का अनुमान लगाया। नियंत्रण समूह इस तरह के परीक्षणों से नहीं गुजरा। उसके बाद, दोनों समूहों को अंकगणितीय उदाहरणों को फिर से हल करने के लिए कहा गया। यह पाया गया कि प्रशिक्षण सत्र में भाग लेने वाले प्रतिभागियों के परिणाम नियंत्रण समूह के उन प्रतिभागियों से काफी बेहतर थे।

इन दो छोटे अध्ययनों से पता चलता है कि जन्मजात गणित की समझ और अधिग्रहीत गणित कौशल का अटूट संबंध है; एक गुणवत्ता पर काम अनिवार्य रूप से दूसरे के सुधार की ओर ले जाएगा। गणितीय क्षमताओं के प्रशिक्षण के उद्देश्य से बच्चों के खेल वास्तव में गणित के बाद के सीखने में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं।

एक और प्रकाशित अध्ययन यह समझाने में मदद करता है कि कुछ बच्चे दूसरों की तुलना में बेहतर क्यों सीखते हैं। स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी के वैज्ञानिकों ने तीसरी कक्षा के 24 बच्चों को 8 सप्ताह तक विशेष रूप से पढ़ाया पाठ्यक्रमगणितीय मोड़ के साथ। बच्चों के इस समूह के गणितीय कौशल में सुधार का स्तर 8% से 198% तक था और यह बौद्धिक विकास, स्मृति स्तर और संज्ञानात्मक क्षमताओं के परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करता था।

भाग I
व्यक्ति की व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताएं

वी.ए. क्रुतेत्स्की। गणितीय क्षमता और व्यक्तित्व

सबसे पहले, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सक्षम गणितज्ञों की विशेषता और गणित के क्षेत्र में सफल गतिविधि के लिए नितांत आवश्यक है "व्यवसाय में झुकाव और क्षमताओं की एकता", गणित के प्रति एक चुनिंदा सकारात्मक दृष्टिकोण में व्यक्त, गहरी और प्रभावी की उपस्थिति प्रासंगिक क्षेत्र में रुचि, इच्छा और उसमें संलग्न होने की आवश्यकता, नौकरी के लिए भावुक जुनून। इस कार्य के लिए उत्साह का अनुभव किए बिना गणित के क्षेत्र में एक रचनात्मक कार्यकर्ता बनना असंभव है - यह खोज की इच्छा को जन्म देता है, कार्य करने की क्षमता, गतिविधि को जुटाता है। गणित की योग्यता के बिना, इसके लिए कोई वास्तविक योग्यता नहीं हो सकती। यदि छात्र का गणित के प्रति कोई झुकाव महसूस नहीं होता है, तो अच्छी योग्यताएँ भी गणित की पूरी तरह से सफल महारत सुनिश्चित करने की संभावना नहीं हैं। यहां झुकाव और रुचि की भूमिका इस तथ्य पर निर्भर करती है कि एक व्यक्ति जो गणित में रुचि रखता है, वह गहन रूप से इसमें लगा हुआ है, और इसके परिणामस्वरूप, अपनी क्षमताओं का सख्ती से अभ्यास और विकास करता है। गणितज्ञ स्वयं लगातार इस ओर इशारा करते हैं, उनका पूरा जीवन और कार्य इस बात की गवाही देते हैं ...

प्रतिभाशाली छात्रों की विशेषताएं जिन्हें हमने संकलित किया है, स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं कि क्षमताओं को केवल झुकाव की उपस्थिति में या यहां तक ​​​​कि गणितीय गतिविधि (इसके अपेक्षाकृत प्रारंभिक रूपों में) की एक विशिष्ट आवश्यकता के रूप में प्रभावी रूप से विकसित किया जाता है। अपवाद के बिना, हमने जिन बच्चों का अवलोकन किया, उनमें गणित के प्रति गहरी रुचि थी, इसमें संलग्न होने की प्रवृत्ति थी, गणित में ज्ञान प्राप्त करने और समस्याओं को हल करने की अतृप्त इच्छा थी।

एक और चरित्र विशेषता एक सच्चे वैज्ञानिक की विशेषता है - स्वयं के प्रति आलोचनात्मक रवैया, उनकी क्षमताएं, उनकी उपलब्धियां, विनय, उनकी क्षमताओं के प्रति सही दृष्टिकोण। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि एक सक्षम छात्र के प्रति गलत रवैये के साथ - उसकी प्रशंसा करना, उसकी उपलब्धियों को अत्यधिक बढ़ा-चढ़ाकर पेश करना, उसकी क्षमताओं का विज्ञापन करना, दूसरों पर अपनी श्रेष्ठता पर जोर देना - उसकी पसंद, विशिष्टता, संक्रमितता में विश्वास जगाना बहुत आसान है उसे "दंभ के लगातार वायरस" के साथ।

और अंत में, आखिरी। अपने स्तर को ऊपर उठाए बिना किसी व्यक्ति का गणितीय विकास असंभव है सामान्य संस्कृति. व्यक्तित्व के सर्वांगीण, सामंजस्यपूर्ण विकास के लिए हमेशा प्रयास करना चाहिए। गणित को छोड़कर हर चीज के प्रति एक तरह का "शून्यवाद", एकतरफा, "एकतरफा" क्षमताओं का विकास गणितीय गतिविधि में सफलता में योगदान नहीं दे सकता है।

गणितीय उपहार की संरचना की योजना का विश्लेषण करते हुए, हम देख सकते हैं कि गणितीय गतिविधि के अवधारणात्मक, बौद्धिक और स्मरणीय पहलुओं की विशेषताओं में कुछ क्षणों का एक सामान्य अर्थ है ... इसलिए, संरचना की एक विस्तारित योजना को भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है एक अलग, अत्यंत संक्षिप्त सूत्र: गणितीय उपहार की विशेषता गणितीय संबंधों, संख्यात्मक और सांकेतिक प्रतीकवाद और एक गणितीय मानसिकता के क्षेत्र में एक सामान्यीकृत, जटिल और लचीली सोच है। गणितीय सोच की यह विशेषता गणितीय जानकारी को संसाधित करने की गति में वृद्धि की ओर ले जाती है (जो एक छोटी मात्रा के साथ बड़ी मात्रा में जानकारी के प्रतिस्थापन से जुड़ी होती है - सामान्यीकरण और तह के कारण) और, परिणामस्वरूप, न्यूरोसाइकिक बलों को बचाती है ... इन क्षमताओं में बदलती डिग्रीसक्षम, औसत और अक्षम छात्रों में व्यक्त किया गया। सक्षम लोगों के लिए, कुछ शर्तों के तहत, ऐसे संघ "मौके से" बनते हैं, न्यूनतम मात्रा में व्यायाम के साथ। असमर्थ में, वे अत्यधिक कठिनाई से बनते हैं। हालांकि, औसत छात्रों के लिए, ऐसे संघों के क्रमिक गठन के लिए एक आवश्यक शर्त विशेष रूप से आयोजित अभ्यास, प्रशिक्षण की एक प्रणाली है।

गणितीय क्षमताओं की विशिष्टता

सवाल उठता है: विशेष रूप से गणितीय क्षमताओं की पहचान करने वाले घटक किस हद तक हैं?

आइए इस दृष्टिकोण से उन मुख्य क्षमताओं में से एक पर विचार करें जिन्हें हमने गणितीय प्रतिभा की संरचना में पहचाना है - गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को सामान्य बनाने की क्षमता। बेशक, सामान्यीकरण करने की क्षमता स्वभाव से एक सामान्य क्षमता है और आमतौर पर इसकी विशेषता होती है सामान्य सम्पतिसीखने की क्षमता।

लेकिन इस मामले में, हम सामान्यीकरण करने की क्षमता के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकों में व्यक्त मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों को सामान्य बनाने की क्षमता के बारे में बात कर रहे हैं।

हम अपने दृष्टिकोण को कैसे सही ठहरा सकते हैं कि गणितीय सामग्री को सामान्य बनाने की क्षमता एक विशिष्ट क्षमता है?

सबसे पहले, इस तथ्य से कि यह क्षमता खुद को एक विशिष्ट क्षेत्र में प्रकट करती है और अन्य क्षेत्रों में संबंधित क्षमता के प्रकट होने से संबंधित नहीं हो सकती है ... दूसरे शब्दों में, एक व्यक्ति; सामान्य रूप से प्रतिभाशाली, गणित में औसत दर्जे का हो सकता है। डि स्कूल में मेंडेलीव को गणित और भौतिकी के क्षेत्र में बड़ी सफलता मिली और भाषा विषयों में शून्य और एक प्राप्त हुए। जैसा। पुश्किन, जीवनी संबंधी आंकड़ों को देखते हुए, लिसेयुम में अध्ययन करते समय, गणित पर बहुत आँसू बहाए, बहुत काम किया, लेकिन "ध्यान देने योग्य सफलता नहीं दिखाई।"

सच है, गणितीय और उदाहरण के लिए, साहित्यिक प्रतिभा के कई मामले और संयोजन हैं। गणितज्ञ एस। कोवालेवस्काया एक प्रतिभाशाली लेखक थे, उनकी साहित्यिक कृतियों को बहुत महत्व दिया गया था। 19वीं शताब्दी के प्रसिद्ध गणितज्ञ वी. वाई. बनीकोवस्की एक कवि थे। गणित के अंग्रेजी प्रोफेसर Ch.L. डोडसन (19वीं शताब्दी) एक प्रतिभाशाली बच्चों के लेखक थे जिन्होंने प्रसिद्ध पुस्तक एलिस इन वंडरलैंड लुईस कैरोल के छद्म नाम से लिखी थी। दूसरी ओर, कवि वी. जी. बेनेडिकटोव ने अंकगणित पर एक लोकप्रिय पुस्तक लिखी। जैसा। ग्रिबेडोव ने विश्वविद्यालय के गणितीय संकाय में सफलतापूर्वक अध्ययन किया। प्रसिद्ध नाटककार ए.वी. सुखोवो-कोबिलिन ने मास्को विश्वविद्यालय में गणितीय शिक्षा प्राप्त की, गणित में महान क्षमता दिखाई, और अपने काम "एक कैटेनरी लाइन का सिद्धांत" के लिए स्वर्ण पदक प्राप्त किया। गणित में गंभीरता से रुचि रखने वाले एन.वी. गोगोल। एम.यू. लेर्मोंटोव को गणितीय समस्याओं को हल करने का बहुत शौक था। अंकगणित पढ़ाने की कार्यप्रणाली में गंभीरता से लगे एल.एन. टॉल्स्टॉय।

दूसरे, कोई भी कई विदेशी अध्ययनों की ओर इशारा कर सकता है, जिन्होंने दिखाया है (हालांकि केवल परीक्षण पद्धति और सहसंबंध और कारक विश्लेषण पर आधारित) खुफिया संकेतक के बीच एक कमजोर सहसंबंध (यह ज्ञात है कि सामान्यीकरण करने की क्षमता सबसे महत्वपूर्ण में से एक है) सामान्य बुद्धि की विशेषताएं) और गणित में उपलब्धि के लिए परीक्षण।

तीसरा, अपने दृष्टिकोण को पुष्ट करने के लिए, हम स्कूल में बच्चों के शैक्षिक संकेतकों (ग्रेड) का उल्लेख कर सकते हैं। कई शिक्षक बताते हैं कि अन्य विषयों में छात्र की सीखने की गतिविधि की विशेषता के बिना किसी एक विषय में जल्दी और गहराई से सामान्यीकरण करने की क्षमता प्रकट हो सकती है। हमारे कुछ विषय, जिन्होंने दिखाया, उदाहरण के लिए, गणित के क्षेत्र में "मौके से" सामान्यीकरण करने की क्षमता, साहित्य, इतिहास या भूगोल के क्षेत्र में यह क्षमता नहीं थी। उल्टे मामले भी थे: जिन छात्रों ने साहित्य, इतिहास या जीव विज्ञान में सामग्री को अच्छी तरह से संक्षेप और व्यवस्थित किया और गणित के क्षेत्र में समान क्षमता नहीं दिखाई।

उपरोक्त सभी हमें गणितीय क्षमताओं की विशिष्टता के बारे में एक बयान तैयार करने की अनुमति देते हैं निम्नलिखित रूप- एक छात्र की मानसिक गतिविधि की कुछ विशेषताएं केवल उसकी गणितीय गतिविधि को चिह्नित कर सकती हैं, केवल संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकों के माध्यम से व्यक्त स्थानिक और मात्रात्मक संबंधों के क्षेत्र में खुद को प्रकट करती हैं, और उसकी गतिविधि के अन्य प्रकारों को चिह्नित नहीं करती हैं, सहसंबंध नहीं करती हैं अन्य क्षेत्रों में संबंधित अभिव्यक्तियों के साथ। इस प्रकार, मानसिक क्षमताएं जो प्रकृति में सामान्य हैं (उदाहरण के लिए, सामान्यीकरण की क्षमता) कई मामलों में विशिष्ट क्षमताओं (गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को सामान्य बनाने की क्षमता) के रूप में कार्य कर सकती हैं।

गणित की दुनिया - संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकों के माध्यम से व्यक्त मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों की दुनिया बहुत विशिष्ट और मूल है। गणितज्ञ स्थानिक और मात्रात्मक संबंधों के सशर्त प्रतीकात्मक पदनामों से संबंधित है, उनके साथ सोचता है, संयोजन करता है, उनके साथ काम करता है। और इस बहुत ही अजीब दुनिया में, बहुत विशिष्ट गतिविधि की प्रक्रिया में, सामान्य क्षमता इतनी रूपांतरित हो जाती है, इतनी रूपांतरित हो जाती है कि प्रकृति में सामान्य रहते हुए, यह पहले से ही एक विशिष्ट क्षमता के रूप में प्रकट होती है।

बेशक, एक सामान्य क्षमता की विशिष्ट अभिव्यक्तियों की उपस्थिति किसी भी तरह से उसी सामान्य क्षमता के अन्य अभिव्यक्तियों की संभावना को बाहर नहीं करती है (जिस तरह किसी व्यक्ति की गणित करने की क्षमता अन्य क्षेत्रों में भी उसकी क्षमता को बाहर नहीं करती है)।

गणितीय क्षमताओं की प्रकृति पर कुछ विचार

हमारे अध्ययन की सामग्री - कई साहित्य का विश्लेषण, बचपन और वयस्कता में अत्यधिक उच्च गणितीय प्रतिभा के मामलों का विश्लेषण (उत्तरार्द्ध - जीवनी सामग्री पर आधारित) - हमें कुछ ऐसे तथ्यों को उजागर करने की अनुमति देता है जो प्रश्न उठाने के लिए विशेष रुचि रखते हैं गणितीय उपहार की प्रकृति का। ये तथ्य हैं:

1. अक्सर (हालांकि जरूरी नहीं) गणित में क्षमताओं का बहुत प्रारंभिक गठन, अक्सर गणित में प्रतिकूल परिस्थितियां(उदाहरण के लिए, माता-पिता के स्पष्ट विरोध के साथ जो क्षमताओं के ऐसे शुरुआती उज्ज्वल अभिव्यक्ति से डरते हैं) और पहले व्यवस्थित और लक्षित प्रशिक्षण की अनुपस्थिति में;
2. गणित के प्रति गहरी रुचि और झुकाव, अक्सर कम उम्र में ही प्रकट हो जाता है;
3. गणित के क्षेत्र में महान (और अक्सर चयनात्मक) प्रदर्शन, गहन गणित की प्रक्रिया में अपेक्षाकृत कम थकान से जुड़ा हुआ;
4. गणितीय संबंधों के प्रिज्म के माध्यम से कई घटनाओं को देखने की एक अजीबोगरीब प्रवृत्ति के रूप में गणितीय श्रेणियों के संदर्भ में उन्हें महसूस करने के लिए गणित के लिए बहुत सक्षम लोगों को चिह्नित करना।

यह सब हमें विशेष (हम इस पर जोर देते हैं!) गणितीय प्रतिभा के मामलों में मस्तिष्क की जन्मजात कार्यात्मक विशेषताओं की भूमिका के बारे में एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति देता है - कुछ लोगों का मस्तिष्क उत्तेजनाओं को आसपास से अलग करने के लिए विशेष रूप से उन्मुख (ट्यून) होता है। दुनिया जैसे कि स्थानिक और संख्यात्मक संबंध और प्रतीक और इस तरह की परेशानियों से सटीक रूप से काम करने के लिए। गणितीय विशेषता वाले उत्तेजनाओं के जवाब में, कनेक्शन अपेक्षाकृत तेज़ी से, आसानी से, कम प्रयास और कम प्रयास के साथ बनते हैं। इसी तरह, गणित करने में असमर्थता (हमारा मतलब चरम मामलों से भी है) के मूल कारण के रूप में गणितीय सामान्यीकृत संबंधों, कार्यात्मक निर्भरता, संख्यात्मक सार और प्रतीकों और उनके साथ संचालन की कठिनाई जैसे उत्तेजनाओं को अलग करने में बड़ी कठिनाई होती है। दूसरे शब्दों में, कुछ लोगों में मस्तिष्क की संरचना और कार्यात्मक विशेषताओं की ऐसी सहज विशेषताएँ होती हैं जो गणितीय क्षमताओं के विकास के लिए अत्यंत अनुकूल (या, इसके विपरीत, बहुत प्रतिकूल) हैं।

और पवित्र प्रश्न के लिए; "क्या कोई गणितज्ञ बन सकता है या उन्हें पैदा होना पड़ता है?" - हम काल्पनिक रूप से इस प्रकार उत्तर देंगे: “आप एक साधारण गणितज्ञ बन सकते हैं; एक उत्कृष्ट, प्रतिभाशाली गणितज्ञ को जन्म लेने की आवश्यकता है। हालाँकि, यहाँ हम मूल नहीं हैं - कई प्रतिष्ठित वैज्ञानिक भी यही कहते हैं। हम पहले ही शिक्षाविद् ए.एन. के शब्दों का हवाला दे चुके हैं। कोलमोगोरोव: "प्रतिभा, प्रतिभा ... गणित के क्षेत्र में ... प्रकृति द्वारा सभी को नहीं दी जाती है।" शिक्षाविद आई.ई. टैम: "कुछ नया बनाएँ ... केवल विशेष रूप से प्रतिभाशाली लोग ही इसे कर सकते हैं" ( हम बात कर रहे हैंउच्च स्तर की वैज्ञानिक रचनात्मकता के बारे में। - वीसी।) यह सब अभी तक केवल एक परिकल्पना के रूप में कहा गया है।

इस क्षेत्र में आगे के शोध के लिए गणितीय क्षमताओं की शारीरिक प्रकृति की व्याख्या एक महत्वपूर्ण कार्य है। मनोविज्ञान और शरीर विज्ञान के विकास का वर्तमान स्तर इस प्रश्न को उठाना संभव बनाता है शारीरिक प्रकृतिऔर कुछ के शारीरिक तंत्र विशिष्ट क्षमताएंव्यक्ति।

क्रुतेत्स्की वी. ए. स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं का मनोविज्ञान। एम., 1968, पीपी. 380-390, 397-400

कैलकुलेटर आश्चर्यजनक रूप से उपयोगी हो सकते हैं, लेकिन वे हमेशा आसानी से उपलब्ध नहीं होते हैं। इसके अलावा, हर कोई यह गणना करने के लिए कैलकुलेटर या फोन निकालने में सहज नहीं है कि आपको रेस्तरां में कितना भुगतान करना है, या टिप के आकार की गणना करना है। यहां दस युक्तियाँ दी गई हैं जो आपको उन सभी मानसिक गणनाओं को करने में मदद कर सकती हैं। वास्तव में, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है, खासकर अगर आपको कुछ सरल नियम याद हैं।

बाएँ से दाएँ जोड़ें और घटाएँ

याद रखें कि कैसे स्कूल में हमें दाएँ से बाएँ एक कॉलम में जोड़ना और घटाना सिखाया जाता था? यह जोड़ना और घटाना तब सुविधाजनक होता है जब आपके पास एक पेंसिल और कागज का एक टुकड़ा होता है, लेकिन आपके दिमाग में इन गणितीय कार्यों को बाएं से दाएं गिनकर करना आसान होता है। बाईं ओर की संख्या में एक आंकड़ा है जो बड़े मूल्यों को परिभाषित करता है, उदाहरण के लिए, सैकड़ों और दसियों, और दाईं ओर, छोटे वाले, यानी इकाइयां। बाएं से दाएं, गिनती अधिक सहज है। इस प्रकार 58 और 26 को जोड़ते समय, पहले अंक से शुरू करें, पहले 50 + 20 = 70, फिर 8 + 6 = 14, फिर दोनों परिणाम जोड़ें और 84 प्राप्त करें। आसान और सरल।

इसे अपने लिए आसान बनाएं

यदि आप एक जटिल उदाहरण या समस्या का सामना कर रहे हैं, तो इसे सरल बनाने का तरीका खोजने का प्रयास करें, जैसे कि समग्र गणना को आसान बनाने के लिए एक निश्चित संख्या को जोड़ना या घटाना। यदि, उदाहरण के लिए, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि 593 + 680 कितना होगा, तो अधिक सुविधाजनक संख्या 600 प्राप्त करने के लिए पहले 7 को 593 में जोड़ें। गणना करें कि 600 + 680 कितना होगा, और फिर उसी 7 को परिणाम 1280 से घटा दें। सही उत्तर प्राप्त करें - 1273।

आप गुणा के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं। 89 x 6 को गुणा करने के लिए, गणना करें कि 90 x 6 कितना होगा, और फिर शेष 1 x 6 घटा दें। तो 540 - 6 = 534।

बिल्डिंग ब्लॉक्स याद रखें

गुणन सारणी को याद करना गणित का एक महत्वपूर्ण और आवश्यक हिस्सा है, जो आपके दिमाग की समस्याओं को हल करने के लिए बहुत अच्छा है।

गणित के बुनियादी "बिल्डिंग ब्लॉक्स" को याद करना, जैसे गुणा तालिका, वर्गमूल, दशमलव प्रतिशत और साधारण अंश, हम अधिक कठिन प्रश्नों में छिपी सरल समस्याओं के उत्तर तुरंत प्राप्त कर सकते हैं।

उपयोगी टोटके याद रखें

गुणा तेजी से करने के लिए, कुछ सरल ट्रिक्स को याद रखना महत्वपूर्ण है। सबसे स्पष्ट नियमों में से एक 10 से गुणा करना है, अर्थात गुणा की जा रही संख्या में केवल शून्य जोड़ना, या अल्पविराम को एक दशमलव बिंदु पर ले जाना। जब 5 से गुणा किया जाता है, तो उत्तर हमेशा 0 या 5 पर समाप्त होता है।

साथ ही, किसी संख्या को 12 से गुणा करते समय, पहले उसे 10 से और फिर 2 से गुणा करें, फिर परिणाम जोड़ें। उदाहरण के लिए, 12 x 4 की गणना करने के लिए, पहले 4 x 10 = 40 गुणा करें, फिर 4 x 2 = 8, और 40 + 8 = 48 जोड़ें। 15 से गुणा करते समय, संख्या को 10 से गुणा करें, और फिर एक और आधा जोड़ें परिणाम, उदाहरण के लिए, 4 x 15 = 4 x 10 = 40 जोड़ आधा (20) 60 बनाता है।

16 से गुणा करने की एक युक्ति भी है। पहले प्रश्न में दी गई संख्या को 10 से गुणा करें और फिर आधी संख्या को 10 से गुणा करें। फिर अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए दोनों परिणामों को संख्या में जोड़ें। तो, 16 x 24 की गणना करने के लिए, पहले 10 x 24 = 240 की गणना करें, फिर 24 का आधा, यानी 12, 10 से गुणा करें और 120 प्राप्त करें। और अंतिम चरण: 240 + 120 + 24 = 384।

वर्गाकार और उनकी जड़ें बहुत उपयोगी होती हैं

लगभग एक गुणन सारणी की तरह। और वे बड़ी संख्या के गुणन में मदद कर सकते हैं। किसी संख्या को उसी से गुणा करने पर वर्ग प्राप्त होता है। यहां बताया गया है कि वर्गों का उपयोग करके गुणन कैसे काम करता है।

आइए एक पल के लिए मान लें कि हम 10 x 4 का उत्तर नहीं जानते हैं। सबसे पहले, इन दो संख्याओं के बीच का औसत निकालें, जो 7 है (अर्थात् 10 - 3 = 7, और 4 + 3 = 7, अंतर के साथ औसत के बीच संख्या 3 है - यह महत्वपूर्ण है)।

फिर हम 7 का वर्ग निर्धारित करते हैं, जो कि 49 है। अब हमारे पास एक संख्या है जो अंतिम उत्तर के करीब है, लेकिन यह काफी करीब नहीं है। सही उत्तर पाने के लिए, हम औसत संख्या (इस मामले में 3) के बीच के अंतर पर लौटते हैं, इसका वर्ग हमें 9 देता है। अंतिम चरणसरल घटाव शामिल है, 49 - 9 = 40, अब आपके पास सही उत्तर है।

यह 10 x 4 कितना होगा, इसकी गणना करने के लिए एक गोल चक्कर और अत्यधिक जटिल तरीका लगता है, लेकिन बड़ी संख्या के लिए एक ही तकनीक ठीक काम करती है। उदाहरण के लिए 15 x 11 लेते हैं।पहले हमें इन दोनों के बीच की मध्य संख्या ज्ञात करनी है (15 - 2 = 13, 11 + 2 = 13)। 13 का वर्ग 169 है। औसत 2 के अंतर का वर्ग 4 है। हमें 169 - 4 = 165 मिलता है, यह सही उत्तर है।

कभी-कभी एक अनुमानित उत्तर पर्याप्त होता है

यदि आप अपने दिमाग की जटिल समस्याओं को हल करने की कोशिश कर रहे हैं, तो इसमें कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि इसमें बहुत समय और मेहनत लगती है। यदि आपको बिल्कुल सटीक उत्तर की आवश्यकता नहीं है, तो यह अनुमानित संख्या की गणना करने के लिए पर्याप्त हो सकता है।

वही उन कार्यों पर लागू होता है जिनमें आप सभी सटीक डेटा नहीं जानते हैं। उदाहरण के लिए, मैनहट्टन प्रोजेक्ट के दौरान, भौतिक विज्ञानी एनरिको फर्मी वैज्ञानिकों के पास सटीक डेटा होने से पहले परमाणु विस्फोट के बल की मोटे तौर पर गणना करना चाहते थे। यह अंत करने के लिए, उसने कागज के टुकड़ों को फर्श पर फेंक दिया और उन्हें सुरक्षित दूरी से देखा, उस समय जब विस्फोट की लहर कागज के टुकड़ों तक पहुंच गई। उस दूरी को मापने के बाद जिस पर टुकड़े चले गए, उन्होंने सुझाव दिया कि विस्फोट का बल लगभग 10 किलोटन टीएनटी था। ऑफहैंड अनुमान लगाने के लिए यह अनुमान काफी सटीक निकला।

सौभाग्य से, हमें नियमित रूप से परमाणु विस्फोटों की अनुमानित ताकत का अनुमान लगाने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन बॉलपार्क अनुमान लगाने में कोई दिक्कत नहीं होती है, उदाहरण के लिए, आपको यह अनुमान लगाने की ज़रूरत है कि शहर में कितने पियानो ट्यूनर हैं। ऐसा करने के लिए, उन संख्याओं के साथ काम करना सबसे आसान है जिन्हें विभाजित करना और गुणा करना आसान है। तो आप पहले अपने शहर की आबादी का अनुमान लगाते हैं (कहते हैं, एक लाख लोग), फिर आप पियानो की अनुमानित संख्या (मान लीजिए, दस हजार), और फिर पियानो ट्यूनर की संख्या (जैसे, 100) का अनुमान लगाते हैं। आपको सटीक उत्तर नहीं मिलेगा, लेकिन आप जल्दी से अनुमान लगा सकते हैं।

उदाहरणों को पुनर्व्यवस्थित करें

गणित के बुनियादी नियम जटिल उदाहरणों को सरल बनाने में मदद करते हैं। उदाहरण के लिए, मानसिक रूप से 5 x (14 + 43) के उदाहरण की गणना करना एक कठिन और भारी काम जैसा लगता है, लेकिन उदाहरण को तीन काफी सरल गणनाओं में "टूटा" जा सकता है। उदाहरण के लिए, इस भारी समस्या को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285। इतना मुश्किल नहीं है, है ना?

अपने कार्यों को सरल बनाएं

यदि कोई कार्य कठिन लगे तो उसे सरल बना लें। एक जटिल कार्य की तुलना में कई सरल कार्यों का सामना करना हमेशा आसान होता है। दिमाग में कई जटिल उदाहरणों का समाधान उन्हें सरल उदाहरणों में सही ढंग से विभाजित करने की क्षमता में निहित है, जिसका समाधान मुश्किल नहीं है।

उदाहरण के लिए, संख्या को तीन बार दोगुना करके 8 से गुणा करना सबसे आसान है। इसलिए पारंपरिक तरीके से 12 x 8 कितना होगा, यह पता लगाने की कोशिश करने के बजाय, केवल 12 को तीन बार दोहराएं: 12 x 2 = 24, 24 x 2 = 48, 48 x 2 = 96।

या 5 से गुणा करते समय, पहले 10 से गुणा करें क्योंकि यह आसान है, फिर परिणाम को 2 से विभाजित करें, क्योंकि यह भी काफी आसान है। उदाहरण के लिए, 5 x 18 को हल करने के लिए, 10 x 18 की गणना करें और 2 से विभाजित करें, जहाँ 180:2 = 90 है।

घातांक का प्रयोग करें

अपने सिर में बड़ी मात्रा की गणना करते समय, याद रखें कि आप उन्हें वांछित शक्ति में 10 से गुणा करके छोटी संख्या में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 44 बिलियन को 400 हजार से विभाजित किया जाए तो यह कितना होगा? इस समस्या को हल करने का एक आसान तरीका 44 बिलियन को अगली संख्या - 44 x 10 9 में बदलना और 400 हजार से 4 x 10 5 बनाना है। अब हम समस्या को इस प्रकार रूपांतरित कर सकते हैं: 44:4 और 10 9:10 5। के अनुसार गणितीय नियम, यह सब इस तरह दिखता है: 44:4 x 10(9-5), तो हमें 11 x 10 4 = 110,000 मिलता है।

आवश्यक युक्तियों की गणना करने का सबसे आसान तरीका

रेस्तरां में डिनर के दौरान या उसके बाद भी गणित जरूरी है। संस्था के आधार पर, टिप बिल मूल्य के 10% से 20% तक हो सकती है। उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका में वेटर्स को 15% टिप देने की प्रथा है। और वहाँ, जैसा कि बहुतों में है यूरोपीय देश, युक्तियाँ आवश्यक हैं।

जबकि कुल का 10% की गणना करना अपेक्षाकृत आसान है (सिर्फ 10 से विभाजित करें), 15% और 20% अधिक कठिन प्रतीत होते हैं। लेकिन वास्तव में, सब कुछ उतना ही सरल और बहुत तार्किक है।

$112.23 की लागत वाले रात्रिभोज के लिए 10 प्रतिशत टिप की गणना करते समय, बस दशमलव बिंदु को बाईं ओर एक अंक पर ले जाएं, आपको $11.22 मिलते हैं। 20% टिप की गणना करते समय, वही करें और केवल राशि को दोगुना करें (20% केवल 10% का दोगुना है), इस मामले में टिप $22.44 है।

15% टिप के लिए, पहले राशि का 10% निर्धारित करें और फिर प्राप्त राशि का आधा जोड़ें (अतिरिक्त 5% 10% राशि का आधा है)। चिंता न करें यदि आप अंतिम प्रतिशत तक सटीक उत्तर नहीं प्राप्त कर सकते हैं। अगर हम दशमलव के साथ ज्यादा परेशान नहीं होते हैं, तो हम जल्दी से पता लगा सकते हैं कि $112.23 का 15 प्रतिशत टिप $11 + $5.50 है, जो हमें $16.50 देता है। बहुत सटीक। यदि आप कुछ सेंट खो कर वेटर को नाराज नहीं करना चाहते हैं, तो राशि को निकटतम पूर्ण संख्या में गोल करें और $17 का भुगतान करें।

"नहीं कोई भी नहीं एक बच्चा नहीं काबिल, औसत दर्जे का। महत्वपूर्ण, को यह दिमाग, यह प्रतिभा बनना आधार सफलता वी शिक्षण, को कोई भी नहीं एक विद्यार्थी नहीं अध्ययन नीचे उनका अवसर" (सुखोमलिंस्की वी.ए.)

गणितीय क्षमता क्या है? या क्या वे सामान्य मानसिक प्रक्रियाओं और व्यक्तित्व लक्षणों के गुणात्मक विशेषज्ञता के अलावा और कुछ नहीं हैं, यानी गणितीय गतिविधि के संबंध में विकसित सामान्य बौद्धिक क्षमताएं? क्या गणितीय क्षमता एक एकात्मक या अभिन्न गुण है? बाद के मामले में, हम इस जटिल शिक्षा के घटकों के बारे में गणितीय क्षमताओं की संरचना के बारे में बात कर सकते हैं। मनोवैज्ञानिक और शिक्षक सदी की शुरुआत से ही इन सवालों के जवाब ढूंढ रहे हैं, लेकिन गणितीय क्षमताओं की समस्या पर अभी भी एक राय नहीं है। आइए इस समस्या पर काम करने वाले कुछ प्रमुख विशेषज्ञों के काम का विश्लेषण करके इन मुद्दों को समझने की कोशिश करें।

मनोविज्ञान में सामान्य रूप से क्षमताओं की समस्या और विशेष रूप से स्कूली बच्चों की क्षमताओं की समस्या से बहुत महत्व जुड़ा हुआ है। कई मनोवैज्ञानिकों के अध्ययन का उद्देश्य विभिन्न प्रकार की गतिविधियों के लिए स्कूली बच्चों की क्षमताओं की संरचना का खुलासा करना है।

विज्ञान में, विशेष रूप से मनोविज्ञान में, क्षमताओं, उनकी संरचना, उत्पत्ति और विकास के बहुत सार के बारे में चर्चा जारी है। क्षमता की समस्या के पारंपरिक और नए दृष्टिकोणों के विवरण में जाने के बिना, हम क्षमता पर मनोवैज्ञानिकों के विभिन्न दृष्टिकोणों के कुछ मुख्य विवादास्पद बिंदुओं को इंगित करेंगे। हालांकि, उनमें से इस समस्या के लिए कोई एकल दृष्टिकोण नहीं है।

क्षमताओं के सार को समझने में अंतर सबसे पहले इस बात में पाया जाता है कि क्या उन्हें सामाजिक रूप से अर्जित गुणों के रूप में माना जाता है या प्राकृतिक के रूप में पहचाना जाता है। कुछ लेखक क्षमताओं को किसी व्यक्ति की व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताओं के एक जटिल के रूप में समझते हैं जो इस गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं और इसके सफल कार्यान्वयन के लिए एक शर्त है, जो मौजूदा ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के लिए तैयारियों में कम नहीं होते हैं। यहां आपको कई तथ्यों पर ध्यान देना चाहिए। सबसे पहले, क्षमताएं व्यक्तिगत विशेषताएं हैं, जो कि एक व्यक्ति को दूसरे से अलग करती हैं। दूसरे, ये सिर्फ विशेषताएं नहीं हैं, बल्कि मनोवैज्ञानिक विशेषताएं. और, अंत में, क्षमताएं सभी व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताएं नहीं हैं, बल्कि केवल वे हैं जो एक निश्चित गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करती हैं।

एक अलग दृष्टिकोण के साथ, के.के. में सबसे स्पष्ट। प्लैटोनोव, "व्यक्तित्व की गतिशील कार्यात्मक संरचना" के किसी भी गुण को एक क्षमता माना जाता है, अगर यह गतिविधियों के सफल विकास और प्रदर्शन को सुनिश्चित करता है। हालाँकि, जैसा कि वी.डी. शद्रिकोव, "क्षमताओं के इस दृष्टिकोण के साथ, समस्या के ऑन्कोलॉजिकल पहलू को स्थानांतरित कर दिया गया है उपार्जन, जिसे किसी व्यक्ति की शारीरिक और शारीरिक विशेषताओं के रूप में समझा जाता है, जो क्षमताओं के विकास का आधार बनता है। साइकोफिजियोलॉजिकल समस्या का समाधान क्षमताओं के संदर्भ में एक मृत अंत का कारण बना, क्योंकि क्षमताओं, मनोवैज्ञानिक श्रेणी के रूप में, मस्तिष्क की संपत्ति के रूप में नहीं माना जाता था। सफलता का संकेत अधिक उत्पादक नहीं है, क्योंकि किसी गतिविधि की सफलता लक्ष्य, प्रेरणा और कई अन्य कारकों द्वारा निर्धारित की जाती है। "उनकी क्षमताओं के सिद्धांत के अनुसार, क्षमताओं को उत्पादक रूप से परिभाषित किया जा सकता है, केवल उनके व्यक्ति और उनके संबंध में सुविधाओं के रूप में। सार्वभौमिक।

V.D की प्रत्येक क्षमता के लिए सार्वभौमिक (सामान्य)। Shadrikov संपत्ति का नाम देता है जिसके आधार पर एक विशिष्ट मानसिक कार्य का एहसास होता है। प्रत्येक संपत्ति एक कार्यात्मक प्रणाली की एक आवश्यक विशेषता है। यह इस संपत्ति को महसूस करने के लिए था कि मानव विकासवादी विकास की प्रक्रिया में एक विशिष्ट कार्यात्मक प्रणाली का गठन किया गया था, उदाहरण के लिए, वस्तुनिष्ठ दुनिया (धारणा) को पर्याप्त रूप से प्रतिबिंबित करने की संपत्ति या बाहरी प्रभावों (स्मृति) को पकड़ने की संपत्ति और इसी तरह। . संपत्ति गतिविधि की प्रक्रिया में प्रकट होती है। इस प्रकार, सार्वभौमिक के दृष्टिकोण से क्षमताओं को एक कार्यात्मक प्रणाली की संपत्ति के रूप में परिभाषित करना संभव है जो व्यक्तिगत मानसिक कार्यों को लागू करता है।

गुण दो प्रकार के होते हैं: वे जिनमें तीव्रता नहीं होती और इसलिए वे इसे बदल नहीं सकते, और जिनमें तीव्रता होती है, अर्थात् वे कम या अधिक हो सकते हैं। मानविकी मुख्य रूप से पहले प्रकार के गुणों से संबंधित है, प्राकृतिक विज्ञान दूसरे प्रकार के गुणों के साथ। मानसिक कार्यों की विशेषता उन गुणों से होती है जिनमें तीव्रता होती है, गंभीरता का एक उपाय। यह आपको एकल (अलग, व्यक्तिगत) के दृष्टिकोण से क्षमता निर्धारित करने की अनुमति देता है। संपत्ति की गंभीरता के एक उपाय द्वारा एकल का प्रतिनिधित्व किया जाएगा;

इस प्रकार, ऊपर प्रस्तुत सिद्धांत के अनुसार, क्षमताओं को कार्यात्मक प्रणालियों के गुणों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो व्यक्तिगत मानसिक कार्यों को लागू करते हैं, जिसमें गंभीरता का एक व्यक्तिगत माप होता है, जो गतिविधियों के विकास और कार्यान्वयन की सफलता और गुणात्मक मौलिकता में प्रकट होता है। क्षमताओं की गंभीरता के एक व्यक्तिगत माप का मूल्यांकन करते समय, किसी भी गतिविधि को चिह्नित करते समय समान मापदंडों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है: उत्पादकता, गुणवत्ता और विश्वसनीयता (मानसिक कार्य के संदर्भ में)।

स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं का अध्ययन करने वाले सर्जकों में से एक उत्कृष्ट फ्रांसीसी गणितज्ञ ए। पॉइनकेयर थे। उन्होंने रचनात्मक गणितीय क्षमताओं की विशिष्टता बताई और उनके सबसे महत्वपूर्ण घटक - गणितीय अंतर्ज्ञान की पहचान की। तभी से इस समस्या का अध्ययन शुरू हुआ। इसके बाद, मनोवैज्ञानिकों ने तीन प्रकार की गणितीय क्षमताओं की पहचान की - अंकगणित, बीजगणितीय और ज्यामितीय। इसी समय, गणितीय क्षमताओं की उपस्थिति का प्रश्न अघुलनशील रहा।

बदले में, शोधकर्ता डब्ल्यू. हैकर और टी. ज़ीगेन ने चार मुख्य जटिल घटकों की पहचान की: स्थानिक, तार्किक, संख्यात्मक, प्रतीकात्मक, जो गणितीय क्षमताओं के "कोर" हैं। इन घटकों में, वे समझ, याद रखने और संचालन के बीच भेद करते हैं।

गणितीय सोच के मुख्य घटक के साथ - चयनात्मक सोच की क्षमता, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक क्षेत्रों में निगमनात्मक तर्क के लिए, अमूर्त सोच की क्षमता, ए। ब्लैकवेल स्थानिक वस्तुओं में हेरफेर करने की क्षमता पर भी प्रकाश डालता है। वह मौखिक क्षमता और स्मृति में डेटा को उनके सटीक और सख्त क्रम और अर्थ में संग्रहीत करने की क्षमता पर भी ध्यान देता है।

उनमें से एक महत्वपूर्ण हिस्सा आज रुचि का है। पुस्तक में, जिसे मूल रूप से "बीजगणित का मनोविज्ञान" कहा जाता था, ई। थार्नडाइक ने सबसे पहले तैयार किया आम हैं गणितीय क्षमताओं: प्रतीकों को संभालने, संबंधों को चुनने और स्थापित करने, सामान्यीकरण और व्यवस्थित करने, एक निश्चित तरीके से आवश्यक तत्वों और डेटा का चयन करने, विचारों और कौशल को एक प्रणाली में लाने की क्षमता। वह हाइलाइट भी करता है विशेष बीजगणितीय क्षमताओं: सूत्रों को समझने और बनाने की क्षमता, सूत्र के रूप में मात्रात्मक संबंधों को व्यक्त करना, सूत्रों को रूपांतरित करना, दिए गए मात्रात्मक संबंधों को व्यक्त करने वाले समीकरण लिखना, समीकरणों को हल करना, समान बीजगणितीय परिवर्तन करना, ग्राफिक रूप से दो मात्राओं की कार्यात्मक निर्भरता को व्यक्त करना आदि।

ई. थार्नडाइक के कार्यों के प्रकाशन के बाद से गणितीय क्षमताओं के सबसे महत्वपूर्ण अध्ययनों में से एक स्वीडिश मनोवैज्ञानिक आई. वेर्डेलिन का है। वह गणितीय क्षमता की एक बहुत व्यापक परिभाषा देता है, जो प्रजनन और उत्पादक पहलुओं, समझ और अनुप्रयोग को दर्शाता है, लेकिन वह इन पहलुओं में से सबसे महत्वपूर्ण - उत्पादक पर ध्यान केंद्रित करता है, जिसे वह समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में खोजता है। वैज्ञानिक का मानना ​​है कि शिक्षण पद्धति गणितीय क्षमताओं की प्रकृति को प्रभावित कर सकती है।

प्रख्यात स्विस मनोवैज्ञानिक जे पियागेट ने मानसिक संचालन के लिए बहुत महत्व दिया, बुद्धि के ओटोजेनेटिक विकास में विशिष्ट डेटा से जुड़े थोड़े औपचारिक विशिष्ट संचालन के चरण और सामान्यीकृत औपचारिक संचालन के चरण में अंतर करते हुए, जब ऑपरेटर संरचनाएं आयोजित की जाती हैं। उन्होंने बाद वाले को एन. बॉरबाकी द्वारा पहचाने गए तीन मौलिक गणितीय संरचनाओं के साथ सहसंबद्ध किया: बीजगणितीय, क्रम संरचनाएं, और सामयिक। जे। पियागेट बच्चे के दिमाग में अंकगणित और ज्यामितीय संचालन के विकास में और तार्किक संचालन की विशेषताओं में इन सभी प्रकार की संरचनाओं की खोज करता है। इसलिए गणित शिक्षण की प्रक्रिया में गणितीय संरचनाओं और सोच की संचालक संरचनाओं के संश्लेषण की आवश्यकता के बारे में निष्कर्ष निकाला गया है।

मनोविज्ञान में, वी. ए. क्रुतेत्स्की। अपनी पुस्तक "स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं का मनोविज्ञान" में वे निम्नलिखित देते हैं सामान्य योजनास्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं की संरचना। सबसे पहले, गणितीय जानकारी प्राप्त करना समस्या की संरचना को समझने, गणितीय सामग्री की धारणा को औपचारिक रूप देने की क्षमता है। दूसरे, गणितीय जानकारी का प्रसंस्करण मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकवाद के क्षेत्र में तार्किक सोच की क्षमता है, गणितीय प्रतीकों में सोचने की क्षमता, गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को जल्दी और व्यापक रूप से सामान्य करने की क्षमता, गणितीय तर्क की प्रक्रिया को कम करने की क्षमता और सिस्टम उपयुक्त क्रियाएं, मुड़ी हुई संरचनाओं में सोचने की क्षमता। इसके लिए गणितीय गतिविधि में विचार प्रक्रियाओं के लचीलेपन, स्पष्टता, सरलता, मितव्ययिता और निर्णयों की तर्कसंगतता की इच्छा की भी आवश्यकता होती है। विचार प्रक्रिया की दिशा को जल्दी और स्वतंत्र रूप से पुनर्गठित करने की क्षमता से यहां एक आवश्यक भूमिका निभाई जाती है, प्रत्यक्ष से विचार के विपरीत पाठ्यक्रम (गणितीय तर्क में विचार प्रक्रिया की प्रतिवर्तीता) पर स्विच करने के लिए। तीसरा, गणितीय जानकारी का भंडारण गणितीय स्मृति है (गणितीय संबंधों के लिए सामान्यीकृत स्मृति, विशिष्ट विशेषताएँ, तर्क और प्रमाण योजनाएँ, समस्याओं को हल करने के तरीके और उनसे संपर्क करने के सिद्धांत)। और, अंत में, सामान्य सिंथेटिक घटक मन का गणितीय अभिविन्यास है। ऊपर दिए गए सभी अध्ययन हमें यह बताने की अनुमति देते हैं कि सामान्य गणितीय तर्क का कारक सामान्य मानसिक क्षमताओं के अंतर्गत आता है, और गणितीय क्षमताओं का एक सामान्य बौद्धिक आधार होता है।

क्षमताओं के सार की एक अलग समझ से, उनकी संरचना के प्रकटीकरण के लिए एक अलग दृष्टिकोण इस प्रकार है, जो विभिन्न लेखकों के अनुसार वर्गीकृत विभिन्न गुणों के एक सेट के रूप में प्रकट होता है अलग मैदानऔर अलग-अलग अनुपात में।

क्षमताओं की उत्पत्ति और विकास, गतिविधि के साथ उनके संबंध के सवाल का एक भी जवाब नहीं है। साथ ही इस दावे के साथ कि उनके कार्यान्वयन के लिए एक शर्त के रूप में गतिविधि से पहले एक व्यक्ति में उनके सामान्य रूप में क्षमताएं मौजूद हैं। एक और, विरोधाभासी दृष्टिकोण भी व्यक्त किया गया था: बी.एम. की गतिविधि से पहले क्षमताएं मौजूद नहीं हैं। थर्मल। अंतिम स्थिति एक गतिरोध की ओर ले जाती है, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि ऐसा करने की क्षमता के बिना गतिविधि कैसे शुरू होती है। वास्तव में, उनके विकास के एक निश्चित स्तर पर क्षमता गतिविधि से पहले मौजूद होती है, और इसकी शुरुआत के साथ वे खुद को प्रकट करते हैं और फिर गतिविधि में विकसित होते हैं, अगर यह किसी व्यक्ति पर अधिक मांग करता है।

हालांकि, यह कौशल और क्षमताओं के सहसंबंध को प्रकट नहीं करता है। इस समस्या का समाधान वी.डी. शद्रिकोव। उनका मानना ​​​​है कि क्षमताओं और कौशल के बीच ऑन्कोलॉजिकल अंतर का सार इस प्रकार है: एक कार्यात्मक प्रणाली द्वारा एक क्षमता का वर्णन किया गया है, इसके आवश्यक तत्वों में से एक एक प्राकृतिक घटक है, जो क्षमताओं का कार्यात्मक तंत्र है, और कौशल एक द्वारा वर्णित हैं। आइसोमॉर्फिक प्रणाली, इसके मुख्य घटकों में से एक क्षमताएं हैं जो इस प्रणाली में उन कार्यों का प्रदर्शन करती हैं जो क्षमताओं की प्रणाली में कार्यात्मक तंत्र को लागू करते हैं। इस प्रकार, कौशल की कार्यात्मक प्रणाली, जैसा कि यह थी, क्षमताओं की प्रणाली से विकसित होती है। यह माध्यमिक स्तर के एकीकरण की एक प्रणाली है (यदि हम क्षमताओं की प्रणाली को प्राथमिक के रूप में लेते हैं)।

सामान्य तौर पर क्षमताओं के बारे में बोलते हुए, यह बताया जाना चाहिए कि क्षमताएं विभिन्न स्तरों, शैक्षिक और रचनात्मक हैं। सीखने की क्षमता गतिविधियों को करने, ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के अधिग्रहण के पहले से ही ज्ञात तरीकों को आत्मसात करने से जुड़ी है। गतिविधियों को करने के नए तरीके खोजने के साथ, रचनात्मकता एक नए, मूल उत्पाद के निर्माण से जुड़ी है। इस दृष्टिकोण से, उदाहरण के लिए, आत्मसात करने की क्षमता, गणित का अध्ययन और रचनात्मक गणितीय क्षमताएं हैं। लेकिन, जैसा कि जे. हैडमार्ड ने लिखा, "छात्र के काम के बीच, समस्या को सुलझाना..., और रचनात्मक कार्य, अंतर केवल स्तर में है, क्योंकि दोनों कार्य समान प्रकृति के हैं "।

प्राकृतिक पूर्वापेक्षाएँ मायने रखती हैं, हालाँकि, वे वास्तव में क्षमताएँ नहीं हैं, बल्कि झुकाव हैं। झुकाव का मतलब यह नहीं है कि एक व्यक्ति इसी क्षमता का विकास करेगा। क्षमताओं का विकास कई सामाजिक परिस्थितियों (परवरिश, संचार की आवश्यकता, शिक्षा प्रणाली) पर निर्भर करता है।

क्षमता प्रकार:

1. प्राकृतिक (प्राकृतिक) क्षमताएं।

मनुष्यों और जानवरों के लिए आम हैं: धारणा, स्मृति, प्राथमिक संचार की क्षमता। इन क्षमताओं का जन्मजात झुकाव से सीधा संबंध है। एक व्यक्ति में इन झुकावों के आधार पर, एक प्राथमिक की उपस्थिति में जीवनानुभव, सीखने के तंत्र के माध्यम से, विशिष्ट क्षमताएँ बनती हैं।

2. विशिष्ट क्षमताएं।

सामान्य: विभिन्न गतिविधियों (सोचने की क्षमता, भाषण, मैनुअल आंदोलनों की सटीकता) में किसी व्यक्ति की सफलता का निर्धारण करें।

विशेष: विशिष्ट गतिविधियों में किसी व्यक्ति की सफलता का निर्धारण, जिसके कार्यान्वयन के लिए एक विशेष प्रकार के निर्माण और उनके विकास (संगीत, गणितीय, भाषाई, तकनीकी, कलात्मक क्षमता) की आवश्यकता होती है।

इसके अलावा, क्षमताओं को सैद्धांतिक और व्यावहारिक में विभाजित किया गया है। सैद्धांतिक लोग अमूर्त-सैद्धांतिक प्रतिबिंबों के लिए एक व्यक्ति के झुकाव को पूर्व निर्धारित करते हैं, और व्यावहारिक - ठोस व्यावहारिक कार्यों के लिए। अक्सर, सैद्धांतिक और व्यावहारिक क्षमताएं एक दूसरे के साथ संयुक्त नहीं होती हैं। अधिकांश लोगों में या तो एक या दूसरे प्रकार की क्षमता होती है। साथ में वे अत्यंत दुर्लभ हैं।

शैक्षिक और में एक विभाजन भी है रचनात्मक कौशल. पूर्व प्रशिक्षण की सफलता, ज्ञान, कौशल को आत्मसात करने और बाद में खोजों और आविष्कारों की संभावना, सामग्री और आध्यात्मिक संस्कृति की नई वस्तुओं के निर्माण का निर्धारण करते हैं।

3. रचनात्मक क्षमता।

यह, सबसे पहले, किसी व्यक्ति की परिचित और रोजमर्रा की चीजों या कार्यों पर एक विशेष नज़र डालने की क्षमता है। यह कौशल सीधे व्यक्ति के क्षितिज पर निर्भर करता है। जितना अधिक वह जानता है, उसके लिए अध्ययन के तहत विभिन्न कोणों से इस मुद्दे को देखना उतना ही आसान है। रचनात्मक व्यक्तिन केवल अपनी मुख्य गतिविधि के क्षेत्र में, बल्कि संबंधित उद्योगों में भी, हमारे आसपास की दुनिया के बारे में अधिक जानने का लगातार प्रयास करता है। ज्यादातर मामलों में, एक रचनात्मक व्यक्ति, सबसे पहले, एक मूल सोच वाला व्यक्ति, जो गैर-मानक समाधानों में सक्षम है।

क्षमता विकास स्तर:

• 1) निर्माण - प्राकृतिक पृष्ठभूमिक्षमताएं;
• 2) क्षमताएं - एक जटिल, अभिन्न, मानसिक गठन, गुणों और घटकों का एक प्रकार का संश्लेषण;
• 3) प्रतिभा - क्षमताओं का एक प्रकार का संयोजन जो किसी व्यक्ति को किसी भी गतिविधि को सफलतापूर्वक करने का अवसर प्रदान करता है;
• 4) प्रवीणता - में सिद्धि ठोस रूपगतिविधियाँ;
• 5) प्रतिभा - विशेष क्षमताओं के विकास का एक उच्च स्तर (यह अत्यधिक विकसित क्षमताओं का एक निश्चित संयोजन है, क्योंकि एक अलग क्षमता, यहां तक ​​​​कि एक बहुत ही विकसित क्षमता को प्रतिभा नहीं कहा जा सकता है);
• 6) प्रतिभा - क्षमताओं के विकास का उच्चतम स्तर (सभ्यता के पूरे इतिहास में 400 से अधिक प्रतिभाएँ नहीं थीं)।

आम हैं मानसिक क्षमताओं- ये वो क्षमताएं हैं जो एक नहीं, बल्कि कई तरह की गतिविधियों को करने के लिए जरूरी हैं। सामान्य मानसिक क्षमताओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, मानसिक गतिविधि, आलोचनात्मकता, व्यवस्थित, केंद्रित ध्यान जैसे मन के ऐसे गुण। मनुष्य स्वाभाविक रूप से सामान्य क्षमताओं से संपन्न है। इस गतिविधि में विकसित होने वाली सामान्य क्षमताओं के आधार पर किसी भी गतिविधि में महारत हासिल की जाती है।

वी.डी. शद्रिकोव, " विशेष क्षमताओं"सामान्य क्षमताएं हैं जिन्होंने गतिविधि की आवश्यकताओं के प्रभाव में दक्षता की विशेषताएं हासिल की हैं। विशेष क्षमताये वे क्षमताएं हैं जो किसी एक विशिष्ट गतिविधि की सफल निपुणता के लिए आवश्यक हैं। ये क्षमताएं व्यक्तिगत निजी क्षमताओं की एकता का भी प्रतिनिधित्व करती हैं। उदाहरण के लिए, रचना में गणितीय क्षमताओंगणितीय स्मृति एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है; मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों के क्षेत्र में तार्किक सोच की क्षमता; गणितीय सामग्री का तेज और व्यापक सामान्यीकरण; एक मानसिक ऑपरेशन से दूसरे में आसान और मुफ्त स्विचिंग; स्पष्टता, मितव्ययिता, तर्क की तार्किकता आदि के लिए प्रयास करना। गणितीय गतिविधि की आवश्यकता से जुड़े दिमाग की गणितीय अभिविन्यास की मुख्य क्षमता (जिसे स्थानिक और मात्रात्मक संबंधों को अलग करने की प्रवृत्ति के रूप में समझा जाता है, धारणा के दौरान कार्यात्मक निर्भरता) के रूप में समझा जाता है, सभी विशेष क्षमताओं को एकजुट किया जाता है।

A. पॉइनकेयर इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि गणितीय क्षमताओं में सबसे महत्वपूर्ण स्थान तार्किक रूप से संचालन की एक श्रृंखला बनाने की क्षमता है जो किसी समस्या के समाधान की ओर ले जाएगा। इसके अलावा, एक गणितज्ञ के लिए अच्छी याददाश्त और ध्यान रखना ही काफी नहीं है। पोइनकेयर के अनुसार, गणित में सक्षम लोगों की पहचान उस क्रम को समझने की क्षमता से होती है जिसमें गणितीय प्रमाण के लिए आवश्यक तत्व स्थित होने चाहिए। इस प्रकार के अंतर्ज्ञान की उपस्थिति गणितीय रचनात्मकता का मूल तत्व है।

एल.ए. वेंगर गणितीय क्षमताओं को संदर्भित करता है जैसे कि गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों के सामान्यीकरण के रूप में मानसिक गतिविधि की विशेषताएं, अर्थात, सामान्य को विभिन्न विशिष्ट अभिव्यक्तियों और कार्यों में देखने की क्षमता; "अनुबंधित", बड़ी इकाइयों और "आर्थिक रूप से", बहुत अधिक विवरण के बिना सोचने की क्षमता; प्रत्यक्ष से विपरीत विचार पर स्विच करने की क्षमता।

गणित में सफलता प्राप्त करने के लिए अन्य गुणों की आवश्यकता को समझने के लिए, शोधकर्ताओं ने गणितीय गतिविधि का विश्लेषण किया: समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया, प्रमाण के तरीके, तार्किक तर्क और गणितीय स्मृति की विशेषताएं। इस विश्लेषण ने गणितीय क्षमताओं की संरचनाओं के विभिन्न प्रकारों का निर्माण किया, जो उनकी घटक संरचना में जटिल थे। उसी समय, अधिकांश शोधकर्ताओं की राय एक बात पर सहमत हुई: कि केवल स्पष्ट गणितीय क्षमता नहीं है, और न ही हो सकती है, यह एक संचयी विशेषता है जो विभिन्न मानसिक प्रक्रियाओं की विशेषताओं को दर्शाती है: धारणा, सोच, स्मृति, कल्पना।

गणितीय क्षमताओं के सबसे महत्वपूर्ण घटकों का चयन चित्र 1 में दिखाया गया है:

चित्र 1

कुछ शोधकर्ता तर्क और प्रमाण योजनाओं, समस्याओं को हल करने के तरीकों और उनसे संपर्क करने के तरीकों के लिए गणितीय स्मृति के एक स्वतंत्र घटक के रूप में भी पहचान करते हैं। उनमें से एक वी.ए. क्रुतेत्स्की। वह गणितीय क्षमताओं को इस प्रकार परिभाषित करता है: “गणित का अध्ययन करने की क्षमता के तहत, हमारा मतलब व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताओं (मुख्य रूप से मानसिक गतिविधि की विशेषताओं) से है जो शैक्षिक गणितीय गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करती हैं और अन्य समान शर्तों पर रचनात्मक महारत की सफलता निर्धारित करती हैं। एक शैक्षिक विषय के रूप में गणित, विशेष रूप से, गणित के क्षेत्र में ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की अपेक्षाकृत तेज़, आसान और गहरी निपुणता"।

हमारे काम में, हम मुख्य रूप से इस विशेष मनोवैज्ञानिक के शोध पर भरोसा करेंगे, क्योंकि इस समस्या पर उनका शोध अभी भी सबसे वैश्विक है, और उनके निष्कर्ष सबसे प्रयोगात्मक रूप से प्रमाणित हैं।

इसलिए, वी.ए. क्रुतेत्स्की अलग है नौ अवयव गणितीय क्षमताएं:

• 1. गणितीय सामग्री को औपचारिक बनाने की क्षमता, सामग्री से रूप को अलग करने के लिए, विशिष्ट मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों से अमूर्त करने के लिए और औपचारिक संरचनाओं, संबंधों और कनेक्शनों की संरचनाओं के साथ काम करने की क्षमता;
• 2. सामान्यीकरण करने की क्षमता गणितीय सामग्री, मुख्य बात को अलग करना, अनावश्यक से पछताना, बाहरी रूप से भिन्न में सामान्य देखना;
• 3. संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकों के साथ काम करने की क्षमता;
• 4. साक्ष्य, औचित्य, निष्कर्ष की आवश्यकता से जुड़े "सुसंगत, ठीक से विभाजित तार्किक तर्क" की क्षमता;
• 5. तह संरचनाओं में सोचने के लिए तर्क की प्रक्रिया को छोटा करने की क्षमता;
• 6. विचार प्रक्रिया की प्रतिवर्तीता की क्षमता (प्रत्यक्ष से विपरीत विचार में संक्रमण के लिए);
• 7. सोच का लचीलापन, एक मानसिक ऑपरेशन से दूसरे में स्विच करने की क्षमता, पैटर्न और स्टेंसिल के विवश प्रभाव से मुक्ति;
• 8. गणितीय स्मृति। यह माना जा सकता है कि इसकी विशिष्ट विशेषताएं गणितीय विज्ञान की विशेषताओं से भी अनुसरण करती हैं, कि यह सामान्यीकरण, औपचारिक संरचनाओं, तार्किक योजनाओं के लिए स्मृति है;
• 9. स्थानिक अभ्यावेदन की क्षमता, जो ज्यामिति के रूप में गणित की ऐसी शाखा की उपस्थिति से सीधे संबंधित है।

सूचीबद्ध लोगों के अलावा, ऐसे घटक भी हैं, जिनकी गणितीय क्षमताओं की संरचना में उपस्थिति, हालांकि उपयोगी है, आवश्यक नहीं है। एक छात्र को गणित में सक्षम या अक्षम के रूप में वर्गीकृत करने से पहले शिक्षक को इसे ध्यान में रखना चाहिए। गणितीय प्रतिभा की संरचना में निम्नलिखित घटक अनिवार्य नहीं हैं:

• 1. विचार प्रक्रियाओं की गति एक अस्थायी विशेषता के रूप में।
• 2. काम की व्यक्तिगत गति महत्वपूर्ण नहीं है। छात्र धीरे-धीरे, धीरे-धीरे, लेकिन पूरी तरह से और गहराई से सोच सकता है।
• 3. तेज और सटीक गणना करने की क्षमता (विशेष रूप से दिमाग में)। वास्तव में, कम्प्यूटेशनल क्षमताएं हमेशा वास्तव में गणितीय (रचनात्मक) क्षमताओं के गठन से जुड़ी होती हैं।
• 4. संख्याओं, संख्याओं, सूत्रों के लिए मेमोरी। शिक्षाविद के रूप में ए.एन. कोलमोगोरोव, कई उत्कृष्ट गणितज्ञों के पास इस तरह की कोई उत्कृष्ट स्मृति नहीं थी।

अधिकांश मनोवैज्ञानिक और शिक्षक, गणितीय क्षमताओं के बारे में बोलते हुए, V.A की इसी संरचना पर भरोसा करते हैं। क्रुतेत्स्की। हालाँकि, इस स्कूल विषय के लिए क्षमता दिखाने वाले छात्रों की गणितीय गतिविधि के विभिन्न अध्ययनों की प्रक्रिया में, कुछ मनोवैज्ञानिकों ने गणितीय क्षमताओं के अन्य घटकों की पहचान की है। विशेष रूप से, हम Z.P के शोध कार्य के परिणामों में रुचि रखते थे। गोरेलचेंको। उन्होंने गणित में सक्षम छात्रों में निम्नलिखित विशेषताओं पर ध्यान दिया। सबसे पहले, उन्होंने गणितीय क्षमताओं की संरचना के घटक को स्पष्ट और विस्तारित किया, जिसे आधुनिक मनोवैज्ञानिक साहित्य में "गणितीय अवधारणाओं का सामान्यीकरण" कहा जाता है और सामान्यीकरण और "संकीर्ण" के प्रति छात्र की सोच की दो विपरीत प्रवृत्तियों की एकता का विचार व्यक्त किया। गणितीय अवधारणाएँ। इस घटक में छात्रों द्वारा गणित में नई चीजें सीखने की आगमनात्मक और निगमनात्मक विधियों की एकता का प्रतिबिंब देखा जा सकता है। दूसरे, नए गणितीय ज्ञान को आत्मसात करने के दौरान छात्रों की सोच में द्वंद्वात्मक रूढ़ियाँ। यह इस तथ्य में प्रकट होता है कि लगभग किसी भी व्यक्तिगत गणितीय तथ्य में, सबसे सक्षम छात्र इसके विपरीत तथ्य को देखते हैं, समझते हैं, या कम से कम, अध्ययन की जा रही घटना के सीमित मामले पर विचार करते हैं। तीसरे, उन्होंने उभरते हुए नए गणितीय प्रतिमानों पर विशेष रूप से बढ़े हुए ध्यान को नोट किया जो पहले से स्थापित पैटर्न के विपरीत हैं।

छात्रों की बढ़ी हुई गणितीय क्षमताओं और परिपक्व गणितीय सोच के लिए उनके संक्रमण के विशिष्ट संकेतों में से एक को प्रमाणों में प्रारंभिक सत्य के रूप में स्वयंसिद्धों की आवश्यकता की अपेक्षाकृत प्रारंभिक समझ माना जा सकता है। अभिगृहीतों का वहनीय अध्ययन और अभिगृहीत पद्धति विकास की गति में बहुत योगदान देती है कटौतीत्मक सोचछात्र। यह भी देखा गया है कि गणितीय कार्य में सौन्दर्यानुभूति अलग-अलग छात्रों के लिए अलग-अलग तरीकों से प्रकट होती है। अलग-अलग तरीकों से, अलग-अलग छात्र भी उन्हें शिक्षित करने और उनके गणितीय सोच के अनुरूप एक सौंदर्य बोध विकसित करने के प्रयास का जवाब देते हैं। गणितीय क्षमताओं के संकेतित घटकों के अलावा जिन्हें विकसित किया जा सकता है और होना चाहिए, इस तथ्य को भी ध्यान में रखना आवश्यक है कि गणितीय गतिविधि की सफलता गुणों के एक निश्चित संयोजन का व्युत्पन्न है: गणित के प्रति एक सक्रिय सकारात्मक दृष्टिकोण, रुचि इसमें, इसमें शामिल होने की इच्छा, विकास के उच्च स्तर पर जुनून में बदल जाती है। आप कई विशिष्ट विशेषताओं को भी उजागर कर सकते हैं, जैसे: परिश्रम, संगठन, स्वतंत्रता, उद्देश्यपूर्णता, दृढ़ता, साथ ही स्थिर बौद्धिक गुण, कठिन मानसिक कार्य से संतुष्टि की भावना, रचनात्मकता का आनंद, खोज, और इसी तरह।

मानसिक अवस्थाओं के प्रदर्शन के लिए अनुकूल गतिविधियों के कार्यान्वयन के समय उपस्थिति, उदाहरण के लिए, रुचि की स्थिति, एकाग्रता, अच्छी "मानसिक" भलाई, आदि। प्रासंगिक क्षेत्र में ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का एक निश्चित कोष। इस गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करने वाले संवेदी और मानसिक क्षेत्रों में कुछ व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताएं।

गणित में सबसे अधिक सक्षम छात्रों को गणितीय सोच के एक विशेष सौंदर्यवादी गोदाम द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है। यह उन्हें गणित में कुछ सैद्धांतिक सूक्ष्मताओं को अपेक्षाकृत आसानी से समझने की अनुमति देता है, गणितीय अवधारणाओं की तार्किक संरचना में थोड़ी सी खुरदरापन, अशुद्धि को ठीक करने के लिए, गणितीय तर्क के निर्दोष तर्क और सुंदरता को पकड़ने के लिए। एक मूल, अपरंपरागत, सुरुचिपूर्ण समाधान के लिए स्वतंत्र टिकाऊ प्रयास गणितीय समस्या, समस्या के समाधान के औपचारिक और शब्दार्थ घटकों की सामंजस्यपूर्ण एकता के लिए, शानदार अनुमान, कभी-कभी तार्किक एल्गोरिदम से आगे, कभी-कभी प्रतीकों की भाषा में अनुवाद करना मुश्किल होता है, अच्छी तरह से विकसित गणितीय भावना की सोच में उपस्थिति का संकेत देता है दूरदर्शिता, जो कि गणित में सौन्दर्यपरक चिंतन का एक पहलू है। गणितीय सोच के दौरान बढ़ी हुई सौंदर्य भावनाएं मुख्य रूप से उच्च विकसित गणितीय क्षमताओं वाले छात्रों में निहित हैं और गणितीय सोच के सौंदर्य गोदाम के साथ स्कूली बच्चों में गणितीय क्षमताओं की उपस्थिति के एक महत्वपूर्ण संकेत के रूप में काम कर सकती हैं।