समरूपता सुविधाएँ। ऐसे पहलू जिनके बिना समरूपता असंभव है

समरूपता की अवधारणा

समरूपता एक अवधारणा है जो प्रकृति में मौजूद आदेश, आनुपातिकता और किसी भी प्रणाली या प्रकृति की वस्तु के तत्वों के बीच आनुपातिकता, व्यवस्था, प्रणाली के संतुलन, स्थिरता, यानी को दर्शाती है। सद्भाव का कुछ तत्व।

अपनी सामाजिक उत्पादन गतिविधि के दौरान मानव जाति के सामने हजारों साल बीत गए, उन्होंने मुख्य रूप से प्रकृति में स्थापित दो प्रवृत्तियों को कुछ शब्दों में व्यक्त करने की आवश्यकता महसूस की: सख्त आदेश, आनुपातिकता, संतुलन और उनके उल्लंघन की उपस्थिति। लोगों ने लंबे समय से क्रिस्टल के आकार की शुद्धता, छत्ते की संरचना की ज्यामितीय कठोरता, पेड़ों, पंखुड़ियों, फूलों, पौधों के बीजों पर शाखाओं और पत्तियों की व्यवस्था के क्रम और पुनरावृत्ति पर ध्यान दिया है और इस क्रम को अपने में प्रदर्शित किया है। व्यावहारिक गतिविधियों, सोच और कला।

"समरूपता" की अवधारणा का उपयोग दो अर्थों में किया गया था। एक अर्थ में, सममित का अर्थ कुछ आनुपातिक होता है; सममिति कई भागों के समन्वय का वह तरीका दिखाती है, जिसकी सहायता से वे एक पूरे में संयुक्त हो जाते हैं। इस शब्द का दूसरा अर्थ संतुलन है।

समरूपता सबसे मौलिक और ब्रह्मांड के सबसे सामान्य कानूनों में से एक है: निर्जीव, जीवित प्रकृति और समाज। समरूपता हर जगह पाई जाती है। समरूपता की अवधारणा पूरे चलती है सदियों का इतिहासमानव रचनात्मकता। यह मानव ज्ञान के मूल में पहले से ही पाया जाता है; यह बिना किसी अपवाद के आधुनिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

सहस्राब्दी के दौरान, सामाजिक अभ्यास और वस्तुनिष्ठ वास्तविकता के नियमों के ज्ञान के दौरान, मानव जाति ने आसपास की दुनिया में दो प्रवृत्तियों की उपस्थिति का संकेत देने वाले कई डेटा जमा किए हैं: एक ओर, सख्त आदेश, सद्भाव और दूसरी ओर दूसरी ओर, उनके उल्लंघन की ओर। लोगों ने लंबे समय से क्रिस्टल, फूल, मधुकोश और अन्य प्राकृतिक वस्तुओं के आकार की शुद्धता पर ध्यान दिया है और समरूपता की अवधारणा के माध्यम से कला के कामों में इस आनुपातिकता को पुन: पेश किया है।

समरूपता वस्तुओं और जीवित प्रकृति की घटनाओं के पास है। यह न केवल आंखों को प्रसन्न करता है और सभी समय और लोगों के कवियों को प्रेरित करता है, बल्कि जीवित जीवों को अपने पर्यावरण के अनुकूल होने और आसानी से जीवित रहने की अनुमति देता है।

जीवित प्रकृति में, अधिकांश जीवित जीव प्रदर्शित करते हैं विभिन्न प्रकारसमरूपता (आकार, समानता, सापेक्ष स्थिति)। इसके अलावा, विभिन्न शारीरिक संरचनाओं के जीवों में एक ही प्रकार की बाहरी समरूपता हो सकती है।

समरूपता का सिद्धांत - बताता है कि यदि अंतरिक्ष सजातीय है, तो अंतरिक्ष में संपूर्ण रूप से प्रणाली का स्थानांतरण प्रणाली के गुणों को नहीं बदलता है। यदि अंतरिक्ष में सभी दिशाएँ समतुल्य हैं, तो समरूपता का सिद्धांत पूरे अंतरिक्ष में प्रणाली के रोटेशन की अनुमति देता है। यदि आप समय की उत्पत्ति को बदलते हैं तो समरूपता का सिद्धांत देखा जाता है। सिद्धांत के अनुसार, इस फ्रेम के सापेक्ष स्थिर गति से चलते हुए संदर्भ के दूसरे फ्रेम में संक्रमण करना संभव है। निर्जीव संसारबहुत सममित। अक्सर क्वांटम भौतिकी में समरूपता टूट जाती है प्राथमिक कणऔर भी गहरी समरूपता का प्रकटीकरण है। विषमता जीवन का संरचना-निर्माण और रचनात्मक सिद्धांत है। जीवित कोशिकाओं में, कार्यात्मक रूप से महत्वपूर्ण बायोमोलेक्यूल्स असममित होते हैं: प्रोटीन में बाएं हाथ के अमीनो एसिड (एल-फॉर्म) होते हैं, और न्यूक्लिक एसिड होते हैं, हेट्रोसायक्लिक बेस के अलावा, दाएं हाथ के कार्बोहाइड्रेट - शर्करा (डी-फॉर्म), इसके अलावा, डीएनए ही आनुवंशिकता का आधार सही डबल हेलिक्स है।

समरूपता सिद्धांत

समरूपता के सिद्धांत सापेक्षता, क्वांटम यांत्रिकी, ठोस अवस्था भौतिकी, परमाणु और परमाणु भौतिकी, प्राथमिक कण भौतिकी के सिद्धांत को रेखांकित करते हैं। प्रकृति के नियमों के अपरिवर्तनीयता के गुणों में ये सिद्धांत सबसे स्पष्ट रूप से व्यक्त किए गए हैं। यह केवल के बारे में नहीं है भौतिक कानून, लेकिन अन्य भी, उदाहरण के लिए, जैविक वाले। संरक्षण के जैविक नियम का एक उदाहरण वंशानुक्रम का नियम है। यह व्युत्क्रम पर आधारित है जैविक गुणएक पीढ़ी से दूसरी पीढ़ी में संक्रमण के संबंध में। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि संरक्षण के नियमों (भौतिक, जैविक और अन्य) के बिना, हमारी दुनिया का अस्तित्व ही नहीं हो सकता।

वे पहलू जिनके बिना समरूपता असंभव है:

1) वस्तु समरूपता की वाहक है; चीजें, प्रक्रियाएं, ज्यामितीय आंकड़े, गणितीय अभिव्यक्तियां, जीवित जीव इत्यादि सममित वस्तुओं के रूप में कार्य कर सकते हैं। 2) कुछ विशेषताएँ - मात्राएँ, गुण, संबंध, प्रक्रियाएँ, घटनाएँ - वस्तु की, जो समरूपता परिवर्तनों के दौरान अपरिवर्तित रहती हैं; उन्हें अपरिवर्तनीय या अपरिवर्तनीय कहा जाता है। 3) परिवर्तन (वस्तु का) जो वस्तु को अपरिवर्तनीय विशेषताओं के संदर्भ में स्वयं के समान छोड़ देता है; ऐसे परिवर्तनों को समरूपता परिवर्तन कहा जाता है; 4) किसी वस्तु की विशेषता, उसके संबंधित परिवर्तनों के बाद, चयनित विशेषताओं के अनुसार, अपने आप में बदल जाती है।

इस प्रकार, समरूपता कुछ परिवर्तनों के साथ किसी चीज़ के संरक्षण या परिवर्तन के बावजूद किसी चीज़ के संरक्षण को व्यक्त करती है। समरूपता का तात्पर्य न केवल वस्तु की अपरिवर्तनीयता से है, बल्कि वस्तु पर किए गए परिवर्तनों के संबंध में इसके किसी भी गुण से भी है। कुछ वस्तुओं की अपरिवर्तनीयता को विभिन्न कार्यों के संबंध में देखा जा सकता है - घुमाव, अनुवाद, भागों के पारस्परिक प्रतिस्थापन, प्रतिबिंब आदि। इस संबंध में, समरूपता के विभिन्न प्रकार हैं।

समरूपता के प्रकार

1) घूर्णी सममिति।एक वस्तु को घूर्णी समरूपता कहा जाता है यदि यह 2?/n के कोण के माध्यम से घुमाए जाने पर स्वयं के साथ संरेखित होती है, जहां n 2, 3, 4, और इसी तरह हो सकता है। अनंत की ओर। सममिति के अक्ष को n-वें कोटि का अक्ष कहा जाता है।

2) हस्तांतरणीय (अनुवादिक) समरूपता।हम इस तरह की समरूपता की बात करते हैं, जब एक आकृति को एक सीधी रेखा के साथ कुछ दूरी या एक दूरी के लिए स्थानांतरित किया जाता है जो कि इस मान का एक गुणक है, यह स्वयं के साथ संयुक्त होता है। जिस सीधी रेखा के साथ स्थानांतरण किया जाता है उसे स्थानांतरण अक्ष कहा जाता है, और दूरी को प्रारंभिक स्थानांतरण या अवधि कहा जाता है। इस प्रकार की समरूपता आवधिक संरचनाओं या जाली की अवधारणा से जुड़ी है, जो समतल और स्थानिक दोनों हो सकती है।

3) दर्पण सममिति।दो हिस्सों वाली एक वस्तु, जो एक दूसरे के संबंध में दर्पण जुड़वाँ हैं, को दर्पण सममित माना जाता है। एक त्रि-आयामी वस्तु दर्पण तल में परावर्तित होने पर स्वयं में परिवर्तित हो जाती है, जिसे सममिति तल कहा जाता है। जरा आसपास देखिए असली दुनियासमरूपता के समरूप तत्व - समरूपता के विमान के साथ दर्पण समरूपता के सर्वोपरि महत्व को सुनिश्चित करने के लिए। दरअसल, साथ चलने वाली सभी वस्तुओं का आकार पृथ्वी की सतहया इसके पास वे चलते हैं, तैरते हैं, उड़ते हैं, लुढ़कते हैं, एक नियम के रूप में, समरूपता का एक या कम अच्छी तरह से परिभाषित विमान है। सब कुछ जो केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में विकसित या चलता है, शंकु की समरूपता की विशेषता है, अर्थात, इसमें समरूपता के कई विमान हैं जो ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। दोनों को गुरुत्वाकर्षण बल की क्रिया द्वारा समझाया गया है, जिसकी समरूपता एक शंकु द्वारा प्रतिरूपित की गई है।

4) समरूपता सममितियाँपिछली समरूपता के अजीबोगरीब अनुरूप हैं, केवल इस अंतर के साथ कि वे एक साथ घटने या आकृति के समान भागों में वृद्धि और उनके बीच की दूरी से जुड़े हैं। ऐसी समरूपता का सबसे सरल उदाहरण घोंसला बनाने वाली गुड़िया है। कभी-कभी आंकड़े हो सकते हैं अलग - अलग प्रकारसमरूपता। उदाहरण के लिए, कुछ अक्षरों में घूर्णी और दर्पण समरूपता होती है: Zh, N, F, O, X। तथाकथित ज्यामितीय समरूपता ऊपर सूचीबद्ध हैं।

कई अन्य प्रकार की सममितियाँ हैं जो प्रकृति में अमूर्त हैं। उदाहरण के लिए, स्थायी समरूपता, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि यदि समान कणों को आपस में बदल दिया जाए, तो कोई परिवर्तन नहीं होता है; आनुवंशिकता भी एक निश्चित समरूपता है। गेज समरूपताएं पैमाने में परिवर्तन के साथ जुड़ी हुई हैं। निर्जीव प्रकृति में, समरूपता मुख्य रूप से ऐसी प्राकृतिक घटना में क्रिस्टल के रूप में उत्पन्न होती है, जो लगभग सभी ठोस बनाती हैं। यह वह है जो उनकी संपत्तियों का निर्धारण करती है। क्रिस्टल की सुंदरता और पूर्णता का सबसे स्पष्ट उदाहरण सुप्रसिद्ध हिमपात है।

वैज्ञानिक और व्यावहारिक सम्मेलन

एमओयू "माध्यमिक विद्यालय संख्या 23"

वोलोग्दा शहर

खंड: प्राकृतिक - वैज्ञानिक

डिजाइन और अनुसंधान कार्य

समरूपता के प्रकार

काम 8 वीं "ए" कक्षा के एक छात्र द्वारा किया गया था

क्रेनेवा मार्गरीटा

प्रमुख: उच्च गणित शिक्षक

वर्ष 2014

परियोजना संरचना:

1 परिचय।

2. परियोजना के लक्ष्य और उद्देश्य।

3. सममिति के प्रकार:

3.1। केंद्रीय समरूपता;

3.2। अक्षीय समरूपता;

3.3। दर्पण समरूपता (विमान के संबंध में समरूपता);

3.4। घूर्णी समरूपता;

3.5। पोर्टेबल समरूपता।

4 निर्णय।

समरूपता वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य ने सदियों से आदेश, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश की है।

जी वेल

परिचय।

मेरे काम का विषय "ज्यामिति ग्रेड 8" पाठ्यक्रम में "अक्षीय और केंद्रीय समरूपता" खंड का अध्ययन करने के बाद चुना गया था। मुझे इस विषय में बहुत दिलचस्पी थी। मैं जानना चाहता था: किस प्रकार की समरूपता मौजूद है, वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं, प्रत्येक प्रकार में सममित आंकड़े बनाने के सिद्धांत क्या हैं।

कार्य का लक्ष्य : विभिन्न प्रकार की सममिति का परिचय।

कार्य:

साहित्य का अध्ययन करें यह मुद्दा.

अध्ययन की गई सामग्री को सारांशित और व्यवस्थित करें।

एक प्रस्तुति तैयार करें।

प्राचीन काल में, "समरूपता" शब्द का प्रयोग "सद्भाव", "सौंदर्य" के अर्थ में किया जाता था। ग्रीक से अनुवादित, इस शब्द का अर्थ है "आनुपातिकता, आनुपातिकता, किसी बिंदु, रेखा या तल के विपरीत पक्षों पर किसी चीज़ के भागों की व्यवस्था में समानता।

समरूपता के दो समूह हैं।

पहले समूह में पदों, आकृतियों, संरचनाओं की समरूपता शामिल है। यह समरूपता है जिसे प्रत्यक्ष रूप से देखा जा सकता है। इसे ज्यामितीय समरूपता कहा जा सकता है।

दूसरा समूह समरूपता की विशेषता है भौतिक घटनाएंऔर प्रकृति के नियम। यह समरूपता दुनिया की प्राकृतिक-विज्ञान की तस्वीर के आधार पर है: इसे भौतिक समरूपता कहा जा सकता है।

मैं अध्ययन करना बंद कर देता हूंज्यामितीय समरूपता .

बदले में, कई प्रकार की ज्यामितीय समरूपता भी होती है: केंद्रीय, अक्षीय, दर्पण (विमान के सापेक्ष समरूपता), रेडियल (या रोटरी), पोर्टेबल और अन्य। मैं आज 5 प्रकार की समरूपता पर विचार करूंगा।

केंद्रीय समरूपता

दो अंक ए और ए 1 बिंदु O के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि वे m O से गुजरने वाली एक सीधी रेखा पर स्थित हैं और साथ में स्थित हैं विभिन्न पक्षउससे उतनी ही दूरी पर। बिंदु O को सममिति का केंद्र कहा जाता है।

आकृति को बिंदु के संबंध में सममित कहा जाता हैके बारे में , यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु बिंदु के संबंध में सममित हैके बारे में भी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है। डॉटके बारे में आकृति की समरूपता का केंद्र कहा जाता है, वे कहते हैं कि आकृति है केंद्रीय समरूपता.

केंद्रीय समरूपता वाले आंकड़ों के उदाहरण वृत्त और समांतर चतुर्भुज हैं।

स्लाइड पर दिखाए गए आंकड़े किसी बिंदु के संबंध में सममित हैं

2. अक्षीय समरूपता

दो बिंदुएक्स और वाई रेखा के संबंध में सममित कहा जाता हैटी , यदि यह रेखा खंड XY के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है। यह भी कहा जाना चाहिए कि रेखा का प्रत्येक बिंदुटी स्वयं के लिए सममित माना जाता है।

सीधाटी समरूपता की धुरी है।

आकृति को एक सीधी रेखा के संबंध में सममित कहा जाता है।टी, यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए एक सीधी रेखा के संबंध में सममित बिंदु हैटी भी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है।

सीधाटीआकृति की सममिति का अक्ष कहा जाता है, आकृति को अक्षीय सममिति कहा जाता है।

अक्षीय समरूपता में एक अविकसित कोण, समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज, एक आयत और एक रोम्बस होता है,पत्र (प्रस्तुति देखें)।

दर्पण समरूपता (एक विमान के बारे में समरूपता)

दो पी अंक 1 और P को समतल a के संबंध में सममित कहा जाता है यदि वे समतल a के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित हों और उससे समान दूरी पर हों

दर्पण समरूपता सभी को अच्छी तरह से पता है। यह किसी भी वस्तु और उसके प्रतिबिंब को समतल दर्पण में जोड़ता है। एक आकृति को दूसरे के प्रति दर्पण सममित कहा जाता है।

समतल पर, सममिति के अनंत अक्षों वाली आकृति एक वृत्त थी। अंतरिक्ष में, समरूपता के अनंत विमानों में एक गेंद होती है।

लेकिन अगर सर्कल अपनी तरह का एकमात्र है, तो त्रि-आयामी दुनिया में ऐसे कई पिंड हैं जिनमें समरूपता के असीमित विमान हैं: आधार पर एक चक्र के साथ एक सीधा सिलेंडर, एक गोलाकार के साथ एक शंकु आधार, एक गेंद।

यह स्थापित करना आसान है कि प्रत्येक सममित समतल आकृति को दर्पण की सहायता से स्वयं के साथ जोड़ा जा सकता है। यह आश्चर्य की बात है कि पांच-नुकीले तारे या एक समबाहु पंचभुज जैसी जटिल आकृतियाँ भी सममित हैं। जैसा कि कुल्हाड़ियों की संख्या से होता है, वे अपनी उच्च समरूपता द्वारा सटीक रूप से प्रतिष्ठित होते हैं। और इसके विपरीत: यह समझना इतना आसान नहीं है कि ऐसा क्यों लगता है सही आंकड़ा, एक तिरछे समांतर चतुर्भुज के रूप में, सममित नहीं है।

4. पी घूर्णी समरूपता (या रेडियल समरूपता)

घूर्णी समरूपता समरूपता है जो किसी वस्तु के आकार को संरक्षित करती है360 ° / के बराबर कोण के माध्यम से किसी अक्ष के चारों ओर घूमते समयएन(या इस मान का गुणज), जहांएन= 2, 3, 4, … संकेतित अक्ष को रोटरी अक्ष कहा जाता हैएन-वाँ आदेश।

परn=2 आकृति के सभी बिंदुओं को 180 के कोण से घुमाया जाता है 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) अक्ष के चारों ओर, जबकि आकृति का आकार संरक्षित है, अर्थात आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के एक बिंदु पर जाता है (आकृति स्वयं में रूपांतरित हो जाती है)। अक्ष को दूसरे क्रम की धुरी कहा जाता है।

चित्र 2 तीसरे क्रम की धुरी दिखाता है, चित्र 3 - चौथा क्रम, चित्र 4 - 5वाँ क्रम।

एक वस्तु में एक से अधिक घूर्णी अक्ष हो सकते हैं: चित्र 1 - घूर्णन के 3 अक्ष, चित्र 2 - 4 अक्ष, चित्र 3 - 5 अक्ष, चित्र। 4 - केवल 1 अक्ष

सुप्रसिद्ध अक्षर "I" और "F" में घूर्णी समरूपता है। यदि आप अक्षर "I" को 180 ° से अक्षर के तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं और उसके केंद्र से गुजरते हैं, तो पत्र के साथ संरेखित किया जाएगा अपने आप। दूसरे शब्दों में, "I" अक्षर 180°, 180° = 360°: 2 द्वारा घूर्णन के संबंध में सममित है।एन=2 , इसलिए इसमें दूसरे क्रम की सममिति है।

ध्यान दें कि अक्षर "F" में दूसरे क्रम की घूर्णी समरूपता भी है।

इसके अलावा, अक्षर और में समरूपता का एक केंद्र है, और अक्षर f में समरूपता का एक अक्ष है

आइए जीवन से उदाहरणों पर लौटते हैं: एक गिलास, एक शंकु के आकार का आइसक्रीम, तार का एक टुकड़ा, एक पाइप।

यदि हम इन पिंडों पर करीब से नज़र डालें, तो हम देखेंगे कि उनमें से सभी, एक तरह से या किसी अन्य, एक वृत्त से मिलकर बने होते हैं, जिसमें अनंत संख्या में सममिति के अक्ष होते हैं, जिनमें से अनंत संख्या में समरूपता के तल गुजरते हैं। इन निकायों में से अधिकांश (उन्हें क्रांति के निकाय कहा जाता है) में, निश्चित रूप से, समरूपता का एक केंद्र (एक वृत्त का केंद्र) भी होता है, जिसके माध्यम से समरूपता का कम से कम एक रोटरी अक्ष गुजरता है।

स्पष्ट रूप से दिखाई देने वाला, उदाहरण के लिए, आइसक्रीम कोन की धुरी है। यह सर्कल के बीच से चलता है (आइसक्रीम से बाहर निकलता है!) फंकी कोन के तेज अंत तक। हम एक शरीर के समरूपता तत्वों के सेट को एक प्रकार की समरूपता माप के रूप में देखते हैं। गेंद, निस्संदेह, समरूपता के संदर्भ में पूर्णता का एक नायाब अवतार है, एक आदर्श है। प्राचीन यूनानियों ने इसे सबसे अधिक माना सर्वोत्तम शरीर, और सर्कल, निश्चित रूप से, सबसे सही फ्लैट आकृति के रूप में।

किसी विशेष वस्तु की समरूपता का वर्णन करने के लिए, रोटेशन के सभी अक्षों और उनके क्रम के साथ-साथ समरूपता के सभी विमानों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, दो समान नियमित चतुष्कोणीय पिरामिडों से बना एक ज्यामितीय निकाय पर विचार करें।

इसमें चौथे क्रम (अक्ष AB) का एक रोटरी अक्ष है, दूसरे क्रम के चार रोटरी अक्ष (अक्ष CE,डी.एफ., एमपी, एनक्यू), समरूपता के पांच विमान (विमानसीडीईएफ, एएफबीडी, एसीबीई, एएमबीपी, एएनबीक्यू).

5 . पोर्टेबल समरूपता

एक अन्य प्रकार की समरूपता हैपोर्टेबल साथ समरूपता।

वे इस तरह की समरूपता की बात करते हैं, जब किसी आकृति को एक सीधी रेखा के साथ कुछ दूरी "ए" या एक दूरी के लिए स्थानांतरित किया जाता है जो कि इस मान का एक गुणक होता है, तो यह स्वयं के साथ संयुक्त होता है जिस सीधी रेखा के साथ स्थानांतरण किया जाता है उसे स्थानांतरण अक्ष कहा जाता है, और दूरी "ए" को प्राथमिक स्थानांतरण, अवधि या समरूपता चरण कहा जाता है।

ए

एक लंबे रिबन पर समय-समय पर दोहराए जाने वाले पैटर्न को बॉर्डर कहा जाता है। व्यवहार में, सीमाएँ विभिन्न रूपों में पाई जाती हैं (दीवार पेंटिंग, कच्चा लोहा, प्लास्टर बेस-रिलीफ या सिरेमिक)। कमरे को सजाते समय चित्रकारों और कलाकारों द्वारा सीमाओं का उपयोग किया जाता है। इन गहनों को करने के लिए एक स्टैंसिल बनाया जाता है। हम स्टैंसिल को घुमाते हैं, इसे पलटते हैं या नहीं, एक समोच्च खींचते हैं, पैटर्न को दोहराते हैं, और हमें एक आभूषण (दृश्य प्रदर्शन) मिलता है।

एक स्टैंसिल (मूल तत्व) का उपयोग करके, इसे शिफ्ट करना या फ़्लिप करना और पैटर्न को दोहराना आसान है। यह आंकड़ा पांच प्रकार के स्टेंसिल दिखाता है:ए ) असममित;बी, सी ) समरूपता का एक अक्ष होना: क्षैतिज या लंबवत;जी ) केंद्रीय सममित;डी ) समरूपता के दो अक्ष हैं: लंबवत और क्षैतिज।

सीमाओं के निर्माण के लिए निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है:

ए ) समानांतर स्थानांतरण;बी ) ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में समरूपता;वी ) केंद्रीय समरूपता;जी ) क्षैतिज अक्ष के बारे में समरूपता।

इसी तरह, आप सॉकेट बना सकते हैं। इसके लिए मंडल को बांटा गया हैएन समान क्षेत्रों में, उनमें से एक में एक नमूना पैटर्न का प्रदर्शन किया जाता है और फिर बाद वाले को सर्कल के शेष हिस्सों में क्रमिक रूप से दोहराया जाता है, पैटर्न को हर बार 360 ° / के कोण से मोड़ते हुएएन .

फोटोग्राफ में दिखाया गया बाड़ अक्षीय और अनुवादिक समरूपता के उपयोग का एक अच्छा उदाहरण है।

निष्कर्ष: इस प्रकार, सममिति के विभिन्न प्रकार हैं, सममित बिंदुइनमें से प्रत्येक प्रकार की समरूपता कुछ कानूनों के अनुसार निर्मित होती है। जीवन में, हम हर जगह एक या दूसरे प्रकार की समरूपता से मिलते हैं, और अक्सर उन वस्तुओं में जो हमें घेरती हैं, एक ही बार में कई प्रकार की समरूपता देखी जा सकती है। यह हमारे आसपास की दुनिया में व्यवस्था, सुंदरता और पूर्णता बनाता है।

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ज्यामिति में, ज्यामितीय आकृतियों का एक गुण। किसी दिए गए समतल (या रेखा) के समान लंब पर स्थित दो बिंदु अलग-अलग पक्षों पर और उससे समान दूरी पर इस तल (या रेखा) के संबंध में सममित कहलाते हैं। एक आकृति (सपाट या स्थानिक) एक सीधी रेखा (समरूपता की धुरी) या एक समतल (समरूपता का तल) के संबंध में सममित है यदि इसके बिंदुओं में जोड़ीदार निर्दिष्ट संपत्ति है। एक आकृति एक बिंदु (समरूपता के केंद्र) के संबंध में सममित है यदि इसके बिंदु समरूपता के केंद्र से होकर गुजरने वाली सीधी रेखाओं पर, विपरीत पक्षों पर और इससे समान दूरी पर जोड़े में स्थित हैं।

समरूपता की परिभाषा

बीसवीं शताब्दी के महानतम गणितज्ञों में से एक के अनुसार "समरूपता" (ग्रीक समरूपता - आनुपातिकता) की अवधारणा। हरमन वेइल (1885 - 1955), "वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य ने सदियों से आदेश, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश की है।" आमतौर पर, "समरूपता" शब्द अनुपात के सामंजस्य को संदर्भित करता है - कुछ संतुलित, स्थानिक वस्तुओं द्वारा सीमित नहीं (उदाहरण के लिए, संगीत, कविता, आदि में)। दूसरी ओर, यह अवधारणा भी विशुद्ध रूप से है ज्यामितीय भाव, जिसमें अंतरिक्ष में नियमित दोहराव होता है समान आंकड़ेया उनके हिस्से। जैसा कि ईएस फेडोरोव ने लिखा (1901), "समरूपता ज्यामितीय आकृतियों की संपत्ति है जो उनके भागों को दोहराती है, या, अधिक सटीक होने के लिए, मूल स्थिति के साथ संरेखण में आने के लिए विभिन्न स्थितियों में उनकी संपत्ति।"

हालाँकि, सममित आकृतियों की बात करें तो, दो प्रकार की समानता को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए: सर्वांगसम (ग्रीक सर्वांगसम - संयुक्त) और एनेंटिओमॉर्फिक - दर्पण समान (ग्रीक एनेंटियोस - विपरीत, मॉर्फ - रूप)। पहले मामले में, आंकड़े या उनके भाग अभिप्रेत हैं, जिनमें से समानता को सरल संयोजन द्वारा प्रकट किया जा सकता है - एक दूसरे पर सुपरइम्पोजिशन, अर्थात। "स्वयं" आंदोलन, बाएं (एल) आकृति (उदाहरण के लिए, बाएं पेंच, हाथ) को बाईं ओर स्थानांतरित करना, दाएं (आर) - दाईं ओर, जिसमें एक आकृति के सभी बिंदु संबंधित बिंदुओं के साथ मेल खाते हैं अन्य। दूसरे मामले में, प्रतिबिंब की मदद से समानता का पता चलता है - एक आंदोलन जो किसी वस्तु को उसकी दर्पण छवि (बाएं से दाएं और इसके विपरीत) में बदल देता है।

इस मामले में, स्थानिक आकृति के सभी बिंदु विमान के संबंध में जोड़ीदार सममित हो जाते हैं। इस तरह के परिवर्तनों (आंदोलनों) के परिणामस्वरूप, वस्तु स्वयं के साथ संयुक्त होती है, अर्थात। स्वयं में परिवर्तित हो जाता है। दूसरे शब्दों में, यह इस परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय है और इसलिए सममित है। परिवर्तन ही, जो किसी वस्तु की समरूपता को प्रकट करता है, जिसे समरूपता परिवर्तन कहा जाता है, वस्तु के भागों के मीट्रिक गुणों को अपरिवर्तित रखता है, और इसलिए उनके बिंदुओं के किसी भी जोड़े के बीच की दूरी। इस प्रकार, वस्तुओं को सममित रूप से बराबर माना जा सकता है यदि उनमें से एक के सभी बिंदुओं को एक ही नियम के अनुसार दूसरे के संगत बिंदुओं में स्थानांतरित किया जाता है।

बीजगणित और ज्यामिति के बुनियादी और उन्नत विषयों को आगे बढ़ाने के लिए यह समझना आवश्यक है कि गणित में समरूपता क्या है। ड्राइंग, आर्किटेक्चर और ड्राइंग बनाने के नियमों को समझने के लिए भी यह महत्वपूर्ण है। सबसे सटीक विज्ञान - गणित के साथ घनिष्ठ संबंध के बावजूद, कलाकारों, कलाकारों, रचनाकारों और उन लोगों के लिए समरूपता महत्वपूर्ण है जो इसमें लगे हुए हैं वैज्ञानिक गतिविधि, और किसी भी क्षेत्र में।

सामान्य जानकारी

केवल गणित ही नहीं, बल्कि यह भी प्राकृतिक विज्ञानकाफी हद तक समरूपता की अवधारणा पर आधारित है। इसके अलावा में पाया जाता है रोजमर्रा की जिंदगी, हमारे ब्रह्मांड की प्रकृति के लिए बुनियादी में से एक है। गणित में समरूपता क्या है, यह समझना आवश्यक है कि इस घटना के कई प्रकार हैं। ऐसे विकल्पों के बारे में बात करना प्रथागत है:

• द्विपक्षीय, अर्थात्, जब समरूपता प्रतिबिम्बित होती है। वैज्ञानिक समुदाय में इस घटना को "द्विपक्षीय" कहा जाता है।
• एन-नाम आदेश। इस अवधारणा के लिए, मुख्य परिघटना रोटेशन का कोण है, जिसकी गणना कुछ दी गई राशि से 360 डिग्री को विभाजित करके की जाती है। इसके अलावा, जिस अक्ष के चारों ओर ये घुमाव किए जाते हैं वह पूर्व निर्धारित होता है।
• पैडियल, जब समरूपता की घटना देखी जाती है यदि घुमावों को मनमाने ढंग से कुछ यादृच्छिक कोण से बनाया जाता है। अक्ष को भी स्वतंत्र रूप से चुना जाता है। इस घटना का वर्णन करने के लिए SO(2) समूह का उपयोग किया जाता है।
• गोलाकार। इस मामले में हम बात कर रहे हैंतीन आयामों के बारे में जिसमें मनमाने कोणों को चुनकर वस्तु को घुमाया जाता है। का आवंटन विशिष्ट मामलाआइसोट्रॉपी, जब घटना स्थानीय हो जाती है, माध्यम या स्थान की विशेषता।
• घूर्णी, पहले वर्णित दो समूहों का संयोजन।
• लोरेंत्ज़-इनवेरिएंट जब मनमाना घुमाव होता है। इस प्रकार की समरूपता के लिए, मुख्य अवधारणा "मिन्कोव्स्की स्पेस-टाइम" बन जाती है।
• सुपर, फर्मिऑन द्वारा बोसोन के प्रतिस्थापन के रूप में परिभाषित किया गया है।
• उच्च, समूह विश्लेषण के दौरान पहचाना गया।
• ट्रांसलेशनल, जब अंतरिक्ष में बदलाव होते हैं, जिसके लिए वैज्ञानिक दिशा, दूरी की पहचान करते हैं। प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, एक तुलनात्मक विश्लेषण किया जाता है, जिससे समरूपता प्रकट करना संभव हो जाता है।
• उपयुक्त परिवर्तन के तहत गेज सिद्धांत की स्वतंत्रता के मामले में देखा गया गेज। यहां, क्षेत्र सिद्धांत पर विशेष ध्यान दिया जाता है, जिसमें यांग-मिल्स के विचारों पर ध्यान केंद्रित करना शामिल है।
• कैनो, इलेक्ट्रॉनिक कॉन्फ़िगरेशन के वर्ग से संबंधित है। गणित (ग्रेड 6) को पता नहीं है कि ऐसी समरूपता क्या है, क्योंकि यह उच्च क्रम का विज्ञान है। घटना द्वितीयक आवधिकता के कारण है। के दौरान खोला गया था वैज्ञानिकों का कामई। बिरोन। शब्दावली एस शुकरेव द्वारा पेश की गई थी।

आईना

उनकी स्कूली शिक्षा के दौरान, छात्रों को लगभग हमेशा "हमारे आसपास समरूपता" (एक गणित परियोजना) करने के लिए कहा जाता है। एक नियम के रूप में, शिक्षण विषयों के सामान्य पाठ्यक्रम के साथ एक नियमित स्कूल की छठी कक्षा में इसे लागू करने की सिफारिश की जाती है। परियोजना से निपटने के लिए, आपको पहले समरूपता की अवधारणा से परिचित होना चाहिए, विशेष रूप से, यह पहचानने के लिए कि बच्चों के लिए सबसे बुनियादी और सबसे अधिक समझने योग्य दर्पण प्रकार क्या है।

समरूपता की घटना की पहचान करने के लिए, एक विशिष्ट ज्यामितीय आकृति पर विचार किया जाता है, और एक समतल भी चुना जाता है। वे प्रश्न में वस्तु की समरूपता के बारे में कब बात करते हैं? सबसे पहले, उस पर एक निश्चित बिंदु का चयन किया जाता है, और फिर उसके लिए एक प्रतिबिंब पाया जाता है। उन दोनों के बीच एक खंड खींचा जाता है और यह गणना की जाती है कि यह किस कोण पर पहले से चयनित विमान से गुजरता है।

गणित में समरूपता क्या है, यह समझना, याद रखें कि इस घटना की पहचान करने के लिए चुने गए विमान को समरूपता का विमान कहा जाएगा और कुछ नहीं। खींचे गए खंड को इसके साथ एक समकोण पर काटना चाहिए। बिंदु से इस विमान तक की दूरी और इससे खंड के दूसरे बिंदु तक बराबर होना चाहिए।

बारीकियों

समरूपता जैसी घटना का विश्लेषण करके आप और क्या दिलचस्प सीख सकते हैं? गणित (छठी कक्षा) हमें बताता है कि सममित माने जाने वाले दो आंकड़े जरूरी नहीं कि एक दूसरे के समान हों। समानता की अवधारणा संकीर्ण और व्यापक अर्थों में मौजूद है। तो, संकीर्ण में सममित वस्तुएं समान नहीं हैं।

आप जीवन से क्या उदाहरण दे सकते हैं? प्राथमिक! हमारे दस्ताने, मिट्टेंस के बारे में क्या? हम सभी उन्हें पहनने के आदी हैं और हम जानते हैं कि हम उन्हें खो नहीं सकते, क्योंकि हम एक जोड़ी में दूसरा नहीं उठा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि हमें दोनों को फिर से खरीदना होगा। और सब क्यों? क्योंकि युग्मित उत्पाद, हालांकि सममित हैं, बाएं और के लिए डिज़ाइन किए गए हैं दांया हाथ. यह दर्पण सममिति का एक विशिष्ट उदाहरण है। समानता के लिए, ऐसी वस्तुओं को "दर्पण समान" के रूप में पहचाना जाता है।

केंद्र के बारे में क्या?

केंद्रीय समरूपता का विचार शरीर के गुणों के निर्धारण से शुरू होता है, जिसके संबंध में घटना का मूल्यांकन करना आवश्यक है। इसे सममित कहने के लिए, पहले केंद्र में स्थित किसी बिंदु को चुनें। अगला, एक बिंदु चुना जाता है (आइए इसे ए कहते हैं) और इसके लिए एक जोड़ी की तलाश करें (आइए इसे ई कहते हैं)।

समरूपता का निर्धारण करते समय, अंक ए और ई एक सीधी रेखा से जुड़े होते हैं जो शरीर के केंद्रीय बिंदु को पकड़ते हैं। अगला, परिणामी सीधी रेखा को मापें। यदि बिंदु A से वस्तु के केंद्र तक का खंड बिंदु E से केंद्र को अलग करने वाले खंड के बराबर है, तो हम कह सकते हैं कि समरूपता का केंद्र मिल गया है। गणित में केंद्रीय समरूपता इनमें से एक है महत्वपूर्ण अवधारणाएंज्यामिति के सिद्धांत के और विकास की अनुमति देता है।

क्या होगा अगर हम घुमाते हैं?

गणित में समरूपता का विश्लेषण करते समय, कोई इस घटना के घूर्णी उपप्रकार की अवधारणा को नहीं खो सकता है। शर्तों से निपटने के लिए, वे एक निकाय लेते हैं जिसमें केंद्रीय बिंदु होता है, और एक पूर्णांक भी निर्धारित करता है।

प्रयोग के दौरान, दिए गए पिंड को चयनित द्वारा 360 डिग्री को विभाजित करने के परिणाम के बराबर कोण से घुमाया जाता है पूर्णांक संकेतक. ऐसा करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि क्या है (ग्रेड 2, गणित, स्कूल कार्यक्रम). यह अक्ष दो चयनित बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा है। हम रोटेशन की समरूपता के बारे में बात कर सकते हैं, अगर रोटेशन के चुने हुए कोण पर, शरीर उसी स्थिति में होगा जैसा कि हेरफेर से पहले था।

ऐसे में जब प्राकृतिक संख्या 2 को चुना गया, और समरूपता की घटना की खोज की गई, यह कहा जाता है कि गणित में अक्षीय समरूपता को परिभाषित किया गया है। यह कई आंकड़ों के लिए विशिष्ट है। विशिष्ट उदाहरण: त्रिभुज।

उदाहरणों के बारे में अधिक

गणित और ज्यामिति पढ़ाने के कई वर्षों का अभ्यास उच्च विद्यालयदिखाता है कि समरूपता की घटना को समझने का सबसे आसान तरीका इसे विशिष्ट उदाहरणों के साथ समझाना है।

आइए एक गोले से शुरू करें। ऐसे शरीर के लिए समरूपता की घटनाएं एक साथ होती हैं:

• केंद्रीय;
• आईना;
• घूर्णी।

मुख्य बिंदु के रूप में, आकृति के ठीक केंद्र में स्थित बिंदु को चुना जाता है। एक विमान चुनने के लिए, निर्धारित करें दीर्घ वृत्ताकारऔर मानो इसे परतों में "काट" दिया। क्या कहता है गणित? एक गेंद के मामले में रोटेशन और केंद्रीय समरूपता परस्पर संबंधित अवधारणाएं हैं, जबकि आकृति का व्यास विचाराधीन घटना के लिए एक अक्ष के रूप में काम करेगा।

एक और अच्छा उदाहरण गोल शंकु है। यह आंकड़ा इस घटना के लिए अजीब है।गणित और वास्तुकला में, इस घटना को व्यापक सैद्धांतिक और व्यावहारिक अनुप्रयोग मिला है। कृपया ध्यान दें: शंकु की धुरी घटना के लिए धुरी के रूप में कार्य करती है।

अध्ययन के तहत घटना को नेत्रहीन रूप से प्रदर्शित करता है यह आंकड़ा दर्पण समरूपता की विशेषता है। एक "कट" को एक विमान के रूप में चुना जाता है, आकृति के आधारों के समानांतर, समान अंतराल पर उनसे दूर। ज्यामितीय, वर्णनात्मक, वास्तु समरूपता बनाते समय, यह सटीक और वर्णनात्मक विज्ञान से कम महत्वपूर्ण नहीं है), लोड-असर तत्वों की योजना बनाते समय व्यवहार में प्रयोज्यता और प्रतिबिंब घटना की उपयोगिता को याद रखें।

और अगर अधिक दिलचस्प आंकड़े?

गणित हमें क्या बता सकता है (ग्रेड 6)? गेंद के रूप में न केवल इतनी सरल और समझने योग्य वस्तु में केंद्रीय समरूपता मौजूद है। यह अधिक रोचक और जटिल आकृतियों की विशेषता भी है। उदाहरण के लिए, यह एक समांतर चतुर्भुज है। ऐसी वस्तु के लिए, केंद्रीय बिंदु वह होता है, जहां इसके विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं।

लेकिन अगर हम विचार करें समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड, तो यह अक्षीय सममिति वाली आकृति होगी। यदि आप सही अक्ष चुनते हैं तो आप इसकी पहचान कर सकते हैं। शरीर आधार के लंबवत रेखा के बारे में सममित है और इसे बिल्कुल बीच में काटता है।

गणित और वास्तुकला में समरूपता आवश्यक रूप से रोम्बस को ध्यान में रखती है। यह आंकड़ा इस मायने में उल्लेखनीय है कि यह एक साथ दो प्रकार की समरूपता को जोड़ता है:

• अक्षीय;
• केंद्रीय।

अक्ष के रूप में, आपको वस्तु के विकर्ण का चयन करना होगा। जहाँ एक समचतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं, वह समरूपता का केंद्र होता है।

सुंदरता और समरूपता के बारे में

गणित में एक परियोजना बनाते समय, जिसके लिए समरूपता एक प्रमुख विषय होगा, आमतौर पर सबसे पहले याद किया जाता है बुद्धिमानी के शब्दमहान वैज्ञानिक वेइल: “समरूपता एक ऐसा विचार है जिसे कई सदियों से समझने की कोशिश की जा रही है एक आम व्यक्तिक्योंकि वही एक अद्वितीय क्रम द्वारा पूर्ण सौन्दर्य का निर्माण करती है।

जैसा कि आप जानते हैं, कुछ वस्तुएँ अधिकांश को सुंदर लगती हैं, जबकि अन्य प्रतिकारक होती हैं, भले ही उनमें स्पष्ट दोष न हों। ऐसा क्यों हो रहा है? इस प्रश्न का उत्तर समरूपता में वास्तुकला और गणित के बीच के संबंध को दर्शाता है, क्योंकि यह ऐसी घटना है जो किसी वस्तु को सौंदर्य की दृष्टि से आकर्षक मानने का आधार बन जाती है।

सबसे ज्यादा सुंदर महिलाएंहमारे ग्रह पर सुपरमॉडल ब्रश तारलिकटन है। उसे यकीन है कि वह मुख्य रूप से सफलता के लिए आई थी अनूठी घटना: उसके होंठ सममित हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, प्रकृति दोनों समरूपता की ओर आकर्षित होती है, और इसे प्राप्त नहीं कर सकती। क्या नहीं है सामान्य नियमलेकिन अपने आसपास के लोगों को देखें: में मानवीय चेहरेपूर्ण समरूपता प्राप्त करना व्यावहारिक रूप से असंभव है, हालांकि इसके लिए इच्छा स्पष्ट है। वार्ताकार का चेहरा जितना सममित होता है, वह उतना ही सुंदर लगता है।

समरूपता कैसे सौंदर्य का विचार बन गई

आश्चर्यजनक रूप से, किसी व्यक्ति की आसपास की जगह और उसमें मौजूद वस्तुओं की सुंदरता की धारणा समरूपता पर आधारित है। कई सदियों से लोग यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या सुंदर लगता है और क्या निष्पक्षता को पीछे हटाता है।

समरूपता, अनुपात - यह वह है जो किसी वस्तु को नेत्रहीन रूप से देखने और उसका सकारात्मक मूल्यांकन करने में मदद करता है। सभी तत्वों, भागों को संतुलित और एक दूसरे के साथ उचित अनुपात में होना चाहिए। यह लंबे समय से पता चला है कि लोग असममित वस्तुओं को बहुत कम पसंद करते हैं। यह सब "सद्भाव" की अवधारणा से जुड़ा है। किसी व्यक्ति के लिए यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है, इस पर ऋषि, कलाकार और कलाकार प्राचीन काल से ही अपना दिमाग लगाते रहे हैं।

देखने लायक ज्यामितीय आकार, और समरूपता की घटना स्पष्ट और समझने योग्य हो जाएगी। हमारे आस-पास अंतरिक्ष में सबसे विशिष्ट सममित घटनाएं:

• चट्टानें;
• फूल और पौधों की पत्तियां;
• जीवित जीवों में निहित बाहरी अंगों की जोड़ी।

वर्णित घटनाओं का स्रोत प्रकृति में ही है। लेकिन उत्पादों को देखते हुए आप जो देख सकते हैं वह सममित है मानव हाथ? यह ध्यान देने योग्य है कि लोग ऐसे ही बनाने की ओर बढ़ते हैं यदि वे कुछ सुंदर या कार्यात्मक (या दोनों एक ही समय में) बनाने का प्रयास कर रहे हैं:

• पैटर्न और गहने, प्राचीन काल से लोकप्रिय;
• निर्माण तत्व;
• इंजीनियरिंग संरचनाओं के तत्व;
• सुई का काम।

शब्दावली के बारे में

"समरूपता" एक ऐसा शब्द है जो हमारी भाषा में प्राचीन यूनानियों से आया था, जिन्होंने सबसे पहले इस घटना पर ध्यान दिया और इसका अध्ययन करने की कोशिश की। यह शब्द किसी प्रणाली की उपस्थिति के साथ-साथ वस्तु के भागों के सामंजस्यपूर्ण संयोजन को दर्शाता है। "समरूपता" शब्द का अनुवाद करते हुए, आप पर्यायवाची के रूप में चुन सकते हैं:

• आनुपातिकता;
• समानता;
• आनुपातिकता।

प्राचीन काल से, समरूपता रही है महत्वपूर्ण अवधारणाविभिन्न क्षेत्रों और उद्योगों में मानव जाति के विकास के लिए। प्राचीन काल से लोगों के पास है सामान्य विचारइस घटना के बारे में, मुख्य रूप से इसे व्यापक अर्थों में देखते हुए। समरूपता का मतलब सद्भाव और संतुलन था। आजकल, सामान्य स्कूलों में शब्दावली पढ़ाई जाती है। उदाहरण के लिए, (ग्रेड 2, गणित) क्या है शिक्षक एक नियमित पाठ में बच्चों को बताता है।

एक विचार के रूप में, यह घटना अक्सर वैज्ञानिक परिकल्पनाओं और सिद्धांतों का प्रारंभिक संदेश बन जाती है। यह पिछली शताब्दियों में विशेष रूप से लोकप्रिय था, जब ब्रह्मांड की प्रणाली में निहित गणितीय सद्भाव का विचार दुनिया पर हावी था। उन युगों के पारखी आश्वस्त थे कि समरूपता दैवीय सद्भाव की अभिव्यक्ति है। लेकिन में प्राचीन ग्रीसदार्शनिकों ने आश्वासन दिया कि संपूर्ण ब्रह्मांड सममित है, और यह सब इस पद पर आधारित था: "समरूपता सुंदर है।"

महान यूनानी और समरूपता

समरूपता ने प्राचीन ग्रीस के सबसे प्रसिद्ध वैज्ञानिकों के मन को उत्साहित किया। सबूत हमारे सामने आ गए हैं कि प्लेटो ने अलग से प्रशंसा की मांग की उनकी राय में, ऐसे आंकड़े हमारी दुनिया के तत्वों की पहचान हैं। निम्नलिखित वर्गीकरण था:

यह काफी हद तक इस सिद्धांत के कारण है कि नियमित पॉलीहेड्रा को प्लेटोनिक ठोस कहा जाता है।

लेकिन शब्दावली को पहले भी पेश किया गया था, और यहां मूर्तिकार पोलिकलिटोस ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी।

पाइथागोरस और समरूपता

पाइथागोरस के जीवन के दौरान और बाद में, जब उनका शिक्षण फल-फूल रहा था, समरूपता की घटना को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया था। यह तब था जब समरूपता आई वैज्ञानिक विश्लेषणजिन्होंने महत्वपूर्ण दिया व्यावहारिक अनुप्रयोगपरिणाम।

निष्कर्षों के अनुसार:

• समरूपता अनुपात, एकरूपता और समानता की अवधारणाओं पर आधारित है। यदि एक या दूसरी अवधारणा का उल्लंघन किया जाता है, तो आंकड़ा कम सममित हो जाता है, धीरे-धीरे पूरी तरह असममित हो जाता है।
• 10 विपरीत जोड़े हैं। सिद्धांत के अनुसार, समरूपता एक ऐसी घटना है जो विपरीत को एक में लाती है और इस तरह पूरे ब्रह्मांड का निर्माण करती है। कई शताब्दियों के लिए इस अवधारणा का सटीक और दार्शनिक, साथ ही साथ प्राकृतिक दोनों तरह के विज्ञानों पर गहरा प्रभाव पड़ा।

पाइथागोरस और उनके अनुयायियों ने "पूरी तरह से सममित निकायों" को अलग किया, जिसमें शर्तों को पूरा करने वाले शामिल थे:

• प्रत्येक चेहरा एक बहुभुज है;
• चेहरे कोनों पर मिलते हैं;
• आकृति में बराबर भुजाएँ और कोण होने चाहिए।

यह पाइथागोरस ही थे जिन्होंने सबसे पहले कहा था कि ऐसे केवल पांच शरीर हैं। इस महान खोज ने ज्यामिति की शुरुआत की और आधुनिक वास्तुकला के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

क्या आप अपनी आँखों से समरूपता की सबसे सुंदर घटना देखना चाहते हैं? सर्दियों में हिमपात का एक टुकड़ा पकड़ो। हैरानी की बात यह है कि आसमान से गिरने वाले बर्फ के इस छोटे से टुकड़े में न केवल एक अत्यंत जटिल क्रिस्टलीय संरचना है, बल्कि यह पूरी तरह सममित भी है। इस पर ध्यान से विचार करें: हिमपात वास्तव में सुंदर है, और इसकी जटिल रेखाएँ मंत्रमुग्ध कर देने वाली हैं।

क्षेत्रीय वैज्ञानिक और व्यावहारिक सम्मेलन

स्कूली बच्चे "ज्ञान की ऊंचाइयों तक"

अनुभाग "प्राकृतिक और गणितीय विषय"

थीम "समरूपता - सौंदर्य, सद्भाव और पूर्णता का प्रतीक"

द्वारा पूरा किया गया: नुरलिनोवा एवगेनिया सर्गेवना

एमओयू क्रिसमस सेकेंडरी स्कूल, ग्रेड 8।

प्रमुख: मितिना स्वेतलाना पेत्रोव्ना,

गणित शिक्षक

संपर्क फोन: 26-539।

§1। परिचय

§2। समरूपता क्या है? ज्यामिति में इसके प्रकार

§3। चेतन और निर्जीव प्रकृति में समरूपता की अभिव्यक्ति

§4। मनुष्य द्वारा समरूपता के नियमों का अनुप्रयोग

§5। निष्कर्ष

§6। साहित्य

§7। अनुप्रयोग

§1। परिचय

जब हम ज्यामिति में "सममिति" विषय से गुजरे, तो इसके लिए बहुत कम समय आवंटित किया गया था, लेकिन यह विषय मुझे दिलचस्प लगा और मैंने इसे शोध के लिए लेने का फैसला किया। मैं इस मुद्दे पर और अधिक सीखना चाहता था, क्योंकि मैंने इस शब्द को एक से अधिक बार अन्य वस्तुओं और रोजमर्रा की जिंदगी में सुना है। शोध शुरू करने के बाद, मैंने देखा कि समरूपता केवल एक गणितीय अवधारणा नहीं है, यह जीवित और निर्जीव प्रकृति के साथ-साथ मानव कृतियों में भी कुछ सुंदर के रूप में प्रकट होती है। इसलिए मैंने अपने आप से निम्नलिखित प्रश्न किए:

प्रकृति में समरूपता का सामंजस्य कैसे प्रकट होता है;

प्रकृति में किस प्रकार की सममिति पाई जाती है;

एक व्यक्ति अपनी रचनाओं में समरूपता के सौंदर्य को कैसे लागू करता है?

इसलिए, मैंने अपने शोध का विषय "समरूपता - सौंदर्य, सद्भाव और पूर्णता का प्रतीक" कहा।

§2। समरूपता क्या है? ज्यामिति में इसके प्रकार।

ओह समरूपता! मैं तुम्हारे लिए एक भजन गाता हूँ!

मैं आपको दुनिया में हर जगह पहचानता हूं।

आप एफिल टॉवर में हैं, एक छोटे से मिज में,

आप क्रिसमस ट्री में जंगल के रास्ते पर हैं।

तुम्हारे साथ दोस्ती और ट्यूलिप, और गुलाब में,

और बर्फ का झुंड ठंढ का निर्माण है!

लेकिन समरूपता क्या है? में व्याख्यात्मक शब्दकोशएस.आई. ओज़ेग की समरूपता की व्याख्या "आनुपातिकता, किसी बिंदु, रेखा या तल के विपरीत पक्षों पर किसी चीज़ के भागों की व्यवस्था में समानता" के रूप में की जाती है। उसी शब्दकोश से, मैंने सीखा कि सद्भाव शब्द का अर्थ है "किसी चीज के संयोजन में संगति, सामंजस्य।" हम देखते हैं कि समरूपता और सामंजस्य आपस में जुड़े हुए हैं।

प्रारंभ में मैं इस बात पर विचार करूंगा कि किस प्रकार की सममिति पाई जाती है स्कूल का कोर्सज्यामिति, और यह:

केंद्रीय (बिंदु के सापेक्ष)

अक्षीय (सीधी रेखा के सापेक्ष)

दर्पण (विमान के सापेक्ष)।

केंद्रीय समरूपता।

एक आकृति को बिंदु O के संबंध में सममित कहा जाता है यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु O के संबंध में सममित बिंदु भी इस आकृति से संबंधित है। बिंदु O को आकृति का सममिति केंद्र कहा जाता है। वे यह भी कहते हैं कि आकृति में केंद्रीय समरूपता है (चित्र 1 देखें)।

अक्षीय समरूपता।

आकृति को एक सीधी रेखा के संबंध में सममित कहा जाता है। ए, यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु सीधी रेखा के संबंध में सममित है ए, भी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है। सीधा एआकृति की सममिति का अक्ष कहा जाता है। वे यह भी कहते हैं कि आकृति में अक्षीय समरूपता है (चित्र 2 देखें)।

दर्पण समरूपता।

मिरर समरूपता (एक विमान के संबंध में समरूपता) अपने आप में अंतरिक्ष का एक मानचित्रण है, जिसमें कोई बिंदु एम इस विमान के संबंध में एक बिंदु एम 1 सममित में गुजरता है (चित्र 3 देखें)।

अब मैं विशेष साहित्य को देखने और अध्ययन करने के बाद यह देखना चाहता हूं कि समरूपता को अपना प्रतिबिंब कहां मिलेगा। हमें कुछ चीजें सुंदर क्यों लगती हैं और कुछ नहीं? असममित छवियों की तुलना में सममित छवियों को देखना बेहतर क्यों है?

§3। चेतन और निर्जीव प्रकृति में समरूपता की अभिव्यक्ति

प्रकृति में सौन्दर्य निर्मित नहीं होता, बल्कि स्थिर, अभिव्यक्त होता है। "वैश्विक", अर्थात् हमारे ग्रह पृथ्वी से समरूपता की अभिव्यक्ति पर विचार करें।

प्राचीन काल में शिक्षित लोगों को यह तथ्य ज्ञात हो गया था कि पृथ्वी एक गोला है। कॉपरनिकस के युग से पहले अधिकांश पढ़े-लिखे लोगों की दृष्टि में पृथ्वी ब्रह्मांड का केंद्र थी। इसलिए, उन्होंने पृथ्वी के केंद्र से गुजरने वाली रेखाओं को ब्रह्मांड की समरूपता का केंद्र माना। इसलिए, यहां तक ​​​​कि पृथ्वी के लेआउट - ग्लोब में समरूपता की धुरी है (चित्र 4 देखें)।

रंगों में, उदाहरण के लिए, घूर्णी समरूपता देखी जाती है। कई फूलों को घुमाया जा सकता है ताकि प्रत्येक पंखुड़ी अपने पड़ोसी की स्थिति ले ले, फूल स्वयं के साथ संरेखित हो। विभिन्न रंगों के लिए ऐसे घुमाव का न्यूनतम कोण समान नहीं होता है। आईरिस के लिए यह 120° (चित्र 5 देखें), ब्लूबेल के लिए - 72° (चित्र 6 देखें), नार्सिसस के लिए - 60° (चित्र 7 देखें)। पौधों के तनों पर पत्तियों की व्यवस्था में कुंडलाकार समरूपता देखी जाती है। तने के साथ एक पेंच के रूप में स्थित होने के कारण, पत्तियाँ अलग-अलग दिशाओं में फैलती हुई प्रतीत होती हैं और प्रकाश से एक-दूसरे को अस्पष्ट नहीं करती हैं (चित्र 8 देखें), हालाँकि पत्तियों में स्वयं भी समरूपता का एक अक्ष होता है (चित्र 9 देखें)। . किसी भी जानवर की संरचना की सामान्य योजना को ध्यान में रखते हुए, हम आमतौर पर शरीर के अंगों या अंगों की व्यवस्था में एक प्रसिद्ध नियमितता देखते हैं जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर दोहराते हैं या एक निश्चित विमान के संबंध में एक ही स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं। इस शुद्धता को शरीर की समरूपता कहा जाता है। जानवरों की दुनिया में समरूपता की घटनाएं इतनी व्यापक हैं कि एक समूह को इंगित करना बहुत मुश्किल है जिसमें शरीर की कोई समरूपता नहीं देखी जा सकती। छोटे कीड़ों और बड़े जानवरों दोनों में समरूपता होती है (चित्र 10,11, 12 देखें)।

· के बीच अंतहीन विविधताफार्म निर्जीव प्रकृतिऐसे आदर्श चित्र प्रचुर मात्रा में होते हैं, जिनका स्वरूप निरपवाद रूप से हमारा ध्यान आकर्षित करता है। प्रकृति की सुंदरता को देखते हुए, यह देखा जा सकता है कि जब पोखर, झीलों में वस्तुओं को प्रतिबिंबित किया जाता है, तो दर्पण समरूपता दिखाई देती है।

देखना? यह शुद्ध मिररिंग है!

मूर्ख, मूर्ख स्वभाव, वह इतने जोश से किसी की परवाह नहीं करती,

संतुलन के बारे में (चित्र 13 देखें)।

(वेनेडिक्ट एरोफीव)

निर्जीव प्रकृति की दुनिया में, समरूपता का आकर्षण क्रिस्टल द्वारा लाया जाता है (अंजीर देखें। 14)। प्रत्येक हिमपात जमे हुए पानी का एक छोटा क्रिस्टल है। बर्फ के टुकड़े का आकार बहुत विविध हो सकता है, लेकिन उन सभी में घूर्णी समरूपता होती है और इसके अलावा, दर्पण समरूपता (चित्र 15 देखें)।

एक क्रिस्टल क्या है? ठोस, जिसमें एक पॉलीहेड्रॉन का प्राकृतिक आकार है। नमक, बर्फ, रेत आदि। क्रिस्टल के बने होते हैं। सबसे पहले, रोमू-डेलिले ने उनके चेहरों के बीच के कोणों की स्थिरता के नियम के आधार पर क्रिस्टल के सही ज्यामितीय आकार पर जोर दिया। उन्होंने लिखा: "खनिज साम्राज्य के सभी निकायों को क्रिस्टल की श्रेणी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाने लगा, जिसके लिए एक ज्यामितीय पॉलीहेड्रॉन का आंकड़ा पाया गया ..." क्रिस्टल का सही रूप दो कारणों से उत्पन्न होता है। सबसे पहले, क्रिस्टल प्राथमिक कणों से बने होते हैं - अणु जो स्वयं होते हैं सही फार्म. दूसरे, "ऐसे अणुओं में सममित क्रम में एक दूसरे से जुड़ने की एक उल्लेखनीय संपत्ति होती है।"

क्रिस्टल इतने सुंदर और आकर्षक क्यों होते हैं? उनका शारीरिक और रासायनिक गुणउनकी ज्यामितीय संरचना द्वारा निर्धारित। क्रिस्टलोग्राफी (क्रिस्टल का विज्ञान) में "ज्यामितीय क्रिस्टलोग्राफी" नामक एक खंड भी है। 1867 में, आर्टिलरी के जनरल, सेंट पीटर्सबर्ग में मिखाइलोवस्की अकादमी के प्रोफेसर ए.वी. गैडोलिन ने कड़ाई से गणितीय रूप से समरूपता तत्वों के सभी संयोजनों को निकाला जो क्रिस्टलीय पॉलीहेड्रा की विशेषता रखते हैं। उदाहरण के लिए, गार्नेट पहले, तथाकथित क्यूबिक सिस्टम में आता है, जिसके सभी क्रिस्टल में क्यूब के समान समरूपता तत्व होते हैं।

(एक घन का आकार है, उदाहरण के लिए, क्रिस्टल टेबल नमक). कुल मिलाकर 32 प्रकार की समरूपताएँ हैं आदर्श रूपक्रिस्टल।

यह कल्पना करना आसान है कि अगर प्रकृति में समरूपता टूट गई तो पृथ्वी पर क्या भ्रम होगा!

§4। मनुष्य द्वारा समरूपता के नियमों का अनुप्रयोग

प्रकृति में समरूपता के प्रकटीकरण को देखकर मैं जानना चाहता था कि क्या कोई व्यक्ति अपनी रचनाओं में इन प्रतिमानों का उपयोग करता है।

समरूपता लगभग हर जगह पाई जा सकती है यदि आप जानते हैं कि इसे कैसे देखना है। प्राचीन काल से कई लोगों के पास व्यापक अर्थों में समरूपता का विचार था - संतुलन और सद्भाव के रूप में। अपनी सभी अभिव्यक्तियों में मानवीय रचनात्मकता समरूपता की ओर बढ़ती है। समरूपता के माध्यम से, जर्मन गणितज्ञ हरमन वेइल के शब्दों में, मनुष्य ने हमेशा कोशिश की है, "व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने के लिए।" जी। वेइल ने समरूपता को "एक निश्चित प्रकार के परिवर्तन के तहत किसी भी वस्तु की अपरिवर्तनीयता" के रूप में समझा; एक वस्तु सममित होती है जब इसे किसी ऑपरेशन के अधीन किया जा सकता है, जिसके बाद यह परिवर्तन के पहले जैसा ही दिखाई देगा। जी। वेइल ने सजावटी समरूपता के लिए एक निश्चित अध्याय समर्पित किया। हम पैटर्न और आभूषणों में नियमों के एक निश्चित सेट के लिए क्रमबद्धता और अधीनता पाते हैं (चित्र 16 देखें)।

चेहरे वाले रत्नों में समरूपता को देखना असंभव नहीं है। कई कटर अपने हीरे को टेट्राहेड्रॉन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन या आईकोसैहेड्रोन में आकार देने की कोशिश करते हैं। चूंकि अनार में घन के समान तत्व होते हैं, इसलिए यह पारखी लोगों द्वारा अत्यधिक मूल्यवान है। कीमती पत्थर. कला उत्पादोंअनार कब्रों में पाए गए प्राचीन मिस्रपूर्व-वंश काल (दो सहस्राब्दी ईसा पूर्व) में वापस डेटिंग।

हर्मिटेज के संग्रह में विशेष ध्यानप्राचीन सीथियनों के सोने के गहनों का इस्तेमाल किया। सोने की माला, मुकुट, लकड़ी की असामान्य रूप से बारीक कला का काम और कीमती लाल-बैंगनी रंग के गार्नेट से सजाया गया (चित्र 17, 18 देखें)।

जीवन में समरूपता के नियमों के सबसे स्पष्ट उपयोगों में से एक वास्तुकला की संरचनाएं हैं। यही हम सबसे अधिक बार देखते हैं। आर्किटेक्चर में, समरूपता के अक्षों को आर्किटेक्चरल मंशा व्यक्त करने के साधन के रूप में उपयोग किया जाता है। वास्तुकला में समरूपता के उपयोग के कई उदाहरण हैं, उनमें से एक सुंदर नोवोसिबिर्स्क ओपेरा और बैले थियेटर है (चित्र 19 देखें)। और यहाँ भी, कुपिनो शहर में, एक इमारत है जिसमें समरूपता है - कुपिंस्की जिले के प्रशासन की इमारत (चित्र 20 देखें)।